\chapter{Problemstellung und Historisches}

Zur mathematischen Beschreibung von Naturvorgängen, aber auch von technischen und ökonomischen Prozessen ist die Differentialrechnung ein unentbehrliches Hilfsmittel. Es ist daher nicht verwunderlich, daß gerade von Naturforschern entscheidende Anstöße zu ihrer Entwicklung ausgingen. Wichtige Vorarbeiten wurden im 16. und 17. Jahrhundert geleistet. Die eigentlichen Urheber dieser Disziplin sind aber Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), die die Differential- (und Integral-) Rechnung etwa gleichzeitig und voneinander unabhängig zu einem Kalkül entwickelten. Newton schuf seine ,,Fluxionsrechnung“ bei der Ableitung des Gravitationsgesetzes aus den Keplerschen Gesetzen der Planetenbewegung. Leibniz, der auch das Symbol $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ einführte, ging von dem Problem aus, an eine Kurve in einem vorgegebenen Kurvenpunkt die Tangente zu legen (,,Tangentenproblem“). Die Arbeiten dieser genialen Forscher lösten eine außerordentlich rasche Entwicklung der Mathematik aus, die ihrerseits in hohem Maße befruchtend auf andere Wissenschaften wirkte. Entscheidenden Anteil an dieser Entwicklung hatten die Brüder Jakob und Johann Bernoulli (1654-1705 bzw. 1667-1748), auf deren Vorlesungen auch das erste, 1696 erschienene Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung des Marquis de l'Hospital (1661-1704) basiert.

Wie wir noch sehen werden, beruht die Differentialrechnung, ebenso wie die Integralrechnung, auf dem Begriff des \textit{Grenzwertes}. Zeitlich ging jedoch die kalkülmäßige Entwicklung der Differential- und Integralrechnung der strengen Begriffsdefinition voran. Daraus entstanden immer häufiger Schwierigkeiten und Unstimmigkeiten, die sich zunächst nicht überwinden ließen. Schließlich führte Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) den Grenzwertbegriff in die Mathematik ein. Doch erst Bernard Bolzano (1781-1848) und Augustin Louis Cauchy (1789-1857) wendeten diesen Begriff konsequent an und stellten damit die Infinitesimalrechnung (zu der man neben der Differential- und Integralrechnung auch die Theorie der unendlichen Reihen zählt) auf ein solides Fundament.

Vor einem Aufbau der Differentialrechnung ist also der Grenzwertbegriff für Funktionen zu behandeln. Zwangsläufig wird man damit zum Begriff der \textit{Stetigkeit} geführt. Die eigentliche Differentialrechnung beginnt mit der Definition der \textit{Ableitung} einer Funktion.

Alle drei Begriffe werden zur exakten Beschreibung bestimmter Sachverhalte in den unterschiedlichsten Gebieten herangezogen. So kann man mit dem Grenzwertbegriff z. B. das Verhalten einer zeitabhängigen Größe, ,, nach sehr langer Zeit " charakterisieren, mit dem Begriff der Stetigkeit bzw. Unstetigkeit den ,,kontinuierlichen“ bzw. ,,sprunghaften“ Ablauf eines Vorgangs erfassen und mit der Ableitung die ,,Änderungsgeschwindigkeit" eines Prożesses beschreiben.

Die mathematischen Möglichkeiten reichen jedoch über die unmittelbare Anwendbarkeit dieser Begriffe weit hinaus. So werden wir unter Verwendung der Differentialrechnung u. a. Näherungsformeln für (nichtrationale) Funktionen herleiten, Methoden zur Ermittlung von Extremwerten angeben und Verfahren zur numerischen Lösung von Gleichungen behandeln. Dem „Praktiker" werden damit Hilfsmittel zur Verfügung gestellt, auf die er fortlaufend zurückgreifen muß.