\chapter{Zum Gegenstand und zur Bedeutung unendlicher Reihen}

Die Theorie der unendlichen Reihen ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis. Sie befaßt sich mit der Konv́ergenzuntersuchung von Reihen, der Ermittlung ihrer Summen (im Konvergenzfall) und den Rechenoperationen mit unendlichen Reihen. Ihre Anwendungen erstrecken sich auf nahezu alle Teile der Analysis. Viele Untersuchungen werden durch Heranziehung unendlicher Reihen wesentlich vereinfacht oder überhaupt érst ermöglicht.

Anhand eines Beispiels wollen wir uns zunächst eine Vorstellung von einer unendlichen Reihe und dem Konvergenzbegriff geben. Wir gehen von der Zahlenfolge $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$ aus und bilden die Summen $s_n$ der ersten $n$ Glieder $(n=1,2,3, \ldots)$. Dabei erhalten wir, wie man durch vollständige Induktion sofort bestätigen kann,
$$
s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}
$$

Am Ergebnis ist erkennbar, daß die Summen $s_n$ mit wachsendem $n$ gegen 1 streben. Wenn wir nun die Summe $s_n$ als $n$-tes Glied einer neuen Zahlenfolge auffassen, so heißt das gerade, daß diese konvergiert und den Grenzwert 1 hat. Auf Grund dieses Verhaltens der Summen $s_n$ sagt man, daß die unendliche Reihe $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$ konvergiert und die Summe (auch: den Wert) 1 hat.

Die Konvergenz einer unendlichen Reihe wird also mittels der Konvergenz einer Zahlenfolge definiert, die so beschaffen ist, daß ihr $n$-tes Glied $s_n$ die Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen, gegebenen Zahlenfolge ist. Insofern erscheint die Reihe gewissermaßen als Summe aus den unendlich vielen Gliedern dieser. anderen Zahlenfolge, und diese Vorstellung verband sich mit dem Reihenbegriff bei seiner Entstehung und noch geraume Zeit danach. Aber eine Summe aus unendlich vielen Zahlen ist kein mathematisch sinnvolles Objekt, und daher sei von vornherein vor einer solchen falschen Vorstellung von einer unendlichen Reihe gewarnt. Wenn man im obigen Beispiel trotzdem davon spricht, daß die unendliche Reihe $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$ die Summe 1 hat, so hat das historische Gründe; es handelt sich nicht um eine Summe im Sinne des Ergebnisses einer Addition. „Summe" ist in unserem Beispiel nichts anderes als eine Benennung für den Grenzwert der Zahlenfolge $\left\{\sum_{\nu=1}^n \frac{1}{2^v}\right\}$ für $n \rightarrow \infty$. Wie wir noch sehen werden, darf man mit einer Reihensumme im allgemeinen Wenn wir jedoch eine konvergente Reihe nach $n$ Gliedern ( $n$ hinreichend groß) abbrechen, d. h. die (echte) Summe aus den ersten $n$ Gliedern bilden, so ist diese ein Näherungswert für die Reihensumme, und die Abweichung beider voneinander läßt sich im Prinzip beliebig klein machen, indem man $n$ groß genug wählt. Diese Tatsache nutzt man bei der praktischen Anwendung unendlicher Reihen aus.

Die Bedeutung der unendlichen Reihen erwächst daraus, daß außer solchen Reihen, deren Glieder Zahlen sind (wir sprechen hier von Reihen mit konstanten Gliedern), hauptsächlich Reihen benutzt werden, deren Glieder Funktionen einer unabhängigen Variablen sind (Funktionenreihen). Dabei beschränken wir uns auf Funktionen einer reellen Variablen; die sehr wichtige Ausdehnung auf den Fall komplexer Variabler ist nicht Gegenstand dieses Bandes (vgl. Band 9).

Die Summe einer konvergenten reellen Funktionenreihe ist selbst eine Funktion einer reellen Variablen. Somit kann eine konvergente Funktionenreihe als eine Darstellung einer Funktion (nämlich ihrer Summenfunktion) angesehen werden. Sehr wichtig ist das Problem, eine in einer anderen Form gegebene Funktion $f(x)$ in eine Funktionenreihe zu entwickeln, d. h. sie durch eine solche Reihe darzustellen. Insbesondere interessieren Entwicklungen in Potenz- bzw. Fourierreihen, die die wichtigsten Vertreter der Funktionenreihen sind. So kann man für eine komplizierte Funktion aus ihrer Potenzreihenentwicklung - innerhalb gewisser Intervalle gut brauchbare - Näherungspolynome erhalten, indem man die Entwicklung nach endlich vielen Gliedern abbricht. Beispielsweise entnimmt man aus der Potenzreihenentwicklung
$$
\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^3}{3 !}+\ldots
$$
daß $\mathrm{e}^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$ für alle $x$ mit hinreichend kleinem Betrag gilt. Wenn $|x| \leqq 0,1$ gilt, ist der Fehler, der bei Ersetzung von $f(x)=\mathrm{e}^x$ durch das Polynom $g(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$ entsteht, kleiner als $10^{-5}$. Durch Hinzunahme weiterer Glieder der Reihe zu dem Polynom wird die Annäherung weiter verbessert, und die eben angegebene Genauigkeit wird noch für $x$-Werte mit einem größeren Betrag als 0,1 erreicht.

Fourierreihen lassen die Zusammensetzung periodischer Funktionen (bzw. der durch sie beschriebenen zeitlich abhängigen periodischen Vorgänge) aus Sinus- und Kosinusfunktionen erkennen. Zum Beispiel kann eine periodisch sich wiederholende Folge von Dreiecksimpulsen der Dauer $2 \pi$ und der Höhe 1 durch die Fourierreihe
$$
\frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^2}\left(\cos x+\frac{\cos 3 x}{3^2}+\frac{\cos 5 x}{5^2}+\ldots\right)
$$
wiedergegeben werden (vgl. Beispiel 5.4).

Mit den Funktionenreihen können auch gewisse Rechenoperationen ausgeführt werden. Insbesondere können sie unter gewissen Voraussetzungen Glied für Glied integriert und differenziert werden. Daraus ergibt sich z. B. die Möglichkeit, Stammfunktionen von solchen Funktionen durch Funktionenreihen (insbesondere Potenzreihen) auszudrücken, die sich einer geschlossenen Darstellung mit Hilfe elementarer Funktionen entziehen. In Verallgemeinerung dessen bilden die Potenzreihen ein Hilfsmittel bei der Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, für die die elementaren Integrationsmethoden nicht anwendbar sind. Diese wenigen Beispiele mögen genügen, um dem Leser einen ersten Eindruck von der Bedeutung der unendlichen Reihen zu vermitteln.