%!TEX root=MathIng.tex



\newpage
\appendix
\chapter{Anmerkungen}
\section{Überblick Mengen-Intervalle}
\begin{tabular} { x{0.12\textwidth} | x{0.14\textwidth} | x{0.2\textwidth} | x{0.14\textwidth}  | x{0.4\textwidth} }
\label{Anm:001} 
  Schreibweise & alternative Schreibweise & Mengen\-schreib\-weise & Typ & Bild \\ \hline
  $(a,b)$ & $]a,b[$ & $\{x|a<x<b\}$ & offen & \adjustbox{valign=T}{
\begin{tikzpicture}
  \draw[latex-latex] (-2,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, thick] (-1,0) -- (1,0);
  \draw[blue!50!white, thick, fill=white] (-1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$a$};
  \draw[blue!50!white, thick, fill=white] (1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$b$};

\end{tikzpicture}}


 \\
  $[a,b]$ & $[a,b]$ & $\{x \mid a \leq x \leq b\}$ & geschlossen & 
\adjustbox{valign=T}{
\begin{tikzpicture}
  \draw[latex-latex] (-2,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, thick] (-1,0) -- (1,0);
  \draw[blue!50!white, thick, fill] (-1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$a$};
  \draw[blue!50!white, thick, fill] (1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$b$};

\end{tikzpicture}}


 \\
  $[a,b)$ & $[a,b[$ & $\{x \mid a \leq x<b\}$ & halb-offen & 
\adjustbox{valign=T}{\begin{tikzpicture}

  \draw[latex-latex] (-2,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, thick] (-1,0) -- (1,0);
  \draw[blue!50!white, thick, fill] (-1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$a$};
    \draw[blue!50!white, thick, fill=white] (1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$b$};
\end{tikzpicture}}
  
   \\
  $(a,b]$ & $]a,b]$ & $\{x \mid a<x \leq b\}$ & halb-offen & 

\adjustbox{valign=T}{\begin{tikzpicture}


  \draw[latex-latex] (-2,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, thick] (-1,0) -- (1,0);
  \draw[blue!50!white, thick, fill=white] (-1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$a$};
  \draw[blue!50!white, thick, fill] (1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$b$};
\end{tikzpicture}}
    
  
   \\
  $(a, \infty)$ & $] a, \infty[$ & $\{x \mid a<x\}$ & offen & 
  
\adjustbox{valign=T}{\begin{tikzpicture}
  \draw[latex-] (-2,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, ultra thick, path fading=east] (-1,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, thick, fill=white] (-1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$a$};  
\end{tikzpicture}  }
  
  
   \\
   
$[a, \infty)$ & $[a, \infty[$ & $\{x \mid a \leq x\}$ & geschlossen & 

\adjustbox{valign=T}{\begin{tikzpicture}
  \draw[latex-] (-2,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, ultra thick, path fading=east] (-1,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, thick, fill] (-1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$a$};  
\end{tikzpicture}  }

\\   
   
   
  $(-\infty, b)$ & $]-\infty, b[$ & $\{x \mid x<b\}$ & geschlossen & 
  

\adjustbox{valign=T}{\begin{tikzpicture}
  \draw[-latex] (-2,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, ultra thick, path fading=east] (2,0) -- (-2,0);
  \draw[blue!50!white, thick, fill=white] (1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$b$};  
\end{tikzpicture} }   
  
  
   \\
   
   
  $ (-\infty, b]$ & $]-\infty, b]$ & $\{x \mid x \leq b\}$ & offen & \adjustbox{valign=T}{\begin{tikzpicture}
  \draw[-latex] (-2,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, ultra thick, path fading=east] (2,0) -- (-2,0);
  \draw[blue!50!white, thick, fill] (1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$b$};  
\end{tikzpicture} }  \\


  $(-\infty, \infty)$ & $]-\infty, \infty[$ & $ \mathbb{R} $ & sowohl offen als auch geschlossen &
\adjustbox{valign=T}{\begin{tikzpicture}
  \draw[] (-2,0) -- (2,0);
  \draw[blue!50!white, ultra thick, path fading=east] (2,0) -- (-2,0);
 % \draw[blue!50!white, thick, fill] (1, 0) circle(0.05) node[below, black] {$b$};  
\end{tikzpicture} }   
  
   \\
  \end{tabular}
  
  

\subsection{Übersicht über die wichtigsten Mengenrelationen und -operationen}


\includegraphics[scale=0.2]{IMG_1299.jpg}  
  
  
\subsection{Beispiele zur Berechnung von Mengen}


Bestimmen Sie die Menge $\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$, wenn folgendes gegeben ist.
$$
\begin{aligned}
&\Omega=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x<13\} \\
&A=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x \text { ist ungerade und } x<13\} \\
&B=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x \text { ist gerade und } x<13\} \\
&C=\{x \mid x \in \mathbb{N} \text { und } x<8\}
\end{aligned}
$$
Um ( $\left.A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C$ zu bestimmen, beginnen Sie damit die Menge innerhalb der Klammern, (A' $\left.\cup B^{\prime}\right)$, zu finden.
Zuerst müssen Sie $\mathrm{A}^{\prime}$ bestimmen, das Komplement von A, das alle Elemente aus $\Omega$ enthält, die nicht in A sind.
$$
A^{\prime}=\{2,4,6,8,10,12\}
$$
Als Nächstes müssen Sie B' bestimmen, das Komplement von B, das alle Elemente aus $\Omega$ enthält, die nicht in B sind.
$$
B^{\prime}=\{1,3,5,7,9,11\}
$$
Identifizieren Sie jetzt die Elemente der Menge $\left(\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}^{\prime}\right)$ indem Sie alle Elemente in der Menge $\mathrm{A}^{\prime}$ auflisten und dann die Elemente in der Menge $\mathrm{B}^{\prime}$ hinzufügen.
$$
\begin{aligned}
\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) &=\{2,4,6,8,10,12\} \cup\{1,3,5,7,9,11\} \\
&=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}
\end{aligned}
$$
Beenden Sie jetzt das Problem, indem Sie (A' $\cup B^{\prime}$ ) $\cap C$ bestimmen.
Der Durchschnitt ist diejenige Menge, die alle Elemente enthält, die den beiden Mengen $A^{\prime} \cup B^{\prime}$ und $C^{\prime}$ gemeinsam sind.
$$
\begin{aligned}
\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right) \cap C &=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} \cap\{1,2,3,4,5,6,7\} \\
&=\{1,2,3,4,5,6,7\}
\end{aligned}
$$ 
 
 
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \chapter{Massmatics}

\section{Mengen}

Folgt man der Beschreibung von Richard Dedekind, so kann man sich Mengen wie einen “Sack” vorstellen, der gewissen Dinge enthält, sodass man bei einer Menge stets angeben kann ob ein bestimmtes Element enthalten ist oder nicht.

Im Laufe der Zeit haben sich viele an einer Mengendefinition versucht. Die populärste von einem Herrn Cantor findet man (wie eigentlich alles) im passenden Wikipedia Artikel.

Was man sich auch mit als erstes Einprägen sollte ist:

In einer Menge gibt es keine Elemente doppelt bzw. mehrfach und die Reihenfolge der Elemente in einer Menge spielt keine Rolle.

An sich reicht das an “Theoretischem” zum Thema Mengen.

Wichtiger ist vor allem der Umgang mit Mengen. An erster Stelle steht dabei die korrekte Definition von Mengen, die eben angibt, welche Elemente in der Menge liegen und welche nicht.

Wie man diese Definitionen abliest bzw. aufstellt, wird hier genauer beschrieben.

%%%%%%%%%%%%
 \subsection{Mengenoperationen}
 Hat man zwei oder mehrere Mengen gegeben, so kann man diese mit folgenden Operationen zusammenfassen:
 1. Vereinigung: " $\cup "$
 2. Schnitt: "$\cap$"
 3. Differenz: "$\\$"
 Das kartesische Produkt wird gesondert hier behandelt. Ebenso das Komplement einer Menge.
 Wie man sich die Mengenoperationen grafisch veranschaulicht wird im Artikel zu den Venn-Diagrammen behandelt.
 
 Zu den vorgestellten Operationen gibt es auch Regeln, wie man mit Klammern und mehreren verschiedenen Verknüpfungen umgeht - diese findest du hier.
 \section{Vereinigung von Mengen}
 Die Vereinigung von Mengen betrachtet alle Elemente die in der einen oder der anderen Menge enthalten sind.
 Sobald ein Element also in einer der beiden Mengen $A$ oder $B$ liegt, ist es automatisch auch in $A \cup B$ enthalten.
 Als Venn-Diagramm kann man diese Operation so darstellen. Die Vereinigung der beiden Mengen $A$ und $B$ :

 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{MM0001}
 	\caption{}
 	\label{fig:mm0001}
 \end{figure}
 
  wird durch die gesamte blaue Fläche abgebildet:
 
  \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{MM0002}
 	\caption{}
 	\label{fig:mm0002}
 \end{figure}

 $G$ steht hier übrigens für die Grundmenge, also die Menge, in $\operatorname{der} A$ und $B$ liegen.
 Natürlich kann man auch mehr als nur zwei Mengen miteinander vereinigen. Hier können wir das auch so abkürzen:
 $$
 A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}
 $$
 Prinzipiell ist es ebenso egal, in welcher Reihenfolge wir die Vereinigung notieren:
 
 $$
 A \cup B=B \cup A
 $$
 Hier ein paar Beispiele:
 Beispiel
 Gegeben sind die Mengen
 $$
 \begin{array}{l}
 	A=\{x \in \mathbb{Z} \mid-2<x<5\}=\{-1,0,1,2,3,4\} \\
 	B=\{1,3,5,6\} \text { und } \\
 	C=[-2,6)
 \end{array}
 $$
 Die Vereinigung bildet man indem man alle Elemente der beiden Mengen (sofern möglich) in eine Menge schreibt und doppelte Elemente dann entfernt:
 $$
 \begin{aligned}
 	A \cup B &=\{-1,0,1,2,3,4\} \cup\{1,3,5,6\} \\
 	&=\{-1,0,1,2,3,4,1,3,5,6\} \\
 	&=\{-1,0,1,2,3,4,5,6\}
 \end{aligned}
 $$
 Bei der Vereinigung von $B$ und $C$ muss man ebenso überlegen, welche Elemente von $B$ bereits in $C$ enthalten sind, da man ja kein Element zweimal auflisten will.
 Hier sind dass alle Elemente außer der 6, denn die liegt nicht in $C$. Daher ist die 6 auch das einzige Element aus $B$, was wir bei der Vereinigung mit $C$ noch hinzufügen:
 $$
 \begin{aligned}
 	B \cup C &=\{1,3,5,6\} \cup[-2,6) \\
 	&=[-2,6]
 \end{aligned}
 $$
 Natürlich kann man auch alle drei Mengen vereinigen. Dazu kann man paarweise vorgehen - in welcher Reihenfolge man das macht, ist egal:
 $$
 \begin{aligned}
 	A \cup B \cup C &=\underbrace{\{-1,0,1,2,3,4\} \cup\{1,3,5,6\}}_{=\{-1,0,1,2,3,4,5,6\}} \cup[-2,6) \\
 	&=\{-1,0,1,2,3,4,5,6\} \cup[-2,6) \\
 	&=[-2,6]
 \end{aligned}
 $$
 Schnitt von Mengen
 Hier wählt man diejenigen Elemente, welche in allen Mengen enthalten sind. Ein Element liegt somit in $A \cap B$, wenn es Element von $A$ und von $B$ ist.
 
 Wenn wir unser Venn-Diagramm von eben nehmen, steckt hier diese blaue Fläche dahinter:
 
  \begin{figure}[htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{MM0003}
 	\caption{}
 	\label{fig:mm0003}
 \end{figure}
 
 Die entstandene Menge nennt man Schnittmenge und natürlich lässt sich der Schnitt auch von mehr als zwei Mengen bestimmen.
 Mengen, die sich nicht schneiden (bzw. deren Schnittmenge die leere Menge ist) heißen disjunkte Mengen. Auch beim Schnitt gilt:
 $$
 A \cap B=B \cap A
 $$
 Bzw. kann man analog zur Vereinigung die Schnittmenge mehrerer Mengen wie folgt schreiben:
 $$
 A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n}=\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}
 $$
 Beispiele
 Wir nehmen erneut drei beliebige Mengen:
 $$
 \begin{array}{l}
 	A=\{-1,0,1,2\} \\
 	B=\mathbb{N} \\
 	C=[-10,-1]
 \end{array}
 $$
 Wenn wir den Schnitt von $A$ und $B$ bestimmen wollen, müssen wir die Elemente bestimmen, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind.
 
 Am besten sieht man das, wenn man die ersten Natürlichen Zahlen von $B$ explizit auflistet:
 $$
 \begin{aligned}
 	A \cap B &=\{-1,0,1,2\} \cap\{1,2,3,4, \ldots\} \\
 	&=\{1,2\}
 \end{aligned}
 $$
 Die beiden Mengen $B$ und $C$ haben kein einziges Element gemeinsam, weil $C$ nur negative Werte beinhaltet. Folglich gilt:
 
 $$
 \begin{aligned}
 	B \cap C &=\mathbb{N} \cap[-10,-1] \\
 	&=\emptyset
 \end{aligned}
 $$
 $B$ und $C$ sind folglich disjunkt. Wenn man nun den Schnitt aller drei Mengen betrachten will, sucht man die Elemente, die in jeder der drei Mengen liegt.
 Da aber bereits $B$ und $C$ keine gemeinsamen Elemente haben, ist auch $A \cap B \cap C$ leer:
 $$
 \begin{aligned}
 	A \cap B \cap C &=\{-1,0,1,2\} \cap \underbrace{\mathbb{N} \cap[-10,-1]}_{=\emptyset} \\
 	&=\{-1,0,1,2\} \cap \emptyset \\
 	&=\emptyset
 \end{aligned}
 $$
 Differenz
 Die Differenz von Mengen ist insofern ähnlich zur Differenz von Zahlen, dass man diejenigen Elemente aus einer Menge "abzieht" (herausstreicht), die in der anderen Menge enthalten sind.
 Bei zwei Mengen $A$ und $B$ beschreibt $\operatorname{man} A \backslash B$ von daher auch als $A$ ohne $B$. Klar wird diese Bedeutung im VennDiagramm:
 
 
   \begin{figure}[htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{MM0004}
 	\caption{}
 	\label{fig:mm0004}
 \end{figure}
 
 
 Ein Spezialfall der Differenz ist die symmetrische Differenz, welche folgenden Ausdruck zweier Mengen beschreibt:
 $$
 \begin{aligned}
 	A \Delta B &=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \\
 	&=(A \cup B) \backslash(A \cap B)
 \end{aligned}
 $$
 Man vereinigt also die Mengen $A$ ohne $B$ und $B$ ohne $A$. Im Endeffekt ist das die Menge aller Elemente die entweder in $A$ oder in $B$ liegen:
 

   \begin{figure}[htb]
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{MM0005}
 	\caption{}
 	\label{fig:mm0005}
 \end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Beispiele
Nehmen wir erneut drei einfache Mengen:
$$
\begin{array}{l}
A=\{-1,0,1,2\} \\
B=\mathbb{N} \\
C=[-10,-1]
\end{array}
$$
Wenn wir den Ausdruck $A \backslash B$ bestimmen wollen, lohnt es sich $\mathbb{N}$ wieder ansatzweise auszuschreiben:
$$
\begin{aligned}
A \backslash B &=\{-1,0,1,2\} \backslash\{1,2,3,4, \ldots\} \\
&=\{-1,0\}
\end{aligned}
$$
Wohlgemerkt spielt es bei der Differenz sehr wohl eine Rolle, welche Menge man betrachtet und welche man abzieht. So gilt für $B \backslash A$ :
$$
\begin{aligned}
B \backslash A &=\{1,2,3,4, \ldots\} \backslash\{-1,0,1,2\} \\
&=\{3,4,5, \ldots\}
\end{aligned}
$$
Wenn man die Differenz zweier disjunkter Mengen bildet, passiert folglich nichts:
$$
\begin{aligned}
B \backslash C &=\mathbb{N} \backslash[-10,-1] \\
&=\mathbb{N}=B
\end{aligned}
$$
Achtung
Natürlich kann man auch hier mehrere Mengen nacheinander abziehen. Die Reihenfolge darf man hier jedoch nicht selbst wählen:
$$
\begin{aligned}
A \backslash B \backslash C &=\{-1,0,1,2\} \backslash \underbrace{\mathbb{N} \backslash[-10,-1]}_{=\mathbb{N}} \\
&=\{-1,0,1,2\} \backslash \mathbb{N} \\
&=\{-1,0\}
\end{aligned}
$$
Das ist nicht dasselbe, wie die Variante, wenn man die vordere Differenz zuerst bestimmt:
$$
\begin{aligned}
A \backslash B \backslash C &=\underbrace{\{-1,0,1,2\} \backslash \mathbb{N}}_{=\{-1,0\}} \backslash[-10,-1] \\
&=\{-1,0\} \backslash[-10,-1] \\
&=\{0\}
\end{aligned}
$$
Daher bei den Differenzen immer auf die Klammern achten - wenn wie hier keine da stehen ist das folglich eine nicht ganz klar gestellte Aufgabe.