<TeXmacs|1.0.7.14>

<style|generic>

<\body>
  <\hide-preamble>
    <assign|clearemptydoublepage|<macro|<new-page><pagestyle|empty><new-dpage>>>

    <assign|IR|<macro|I<space|-1.4mm>R>>

    <assign|IN|<macro|I<space|-1.4mm>N>>

    <assign|tabumg|<macro|<space|10mm><math|<wide|<text|h>|\<bar\>>>space10mm<math|<wide|<text|h>|\<bar\>>>space10mm<math|<wide|<text|h>|\<bar\>>>space10mm<kill><next-line>>>

    <assign|entspricht|<macro|<above|=|<with|math-level|2|\<wedge\>>>>>
  </hide-preamble>

  <samp|<verbatim|<strong|<em|>>>>

  <surround|| <clearemptydoublepage>|<\table-of-contents|toc>
    \;
  </table-of-contents>>

  <chapter|Lineare Algebra>

  <section|Vektoren in der Ebene - Übersicht>

  <subsection|01_1 Veranschaulichung von Vektoren in der Ebene>

  <\big-figure>
    <\minipage>
      [b].4<linewidth>\ 
    </minipage> <space|.1><\minipage>
      [b].4<linewidth>\ 
    </minipage>
  </big-figure|Punkt <math|(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*)>>

  <space|20mm><math|<wide|a|\<vect\>>*=*(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*)><htab|1fn>auch
  üblich <htab|1fn><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1><next-line>a<rsub|2>|\<nobracket\>>>

  <right|)>\<leftarrow\> Geordnetes Paar<space|20mm>

  <subsection|01_1 Menge aller Vektoren in der Ebene>

  Die Menge aller Vektoren in der Ebene heißt
  <math|<with|math-font|Bbb|R><rsup|2>>; dabei ist
  <math|<with|math-font|Bbb|R>> die Menge der reellen Zahlen. Also:
  <math|<with|math-font|Bbb|R>=<around*|{|<wide|a|\<vect\>>*=*(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*)*\|*a<rsub|1>*\<in\><with|math-font|Bbb|R>,*a<rsub|2>*\<in\><with|math-font|Bbb|R>|}>>

  <subsection|01_1 Addition von Vektoren in der Ebene>

  <\tabbing>
    Die Addition von Vektoren liefert als Ergebnis wieder einen
    Vektor.<next-line><next-line>

    rechnerisch:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>*,*<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>><next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>=*<around*|(|(*a<rsub|1>*+*b<rsub|1>*,*a<rsub|2>*+*b<rsub|2>*)|)>><next-line>
  </tabbing>

  <new-page>zeichnerisch: <\big-figure>
    \;
  </big-figure|Addition von Vektoren <math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>>>

  <\tabbing>
    Rechenregeln:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>=*<wide|b|\<vect\>>+*<wide|a|\<vect\>>>;<next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*+*<around*|(|<wide|b|\<vect\>>+<wide|c|\<vect\>>|)>*=*<around*|(|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>|)>*+<wide|c|\<vect\>>><next-line>
  </tabbing>

  <subsection|01_2 Nullvektor in der Ebene>

  <\tabbing>
    <\>><\>><math|<wide|0|\<vect\>>*=<around*|(|0*,*0|)>><next-line><next-line>Rechenregel:<\>><\>>
    <math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|0|\<vect\>>*=*<wide|a|\<vect\>>><next-line>
  </tabbing>

  <new-page>

  <subsection|01_2 Subtraktion von Vektoren in der Ebene>

  Die Subtraktion von Vektoren liefert wieder einen Vektor.

  <\tabbing>
    rechnerisch:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>*,*<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>><next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>=*<around*|(|a<rsub|1>*-*b<rsub|1>*,*a<rsub|2>*-*b<rsub|2>|)>><next-line>
  </tabbing>

  zeichnerisch: <\big-figure>
    \;
  </big-figure|Subtraktion von Vektoren <math|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>>>

  <\tabbing>
    Rechenregel:<\>><\>> <math|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|a|\<vect\>>*=*<wide|0|\<vect\>>><next-line>
  </tabbing>

  <new-page>

  <subsection|01_2 Multiplikation von einem Vektor mit einem Skalar (einer
  Zahl)>

  <\tabbing>
    Liefert wieder einen Vektor.<next-line><next-line>

    rechnerisch:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>*,*k*\<in\><with|math-font|Bbb|R>><next-line><\>><\>><math|k*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|k*\<cdot\>*a<rsub|1>*,*k*\<cdot\>*a<rsub|2>|)>><next-line><\>><\>><math|k*=*0>:
    <math|0*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=*<wide|0|\<vect\>>><next-line>
  </tabbing>

  zeichnerisch:

  <\big-figure>
    \;
  </big-figure|Multiplikation von Vektoren
  <math|<wide|a|\<vect\>>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>>>

  <\tabbing>
    Rechenregeln:<\>><\>><math|<around*|(|k<rsub|1>*\<cdot\>*k<rsub|2>|)>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=*k<rsub|1>*\<cdot\><around*|(|k<rsub|2>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>|)>>;<next-line><\>><\>><math|1*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=*<wide|a|\<vect\>>>;<next-line><\>><\>><math|k*\<cdot\>*<around*|(|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>|)>*=*k*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*+*k*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>>;<next-line><\>><\>><math|<around*|(|k<rsub|1>*+*k<rsub|2>|)>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=*k<rsub|1>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*+*k<rsub|2>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>><next-line><next-line>Zusammenhang
    mit der Subtraktion:<next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>=*<wide|a|\<vect\>>*+<around*|(|-*1|)>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>><next-line>
  </tabbing>

  <new-page>

  <subsection|02_1 "`Kanonische"' Basisvektoren in der Ebene>

  <space|10mm> <math|<wide|e<rsub|1>|\<vect\>>=<around*|(|1*,*0|)>>;
  <math|<wide|e<rsub|2>|\<vect\>>=<around*|(|0*,*1|)>>

  <vspace|4mm> <space|10mm>Darstellung von
  <math|<wide|a|\<vect\>>*=*a<rsub|1>*\<cdot\><wide|e<rsub|1>|\<vect\>>+*a<rsub|2>*\<cdot\><wide|e<rsub|2>|\<vect\>>>

  <subsection|02_1 Lineare Abhängigkeit (Kollinearität)>

  <\tabbing>
    <\>><math|<wide|a|\<vect\>>> und <math|<wide|b|\<vect\>>> sind linear
    abhänging falls gilt:<next-line><next-line>

    <\>><\>>es gibt <math|k<rsub|1>> mit <math|<wide|a|\<vect\>>*=*k<rsub|1>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>>
    oder<next-line><\>><\>>es gibt <math|k<rsub|2>> mit
    <math|<wide|b|\<vect\>>=*k<rsub|2>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>><next-line>
  </tabbing>

  <\itemize>
    <item>Anschauung für <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>>,
    <math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>>: die Punkte
    <math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>> und
    <math|<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>> liegen auf einer Geraden durch
    den Nullpunkt.

    <item>Gegenteil: <wide*|lineare Abhängigkeit|\<bar\>>
  </itemize>

  <subsection|02_1 Länge (Norm) eines Vektors in der Ebene>

  <\big-figure>
    \;
  </big-figure|Länge (Norm) eines Vektors in der Ebene>

  <\itemize>
    <item><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*=<sqrt|a<rsup|2><rsub|1>*+*a<rsup|2><rsub|2>>>.
    Auch üblich: <math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>>

    <item>ist auch der Abstand zwischen den Punkten
    <math|<around*|(|0*,*0|)>> und <math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>>
  </itemize>

  <\tabbing>
    Rechenregeln:<\>><\>><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*=*0> gilt
    nur für <math|<wide|a|\<vect\>>*=*<wide|0|\<vect\>>><next-line><\>><\>><math|<around*|\||k*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>|\|>*=<around*|\||k|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>>;<next-line><\>><\>><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>|\|>*\<leqslant\><around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*+<around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>
  </tabbing>

  <\itemize>
    <item>für <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>>,
    <math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>> ist
    <math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>|\|>> der Abstand
    der Punkte <math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>> und
    <math|<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>>.
  </itemize>

  <subsection|02_2 Einheitsvektoren>

  Einheitsvekotren sind Vektoren der Länge 1.

  <subsection|02_2 Skalarprodukt von zwei Vektoren in der Ebene>

  <\itemize>
    <item>liefert wieder einen Skalar

    <item>Berechnung für <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>>,
    <math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>>;<next-line><math|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*=*a<rsub|1>***b<rsub|1>*+*a<rsub|2>***b<rsub|2>><htab|1fn>auch
    übliche Schreibweise: <math|<around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>
    bzw. <math|<wide|a|\<vect\>>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>>
  </itemize>

  <\tabbing>
    Rechenregeln:<\>><\>><math|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*=<around*|\<langle\>|<wide|b|\<vect\>>,*<wide|a|\<vect\>>|\<rangle\>>>;<next-line><\>><\>><math|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*+<wide|c|\<vect\>>,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*=<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*+<around*|\<langle\>|<wide|c|\<vect\>>,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>>;<next-line><\>><\>><math|<around*|\<langle\>|k*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*=*k*\<cdot\><around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>>;<next-line><\>><\>><math|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|a|\<vect\>>|\<rangle\>>*\<gtr\>*0>
    für <math|<wide|a|\<vect\>>*\<neq\>*<wide|0|\<vect\>>><next-line><\>><\>><math|<around*|\||<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>|\|>*\<leqslant\><around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>><next-line>
  </tabbing>

  <subsection|02_2 Öffnungswinkel zwischen zwei Vektoren
  <math|<wide|a|\<vect\>>*\<neq\>*0>, <math|<wide|b|\<vect\>>\<neq\>*0> in
  der Ebene>

  <\big-figure>
    <\tikzpicture>
      [scale=1.2]

      <draw>[-triangle 45] (0,0) -- (4,0) node[right] <math|x>;

      <foreach> <x> in 1,2,3 <draw> (<x> cm,1pt) -- (<x> cm,-1pt)
      node[anchor=north] <math|<x>>;

      <draw>[-triangle 45] (0,0) -- (0,4) node[above] <math|y>;

      <foreach> <y> in 1,2,3 <draw> (1pt,<y> cm) -- (-1pt,<y> cm)
      node[anchor=east] <math|<y>>;

      <draw> [color=blue, thick, -triangle 45](0,0) -- (1,3)
      node[sloped,above] <math|<wide|b|\<vect\>>> ; <draw> [color=red, thick,
      -triangle 45](0,0) -- (3,1) node[right] <math|<wide|a|\<vect\>>> ;

      <draw> (0,0) +(19:25mm) arc (19:71:25mm);

      <draw> (0.5,1) node[right, text width=15mm]<math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>;
    </tikzpicture>
  </big-figure|Öffnungswinkel zwischen zwei Vektoren in der Ebene>

  <math|cos <around*|(|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>|)>*=<frac|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>>,
  wobei <math|0*\<leqslant\>*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>*\<leqslant\>*\<pi\>>

  im Bogenmaß (d.h. <math|0<rsup|\<circ\>>*\<leqslant\>*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>*\<leqslant\>*180<rsup|\<circ\>>>
  im Gradmaß)

  <clearemptydoublepage>

  <subsection|Aufgaben - Vektoren in der Ebene>

  <subsubsection|Aufgabe 1>

  (Lösung siehe<reference|A001>)

  Gegeben sind: <space|10mm><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|3*,*4|)>>,<space|5mm><math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|10*,*5|)>>,<space|5mm><math|<wide|c|\<vect\>>=*<wide|a|\<vect\>>*-<frac|1|2>***<wide|b|\<vect\>>>

  <\list|<ding|42>| \ \ \ \ \ <assign|makelabel|<macro|1|<with|font-series|bold|<arg|1>>>>>
    <item*|a>Bestimmen Sie <math|<wide|c|\<vect\>>> durch Zeichnung und
    Rechnung!

    <item*|b>Bestimmen Sie <math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>>,
    <math|<around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>,
    <math|<around*|\||<wide|c|\<vect\>>|\|>>.

    <item*|c>Bestimmen Sie den Öffnungswinkel
    <math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,<wide|c|\<vect\>>|)>> und
    <math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>.
  </list>

  <subsubsection|Aufgabe 2>

  Welche Gegenkraft <math|<wide|F|\<vect\>>> hebt die folgenden vier
  Einzelkräfte, die an einem Massepunkt angreifen, in der Wirkung
  auf?<next-line>

  <space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|1>*=<around*|(|200***N*,*110***N|)>><space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|2>*=<around*|(|-*10***N*,*30***N|)>>

  <space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|3>*=<around*|(|40***N*,*85***N|)>><space|14mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|4>*=*<around*|(|-*30***N*,*-*50***N|)>><next-line><next-line>Von
  welchem Betrag ist <math|<wide|F|\<vect\>>>? Unter welchem Winkel greifen
  <math|<wide|F<rsub|1>|\<vect\>>> und <math|<wide|F<rsub|2>|\<vect\>>> den
  Massepunkt an?

  <subsubsection|Aufgabe 3>

  Gegeben sind: <math|<wide|a|\<vect\>>*=*<around*|(|3*,*-*1*,*2|)>***<text|,
  ><wide|b|\<vect\>>=<around*|(|1*,*2*,*4|)><text|,
  ><wide|c|\<vect\>>=<around*|(|1*,*1*,*1|)>>.

  Berechnen Sie: <\list|<ding|42>| \ \ \ \ \ <assign|makelabel|<macro|1|<with|font-series|bold|<arg|1>>>>>
    <item*|a><math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>**<text|,
    ><wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>**<text|,
    >4*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*<text|,
    >-<frac|1|4>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>><text|,
    >-*5*\<cdot\><wide|c|\<vect\>>>,

    <item*|b><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|><text|,
    ><around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|><text|,
    ><around*|\||<wide|c|\<vect\>>|\|>>,

    <item*|c><math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>,

    <item*|d><math|<wide|a|\<vect\>>*\<times\>*<wide|b|\<vect\>>> und den
    Flächeninhalt des von <math|<wide|a|\<vect\>>> und
    <math|<wide|b|\<vect\>>> aufgespannten Parallelogramms,

    <item*|e><math|<around*|[|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>,<wide|c|\<vect\>>|]>>
    und das Volumen des von <math|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>> und
    <math|<wide|c|\<vect\>>> aufgespannten Spats.
  </list>

  <subsubsection|Aufgabe 4>

  Eine Kraft <math|<wide|F|\<vect\>>> mit
  <math|<around*|\||<wide|F|\<vect\>>|\|>*=*85***N> verschiebt einen
  Massenpunkt um eine Strecke <math|<wide|s|\<vect\>>> mit
  <math|<around*|\||<wide|s|\<vect\>>|\|>*=*32***m>; dabei wird eine Arbeit
  von <math|W*=*1360***J> verrichtet.

  Unter welchem Winkel greift die Kraft an?

  <subsubsection|Aufgabe 5>

  Gegeben sind die folgenden Matrizen:

  <\equation*>
    <tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|A*=<around*|(|<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|0>|<cell|2>>|<row|<cell|0>|<cell|3>|<cell|0>>>>>|)>>>|<row|<cell|B*=<around*|(|<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|4>|<cell|5>>|<row|<cell|0>|<cell|0>>>>>|)>>>|<row|<cell|C*=<around*|(|<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|0>|<cell|1>>|<row|<cell|0>|<cell|-*1>>>>>|)>>>|<row|<cell|D*=<around*|(|<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|3>>|<row|<cell|0>|<cell|2>>>>>|)>>>|<row|<cell|F*=<around*|(|<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|-<frac|3|2>>>|<row|<cell|0>|<cell|<frac|1|2>>>>>>|)>>>|<row|<cell|A*+*B>>|<row|<cell|B*+*C>>|<row|<cell|C*-*D>>|<row|<cell|4*\<cdot\>*F>>|<row|<cell|B*\<cdot\>*A>>|<row|<cell|A*\<cdot\>*B>>|<row|<cell|B*\<cdot\>*C>>|<row|<cell|C*\<cdot\>*B>>|<row|<cell|D*\<cdot\>*F>>|<row|<cell|F*\<cdot\>*D>>|<row|<cell|D>>|<row|<cell|D<rsup|-*1>>>|<row|<cell|A<rsup|t>>>|<row|<cell|B<rsup|t>>>>>>
  </equation*>

  <section|Vektoren im Raum und n-dimensionale Vektoren - Übersicht>

  <subsection|03_1 Veranschaulichung von Vektoren im Raum>

  <\big-figure>
    <minipage|[b].4<linewidth> <image|VeranschaulichungVonVektorenImRaum01||||>
    > <space|.1><minipage|[b].4<linewidth>
    <image|VeranschaulichungVonVektorenImRaum02||||> >
  </big-figure|<math|P***u***n***k***t*(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>*)>>

  <space|20mm><math|<wide|a|\<vect\>>*=*(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>*)><htab|1fn>auch
  üblich <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1><next-line>a<rsub|2><next-line>a<rsub|3>|\<nobracket\>>>

  <right|)>\<leftarrow\> Tripel<space|20mm>

  <subsection|03_1 Menge aller Vektoren im Raum / Menge aller n-dimensionalen
  Vektoren>

  <image|MengeAllerVektorenImRaum||||>

  <vspace|-15mm>

  <subsection|03_1 Addition von n-dimensionalen Vektoren>

  <\tabbing>
    Die Addition liefert wieder einen Vektor.<next-line><next-line>Berechnung:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>>,<space|10mm>
    <math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*b<rsub|n>|)>><next-line><next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>=*<around*|(|a<rsub|1>*+*b<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>*+*b<rsub|n>|)>><next-line><next-line>

    Rechenregeln wie für <math|n*=*2>.
  </tabbing>

  <subsection|03_1 n-dimensionaler Nullvektor>

  <\tabbing>
    <\>><\>><math|<wide|0|\<vect\>>*=<around*|(|0*,*\<ldots\>*,*0|)>><next-line><next-line>Rechenregeln
    wie für <math|n*=*2>.
  </tabbing>

  <subsection|03_2 Subtraktion von n-dimensionalen Vektoren>

  <\tabbing>
    Die Subtraktion liefert wieder einen Vektor.<next-line><next-line>Berechnung:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>>,<space|10mm>
    <math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*b<rsub|n>|)>><next-line><next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>=*<around*|(|a<rsub|1>*-*b<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>*-*b<rsub|n>|)>><next-line><next-line>

    Rechenregeln und Zusammenhang mit der Subtraktion wie für <math|n*=*2>.
  </tabbing>

  <subsection|03_2 Multiplikation von einem n-dimensionale Vektor mit einem
  Skalar>

  <\tabbing>
    Die Multiplikation liefert wieder einen
    Vektor.<next-line><next-line>Berechnung:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>>,
    <space|5mm><math|k*\<in\><IR>><next-line><next-line><\>><\>><math|k*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|k*\<cdot\>*a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*k*\<cdot\>*a<rsub|n>|)>><next-line><next-line>

    Rechenregeln und Zusammenhang mit der Subtraktion wie für <math|n*=*2>.
  </tabbing>

  <new-page>

  <subsection|03_2 "`Kanonische"' n-dimensionale Basisvektoren>

  <\tabbing>
    <image|KanonischeVektorenImRaum||||><next-line><next-line><\>>Darstellung
    von <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>>:<next-line>

    <\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=*a<rsub|1><wide|e<rsub|1>|\<vect\>>+*\<ldots\>*+*a<rsub|n><wide|e<rsub|n>|\<vect\>>=*<big|sum><rsub|i*=*1><rsup|n>a<rsub|i><wide|e<rsub|i>|\<vect\>>>
  </tabbing>

  <subsection|03_2 Eine Linearkombination von m n-dimensionalen Vektoren
  <math|<wide|a<rsub|1>|\<vect\>>,*\<ldots\>*,<wide|a<rsub|m>|\<vect\>>>>

  <\tabbing>
    <\>>ist ein Ausdruck der Form<next-line><\>><math|k<rsub|1>*\<cdot\><wide|a<rsub|1>|\<vect\>>+*\<ldots\>*+*k<rsub|m>*\<cdot\><wide|a<rsub|m>|\<vect\>>=*<big|sum><rsub|j*=*1><rsup|m>k<rsub|j>*\<cdot\><wide|a<rsub|j>|\<vect\>>><next-line>
  </tabbing>

  <subsection|03_2 Lineare Abhängigkeit von n-dimensionalen Vektoren>

  <\tabbing>
    <\>><math|<wide|a<rsub|1>|\<vect\>>,*\<ldots\>*,<wide|a<rsub|m>|\<vect\>>>
    sind linear abhängig, falls sich einer der Vektoren als Linearkombination
    der restlichen<next-line><\>>darstellen
    lässt.<next-line><\>>Gegenteil:<wide*|lineare
    Unabhängigkeit|\<bar\>><next-line>
  </tabbing>

  <\itemize>
    <item>Lineare Abhängigkeit für drei Vektoren im Raum:

    <\itemize>
      <item>anderer Name: Komplanarität

      <item>Anschauung für <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>|)>>,
      <math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>*,*b<rsub|3>|)>>,
      <math|<wide|c|\<vect\>>=<around*|(|c<rsub|1>*,*c<rsub|2>*,*c<rsub|3>|)>>:<next-line>die
      Punkte <math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>|)>>,
      <math|<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>*,*b<rsub|3>|)>> und
      <math|<around*|(|c<rsub|1>*,*c<rsub|2>*,*c<rsub|3>|)>> liegen auf einer
      Ebene durch den Nullpunkt.
    </itemize>
  </itemize>

  <subsection|04_1 Länge (Norm) eines n-dimensionalen Vektors>

  <\tabbing>
    <\>>Berechnung:<next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>><next-line><\>><\>><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*=<sqrt|a<rsub|1><rsup|2>*+*\<ldots\>*+*a<rsub|n><rsup|2>>*=<sqrt|<big|sum><rsub|i*=*1><rsup|n>a<rsub|i><rsup|2>>><next-line><next-line>

    <\>>Rechenregeln wie für <math|n*=*2><next-line><next-line><\>>für
    <math|n*=*3> ist <math|\|*<wide|a|\<vect\>>*\<\|\|\>> auch der Abstand
    der Punkte <math|<around*|(|0*,*0*,*0|)>> und
    <math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>|)>><next-line><next-line><\>>für
    <math|n*=*3>, <math|<wide|a|\<vect\>><around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>|)>>,
    <math|<wide|b|\<vect\>><around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>*,*b<rsub|3>|)>><next-line><\>>ist
    <math|\<\|\|\>*<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>\<\|\|\>> auch der
    Abstand der Punkte <math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>|)>><next-line><\>>und
    <math|<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>*,*b<rsub|3>|)>>
  </tabbing>

  <subsection|04_1 n-dimensionale Einheitsvektoren>

  <\tabbing>
    <\>>sind Vektoren der Länge 1
  </tabbing>

  <subsection|04_1 Skalarprodukt von zwei n-dimensionalen Vektoren>

  <\tabbing>
    <\>>liefert einen Skalar<next-line><\>>Berechnung:
    <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>>,
    <math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*b<rsub|n>|)>><next-line><\>><math|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*=*a<rsub|1>***b<rsub|1>*+*\<ldots\>*+*a<rsub|n>***b<rsub|1>*=*<big|sum><rsub|i*=*1><rsup|n>a<rsub|i>***b<rsub|i>><next-line><\>>Rechenregeln
    wie für <math|n*=*2>
  </tabbing>

  <subsection|04_1 Öffnungswinkel zwischen zwei n-dimensionalen Vektoren
  <math|<wide|a|\<vect\>>*\<ne\>*<wide|0|\<vect\>>> und
  <math|<wide|b|\<vect\>>\<ne\>*<wide|0|\<vect\>>>>

  <\tabbing>
    <\>>Berechnung: <math|cos <around*|(|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>|)>*=<frac|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>>,<next-line><\>>wobei
    <math|0*\<le\>*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>*\<le\>*\<pi\>>
    im Bogenmaß<next-line><\>>(d.h. <math|0<rsup|0>*\<le\>*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>*\<le\>*180<rsup|0>>
    im Gradmaß),<next-line><\>>also wie für <math|n*=*2>
  </tabbing>

  <clearemptydoublepage>

  <chapter|Lösungen>

  <section|Aufgabe 1><label|A001>

  Gegeben sind: <space|10mm><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|3*,*4|)>>,<space|5mm><math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|10*,*5|)>>,<space|5mm><math|<wide|c|\<vect\>>=*<wide|a|\<vect\>>*-<frac|1|2>***<wide|b|\<vect\>>>

  <\list|<ding|42>| \ \ \ \ \ <assign|makelabel|<macro|1|<with|font-series|bold|<arg|1>>>>>
    <item*|a>Bestimmen Sie <math|<wide|c|\<vect\>>> durch Zeichnung und
    Rechnung!

    <item*|b>Bestimmen Sie <math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>>,
    <math|<around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>,
    <math|<around*|\||<wide|c|\<vect\>>|\|>>.

    <item*|c>Bestimmen Sie den Öffnungswinkel
    <math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,<wide|c|\<vect\>>|)>> und
    <math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>.
  </list>

  <subsection|Lösung>

  <subsubsection|Zeichnung>

  <\list|<ding|42>| \ \ \ \ \ <assign|makelabel|<macro|1|<with|font-series|bold|<arg|1>>>>>
    <item*|a><image|Loesung0001||||>
  </list>

  <subsubsection|Rechnung>

  <\list|<ding|42>| \ \ \ \ \ <assign|makelabel|<macro|1|<with|font-series|bold|<arg|1>>>>>
    <item*|a><math|<wide*|<wide*|<wide|c|\<vect\>>|\<bar\>>|\<bar\>>=*<wide|a|\<vect\>>*-<frac|1|2>***<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|3*,*4|)>*-<frac|1|2><around*|(|10*,*5|)>*=<around*|(|3*,*4|)>*-<around*|(|10*\<cdot\><frac|1|2>*,*5*\<cdot\><frac|1|2>|)>*=<around*|(|3*,*4|)>*-<around*|(|5*,<frac|5|2>|)>*=*<around*|(|3*-*5*,*4*-<frac|5|2>|)>*=<wide*|<wide*|<around*|(|-*2*,<frac|3|2>|)>|\<bar\>>|\<bar\>>>

    <item*|b><math|<wide*|<wide*|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>|\<bar\>>|\<bar\>>=<around*|\||<around*|(|3*,*4|)>|\|>*=<sqrt|3<rsup|2>*+*4<rsup|2>>*=<sqrt|9*+*16>*=<sqrt|25>*=<wide*|<wide*|5|\<bar\>>|\<bar\>>><next-line><next-line><math|<wide*|<wide*|<around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>|\<bar\>>|\<bar\>>=<around*|\||<around*|(|10*,*6|)>|\|>*=<sqrt|10<rsup|2>*+*5<rsup|2>>*=<sqrt|100*+*25>*=<sqrt|125>*=<sqrt|5*\<cdot\>*25>*=*5**<sqrt|5>*\<cong\><wide*|<wide*|11.18033988|\<bar\>>|\<bar\>>><next-line><math|<wide*|<wide*|<around*|\||<wide|c|\<vect\>>|\|>|\<bar\>>|\<bar\>>=<around*|\||<around*|(|-*2*,<frac|3|2>|)>|\|>*=<sqrt|<around*|(|-*2|)><rsup|2>*+<around*|(|<frac|3|2>|)><rsup|2>>*=<sqrt|4*+<frac|9|4>>*=<sqrt|<frac|16*+*9|4>>*=<sqrt|<frac|25|4>>*=<wide*|<wide*|<frac|5|2>|\<bar\>>|\<bar\>>>

    <item*|c><math|\<alpha\>*=*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,<wide|c|\<vect\>>|)>***<text|,
    >0*\<le\>*\<alpha\>*\<le\>*\<pi\>><next-line><vspace|2mm>
    <space|-1.5mm><math|cos <around*|(|\<alpha\>|)>*=<frac|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,<wide|c|\<vect\>>|\<rangle\>>|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|c|\<vect\>>|\|>>*=<rsub|v***g***l.***b.><frac|<around*|\<langle\>|<around*|(|3*,*4|)>*,<around*|(|-*2*,<frac|3|2>|)>|\<rangle\>>|5*\<cdot\><frac|5|2>>*=<frac|3*\<cdot\><around*|(|-*2|)>*+*4*\<cdot\><frac|3|2>|<frac|25|2>>*=<frac|-*6*+*6|<frac|25|2>>*=*0*\<Rightarrow\><wide*|<wide*|\<alpha\>*=<frac|\<pi\>|2>|\<bar\>>|\<bar\>><around*|(|<entspricht>90<rsup|\<circ\>>|)>><next-line><vspace|5mm>

    <math|\<beta\>*=*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>,
    <math|0*\<le\>*\<beta\>*\<le\>*\<pi\>><next-line><vspace|2mm>
    <space|-1.5mm><math|cos <around*|(|\<beta\>|)>*=<frac|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>*=<rsub|v***g***l.***b.><frac|<around*|\<langle\>|<around*|(|3*,*4|)>*,<around*|(|10*,*5|)>|\<rangle\>>|5*\<cdot\>*5*\<cdot\><sqrt|5>>*=<frac|3*\<cdot\>*10*+*4*\<cdot\>*5|25*\<cdot\><sqrt|5>>*=<frac|50|25*\<cdot\><sqrt|5>>*=<frac|2|<sqrt|5>>>.<next-line>Es
    folgt:<next-line><math|\<beta\>*=*cos<rsup|-*1><around*|(|<frac|2|<sqrt|5>>|)>*=*arccos<around*|(|<frac|2|<sqrt|5>>|)>*\<cong\><wide*|<wide*|0.463647609|\<bar\>>|\<bar\>><around*|(|<entspricht>26.565051177078<rsup|\<circ\>>|)>>
  </list>

  <section|Aufgabe 2>

  Welche Gegenkraft <math|<wide|F|\<vect\>>> hebt die folgenden vier
  Einzelkräfte, die an einem Massepunkt angreifen, in der Wirkung
  auf?<next-line>

  <space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|1>*=<around*|(|200***N*,*110***N|)>><space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|2>*=<around*|(|-*10***N*,*30***N|)>>

  <space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|3>*=<around*|(|40***N*,*85***N|)>><space|14mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|4>*=*<around*|(|-*30***N*,*-*50***N|)>><next-line><next-line>Von
  welchem Betrag ist <math|<wide|F|\<vect\>>>? Unter welchem Winkel greifen
  <math|<wide|F<rsub|1>|\<vect\>>> und <math|<wide|F<rsub|2>|\<vect\>>> den
  Massepunkt an?

  <subsection|Lösung>

  <math|<overrightarrow>F*=*-*<around*|(|<overrightarrow|F<rsub|1>>+<overrightarrow|F<rsub|2>>+<overrightarrow|F<rsub|3>>+<overrightarrow|F<rsub|4>>|)><next-line>=*-*<around*|(|200***N*-*10***N*+*40***N*-*30***N*,*110***N*+*30***N*+*85***N*-*50***N|)><next-line>=*-<around*|(|200***N*,*175***N|)><next-line>=<wide*|<wide*|<around*|(|-*200***N*,*-*175***N|)>|\<bar\>>|\<bar\>>><next-line>

  <math|<wide*|<wide*|<overrightarrow>F|\<bar\>>|\<bar\>>=<sqrt|-<around*|(|200|)><rsup|2>*+<around*|(|-*175|)><rsup|2>>***N*=<sqrt|<around*|(|8*\<cdot\>*25|)><rsup|2>*+<around*|(|7*\<cdot\>*25|)><rsup|2>>***N*=*25*\<cdot\><sqrt|113>***N<entspricht><wide*|<wide*|265.7536453***N|\<bar\>>|\<bar\>>><next-line><next-line>Der
  gesuchte Winkel sei <math|\<alpha\>*<text|,
  >0*\<leq\>*\<alpha\>*\<leq\>*\<pi\>>.<next-line>Dann gilt:
  <math|cos<around*|(|\<alpha\>|)>*=<frac|<around*|\<langle\>|<overrightarrow|F<rsub|1>>,<overrightarrow|F<rsub|2>>|\<rangle\>>|<around*|\||<overrightarrow|F<rsub|1>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<overrightarrow|F<rsub|2>>|\|>>>.
  <math|<with|font-size|2|\<otimes\>>>

  <\math>
    <around*|\<langle\>|<wide|F|\<vect\>><rsub|1>*,<math-ordinary|<frac|<buildrel|<lower>3***p***t<math|<with|math-level|2|\<rightharpoonup\>>>>|F>><rsub|2>|\<rangle\>>*=<around*|\<langle\>|<around*|(|200***N*,*110***N|)>*,<around*|(|-*10***N*,*30***N|)>|\<rangle\>>*=*-*2000***N<rsup|2>*+*3300***N<rsup|2>*=*1300***N<rsup|2>
  </math>

  <\math>
    <around*|\||<wide|F|\<vect\>><rsub|1>|\|>*=<sqrt|<around*|(|200|)><rsup|2>*+<around*|(|110|)><rsup|2>>***N*\<cong\>*228.2542442***N
  </math>

  <math|<around*|\||<wide|F|\<vect\>><rsub|2>|\|>*=<sqrt|<around*|(|-*10|)><rsup|2>*+<around*|(|30|)><rsup|2>>***N*\<cong\>*31.6227766***N><next-line>

  Das Einsetzen in <math|<with|font-size|2|\<otimes\>>> ergibt:

  <\math>
    cos <around*|(|\<alpha\>|)>*\<cong\>*0.1801044696*\<Rightarrow\>*arccos
    <around*|(|\<alpha\>|)>*\<cong\><wide*|<wide*|1.38970367|\<bar\>>|\<bar\>><around*|(|<text|<with|font-family|rm|79><with|font-family|rm|.62415508>><rsup|\<circ\>>|)>
  </math>

  <clearemptydoublepage>

  <assign|appendixname|<macro|Anhang>> <assign|bibname|<macro|Literatur>>
</body>

<\references>
  <\collection>
    <associate|A001|<tuple|1|?>>
    <associate|auto-1|<tuple|1|?>>
    <associate|auto-10|<tuple|3|?>>
    <associate|auto-11|<tuple|1.6|?>>
    <associate|auto-12|<tuple|4|?>>
    <associate|auto-13|<tuple|1.7|?>>
    <associate|auto-14|<tuple|1.8|?>>
    <associate|auto-15|<tuple|1.9|?>>
    <associate|auto-16|<tuple|5|?>>
    <associate|auto-17|<tuple|1.10|?>>
    <associate|auto-18|<tuple|1.11|?>>
    <associate|auto-19|<tuple|1.12|?>>
    <associate|auto-2|<tuple|1|?>>
    <associate|auto-20|<tuple|6|?>>
    <associate|auto-21|<tuple|1.13|?>>
    <associate|auto-22|<tuple|1.13.1|?>>
    <associate|auto-23|<tuple|1.13.2|?>>
    <associate|auto-24|<tuple|1.13.3|?>>
    <associate|auto-25|<tuple|1.13.4|?>>
    <associate|auto-26|<tuple|1.13.5|?>>
    <associate|auto-27|<tuple|2|?>>
    <associate|auto-28|<tuple|2.1|?>>
    <associate|auto-29|<tuple|7|?>>
    <associate|auto-3|<tuple|1.1|?>>
    <associate|auto-30|<tuple|2.2|?>>
    <associate|auto-31|<tuple|2.3|?>>
    <associate|auto-32|<tuple|2.4|?>>
    <associate|auto-33|<tuple|2.5|?>>
    <associate|auto-34|<tuple|2.6|?>>
    <associate|auto-35|<tuple|2.7|?>>
    <associate|auto-36|<tuple|2.8|?>>
    <associate|auto-37|<tuple|2.9|?>>
    <associate|auto-38|<tuple|2.10|?>>
    <associate|auto-39|<tuple|2.11|?>>
    <associate|auto-4|<tuple|1|?>>
    <associate|auto-40|<tuple|2.12|?>>
    <associate|auto-41|<tuple|2.13|?>>
    <associate|auto-42|<tuple|2|?>>
    <associate|auto-43|<tuple|1|?>>
    <associate|auto-44|<tuple|1.1|?>>
    <associate|auto-45|<tuple|1.1.1|?>>
    <associate|auto-46|<tuple|1.1.2|?>>
    <associate|auto-47|<tuple|2|?>>
    <associate|auto-48|<tuple|2.1|?>>
    <associate|auto-5|<tuple|1.2|?>>
    <associate|auto-6|<tuple|1.3|?>>
    <associate|auto-7|<tuple|2|?>>
    <associate|auto-8|<tuple|1.4|?>>
    <associate|auto-9|<tuple|1.5|?>>
  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|figure>
      <tuple|normal|Punkt <with|mode|<quote|math>|(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*)>|<pageref|auto-4>>

      <tuple|normal|Addition von Vektoren
      <with|mode|<quote|math>|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>>|<pageref|auto-7>>

      <tuple|normal|Subtraktion von Vektoren
      <with|mode|<quote|math>|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>>|<pageref|auto-10>>

      <tuple|normal|Multiplikation von Vektoren
      <with|mode|<quote|math>|<wide|a|\<vect\>>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>>|<pageref|auto-12>>

      <tuple|normal|Länge (Norm) eines Vektors in der
      Ebene|<pageref|auto-16>>

      <tuple|normal|Öffnungswinkel zwischen zwei Vektoren in der
      Ebene|<pageref|auto-20>>

      <tuple|normal|<with|mode|<quote|math>|P***u***n***k***t*(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>*)>|<pageref|auto-29>>
    </associate>
    <\associate|toc>
      <vspace*|2fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|font-size|<quote|1.19>|Lineare
      Algebra> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-1><vspace|1fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Vektoren
      in der Ebene - Übersicht> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-2><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|01_1 Veranschaulichung von Vektoren in der
      Ebene <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-3>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|01_1 Menge aller Vektoren in der Ebene
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-5>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|01_1 Addition von Vektoren in der Ebene
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-6>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|01_2 Nullvektor in der Ebene
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-8>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|01_2 Subtraktion von Vektoren in der Ebene
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-9>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|01_2 Multiplikation von einem Vektor mit
      einem Skalar (einer Zahl) <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-11>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|02_1 "`Kanonische"' Basisvektoren in der
      Ebene <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-13>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|02_1 Lineare Abhängigkeit (Kollinearität)
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-14>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|02_1 Länge (Norm) eines Vektors in der
      Ebene <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-15>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|02_2 Einheitsvektoren
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-17>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|02_2 Skalarprodukt von zwei Vektoren in
      der Ebene <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-18>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|02_2 Öffnungswinkel zwischen zwei Vektoren
      <with|mode|<quote|math>|<wide|a|\<vect\>>*\<neq\>*0>,
      <with|mode|<quote|math>|<wide|b|\<vect\>>\<neq\>*0> in der Ebene
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-19>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Aufgaben - Vektoren in der Ebene
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-21>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Aufgabe 1
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-22>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Aufgabe 2
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-23>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Aufgabe 3
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-24>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Aufgabe 4
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-25>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Aufgabe 5
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-26>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Vektoren
      im Raum und n-dimensionale Vektoren - Übersicht>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-27><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|03_1 Veranschaulichung von Vektoren im
      Raum <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-28>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|03_1 Menge aller Vektoren im Raum / Menge
      aller n-dimensionalen Vektoren <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-30>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|03_1 Addition von n-dimensionalen Vektoren
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-31>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|03_1 n-dimensionaler Nullvektor
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-32>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|03_2 Subtraktion von n-dimensionalen
      Vektoren <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-33>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|03_2 Multiplikation von einem
      n-dimensionale Vektor mit einem Skalar
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-34>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|03_2 "`Kanonische"' n-dimensionale
      Basisvektoren <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-35>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|03_2 Eine Linearkombination von m
      n-dimensionalen Vektoren <with|mode|<quote|math>|<wide|a<rsub|1>|\<vect\>>,*\<ldots\>*,<wide|a<rsub|m>|\<vect\>>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-36>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|03_2 Lineare Abhängigkeit von
      n-dimensionalen Vektoren <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-37>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|04_1 Länge (Norm) eines n-dimensionalen
      Vektors <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-38>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|04_1 n-dimensionale Einheitsvektoren
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-39>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|04_1 Skalarprodukt von zwei
      n-dimensionalen Vektoren <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-40>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|04_1 Öffnungswinkel zwischen zwei
      n-dimensionalen Vektoren <with|mode|<quote|math>|<wide|a|\<vect\>>*\<ne\>*<wide|0|\<vect\>>>
      und <with|mode|<quote|math>|<wide|b|\<vect\>>\<ne\>*<wide|0|\<vect\>>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-41>>

      <vspace*|2fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|font-size|<quote|1.19>|Lösungen>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-42><vspace|1fn>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Aufgabe
      1> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-43><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Lösung
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-44>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Zeichnung
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-45>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|Rechnung
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-46>>

      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Aufgabe
      2> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-47><vspace|0.5fn>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|Lösung
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-48>>
    </associate>
  </collection>
</auxiliary>