init

Aufgaben/Aufg003.tex

@@ -0,0 +1,82 @@
+
+\documentclass{article}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
+%TCIDATA{Version=5.50.0.2890}
+%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
+%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
+%TCIDATA{Created=Saturday, April 30, 2011 16:26:47}
+%TCIDATA{LastRevised=Saturday, April 30, 2011 16:44:31}
+%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
+%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Standard LaTeX\Blank - Standard LaTeX Article">}
+%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
+
+\newtheorem{theorem}{Theorem}
+\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
+\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
+\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
+\newtheorem{case}[theorem]{Case}
+\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
+\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
+\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
+\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
+\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
+\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
+\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
+\newtheorem{example}[theorem]{Example}
+\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
+\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
+\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
+\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
+\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
+\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
+\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
+\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
+\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
+\input{tcilatex}
+\begin{document}
+
+
+\section{Aufgabe 3}
+
+Gegeben sind: $\vec{a}=\left(3,-1,2\right)\text{, }\vec{b}=\left(1,2,4\right)%
+\text{, }\vec{c}=\left(1,1,1\right)$.
+
+Berechnen Sie:
+
+\begin{description}
+\item[a.] ds\"{o}lfkj\"{o}dsak
+
+\item[b.] fsdfsd
+
+\item[c.] 
+\end{description}
+
+\subsection{L\"{o}sung}
+
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.3cm}
+\setlength{\itemsep}{0.3cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{1mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]$\underline{\underline{\vec{a}+\vec{b}}}=\left(3,-1,2\right)+\left(1,2,4\right)=\left(3+1,-1+2,2+4\right)=\underline{\underline{\left(4,1,6\right)}}$ \\
+$\underline{\underline{\vec{a}-\vec{b}}}=\left(3,-1,2\right)-\left(1,2,4\right)=\left(3-1,-1-2,2-4\right)=\underline{\underline{\left(2,-3,-2\right)}}$ \\
+$\underline{\underline {4 \cdot \vec a}}  = 4 \cdot \left( {3. - 1,2} \right) = \left( {4 \cdot 3,4 \cdot \left( { - 1} \right),4 \cdot 2} \right) = \underline{\underline {\left( {12, - 4,8} \right)}} $\\
+$ \underline{\underline { - \frac{1}{4} \cdot \vec b}}  =  - \frac{1}{4} \cdot \left( {1,2,4} \right) = \left( {\left( { - \frac{1}{4}} \right) \cdot 1,\left( { - \frac{1}{4}} \right) \cdot 2,\left( { - \frac{1}{4}} \right) \cdot 4} \right) = \underline{\underline {\left( { - \frac{1}{4}, - \frac{1}{2}, - 1} \right)}} $ \\
+$ \underline{\underline { - 5 \cdot \vec c}}  =  - 5 \cdot \left( {1,1,1} \right) = \underline{\underline {\left( { - 5, - 5, - 5} \right)}}  $
+\item[b.]$ \underline{\underline {\left| {\vec a} \right|}}  = \left| {\left( {3, - 1,4} \right)} \right| = \sqrt {3^2  + \left( { - 1} \right)^2  + 2^2 }  = \sqrt {9 + 1 + 4}  = \underline{\underline {\sqrt {14} }}  \cong 3.741657387 \\
+ \underline{\underline {\left| {\vec b} \right|}}  = \left| {\left( {1,2,4} \right)} \right| = \sqrt {1^2  + 2^2  + 4^2 }  = \sqrt {1 + 4 + 16}  = \underline{\underline {\sqrt {21} }}  \cong 4.582575695 \\
+ \underline{\underline {\left| {\vec c} \right|}}  = \left| {\left( {1,1,1} \right)} \right| = \sqrt {1^2  + 1^2  + 1^2 }  = \underline{\underline {\sqrt 3 }}  \cong 1.732050808 $
+ \item[c.] Sei $ \alpha = \alpha \left( {\vec a,\vec b} \right)$, dann gilt $0 \le \alpha  \le \pi$ und
+ $\cos \left( \alpha  \right) = \frac{{\left\langle {\vec a,\vec b} \right\rangle }}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}}\mathop  = \limits_{vgl.b.} \frac{{\left\langle {\left( {3, - 1,2} \right),\left( {1,2,4} \right)} \right\rangle }}{{\sqrt {14}  \cdot \sqrt {21} }} = \frac{{3 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 2 + 2 \cdot 4}}{{7 \cdot \sqrt 2  \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{3 - 2 + 8}}{{7 \cdot \sqrt 2  \cdot \sqrt 3 }} = \frac{9}{{7 \cdot \sqrt 2  \cdot \sqrt 3 }} $\\
+ Der Taschenrechner liefert : $\underline{\underline {\alpha  \cong 1.018209678}}\entspricht 58.33911721^ \circ  $
+\item[d.]$ \underline{\underline{\vec a \times \vec b }}= \left( {3, - 1,2} \right) \times \left( {1,2,4} \right) = \left( {\left( { - 1} \right) \cdot 4 - 2 \cdot 2,2 \cdot 1 - 4 \cdot 3,3 \cdot 2 - 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4 - 4,2 - 12,6 + 1} \right) = \underline{\underline {\left( { - 8, - 10,7} \right)}}$  \\
+    Der gesuchte Fl<46>cheninhalt $F$ ist $F = \left| {\vec a \times \vec b} \right| = \sqrt {\left( { - 8} \right)^2  + \left( { - 10} \right)^2  + 7^2 }  = \sqrt {64 + 100 + 49}  = \underline{\underline {\sqrt {213} }}$  $ \left( { \cong 14.59451952} \right)$
+\item[e.]$ \left[ {\vec a,\vec b,\vec c} \right] = \left\langle {\vec a \times \vec b,\vec c} \right\rangle \mathop  = \limits_{vgl.d.} \left\langle {\left( { - 8, - 10,7} \right),\left( {1,1,1} \right)} \right\rangle  =  - 8 - 10 + 7 = \underline{\underline { - 11}} $ \\
+    Das gesuchte Volumen ist $\underline{\underline V}  = \left| {\left[ {\vec a,\vec b,\vec c} \right]} \right| = \left| { - 11} \right| = \underline{\underline {11}}$
+\end{list}
+
+\end{document}

Aufgaben/Aufg120.tex

@@ -0,0 +1,96 @@
+\documentclass{article}%
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{graphicx}%
+\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
+%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
+%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
+%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
+%TCIDATA{Created=Saturday, December 30, 2006 12:55:45}
+%TCIDATA{LastRevised=Saturday, January 06, 2007 22:30:18}
+%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
+%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
+%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
+%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Standard LaTeX\Blank - Standard LaTeX Article">}
+%TCIDATA{ComputeGeneralSettings=0,10,6,0,0,0,0}
+%BeginMSIPreambleData
+\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
+%EndMSIPreambleData
+\newtheorem{theorem}{Theorem}
+\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
+\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
+\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
+\newtheorem{case}[theorem]{Case}
+\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
+\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
+\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
+\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
+\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
+\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
+\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
+\newtheorem{example}[theorem]{Example}
+\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
+\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
+\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
+\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
+\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
+\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
+\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
+\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
+\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
+\begin{document}
+Aufgabe 120
+
+Sei $x=%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{\infty}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}}
+%EndExpansion
+\left(  -1\right)  ^{k}\frac{1}{k};$ \ $\widetilde{x}=%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{4}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{4}}
+%EndExpansion
+\left(  -1\right)  ^{k}\frac{1}{k!}$
+
+\begin{description}
+\item[a.] Mit Hilfe von welcher speziellen Funktion l\"{a}\ss t sich $x$ genau
+beschreiben? Wie? (Tip: 3.3.5)
+
+\item[b.] Berechnen Sie $\widetilde{x}$.
+
+\item[c.] Geben Sie einen absoluten H\"{o}chstfehler von $\widetilde{x}$ an.
+(Tip: 3.2.7)
+\end{description}
+
+L\"{o}sung:
+
+\begin{description}
+\item[a.] $\exp(z)=%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{\infty}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}}
+%EndExpansion
+\frac{1}{k!}z^{k}$ \ $\Longrightarrow$ \ \ $x=%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{\infty}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}}
+%EndExpansion
+\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\exp(-1)=\underline{\underline{\frac{1}{e}}}$
+
+\item[b.] $\widetilde{x}=%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=0}^{4}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{4}}
+%EndExpansion
+\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\allowbreak1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}%
+=\frac{12-4+1}{24}=\allowbreak\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\allowbreak
+\underline{\underline{0.375}}\,$
+
+\item[c.] Da die vorliegende Reihe eine alternierende Reihe ist, gilt $|x-\widetilde{x}|\leq\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}$.\\
+    Damit ist $\underline{\underline{\alpha_x=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}}}$ ein absoluter H<>chstfehler von $\widetilde{x}$
+\end{description}
+
+
+\end{document} 

Aufgaben/Aufg125.tex

@@ -0,0 +1,173 @@
+\documentclass{article}%
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{graphicx}%
+\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
+%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
+%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
+%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
+%TCIDATA{Created=Saturday, December 30, 2006 12:55:45}
+%TCIDATA{LastRevised=Friday, January 05, 2007 12:09:26}
+%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
+%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
+%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
+%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Standard LaTeX\Blank - Standard LaTeX Article">}
+%TCIDATA{ComputeGeneralSettings=0,10,6,0,0,0,0}
+%BeginMSIPreambleData
+\providecommand{\U}[1]{\protect\rule{.1in}{.1in}}
+%EndMSIPreambleData
+\newtheorem{theorem}{Theorem}
+\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
+\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
+\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
+\newtheorem{case}[theorem]{Case}
+\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
+\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
+\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
+\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
+\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
+\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
+\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
+\newtheorem{example}[theorem]{Example}
+\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
+\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
+\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
+\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
+\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
+\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
+\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
+\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
+\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
+\begin{document}
+Aufgabe 125
+
+Gegeben sei das eindeutig l\"{o}sbare lineare Gleichungssystem $\ A\cdot
+\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$ mit
+
+$A=\left(
+\begin{array}
+[c]{cccccc}%
+4 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\
+-1 & 4 & -1 & 0 & -1 & 0\\
+0 & -1 & 4 & 0 & 0 & -1\\
+-1 & 0 & 0 & 4 & -1 & 0\\
+0 & -1 & 0 & -1 & 4 & -1\\
+0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 4
+\end{array}
+\right)  $, $\overrightarrow{b}=\left(
+\begin{array}
+[c]{c}%
+2\\
+1\\
+2\\
+2\\
+1\\
+2
+\end{array}
+\right)  $
+
+\begin{itemize}
+\item[a.] Sei $\overrightarrow{x}^{\left(  0\right)  }=\overrightarrow{0}$.
+Berechnen Sie die N\"{a}herungsl\"{o}sung $\overrightarrow{x}^{\left(
+3\right)  }$\ des Systems, die man nach 3 Schritten des
+Gesamtschrittverfahrens erh\"{a}lt.
+
+\item[b.] Zeigen Sie, da\ss \ das Gesamtschrittverfahren konvergiert.
+
+\item[c.] F\"{u}hren Sie eine Apeoteriori-Fehlerabsch\"{a}tzung f\"{u}r
+$\overrightarrow{x}^{\left(  3\right)  }$\ durch.
+
+\item[d.] F\"{u}hren Sie eine Apriori-Fehlerabsch\"{a}tzung f\"{u}r
+$\overrightarrow{x}^{\left(  10\right)  }$\ durch.
+\end{itemize}
+
+L\"{o}sung:
+
+\begin{itemize}
+\item[a.] Rechenvorschriften:\newline$x_{1}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}%
+{4}\left(  2+x_{2}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{4}^{\left(  Z-1\right)  }\right)
+=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{4}^{\left(
+Z-1\right)  }$\newline$x_{2}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
+1+x_{1}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{3}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{5}^{\left(
+Z-1\right)  }\right)  =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}x_{1}^{\left(  Z-1\right)
+}+\frac{1}{4}x_{3}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left(
+Z-1\right)  }$\newline$x_{3}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
+2+x_{2}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{6}^{\left(  Z-1\right)  }\right)  =\frac
+{1}{2}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{6}^{\left(
+Z-1\right)  }$\newline$x_{4}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
+2+x_{1}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{5}^{\left(  Z-1\right)  }\right)  =\frac
+{1}{2}+\frac{1}{4}x_{1}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left(
+Z-1\right)  }$\newline$x_{5}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
+1+x_{2}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{4}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{6}^{\left(
+Z-1\right)  }\right)  =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left(  Z-1\right)
+}+\frac{1}{4}x_{4}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{6}^{\left(
+Z-1\right)  }$\newline$x_{6}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
+2+x_{3}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{5}^{\left(  Z-1\right)  }\right)  =\frac
+{1}{2}+\frac{1}{4}x_{3}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left(
+Z-1\right)  }$\newline%
+\begin{tabular}
+[c]{l||llllll}%
+z & $x_{1}^{\left(  Z\right)  }$ & $x_{2}^{\left(  Z\right)  }$ &
+$x_{3}^{\left(  Z\right)  }$ & $x_{4}^{\left(  Z\right)  }$ & $x_{5}^{\left(
+Z\right)  }$ & $x_{6}^{\left(  Z\right)  }$\\\hline\hline
+1 & $0.5$ & $0.25$ & $0.5$ & $0.5$ & $0.25$ & $0.5$\\
+2 & $0.6875$ & $0.5625$ & $0.6875$ & $0.6875$ & $0.5625$ & $0.6875$\\
+3 & $0.8125$ & $0.734325$ & $0.8125$ & $0.8125$ & $0.734375$ & $0.8125$%
+\end{tabular}
+\newline
+
+$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}^{\left(  3\right)  }=\left(
+0.8125;\text{ }0.734325;\text{ }0.8125;\text{ }0.8125;\text{ }0.734375;\text{
+}0.8125\right)  $
+
+\item[b.] Berechnung der Kontraktionszahl $\lambda$\newline\newline$%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq1}}^{6}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq1}}^{6}}
+%EndExpansion
+\left\vert \frac{a_{1j}}{a_{11}}\right\vert =0.5;$ \ \ $%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq2}}^{6}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq2}}^{6}}
+%EndExpansion
+\left\vert \frac{a_{2j}}{a_{22}}\right\vert =0.75;$ \ \ $%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq3}}^{6}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq3}}^{6}}
+%EndExpansion
+\left\vert \frac{a_{3j}}{a_{33}}\right\vert =0.5;$\newline\newline$%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq4}}^{6}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq4}}^{6}}
+%EndExpansion
+\left\vert \frac{a_{4j}}{a_{44}}\right\vert =0.5;$ \ \ $%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq5}}^{6}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq5}}^{6}}
+%EndExpansion
+\left\vert \frac{a_{5j}}{a_{55}}\right\vert =0.75;$ \ \ $%
+%TCIMACRO{\dsum \limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq6}}^{6}}%
+%BeginExpansion
+{\displaystyle\sum\limits_{\genfrac{.}{.}{0pt}{1}{j=1}{j\neq6}}^{6}}
+%EndExpansion
+\left\vert \frac{a_{6j}}{a_{66}}\right\vert =0.5;$\newline\newline%
+$\lambda=\max\{0.5;0.75\}=\underline{\underline{0.75}}$\newline$\lambda
+<1\Longrightarrow$ \underline{das Gesamtschrittverfahren konvergiert} f\"{u}r
+jeden Startvektor
+
+\item[c.] $\underset{i=1,...,6}{\max}\left\vert x_{i}^{\left(  3\right)
+}-x_{i}\right\vert \leq\frac{\lambda}{1-\lambda}$ \ \ \ $\underset
+{i=1,...,6}{\max}\left\vert x_{i}^{\left(  3\right)  }-x_{i}^{\left(
+2\right)  }\right\vert =\frac{0.75}{0.25}\cdot0.171875=\allowbreak
+\underline{\underline{0.515\,625}}\,$
+
+\item[d.] $\underset{i=1,...,6}{\max}\left\vert x_{i}^{\left(  10\right)
+}-x_{i}\right\vert \leq\frac{\lambda^{10}}{1-\lambda}$ \ \ $\underset
+{i=1,...,6}{\max}\left\vert x_{i}^{\left(  1\right)  }-x_{i}^{\left(
+0\right)  }\right\vert =\frac{0.75^{10}}{0.25}\cdot0.5=\underline{\underline{\allowbreak
+0.112\,627\,029\,\allowbreak4}}$
+\end{itemize}
+
+
+\end{document}

Aufgaben/Aufg125swp.tex

@@ -0,0 +1,73 @@
+
+\documentclass{article}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
+%TCIDATA{Version=5.50.0.2890}
+%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
+%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
+%TCIDATA{Created=Saturday, December 30, 2006 12:55:45}
+%TCIDATA{LastRevised=Saturday, December 30, 2006 13:08:01}
+%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
+%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Standard LaTeX\Blank - Standard LaTeX Article">}
+%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
+
+\newtheorem{theorem}{Theorem}
+\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
+\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
+\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
+\newtheorem{case}[theorem]{Case}
+\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
+\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
+\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
+\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
+\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
+\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
+\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
+\newtheorem{example}[theorem]{Example}
+\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
+\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
+\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
+\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
+\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
+\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
+\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
+\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
+\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
+\input{tcilatex}
+
+\begin{document}
+
+
+Aufgabe 125
+
+Gegeben sei das eindeutig l\"{o}sbare lineare Gleichungssystem $\ A\cdot 
+\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$ mit 
+
+$A=\left( 
+\begin{array}{cccccc}
+4 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 
+-1 & 4 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 
+0 & -1 & 4 & 0 & 0 & -1 \\ 
+-1 & 0 & 0 & 4 & -1 & 0 \\ 
+0 & -1 & 0 & -1 & 4 & -1 \\ 
+0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 4%
+\end{array}%
+\right) $, $\overrightarrow{b}=\left( 
+\begin{array}{c}
+2 \\ 
+1 \\ 
+2 \\ 
+2 \\ 
+1 \\ 
+2%
+\end{array}%
+\right) $
+
+a.\qquad Sei $\overrightarrow{x}^{\left( 0\right) }=\overrightarrow{0}$.
+Berechnen Sie die N\"{a}herungsl\"{o}sung $\overrightarrow{x}^{\left(
+3\right) }$\ des Systems, die man nach 3 Schritten des
+Gesamtschrittverfahrens erh\"{a}lt.
+
+b.
+
+\end{document}

Aufgaben/Loesung001-tmp0.tex

@@ -0,0 +1 @@
+$a=(3,4)$$b=(10,5)$$c=a-\frac{1}{2}b$$c$$|a|$$|b|$$|c|$$(a,c)$$(a,b)$$c=a-\frac{1}{2}b=(3,4)-\frac{1}{2}(10,5)=(3,4)-(10\frac{1}{2},5\frac{1}{2})=(3,4)-(5,\frac{5}{2})=(3-5,4-\frac{5}{2})=(-2,\frac{3}{2})$$|a|=|(3,4)|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$|b|=|(10,6)|=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=\sqrt{525}=5\sqrt{5}11.18033988$$|c|=|(-2,\frac{3}{2})|=\sqrt{(-2)^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{16+9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$$=(a,c)0$$()=\frac{a,c}{|a||c|}%TCIMACRO{{=}}%%BeginExpansion{=}%EndExpansion_vgl.b.\frac{(3,4),(-2,\frac{3}{2})}{5\frac{5}{2}}=\frac{3(-2)+4\frac{3}{2}}{\frac{25}{2}}=\frac{-6+6}{\frac{25}{2}}=0=\frac{}{2}(90^)$$=(a,b)$$0$$()=\frac{a,b}{|a||b|}%TCIMACRO{{=}}%%BeginExpansion{=}%EndExpansion_vgl.b.\frac{(3,4),(10,5)}{55\sqrt{5}}=\frac{310+45}{25\sqrt{5}}=\frac{50}{25\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$=^-1(\frac{2}{\sqrt{5}})=%TCIMACRO{{arccos}}%%BeginExpansion{arccos}%EndExpansion(\frac{2}{\sqrt{5}})0.463647609(26.565051177078^)$

Aufgaben/Loesung001.tex

@@ -0,0 +1,58 @@
+\section{Aufgabe 1}
+
+Gegeben sind: \hspace{10mm}$\vec a = \left( {3,4} \right)$,\hspace{5mm}$\vec b = \left( {10,5} \right)$,\hspace{5mm}$ \vec c =
+\vec a - \frac{1} {2}\vec b$
+
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.3cm}
+\setlength{\itemsep}{0.3cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]Bestimmen Sie $\vec c$ durch Zeichnung und Rechnung!
+\item[b.]Bestimmen Sie $\left|\vec a\right|$, $\left|\vec b\right|$, $\left|\vec c\right|$.
+\item[c.]Bestimmen Sie den <20>ffnungswinkel $\alpha \left( {\vec a,\vec c} \right)$ und $\alpha \left( {\vec a,\vec b} \right)$.
+\end{list}
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung}
+\subsubsection{Zeichnung}
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.3cm}
+\setlength{\itemsep}{0.3cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]\includegraphics{Loesung001}
+\end{list}
+
+\subsubsection{Rechnung}
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.3cm}
+\setlength{\itemsep}{0.3cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]$\underline{\underline{\vec c}} = \vec a - \frac{1} {2}\vec b = \left( {3,4} \right) - \frac{1} {2}\left( {10,5}
+\right) = \left( {3,4} \right) - \left( {10 \cdot \frac{1} {2},5 \cdot \frac{1} {2}} \right) = \left( {3,4} \right) - \left({5,\frac{5}{2}} \right) =\left( {3 - 5,4 - \frac{5} {2}} \right) = \underline{\underline {\left( { - 2,\frac{3} {2}} \right)}}$
+\item[b.]$\underline{\underline {\left| {\vec a} \right|}}  = \left| {\left( {3,4} \right)} \right| = \sqrt {3^2  + 4^2 }  = \sqrt {9 +
+16}  = \sqrt {25}  = \underline{\underline 5}$\\ \\%
+$\underline{\underline {\left| {\vec b} \right|}}  = \left| {\left( {10,6} \right)} \right| = \sqrt {10^2  + 5^2 }  = \sqrt
+{100 + 25}  = \sqrt {125}  = \sqrt {5 \cdot 25}  = 5\sqrt 5  \cong \underline{\underline {11.18033988}}$\\%
+$\underline{\underline {\left| {\vec c} \right|}} = \left| {\left( { - 2,\frac{3}{2}} \right)} \right| = \sqrt {\left( { - 2} \right)^2  + \left( {\frac{3}{2}} \right)^2 }  = \sqrt {4 + \frac{9}{4}}  = \sqrt {\frac{{16 + 9}}{4}}  = \sqrt {\frac{{25}}{4}}  = \underline{\underline {\frac{5}{2}}} $
+\item[c.]$\alpha  = \alpha \left( {\vec a,\vec c} \right)\text{, }0 \le \alpha  \le \pi$\\
+\vspace{2mm}
+\hspace{-1.5mm}$\cos \left( \alpha  \right) = \frac{{\left\langle {\vec a,\vec c} \right\rangle }}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec c} \right|}}\mathop  = \limits_{vgl.b.} \frac{{\left\langle {\left( {3,4} \right),\left( { - 2,\frac{3}{2}} \right)} \right\rangle }}{{5 \cdot \frac{5}{2}}} = \frac{{3 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 \cdot \frac{3}{2}}}{{\frac{{25}}{2}}} = \frac{{ - 6 + 6}}{{\frac{{25}}{2}}} = 0 \Rightarrow \underline{\underline {\alpha  = \frac{\pi }{2}}} \left( { \entspricht 90^ \circ  } \right)$
+
+$\beta  = \alpha \left( {\vec a,\vec b} \right)$, $0 \le \beta  \le \pi$\\
+\vspace{2mm}
+\hspace{-1.5mm}$\cos \left( \beta  \right) = \frac{{\left\langle {\vec a,\vec b} \right\rangle }}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}}\mathop  = \limits_{vgl.b.}\frac{{\left\langle {\left( {3,4} \right),\left( {10,5} \right)} \right\rangle }}{{5 \cdot 5 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{3 \cdot 10 + 4 \cdot 5}}{{25 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{50}}{{25 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} $.\\
+Es folgt:\\
+$\beta = \cos^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt 5}\right)= \arccos\left(\frac{2}{\sqrt 5}\right) \cong  \underline{\underline{0.463647609}} \left( \entspricht 26.565051177078^\circ \right)$
+
+\end{list}

Aufgaben/Loesung001.tex.sav

@@ -0,0 +1,62 @@
+\section{Aufgabe 1}
+
+Gegeben sind: \hspace{10mm}$\vec a = \left( {3,4} \right)$,\hspace{5mm}$\vec b = \left( {10,5} \right)$,\hspace{5mm}$ \vec c =
+\vec a - \frac{1} {2}\vec b$
+
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.5cm}
+\setlength{\itemsep}{0.5cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]Bestimmen Sie $\vec c$ durch Zeichnung und Rechnung!
+\item[b.]Bestimmen Sie $\left|\vec a\right|$, $\left|\vec b\right|$, $\left|\vec c\right|$.
+\item[c.]Bestimmen Sie den <20>ffnungswinkel $\alpha \left( {\vec a,\vec c} \right)$ und $\alpha \left( {\vec a,\vec b} \right)$.
+\end{list}
+
+\subsection{L<>sung}
+\subsubsection{Zeichnung}
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.5cm}
+\setlength{\itemsep}{0.5cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]\includegraphics{Loesung0001}
+\end{list}
+
+\subsubsection{Rechnung}
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.5cm}
+\setlength{\itemsep}{0.5cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]$\underline{\underline{\vec c}} = \vec a - \frac{1} {2}\vec b = \left( {3,4} \right) - \frac{1} {2}\left( {10,5}
+\right) = \left( {3,4} \right) - \left( {10 \cdot \frac{1} {2},5 \cdot \frac{1} {2}} \right) = \left( {3,4} \right) - \left({5,\frac{5}{2}} \right) =\left( {3 - 5,4 - \frac{5} {2}} \right) = \underline{\underline {\left( { - 2,\frac{3} {2}} \right)}}$
+\item[b.]$\underline{\underline {\left| {\vec a} \right|}}  = \left| {\left( {3,4} \right)} \right| = \sqrt {3^2  + 4^2 }  = \sqrt {9 +
+16}  = \sqrt {25}  = \underline{\underline 5}$\\ \\%
+$\underline{\underline {\left| {\vec b} \right|}}  = \left| {\left( {10,6} \right)} \right| = \sqrt {10^2  + 5^2 }  = \sqrt
+{100 + 25}  = \sqrt {125}  = \sqrt {5 \cdot 25}  = 5\sqrt 5  \cong \underline{\underline {11.18033988}}$\\%
+$\underline{\underline {\left| {\vec c} \right|}} = \left| {\left( { - 2,\frac{3}{2}} \right)} \right| = \sqrt {\left( { - 2} \right)^2  + \left( {\frac{3}{2}} \right)^2 }  = \sqrt {4 + \frac{9}{4}}  = \sqrt {\frac{{16 + 9}}{4}}  = \sqrt {\frac{{25}}{4}}  = \underline{\underline {\frac{5}{2}}} $
+\item[c.]$\alpha  = \alpha \left( {\vec a,\vec c} \right)\text{, }0 \le \alpha  \le \pi$\\
+\vspace{2mm}
+\hspace{-1.5mm}$\cos \left( \alpha  \right) = \frac{{\left\langle {\vec a,\vec c} \right\rangle }}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec c} \right|}}\mathop  = \limits_{vgl.b.} \frac{{\left\langle {\left( {3,4} \right),\left( { - 2,\frac{3}{2}} \right)} \right\rangle }}{{5 \cdot \frac{5}{2}}} = \frac{{3 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 \cdot \frac{3}{2}}}{{\frac{{25}}{2}}} = \frac{{ - 6 + 6}}{{\frac{{25}}{2}}} = 0 \Rightarrow \underline{\underline {\alpha  = \frac{\pi }{2}}} \left( { \entspricht 90^ \circ  } \right)$
+\\
+\vspace{5mm}
+
+$\beta  = \alpha \left( {\vec a,\vec b} \right)$, $0 \le \beta  \le \pi$\\
+\vspace{2mm}
+\hspace{-1.5mm}$\cos \left( \beta  \right) = \frac{{\left\langle {\vec a,\vec b} \right\rangle }}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}}\mathop  = \limits_{vgl.b.}\frac{{\left\langle {\left( {3,4} \right),\left( {10,5} \right)} \right\rangle }}{{5 \cdot 5 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{3 \cdot 10 + 4 \cdot 5}}{{25 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{50}}{{25 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} $.\\
+Es folgt:\\
+$\beta  \cos^{-1} \left(\frac{2}{sqrt 5}\right) \cong  $
+
+
+
+\end{list}

Aufgaben/Loesung002.tex

@@ -0,0 +1,30 @@
+\section{Aufgabe 2}
+Welche Gegenkraft $\vec F$ hebt die folgenden vier Einzelkr<6B>fte, die an einem Massepunkt angreifen, in der Wirkung
+auf?\\
+
+    \hspace{10mm}$  \vec F_1  = \left( {200N,110N} \right)$\hspace{10mm}$\vec F_2  = \left( { - 10N,30N} \right)$ 
+
+    \hspace{10mm}$  \vec F_3  = \left( {40N,85N} \right)$\hspace{14mm}$\vec F_4  = \left( { - 30N, - 50N} \right)$\\ \\
+Von welchem Betrag ist $\vec{F}$? Unter welchem Winkel greifen $\vec{F_1}$ und $\vec{F_2}$ den Massepunkt an?
+\subsection{L<EFBFBD>sung}
+$ \overrightarrow F  =  - \left( {\overrightarrow {F_1 }  + \overrightarrow {F_2 }  + \overrightarrow {F_3 }  + \overrightarrow {F_4 } } \right)\\
+=  - \left( {200N - 10N + 40N - 30N,110N + 30N + 85N - 50N} \right)\\
+=  - \left( {200N,175N} \right) \\
+= \underline{\underline {\left( { - 200N, - 175N} \right)}}$\\
+
+$\underline{\underline {\overrightarrow F }}  = \sqrt { - \left( {200} \right)^2  + \left( { - 175} \right)^2 } N =\sqrt {\left( {8 \cdot 25} \right)^2  + \left( {7 \cdot 25} \right)^2 } N =25\cdot \sqrt{113}N \entspricht \underline{\underline{265.7536453 N}} $\\
+\\
+Der gesuchte Winkel sei $\alpha \text{, } 0\leq\alpha\leq \pi$.
+\\
+Dann gilt: $\cos\left(\alpha \right)=\frac{{\left\langle {\overrightarrow {F_1 } ,\overrightarrow {F_2 } } \right\rangle }}{{\left| {\overrightarrow {F_1 } } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {F_2 } } \right|}}$. ${\Huge \otimes}$
+
+$ \left\langle {\vec F_1 ,\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} 
+\over F} _2 } \right\rangle  = \left\langle {\left( {200N,110N} \right),\left( { - 10N,30N} \right)} \right\rangle  =  - 2000N^2  + 3300N^2  = 1300N^2 $
+
+$\left| {\vec F_1 } \right| = \sqrt {\left( {200} \right)^2  + \left( {110} \right)^2 } N \cong 228.2542442N$
+
+$\left| {\vec F_2 } \right| = \sqrt {\left( { - 10} \right)^2  + \left( {30} \right)^2 } N \cong 31.6227766N$\\
+
+Das Einsetzen in ${\Huge \otimes}$ ergibt: 
+
+$\cos \left( \alpha  \right) \cong 0.1801044696 \Rightarrow \arccos \left( \alpha  \right) \cong \underline{\underline{1.38970367}} \left( {{\rm 79}{\rm .62415508}^ \circ  } \right) $

Aufgaben/Loesung002.tex.sav

@@ -0,0 +1,21 @@
+\section{Aufgabe 2}
+Welche Gegenkraft $\vec F$ hebt die folgenden vier Einzelkr<6B>fte, die an einem Massepunkt angreifen, in der Wirkung
+auf?\\
+
+    \hspace{10mm}$  \vec F_1  = \left( {200N,110N} \right)$\hspace{10mm}$\vec F_2  = \left( { - 10N,30N} \right)$ 
+
+    \hspace{10mm}$  \vec F_3  = \left( {40N,85N} \right)$\hspace{14mm}$\vec F_4  = \left( { - 30N, - 50N} \right)$\\ \\
+Von welchem Betrag ist $\vec{F}$? Unter welchem Winkel greifen $\vec{F_1}$ und $\vec{F_2}$ den Massepunkt an?
+\subsection{L<>sung}
+$ \overrightarrow F  =  - \left( {\overrightarrow {F_1 }  + \overrightarrow {F_2 }  + \overrightarrow {F_3 }  + \overrightarrow {F_4 } } \right)\\
+=  - \left( {200N - 10N + 40N - 30N,110N + 30N + 85N - 50N} \right)\\
+=  - \left( {200N,175N} \right) \\
+= \underline{\underline {\left( { - 200N, - 175N} \right)}}$\\
+
+$\underline{\underline {\overrightarrow F }}  = \sqrt { - \left( {200} \right)^2  + \left( { - 175} \right)^2 } N =\sqrt {\left( {8 \cdot 25} \right)^2  + \left( {7 \cdot 25} \right)^2 } N =25\cdot \sqrt{113}N \entspricht \underline{\underline{265.7536453 N}} $\\
+\\
+Der gesuchte Winkel sei $\alpha \text{, } 0\leq\alpha\leq \pi$.
+\\
+Dann gilt: $\cos\left(\alpha \right)=\frac{{\left\langle {\overrightarrow {F_1 } ,\overrightarrow {F_2 } } \right\rangle }}{{\left| {\overrightarrow {F_1 } } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {F_2 } } \right|}}$. ${\Huge\ast}$
+
+

Aufgaben/Loesung003.tex

@@ -0,0 +1,44 @@
+\section{Aufgabe 3}
+Gegeben sind: $\vec{a}=\left(3,-1,2\right)\text{, }\vec{b}=\left(1,2,4\right)\text{, }\vec{c}=\left(1,1,1\right)$.
+
+Berechnen Sie:
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.3cm}
+\setlength{\itemsep}{0.3cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{1mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]$\vec{a}+\vec{b}\text{, }\vec{a}-\vec{b}\text{, }4\cdot\vec{a}\text{, }-\frac{1}{4}\cdot\vec{b}\text{, }-5\cdot\vec{c}$,
+\item[b.]$\left|\vec{a}\right|\text{, }\left|\vec{b}\right|\text{, }\left|\vec{c}\right|$,
+\item[c.]$\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)$,
+\item[d.]$\vec{a}\times\vec{b}$ und den Fl<46>cheninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms,
+\item[e.]$\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]$ und das Volumen des von $\vec{a},\vec{b}$ und $\vec{c}$ aufgespannten Spats.
+\end{list}
+\subsection{L<EFBFBD>sung}
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.3cm}
+\setlength{\itemsep}{0.3cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{1mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]$\underline{\underline{\vec{a}+\vec{b}}}=\left(3,-1,2\right)+\left(1,2,4\right)=\left(3+1,-1+2,2+4\right)=\underline{\underline{\left(4,1,6\right)}}$ \\
+$\underline{\underline{\vec{a}-\vec{b}}}=\left(3,-1,2\right)-\left(1,2,4\right)=\left(3-1,-1-2,2-4\right)=\underline{\underline{\left(2,-3,-2\right)}}$ \\
+$\underline{\underline {4 \cdot \vec a}}  = 4 \cdot \left( {3. - 1,2} \right) = \left( {4 \cdot 3,4 \cdot \left( { - 1} \right),4 \cdot 2} \right) = \underline{\underline {\left( {12, - 4,8} \right)}} $\\
+$ \underline{\underline { - \frac{1}{4} \cdot \vec b}}  =  - \frac{1}{4} \cdot \left( {1,2,4} \right) = \left( {\left( { - \frac{1}{4}} \right) \cdot 1,\left( { - \frac{1}{4}} \right) \cdot 2,\left( { - \frac{1}{4}} \right) \cdot 4} \right) = \underline{\underline {\left( { - \frac{1}{4}, - \frac{1}{2}, - 1} \right)}} $ \\
+$ \underline{\underline { - 5 \cdot \vec c}}  =  - 5 \cdot \left( {1,1,1} \right) = \underline{\underline {\left( { - 5, - 5, - 5} \right)}}  $
+\item[b.]$ \underline{\underline {\left| {\vec a} \right|}}  = \left| {\left( {3, - 1,4} \right)} \right| = \sqrt {3^2  + \left( { - 1} \right)^2  + 2^2 }  = \sqrt {9 + 1 + 4}  = \underline{\underline {\sqrt {14} }}  \cong 3.741657387 \\
+ \underline{\underline {\left| {\vec b} \right|}}  = \left| {\left( {1,2,4} \right)} \right| = \sqrt {1^2  + 2^2  + 4^2 }  = \sqrt {1 + 4 + 16}  = \underline{\underline {\sqrt {21} }}  \cong 4.582575695 \\
+ \underline{\underline {\left| {\vec c} \right|}}  = \left| {\left( {1,1,1} \right)} \right| = \sqrt {1^2  + 1^2  + 1^2 }  = \underline{\underline {\sqrt 3 }}  \cong 1.732050808 $
+ \item[c.] Sei $ \alpha = \alpha \left( {\vec a,\vec b} \right)$, dann gilt $0 \le \alpha  \le \pi$ und
+ $\cos \left( \alpha  \right) = \frac{{\left\langle {\vec a,\vec b} \right\rangle }}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}}\mathop  = \limits_{vgl.b.} \frac{{\left\langle {\left( {3, - 1,2} \right),\left( {1,2,4} \right)} \right\rangle }}{{\sqrt {14}  \cdot \sqrt {21} }} = \frac{{3 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 2 + 2 \cdot 4}}{{7 \cdot \sqrt 2  \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{3 - 2 + 8}}{{7 \cdot \sqrt 2  \cdot \sqrt 3 }} = \frac{9}{{7 \cdot \sqrt 2  \cdot \sqrt 3 }} $\\
+ Der Taschenrechner liefert : $\underline{\underline {\alpha  \cong 1.018209678}}\entspricht 58.33911721^ \circ  $
+\item[d.]$ \underline{\underline{\vec a \times \vec b }}= \left( {3, - 1,2} \right) \times \left( {1,2,4} \right) = \left( {\left( { - 1} \right) \cdot 4 - 2 \cdot 2,2 \cdot 1 - 4 \cdot 3,3 \cdot 2 - 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4 - 4,2 - 12,6 + 1} \right) = \underline{\underline {\left( { - 8, - 10,7} \right)}}$  \\
+    Der gesuchte Fl<46>cheninhalt $F$ ist $F = \left| {\vec a \times \vec b} \right| = \sqrt {\left( { - 8} \right)^2  + \left( { - 10} \right)^2  + 7^2 }  = \sqrt {64 + 100 + 49}  = \underline{\underline {\sqrt {213} }}$  $ \left( { \cong 14.59451952} \right)$
+\item[e.]$ \left[ {\vec a,\vec b,\vec c} \right] = \left\langle {\vec a \times \vec b,\vec c} \right\rangle \mathop  = \limits_{vgl.d.} \left\langle {\left( { - 8, - 10,7} \right),\left( {1,1,1} \right)} \right\rangle  =  - 8 - 10 + 7 = \underline{\underline { - 11}} $ \\
+    Das gesuchte Volumen ist $\underline{\underline V}  = \left| {\left[ {\vec a,\vec b,\vec c} \right]} \right| = \left| { - 11} \right| = \underline{\underline {11}}$
+\end{list}
+

Aufgaben/Loesung004.tex

@@ -0,0 +1,9 @@
+\section{Aufgabe 4}
+Die Kraft $\vec{F}$ mit $\left|\vec{F}\right|=85N$ verschiebt einen Massenpunkt um eine Strecke $\vec s$ mit $\left|\vec{s}\right|=32m$; dabei wird eine Arbeit von $W=1360J$ verrichtet.
+Unter welchen Winkel greift die Kraft an?
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung}
+Gesucht ist $\alpha = \alpha\left(\vec{F},\vec{a}\right)$. \\
+Es gilt $0\leq\alpha\leq\pi$ und $\cos\left(\alpha\right)=\frac{\left\langle \vec{F},\vec{s}\right\rangle}{\left| \vec{F} \right| \cdot \left| \vec{s} \right|}=\frac{W}{\left| \vec{F} \right| \cdot \left| \vec{s} \right|}=\frac{1360J}{32 \cdot 85 N\cdot m}=\frac{1360}{2720}=\frac{1}{2}$. \\
+Es folgt: $\underline{\underline{\alpha=\frac{\pi}{3}}}$ in Bogenma<6D> bzw. $\underline{\underline{\alpha = 60^ \circ  }}$
+ im Gradma<6D>.

Aufgaben/Loesung005.tex

@@ -0,0 +1,87 @@
+\section{Aufgabe 5}
+Gegeben sind die folgenden Matrizen:\\
+$A = \left( {\begin{array}{*{20}c}
+   1 & 0 & 2  \\
+   0 & 3 & 0  \\
+\end{array}} \right) \text{, } B = \left( {\begin{array}{*{20}c}
+   4 & 5  \\
+   0 & 0  \\
+\end{array}} \right)  \text{, } C = \left( {\begin{array}{*{20}c}
+   0 & 1  \\
+   0 & { - 1}  \end{array}} \right)  \text{, } D = \left( {\begin{array}{*{20}c}
+   1 & 3  \\
+   0 & 2  \\
+\end{array}} \right)  \text{, } F = \left( {\begin{array}{*{20}c}
+   1 & { - \frac{3}{2}}  \\
+   0 & {\frac{1}{2}}  \\
+\end{array}} \right) $
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{3mm}
+\setlength{\itemsep}{3mm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]Berechnen Sie die folgenden Matrizen bzw. begr<67>nden Sie das Nichterkl<6B>rtsein:\\
+$A+B\text{, }B+C\text{, }C-D\text{, }4\cdot F$
+\item[b.]Berechnen Sie die folgenden Matrizen bzw. begr<67>nden Sie das Nichterkl<6B>rtsein:\\
+$B\cdot A\text{, }A\cdot B\text{, }B\cdot C\text{, }C\cdot B$\\
+\item[c.]Berechnen Sie $D\cdot F$ und $F\cdot D$. Folgern Sie, da<64> $D$ invertierbar ist und geben Sie $D^{-1}$ an.
+\item[d.]Berechnen Sie $A^t$ und $B^t$.
+\end{list}
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung}
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{3mm}
+\setlength{\itemsep}{3mm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]\underline{\underline{$A+B$ ist nicht erkl<6B>rt}}, da $A$ und $B$ unterschiedliches Format haben.\\
+$ \underline{\underline {B + C}}  = \left( {\begin{array}{cc}
+   4 & 5  \\
+   0 & 0  \\
+\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{cc}
+   0 & 1  \\
+   0 & { - 1}  \\
+\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{cc}
+   {4 + 0} & {5 + 1}  \\
+   {0 + 0} & {0 + \left( { - 9} \right)}  \\
+\end{array}} \right) = \underline{\underline {\left( {\begin{array}{cc}
+   4 & 6  \\
+   0 & { - 1}  \\
+\end{array}} \right)}} $ \\ 
+
+$\underline{\underline {C - D}}  = \left( {\begin{array}{cc}
+   0 & 1  \\
+   0 & { - 1}  \\
+\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{cc}
+   1 & 3  \\
+   0 & 2  \\
+\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{cc}
+   {0 - 1} & {1 - 3}  \\
+   {0 - 0} & { - 1 - 2}  \\
+\end{array}} \right) = \underline{\underline {\left( {\begin{array}{cc}
+   { - 1} & { - 2}  \\
+   0 & { - 3}  \\
+\end{array}} \right)}} $\\
+
+$\underline{\underline {4 \cdot F}}  = 4 \cdot \left( {\begin{array}{cc}
+   1 & { - \frac{3}{2}}  \\
+   0 & {\frac{1}{2}}  \\
+\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{cc}
+   {4 \cdot 1} & {4 \cdot \left( { - \frac{3}{2}} \right)}  \\
+   {4 \cdot 0} & {4 \cdot \frac{1}{2}}  \\
+\end{array}} \right) = \underline{\underline {\left( {\begin{array}{cc}
+   4 & { - 6}  \\
+   0 & 2  \\
+\end{array}} \right)}} $
+
+
+
+
+
+\end{list}

Aufgaben/Loesung006.tex

@@ -0,0 +1,53 @@
+\section{Aufgabe 6}
+%\begin{floatingfigure}[l]{72mm}
+%\begin{wrapfigure}[1]{l}{72mm}
+%   \includegraphics{Aufgabe006}
+%\end{wrapfigure}
+%\end{floatingfigure}
+
+\begin{figure}[htbp]
+     \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+      \centering
+       \includegraphics{Aufgabe006}
+      \end{minipage}\hfill
+    \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+Gegeben ist der folgende Vierpol:\\
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.3cm}
+\setlength{\itemsep}{0.3cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]Bestimmen Sie eine Matrix\\$A$ mit $
+A \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
+   {I_1 }  \\
+   {I_2 }  \\
+\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
+   {U_1 }  \\
+   {U_2 }  \\
+\end{array}} \right)$
+($A$ hei<65>t Widerstandsmatrix)
+\item[b.]Berechnen Sie $U_1$ und $U_2$ mit Hilfe von a. f<>r folgende Werte:
+$R_1  = 10\Omega\text{, }R_2  = 20\Omega \text{, }I_1  = 0.5A\text{, }I_2  = 2A.$
+\end{list}
+     \end{minipage}
+   \end{figure}
+
+
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung}
+Vorab:
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.2cm}
+\setlength{\itemsep}{0.1cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[1)]$I_1+I_2-I=0$
+\item[2)]$U_1-R_2I-R_1I_1=0$
+\item[1)]$U_2-R_2T-R_1I_2=0$
+\end{list} 

Aufgaben/Loesung007.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 7}
+xyz
+\subsection{L<EFBFBD>sung}

Aufgaben/Loesung008.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Aufgabe 8}
+xyz 

Aufgaben/Loesung009.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Aufgabe 9}
+xyz 

Aufgaben/Loesung010.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\section{Aufgabe 10}
+%\begin{floatingfigure}[l]{72mm}
+%\includegraphics{Aufgabe010}
+%\end{floatingfigure}
+
+%\begin{wrapfigure}[5]{l}{75mm}
+%    \includegraphics{Aufgabe010}
+%\end{wrapfigure}
+
+\begin{figure}[htbp]
+     \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+      \centering
+       \includegraphics{Aufgabe010}
+      \end{minipage}\hfill
+    \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+    Gegeben ist die folgende Schaltung:\\
+    wobei $U_2=20V\text{, }U_1=-10V\text{, }R_1=6\Omega\text{, }R_2=2\Omega\text{, }R_3=3\Omega\text{.}$\\
+    Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von $I_1\text{, }I_2\text{, }I_3$ in Matrixform auf.\\ \\
+    L<>sen Sie es mit dem Gau<61>algorithmus.
+     \end{minipage}
+   \end{figure}
+
+
+
+
+
+
+
+%\parpic[l]{\framebox{\includegraphics{Aufgabe010}}}
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung}
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.2cm}
+\setlength{\itemsep}{0.1cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[Knotengleichung A:]$I_1+I_2-I_3=0$
+\item[Maschengleichung I:]sdfsdfsdfsdfsd
+\item[Maschengleichung II:]fsdfsd
+\end{list} 

Aufgaben/Loesung011.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 11}
+\includegraphics{Aufgabe011}
+xyz 

Aufgaben/Loesung012.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 12}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung013.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 13}
+xyz
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung014.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Aufgabe 14}
+xyz 

Aufgaben/Loesung015.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 15}
+xyz
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung016.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Aufgabe 16}
+xyz 

Aufgaben/Loesung017.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 17}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung018.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 18}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung019.tex

@@ -0,0 +1,5 @@
+\section{Aufgabe 19}
+\includegraphics{Aufgabe019}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung020.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 20}
+xyz
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung021.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 21}
+xyz
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung022.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 22}
+xyz
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung023.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 23}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung024.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 24}
+xyz
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung025.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 25}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung026.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 26}
+\includegraphics{Aufgabe026}
+xyz 
+\subsection{L<EFBFBD>sung}

Aufgaben/Loesung027.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 27}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung028.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 28}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung029.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 29}
+\includegraphics{Aufgabe029}
+xyz
+\subsection{L<EFBFBD>sung}

Aufgaben/Loesung030.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 30}
+xyz 
+\subsection{L<EFBFBD>sung}

Aufgaben/Loesung031.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 31}
+xyz 
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung032.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Aufgabe 32}
+xyz 

Aufgaben/Loesung033.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Aufgabe 33}
+xyz 

Aufgaben/Loesung034.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Aufgabe 34}
+xyz 

Aufgaben/Loesung035.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Aufgabe 35}
+xyz 

Aufgaben/Loesung036.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Aufgabe 36}
+xyz 

Aufgaben/Loesung037.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 37}
+xyz 
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung038.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 38}
+xyz 
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung039.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 39}
+xyz 
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung040.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section{Aufgabe 40}
+xyz 
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung041.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 41}
+xyz
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung042.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 42}
+xyz
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung043.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 43}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung044.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 44}
+xyz
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung045.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 45}
+xyz
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung046.tex

@@ -0,0 +1,5 @@
+\section{Aufgabe 46}
+xyz 
+
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung047.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 47}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung048.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 48}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung049.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 49}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung050.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 50}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung051.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 51}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung052.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 52}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung053.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 53}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung054.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 54}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung054.tex.undo

@@ -0,0 +1,3 @@
+x<EFBFBD><EFBFBD>f``<08>s<EFBFBD><73><EFBFBD><0E>30bd<06>A<EFBFBD>	<09><> @J3<02><> `<60>!i
+<EFBFBD>d<EFBFBD>
+<EFBFBD><14> <20>1ťIũ<49>%<25><>y<EFBFBD>>ߊK<DF8A><4B>k@<40>
?/<18>

Aufgaben/Loesung055.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 55}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung056.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 56}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung057.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\section{Aufgabe 57}
+xyz 

Aufgaben/Loesung057.tex.undo

@@ -0,0 +1,2 @@
+x<EFBFBD><EFBFBD>f``<08>s<EFBFBD><73><EFBFBD><0E>30bd<02>aX<61>
<02><>4H<34><48><EFBFBD>?0#<23>
+"ɚ<><C99A>d
<01><>/

Aufgaben/Loesung058.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 58}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung059.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 59}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung} 

Aufgaben/Loesung060.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\section{Aufgabe 60}
+xyz 
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung}