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mathefhtw/Loesung124.tex

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+\section{Aufgabe 124}
+Es sei $I=\left[3.6;3.7\right]$ und $f:I\rightarrow\IR$ definiert durch $f(x)=\ln(x)-\arctan(x)$.
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.2cm}
+\setlength{\itemsep}{0.1cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]Zeigen Sie, da<64> $f$ genau eine Nullstelle $\overline{x}$ hat.
+\item[b.]Zeigen Sie f<>r $g:I\rightarrow\IR$ mit $g(x)=\exp\left(\arctan\left(x\right)\right)$.
+\noindent \\$f\left(\overline{x}\right)=0\Leftrightarrow g\left(\overline{x}\right)=\overline{x}$.
+\item[c.]Zeigen Sie, da<64> die Folge $(x_n)$ mit $x_{n+1}=g(x_n)$ f<>r jeden Startwert $x\in I$ gegen $\overline{x}$ konvergiert.
+\item[d.]Berechnen Sie f<>r $x_0=3.6$ den Wert von $x_3$ als N<>herung f<>r $\overline{x}$ und sch<63>tzen Sie den Fehler $\left|\overline{x}-x_3\right|$ ab.
+\item[e.]Bestimmen Sie durch eine Apriori-Fehlerabsch<63>tzung ein m<>glichst kleines $n$ mit $\left|\overline{x}-x_n\right|\leq 10^{-6}$
+\end{list}
+
+\subsection{L<EFBFBD>sung}
+\begin{list}{\ding{42}}
+{\setlength{\topsep}{0.2cm}
+\setlength{\itemsep}{0.1cm}
+\setlength{\leftmargin}{6mm}
+\setlength{\labelwidth}{4mm}
+\setlength{\parsep}{2mm}
+\setlength{\labelsep}{2mm}
+\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
+\item[a.]$\left.
+\hspace{-1.5mm}\begin{array}
+[l]{l}%
+f(3.6)\cong -0.01891563099\\
+f(3.7)\cong 1.500216481\cdot 10^{-3}
+\end{array}
+\right\} \overset{\text{$f$ stetig}}{\underset{4.1.5}{\Longrightarrow}}\text{\underline{\underline{$f$ hat mindestens eine Nullstelle }}}$ \\
+$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2-x+1}{x\left(x^2+1\right)}$
+\item[b.]xyz
+\item[c.]xyz
+\item[d.]xyz
+\item[e.]xyz
+\end{list}
+
+%$\begin{cases}
+%2 & \text{ f<>r } ddd\\
+
+%3 & \text{ f<>r }s
+%\end{cases}$
+
+%$\left.  \right\rbrace$
+
+
+
+%$\left. {A \over B} \right\} \to X$