diff --git a/Loesung120.tex b/Loesung120.tex index 45d68fd..52064b5 100644 --- a/Loesung120.tex +++ b/Loesung120.tex @@ -3,19 +3,19 @@ Sei $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left( -1\right) ^{k}\frac{1}{k};$ \ $\widetilde{x}= \sum\limits_{k=0}^{4}\left( -1\right) ^{k}\frac{1}{k!}$ \begin{description} -\item[a.] Mit Hilfe von welcher speziellen Funktion l\"{a}\ss t sich $x$ genau beschreiben? Wie? (Tip: 3.3.5) +\item[a.] Mit Hilfe von welcher speziellen Funktion läßt sich $x$ genau beschreiben? Wie? (Tip: 3.3.5) -\item[b.] Berechnen Sie $\widetilde{x}$. +\item[b.] Berechnen Sie $\displaystyle \widetilde{x}$. -\item[c.] Geben Sie einen absoluten H\"{o}chstfehler von $\widetilde{x}$ an. +\item[c.] Geben Sie einen absoluten Höchstfehler von $\widetilde{x}$ an. (Tip: 3.2.7) \end{description} \subsection{Lösung} \begin{description} -\item[a.] $\exp(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}z^{k}$ \ $\Longrightarrow$ \ \ $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\exp(-1)=\underline{\underline{\frac{1}{e}}}$ +\item[a.] $\displaystyle \exp(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}z^{k}$ \ $\Longrightarrow$ \ \ $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\exp(-1)=\underline{\underline{\frac{1}{e}}}$ -\item[b.] $\widetilde{x}=\sum\limits_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\allowbreak 1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{12-4+1}{24}=\allowbreak\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\allowbreak\underline{\underline{0.375}}\,$ +\item[b.] $\displaystyle \widetilde{x}=\sum\limits_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\allowbreak 1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{12-4+1}{24}=\allowbreak\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\allowbreak\underline{\underline{0.375}}\,$ -\item[c.] Da die vorliegende Reihe eine alternierende Reihe ist, gilt $|x-\widetilde{x}|\leq\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}$. Damit ist $\underline{\underline{\alpha_x=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}}}$ ein absoluter Höchstfehler von $\widetilde{x}$. +\item[c.] Da die vorliegende Reihe eine alternierende Reihe ist, gilt $\displaystyle |x-\widetilde{x}|\leq\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}$. Damit ist $\underline{\underline{\alpha_x=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}}}$ ein absoluter Höchstfehler von $\widetilde{x}$. \end{description} \ No newline at end of file diff --git a/Loesung125.tex b/Loesung125.tex index c86162f..3b7b8c6 100644 --- a/Loesung125.tex +++ b/Loesung125.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \section{Aufgabe 125} -Gegeben sei das eindeutig lösbare lineare Gleichungssystem $\ A\cdot +Gegeben sei das eindeutig lösbare lineare Gleichungssystem $\displaystyle A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$ mit -$A=\left( +$\displaystyle A=\left( \begin{array} [c]{cccccc}% 4 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ @@ -26,48 +26,48 @@ $A=\left( \right) $ \begin{itemize} -\item[a.] Sei $\overrightarrow{x}^{\left( 0\right) }=\overrightarrow{0}$. -Berechnen Sie die Näherungslösung $\overrightarrow{x}^{\left( +\item[a.] Sei $\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left( 0\right) }=\overrightarrow{0}$. +Berechnen Sie die Näherungslösung $\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left( 3\right) }$ des Systems, die man nach 3 Schritten des Gesamtschrittverfahrens erhält. \item[b.] Zeigen Sie, daß das Gesamtschrittverfahren konvergiert. \item[c.] Führen Sie eine Apeoteriori-Fehlerabschätzung für -$\overrightarrow{x}^{\left( 3\right) }$\ durch. +$\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left( 3\right) }$\ durch. \item[d.] Führen Sie eine Apriori-Fehlerabschätzung für -$\overrightarrow{x}^{\left( 10\right) }$ durch. +$\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left( 10\right) }$ durch. \end{itemize} \subsection{Lösung} \begin{itemize} -\item[a.] Rechenvorschriften:\newline$x_{1}^{\left( Z\right) }=\frac{1}% +\item[a.] Rechenvorschriften:\newline$\displaystyle x_{1}^{\left( Z\right) }=\frac{1}% {4}\left( 2+x_{2}^{\left( Z-1\right) }+x_{4}^{\left( Z-1\right) }\right) =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{4}^{\left( -Z-1\right) }$\newline$x_{2}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left( +Z-1\right) }$\newline$\displaystyle x_{2}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left( 1+x_{1}^{\left( Z-1\right) }+x_{3}^{\left( Z-1\right) }+x_{5}^{\left( Z-1\right) }\right) =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}x_{1}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{3}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left( -Z-1\right) }$\newline$x_{3}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left( +Z-1\right) }$\newline$\displaystyle x_{3}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left( 2+x_{2}^{\left( Z-1\right) }+x_{6}^{\left( Z-1\right) }\right) =\frac {1}{2}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{6}^{\left( -Z-1\right) }$\newline$x_{4}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left( +Z-1\right) }$\newline$\displaystyle x_{4}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left( 2+x_{1}^{\left( Z-1\right) }+x_{5}^{\left( Z-1\right) }\right) =\frac {1}{2}+\frac{1}{4}x_{1}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left( -Z-1\right) }$\newline$x_{5}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left( +Z-1\right) }$\newline$\displaystyle x_{5}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left( 1+x_{2}^{\left( Z-1\right) }+x_{4}^{\left( Z-1\right) }+x_{6}^{\left( Z-1\right) }\right) =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{4}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{6}^{\left( -Z-1\right) }$\newline$x_{6}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left( +Z-1\right) }$\newline$\displaystyle x_{6}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left( 2+x_{3}^{\left( Z-1\right) }+x_{5}^{\left( Z-1\right) }\right) =\frac {1}{2}+\frac{1}{4}x_{3}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left( Z-1\right) }$\newline\newline% \begin{tabular} [c]{l||llllll}% -z & $x_{1}^{\left( Z\right) }$ & $x_{2}^{\left( Z\right) }$ & -$x_{3}^{\left( Z\right) }$ & $x_{4}^{\left( Z\right) }$ & $x_{5}^{\left( +z & $\displaystyle x_{1}^{\left( Z\right) }$ & $\displaystyle x_{2}^{\left( Z\right) }$ & +$x_{3}^{\left( Z\right) }$ & $\displaystyle x_{4}^{\left( Z\right) }$ & $\displaystyle x_{5}^{\left( Z\right) }$ & $x_{6}^{\left( Z\right) }$\\\hline\hline 1 & $0.5$ & $0.25$ & $0.5$ & $0.5$ & $0.25$ & $0.5$\\ 2 & $0.6875$ & $0.5625$ & $0.6875$ & $0.6875$ & $0.5625$ & $0.6875$\\