\section{Aufgabe 120}

Sei $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(  -1\right)  ^{k}\frac{1}{k};$ \ $\widetilde{x}= \sum\limits_{k=0}^{4}\left(  -1\right)  ^{k}\frac{1}{k!}$

\begin{description}
\item[a.] Mit Hilfe von welcher speziellen Funktion l\"{a}\ss t sich $x$ genau
beschreiben? Wie? (Tip: 3.3.5)

\item[b.] Berechnen Sie $\widetilde{x}$.

\item[c.] Geben Sie einen absoluten H\"{o}chstfehler von $\widetilde{x}$ an.
(Tip: 3.2.7)
\end{description}

\subsection{Lösung}
\begin{description}
\item[a.] $\exp(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}z^{k}$ \ $\Longrightarrow$ \ \ $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\exp(-1)=\underline{\underline{\frac{1}{e}}}$

\item[b.] $\widetilde{x}=\sum\limits_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\allowbreak1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{12-4+1}{24}=\allowbreak\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\allowbreak\underline{\underline{0.375}}\,$

\item[c.] Da die vorliegende Reihe eine alternierende Reihe ist, gilt $|x-\widetilde{x}|\leq\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}$.  Damit ist $\underline{\underline{\alpha_x=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}}}$ ein absoluter Höchstfehler von $\widetilde{x}$.
\end{description}

\section{Aufgabe 127}
Die Geschwindigkeit $v(t)$ eines Teilchens werde durch ein Polynom vom Grad $\leq 3$ beschrieben. Folgende Werte sind bekannt:
\begin{tabular}{l||c|c|c|c}


  $t$ (in $s$) & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\
  \hline
  $v(t)$ (in $\frac{m}{s}$)  & $0$ & $4$ & $18$ & $48$
\end{tabular}

Bestimmen Sie $v(t)$. Wie groß sind $v(1.5s)$ und $v(2.5s)$.

\subsection{Lösung}
\begin{list}{\ding{42}}
{\setlength{\topsep}{0.5cm}
\setlength{\itemsep}{0.5cm}
\setlength{\leftmargin}{45mm}
\setlength{\labelwidth}{30mm}
\setlength{\parsep}{2mm}
\setlength{\labelsep}{10mm}
\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}

\item[1. Schritt] Wegen $v(0s)=0\frac{m}{s}$ genügt es, die Lagrangeschen Grundpolynome $L_1$, $L_2$ und $L_3$ zu bestimmen.\\
    $L_1(t)=\frac{t(t-2s)(t-3s)}{1s(-1s)\cdot(-2s)}=\frac{t(t^2-3st-2st+6s^2)}{2s^3}=\frac{t^3-5st^2+6s^2t}{2s^3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^3}t^3-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{s^2}t^2+3\frac{1}{s}t$\\
    $L_2(t)=$\\
    $L_3(t)=$\\
\item[2. Schritt] $v(t)=4\frac{m}{s}\cdot L_1(t)+18\frac{m}{s}\cdot L_2(t)+48\frac{m}{s}\cdot L_3(t)= 2\frac{m}{{s^4 }}t^3  - 10\frac{m}{{s^3 }}t^2  + 12\frac{m}{{s^2 }}t - 9\frac{m}{{s^4 }}t^3  + 36\frac{m}{{s^3 }}t^2  - 27\frac{m}{{s^2 }}t + 8\frac{m}{{s^4 }}t^3  - 24\frac{m}{{s^3 }}t^2  + 16\frac{m}{{s^2 }}t = \underline{\underline {1\frac{m}{{s^4 }}t^3  + 2\frac{m}{{s^3 }}t^2  + 1\frac{m}{{s^2 }}t}}$
\item[Insbesondere] $1112121dsdsdasfsdaaaaaaaaaaaaaaagdfgerterter21$
\end{list}