\section{Aufgabe 1}

\begin{enumerate}
    \item Gegeben sind: \hspace{10mm}$\vec a = \left( {3,4} \right)$,\hspace{5mm}$\vec b = \left( {10,5} \right)$,\hspace{5mm}$ \vec c =
\vec a - \frac{1} {2}\vec b$
\begin{enumerate}
    \item Bestimmen Sie $\vec c$ durch Zeichnung und Rechnung!\\ \\%
Zeichnung:\\
\includegraphics{Loesung0001}\\

Rechnung:\\ \\%
$\underline{\underline{\vec c}} = \vec a - \frac{1} {2}\vec b = \left( {3,4} \right) - \frac{1} {2}\left( {10,5}
\right) = \left( {3,4} \right) - \left( {10 \cdot \frac{1} {2},5 \cdot \frac{1} {2}} \right) = \left( {3,4} \right) - \left(
{5,\frac{5}
{2}} \right) =$\\%

$\left( {3 - 5,4 - \frac{5} {2}} \right) = \underline{\underline {\left( { - 2,\frac{3} {2}} \right)}}$\\%

\item Bestimmen Sie $\left|\vec a\right|$, $\left|\vec b\right|$, $\left|\vec c\right|$.\\
\\
$\underline{\underline {\left| {\vec a} \right|}}  = \left| {\left( {3,4} \right)} \right| = \sqrt {3^2  + 4^2 }  = \sqrt {9 +
16}  = \sqrt {25}  = \underline{\underline 5}$\\ \\%
$\underline{\underline {\left| {\vec b} \right|}}  = \left| {\left( {10,6} \right)} \right| = \sqrt {10^2  + 5^2 }  = \sqrt
{100 + 25}  = \sqrt {125}  = \sqrt {5 \cdot 25}  = 5\sqrt 5 \\ \\%
 \cong \underline{\underline {11,18033988}}$


\item Bestimmen Sie den Öffnungswinkel $\alpha \left( {\vec a,\vec c} \right)$ und $\alpha \left( {\vec a,\vec b} \right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}