<\body> <\hide-preamble> >> R>> N>> |\>>space10mm|\>>space10mm|\>>space10mm>> >>>> >>> |<\table-of-contents|toc> \; > <\big-figure> <\minipage> [b].4\ <\minipage> [b].4\ *,*a*)>> >*=*(*a*,*a*)>auch üblich >*=a|\>> \ Geordnetes Paar Die Menge aller Vektoren in der Ebene heißt >; dabei ist > die Menge der reellen Zahlen. Also: =>*=*(*a*,*a*)*\|*a*\,*a*\|}>> <\tabbing> Die Addition von Vektoren liefert als Ergebnis wieder einen Vektor. rechnerisch:<\>><\>>>*=*,*a|)>*,*>=*,*b|)>><\>><\>>>*+*>=**+*b*,*a*+*b*)|)>> zeichnerisch: <\big-figure> \; >*+*>>> <\tabbing> Rechenregeln:<\>><\>>>*+*>=*>+*>>;<\>><\>>>*+*>+>|)>*=*>*+*>|)>*+>> <\tabbing> <\>><\>>>*=>Rechenregel:<\>><\>> >*+*>*=*>> Die Subtraktion von Vektoren liefert wieder einen Vektor. <\tabbing> rechnerisch:<\>><\>>>*=*,*a|)>*,*>=*,*b|)>><\>><\>>>*-*>=**-*b*,*a*-*b|)>> zeichnerisch: <\big-figure> \; >*-*>>> <\tabbing> Rechenregel:<\>><\>> >*-*>*=*>> <\tabbing> Liefert wieder einen Vektor. rechnerisch:<\>><\>>>*=*,*a|)>*,*k*\><\>><\>>*>*=*a*,*k*\*a|)>><\>><\>>: *>*=*>> zeichnerisch: <\big-figure> \; >*\*>>> <\tabbing> Rechenregeln:<\>><\>>*\*k|)>*\*>*=*k*\*\*>|)>>;<\>><\>>*>*=*>>;<\>><\>>*>*+*>|)>*=*k*\*>*+*k*\*>>;<\>><\>>*+*k|)>*\*>*=*k*\*>*+*k*\*>>Zusammenhang mit der Subtraktion:<\>><\>>>*-*>=*>*+*\*>> |\>=>; |\>=> Darstellung von >*=*a*\|\>+*a*\|\>> <\tabbing> <\>>>> und >> sind linear abhänging falls gilt: <\>><\>>es gibt > mit >*=*k*\*>> oder<\>><\>>es gibt > mit >=*k*\*>> <\itemize> Anschauung für >*=*,*a|)>>, >=*,*b|)>>: die Punkte *,*a|)>> und *,*b|)>> liegen auf einer Geraden durch den Nullpunkt. Gegenteil: > <\big-figure> \; <\itemize> >|\|>*=*+*a>>. Auch üblich: >|\|>> ist auch der Abstand zwischen den Punkten > und *,*a|)>> <\tabbing> Rechenregeln:<\>><\>>>|\|>*=*0> gilt nur für >*=*>><\>><\>>*>|\|>*=*\>|\|>>;<\>><\>>>*+*>|\|>*\>|\|>*+>|\|>> <\itemize> für >*=*,*a|)>>, >=*,*b|)>> ist >*-*>|\|>> der Abstand der Punkte *,*a|)>> und *,*b|)>>. Einheitsvekotren sind Vektoren der Länge 1. <\itemize> liefert wieder einen Skalar Berechnung für >*=*,*a|)>>, >=*,*b|)>>;|>*,*>|\>*=*a***b*+*a***b>auch übliche Schreibweise: >*,*>|)>> bzw. >*\*>> <\tabbing> Rechenregeln:<\>><\>>|>*,*>|\>*=|>,*>|\>>;<\>><\>>|>*+>,*>|\>*=|>*,*>|\>*+|>,*>|\>>;<\>><\>>|k*\*>*,*>|\>*=*k*\|>*,*>|\>>;<\>><\>>|>*,*>|\>*\*0> für >*\*>><\>><\>>|>*,*>|\>|\|>*\>|\|>*\>|\|>> >*\*0>, >\*0> in der Ebene> <\big-figure> <\tikzpicture> [scale=1.2] [-triangle 45] (0,0) -- (4,0) node[right] ; in 1,2,3 ( cm,1pt) -- ( cm,-1pt) node[anchor=north] >; [-triangle 45] (0,0) -- (0,4) node[above] ; in 1,2,3 (1pt, cm) -- (-1pt, cm) node[anchor=east] >; [color=blue, thick, -triangle 45](0,0) -- (1,3) node[sloped,above] >> ; [color=red, thick, -triangle 45](0,0) -- (3,1) node[right] >> ; (0,0) +(19:25mm) arc (19:71:25mm); (0.5,1) node[right, text width=15mm]>*,*>|)>>; >*,*>|)>|)>*=|>*,*>|\>|>|\|>*\>|\|>>>, wobei *\>*,*>|)>*\*\> im Bogenmaß (d.h. >*\*\>*,*>|)>*\*180>> im Gradmaß) (Lösung siehe) Gegeben sind: >*=>,>=>,>=*>*-***>> <\list|| \ \ \ \ \ >>>> Bestimmen Sie >> durch Zeichnung und Rechnung! Bestimmen Sie >|\|>>, >|\|>>, >|\|>>. Bestimmen Sie den Öffnungswinkel >*,>|)>> und >*,*>|)>>. Welche Gegenkraft >> hebt die folgenden vier Einzelkräfte, die an einem Massepunkt angreifen, in der Wirkung auf? >*=>>*=> >*=>>*=*>Von welchem Betrag ist >>? Unter welchem Winkel greifen |\>> und |\>> den Massepunkt an? Gegeben sind: >*=****>=>=>. Berechnen Sie: <\list|| \ \ \ \ \ >>>> >*+*>**>*-*>**4*\*>*-*\*>-*5*\>>, >|\|>>|\|>>|\|>>, >*,*>|)>>, >*\*>> und den Flächeninhalt des von >> und >> aufgespannten Parallelogramms, >*,*>,>|]>> und das Volumen des von >*,*>> und >> aufgespannten Spats. Eine Kraft >> mit >|\|>*=*85***N> verschiebt einen Massenpunkt um eine Strecke >> mit >|\|>*=*32***m>; dabei wird eine Arbeit von verrichtet. Unter welchem Winkel greift die Kraft an? Gegeben sind die folgenden Matrizen: <\equation*> ||>|||>>>>|)>>>||>||>>>>|)>>>||>||>>>>|)>>>||>||>>>>|)>>>||>>||>>>>>|)>>>|>|>|>|*F>>|*A>>|*B>>|*C>>|*B>>|*F>>|*D>>|>|>>|>>|>>>>> <\big-figure> > > *,*a*,*a*)>> >*=*(*a*,*a*,*a*)>auch üblich >*=aa|\>> \ Tripel <\tabbing> Die Addition liefert wieder einen Vektor.Berechnung:<\>><\>>>*=*,*\*,*a|)>>, >=*,*\*,*b|)>><\>><\>>>*+*>=**+*b*,*\*,*a*+*b|)>> Rechenregeln wie für . <\tabbing> <\>><\>>>*=*,*0|)>>Rechenregeln wie für . <\tabbing> Die Subtraktion liefert wieder einen Vektor.Berechnung:<\>><\>>>*=*,*\*,*a|)>>, >=*,*\*,*b|)>><\>><\>>>*-*>=**-*b*,*\*,*a*-*b|)>> Rechenregeln und Zusammenhang mit der Subtraktion wie für . <\tabbing> Die Multiplikation liefert wieder einen Vektor.Berechnung:<\>><\>>>*=*,*\*,*a|)>>, ><\>><\>>*>*=*a*,*\*,*k*\*a|)>> Rechenregeln und Zusammenhang mit der Subtraktion wie für . <\tabbing> <\>>Darstellung von >*=*,*\*,*a|)>>: <\>>>*=*a|\>+*\*+*a|\>=*a|\>> |\>,*\*,|\>>> <\tabbing> <\>>ist ein Ausdruck der Form<\>>*\|\>+*\*+*k*\|\>=*k*\|\>> <\tabbing> <\>>|\>,*\*,|\>> sind linear abhängig, falls sich einer der Vektoren als Linearkombination der restlichen<\>>darstellen lässt.<\>>Gegenteil:> <\itemize> Lineare Abhängigkeit für drei Vektoren im Raum: <\itemize> anderer Name: Komplanarität Anschauung für >*=*,*a*,*a|)>>, >=*,*b*,*b|)>>, >=*,*c*,*c|)>>:die Punkte *,*a*,*a|)>>, *,*b*,*b|)>> und *,*c*,*c|)>> liegen auf einer Ebene durch den Nullpunkt. <\tabbing> <\>>Berechnung:<\>><\>>>*=*,*\*,*a|)>><\>><\>>>|\|>*=*+*\*+*a>*=a>> <\>>Rechenregeln wie für <\>>für ist >*\<\|\|\>> auch der Abstand der Punkte > und *,*a*,*a|)>><\>>für , >*,*a*,*a|)>>, >*,*b*,*b|)>><\>>ist *>*-*>\<\|\|\>> auch der Abstand der Punkte *,*a*,*a|)>><\>>und *,*b*,*b|)>> <\tabbing> <\>>sind Vektoren der Länge 1 <\tabbing> <\>>liefert einen Skalar<\>>Berechnung: >*=*,*\*,*a|)>>, >=*,*\*,*b|)>><\>>|>*,*>|\>*=*a***b*+*\*+*a***b*=*a***b><\>>Rechenregeln wie für >*\*>> und >\*>>> <\tabbing> <\>>Berechnung: >*,*>|)>|)>*=|>*,*>|\>|>|\|>*\>|\|>>>,<\>>wobei *\>*,*>|)>*\*\> im Bogenmaß<\>>(d.h. *\*\>*,*>|)>*\*180> im Gradmaß),<\>>also wie für Gegeben sind: >*=>,>=>,>=*>*-***>> <\list|| \ \ \ \ \ >>>> Bestimmen Sie >> durch Zeichnung und Rechnung! Bestimmen Sie >|\|>>, >|\|>>, >|\|>>. Bestimmen Sie den Öffnungswinkel >*,>|)>> und >*,*>|)>>. <\list|| \ \ \ \ \ >>>> <\list|| \ \ \ \ \ >>>> >|\>|\>=*>*-***>=*-*=*-*,*5*\|)>*=*-|)>*=*|)>*=|)>|\>|\>> >|\|>|\>|\>=|\|>*=*+*4>*=*=*=>|\>>>|\|>|\>|\>=|\|>*=*+*5>*=*=*=*25>*=*5***\>|\>>>|\|>|\>|\>=|)>|\|>*=*+|)>>*=>*=>*=>*=|\>|\>> *=*\>*,>|)>***0*\*\*\*\> |)>*=|>*,>|\>|>|\|>*\>|\|>>*=|*,|)>|\>|5*\>*=*+*4*\|>*=>*=*0*\*=|2>|\>|\>90>|)>> *=*\>*,*>|)>>, *\*\*\> |)>*=|>*,*>|\>|>|\|>*\>|\|>>*=|*,|\>|5*\*5*\>*=*10*+*4*\*5|25*\>*=>*=>>.Es folgt:*=*cos>|)>*=*arccos>|)>*\>|\>26.565051177078>|)>> Welche Gegenkraft >> hebt die folgenden vier Einzelkräfte, die an einem Massepunkt angreifen, in der Wirkung auf? >*=>>*=> >*=>>*=*>Von welchem Betrag ist >>? Unter welchem Winkel greifen |\>> und |\>> den Massepunkt an? F*=*-*>+>+>+>|)>=*-*=*-=|\>|\>> F|\>|\>=*+>***N*=*25|)>*+*25|)>>***N*=*25*\***N>|\>>Der gesuchte Winkel sei *0*\*\*\*\>.Dann gilt: |)>*=|>,>|\>|>|\|>*\>|\|>>>. >> <\math> |>*,3***p***t>>>|F>>|\>*=|*,|\>*=*-*2000***N*+*3300***N*=*1300***N <\math> >|\|>*=*+>***N*\*228.2542442***N >|\|>*=*+>***N*\*31.6227766***N> Das Einsetzen in >> ergibt: <\math> cos |)>*\*0.1801044696*\*arccos |)>*\>|\>>>|)> > > <\references> <\collection> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > <\auxiliary> <\collection> <\associate|figure> |(*a*,*a*)>|> |>*+*>>|> |>*-*>>|> |>*\*>>|> > > |P***u***n***k***t*(*a*,*a*,*a*)>|> <\associate|toc> |math-font-series||font-size||Lineare Algebra> |.>>>>|> |math-font-series||Vektoren in der Ebene - Übersicht> |.>>>>|> |01_1 Veranschaulichung von Vektoren in der Ebene |.>>>>|> > |01_1 Menge aller Vektoren in der Ebene |.>>>>|> > |01_1 Addition von Vektoren in der Ebene |.>>>>|> > |01_2 Nullvektor in der Ebene |.>>>>|> > |01_2 Subtraktion von Vektoren in der Ebene |.>>>>|> > |01_2 Multiplikation von einem Vektor mit einem Skalar (einer Zahl) |.>>>>|> > |02_1 "`Kanonische"' Basisvektoren in der Ebene |.>>>>|> > |02_1 Lineare Abhängigkeit (Kollinearität) |.>>>>|> > |02_1 Länge (Norm) eines Vektors in der Ebene |.>>>>|> > |02_2 Einheitsvektoren |.>>>>|> > |02_2 Skalarprodukt von zwei Vektoren in der Ebene |.>>>>|> > |02_2 Öffnungswinkel zwischen zwei Vektoren |>*\*0>, |>\*0> in der Ebene |.>>>>|> > |Aufgaben - Vektoren in der Ebene |.>>>>|> > |Aufgabe 1 |.>>>>|> > |Aufgabe 2 |.>>>>|> > |Aufgabe 3 |.>>>>|> > |Aufgabe 4 |.>>>>|> > |Aufgabe 5 |.>>>>|> > |math-font-series||Vektoren im Raum und n-dimensionale Vektoren - Übersicht> |.>>>>|> |03_1 Veranschaulichung von Vektoren im Raum |.>>>>|> > |03_1 Menge aller Vektoren im Raum / Menge aller n-dimensionalen Vektoren |.>>>>|> > |03_1 Addition von n-dimensionalen Vektoren |.>>>>|> > |03_1 n-dimensionaler Nullvektor |.>>>>|> > |03_2 Subtraktion von n-dimensionalen Vektoren |.>>>>|> > |03_2 Multiplikation von einem n-dimensionale Vektor mit einem Skalar |.>>>>|> > |03_2 "`Kanonische"' n-dimensionale Basisvektoren |.>>>>|> > |03_2 Eine Linearkombination von m n-dimensionalen Vektoren ||\>,*\*,|\>> |.>>>>|> > |03_2 Lineare Abhängigkeit von n-dimensionalen Vektoren |.>>>>|> > |04_1 Länge (Norm) eines n-dimensionalen Vektors |.>>>>|> > |04_1 n-dimensionale Einheitsvektoren |.>>>>|> > |04_1 Skalarprodukt von zwei n-dimensionalen Vektoren |.>>>>|> > |04_1 Öffnungswinkel zwischen zwei n-dimensionalen Vektoren |>*\*>> und |>\*>> |.>>>>|> > |math-font-series||font-size||Lösungen> |.>>>>|> |math-font-series||Aufgabe 1> |.>>>>|> |Lösung |.>>>>|> > |Zeichnung |.>>>>|> > |Rechnung |.>>>>|> > |math-font-series||Aufgabe 2> |.>>>>|> |Lösung |.>>>>|> >