\section{Aufgabe 2}
Welche Gegenkraft $\vec F$ hebt die folgenden vier Einzelkräfte, die an einem Massepunkt angreifen, in der Wirkung
auf?\\

    \hspace{10mm}$  \vec F_1  = \left( {200N,110N} \right)$\hspace{10mm}$\vec F_2  = \left( { - 10N,30N} \right)$ 

    \hspace{10mm}$  \vec F_3  = \left( {40N,85N} \right)$\hspace{14mm}$\vec F_4  = \left( { - 30N, - 50N} \right)$\\ \\
Von welchem Betrag ist $\vec{F}$? Unter welchem Winkel greifen $\vec{F_1}$ und $\vec{F_2}$ den Massepunkt an?
\subsection{Lösung}
$ \overrightarrow F  =  - \left( {\overrightarrow {F_1 }  + \overrightarrow {F_2 }  + \overrightarrow {F_3 }  + \overrightarrow {F_4 } } \right)\\
=  - \left( {200N - 10N + 40N - 30N,110N + 30N + 85N - 50N} \right)\\
=  - \left( {200N,175N} \right) \\
= \underline{\underline {\left( { - 200N, - 175N} \right)}}$\\

$\underline{\underline {\overrightarrow F }}  = \sqrt { - \left( {200} \right)^2  + \left( { - 175} \right)^2 } N =\sqrt {\left( {8 \cdot 25} \right)^2  + \left( {7 \cdot 25} \right)^2 } N =25\cdot \sqrt{113}N \entspricht \underline{\underline{265.7536453 N}} $\\
\\
Der gesuchte Winkel sei $\alpha \text{, } 0\leq\alpha\leq \pi$.
\\
Dann gilt: $\cos\left(\alpha \right)=\frac{{\left\langle {\overrightarrow {F_1 } ,\overrightarrow {F_2 } } \right\rangle }}{{\left| {\overrightarrow {F_1 } } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {F_2 } } \right|}}$. ${\Huge \otimes}$

$ \left\langle {\vec F_1 ,\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}} 
\over F} _2 } \right\rangle  = \left\langle {\left( {200N,110N} \right),\left( { - 10N,30N} \right)} \right\rangle  =  - 2000N^2  + 3300N^2  = 1300N^2 $

$\left| {\vec F_1 } \right| = \sqrt {\left( {200} \right)^2  + \left( {110} \right)^2 } N \cong 228.2542442N$

$\left| {\vec F_2 } \right| = \sqrt {\left( { - 10} \right)^2  + \left( {30} \right)^2 } N \cong 31.6227766N$\\

Das Einsetzen in ${\Huge \otimes}$ ergibt: 

$\cos \left( \alpha  \right) \cong 0.1801044696 \Rightarrow \arccos \left( \alpha  \right) \cong \underline{\underline{1.38970367}} \left( {{\rm 79}{\rm .62415508}^ \circ  } \right) $
