\section{Aufgabe 127}
Die Geschwindigkeit $v(t)$ eines Teilchens werde durch ein Polynom vom Grad $\leq 3$ beschrieben. Folgende Werte sind bekannt:
\begin{tabular}{l||c|c|c|c}


  $t$ (in $s$) & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\
  \hline
  $v(t)$ (in $\frac{m}{s}$)  & $0$ & $4$ & $18$ & $48$
\end{tabular}

Bestimmen Sie $v(t)$. Wie groß sind $v(1.5s)$ und $v(2.5s)$.

\subsection{Lösung}
\begin{list}{\ding{42}}
{\setlength{\topsep}{0.5cm}
\setlength{\itemsep}{0.5cm}
\setlength{\leftmargin}{30mm}
\setlength{\labelwidth}{25mm}
\setlength{\parsep}{2mm}
\setlength{\labelsep}{5mm}
\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}

\item[1. Schritt] Wegen $v(0s)=0\frac{m}{s}$ genügt es, die Lagrangeschen Grundpolynome $L_1$, $L_2$ und $L_3$ zu bestimmen.\\
    $L_1(t)=\frac{t(t-2s)(t-3s)}{1s(-1s)\cdot(-2s)}=\frac{t(t^2-3st-2st+6s^2)}{2s^3}=\frac{t^3-5st^2+6s^2t}{2s^3}=\underline{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^3}t^3-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{s^2}t^2+3\frac{1}{s}t}$\\
    $L_2(t)=\frac{{t\left( {t - 2s} \right)\left( {t - 3s} \right)}}{{2s \cdot 1s \cdot \left( { - 1s} \right)}} = \frac{{t\left( {t^2  + 3st - 2st + 6s^2 } \right)}}{{ - 2^3 }} = \frac{{t^3  + 3st^2  - 2st^2  + 6s^2 t}}{{ - 2s^3 }} = \underline { - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s^3 }}t^3  + 2\frac{1}{{s^2 }}t^2  - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}t}$\\
    $L_3(t)=\frac{{t\left( {t - 1s} \right)\left( {t - 2s} \right)}}{{3s \cdot 2s \cdot 1s}} = \frac{{t\left( {t^2  - 2st - 1st + 2s^2 } \right)}}{{6s^3 }} = \frac{{t^3  - 2st^2  - 1st^2  + 2s^t }}{{6s^3 }} = \underline {\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{s^3 }}t^3  - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{s^2 }}t^2  + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}t}$\\
\item[2. Schritt] $v(t)=4\frac{m}{s}\cdot L_1(t)+18\frac{m}{s}\cdot L_2(t)+48\frac{m}{s}\cdot L_3(t)= 2\frac{m}{{s^4 }}t^3  - 10\frac{m}{{s^3 }}t^2  + 12\frac{m}{{s^2 }}t - 9\frac{m}{{s^4 }}t^3  + 36\frac{m}{{s^3 }}t^2  - 27\frac{m}{{s^2 }}t + 8\frac{m}{{s^4 }}t^3  - 24\frac{m}{{s^3 }}t^2  + 16\frac{m}{{s^2 }}t = \underline{\underline {1\frac{m}{{s^4 }}t^3  + 2\frac{m}{{s^3 }}t^2  + 1\frac{m}{{s^2 }}t}}$
\item[Insbesondere] $
\begin{array}{l}
 \underline{\underline {v\left( {1,5s} \right)}}  = 3,375\frac{m}{s} + 4,5\frac{m}{s} + 1,5\frac{m}{s} = \underline{\underline {9,375\frac{m}{s}}}  \\
 \underline{\underline {v\left( {2,5s} \right)}}  = 15,625\frac{m}{s} + 12,5\frac{m}{s} + 2,5\frac{m}{s} = \underline{\underline {30,625\frac{m}{s}}}  \\
 \end{array}$
\end{list}