\section{Aufgabe 124}
Es sei $I=\left[3.6;3.7\right]$ und $f:I\rightarrow\IR$ definiert durch $f(x)=\ln(x)-\arctan(x)$.
\begin{list}{\ding{42}}
{\setlength{\topsep}{0.2cm}
\setlength{\itemsep}{0.1cm}
\setlength{\leftmargin}{6mm}
\setlength{\labelwidth}{4mm}
\setlength{\parsep}{2mm}
\setlength{\labelsep}{2mm}
\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
\item[a.]Zeigen Sie, daß $f$ genau eine Nullstelle $\overline{x}$ hat.
\item[b.]Zeigen Sie für $g:I\rightarrow\IR$ mit $g(x)=\exp\left(\arctan\left(x\right)\right)$.
\noindent \\$f\left(\overline{x}\right)=0\Leftrightarrow g\left(\overline{x}\right)=\overline{x}$.
\item[c.]Zeigen Sie, daß die Folge $(x_n)$ mit $x_{n+1}=g(x_n)$ für jeden Startwert $x\in I$ gegen $\overline{x}$ konvergiert.
\item[d.]Berechnen Sie für $x_0=3.6$ den Wert von $x_3$ als Näherung für $\overline{x}$ und schätzen Sie den Fehler $\left|\overline{x}-x_3\right|$ ab.
\item[e.]Bestimmen Sie durch eine Apriori-Fehlerabschätzung ein möglichst kleines $n$ mit $\left|\overline{x}-x_n\right|\leq 10^{-6}$
\end{list}

\subsection{Lösung}
\begin{list}{\ding{42}}
{\setlength{\topsep}{0.2cm}
\setlength{\itemsep}{0.1cm}
\setlength{\leftmargin}{6mm}
\setlength{\labelwidth}{4mm}
\setlength{\parsep}{2mm}
\setlength{\labelsep}{2mm}
\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
\item[a.]$\left.
\hspace{-1.5mm}\begin{array}
[l]{l}%
f(3.6)\cong -0.01891563099\\
f(3.7)\cong 1.500216481\cdot 10^{-3}
\end{array}
\right\} \overset{\text{$f$ stetig}}{\underset{4.1.5}{\Longrightarrow}}\text{\underline{\underline{$f$ hat mindestens eine Nullstelle }}}$ \\
$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2-x+1}{x\left(x^2+1\right)}$
\item[b.]xyz
\item[c.]xyz
\item[d.]xyz
\item[e.]xyz
\end{list}

%$\begin{cases}
%2 & \text{ für } ddd\\

%3 & \text{ für }s
%\end{cases}$

%$\left.  \right\rbrace$



%$\left. {A \over B} \right\} \to X$