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\section{Aufgabe 5}
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Gegeben sind die folgenden Matrizen:\\
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$A = \left( {\begin{array}{*{20}c}
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1 & 0 & 2 \\
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0 & 3 & 0 \\
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\end{array}} \right) \text{, } B = \left( {\begin{array}{*{20}c}
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4 & 5 \\
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0 & 0 \\
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\end{array}} \right) \text{, } C = \left( {\begin{array}{*{20}c}
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0 & 1 \\
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0 & { - 1} \end{array}} \right) \text{, } D = \left( {\begin{array}{*{20}c}
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1 & 3 \\
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0 & 2 \\
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\end{array}} \right) \text{, } F = \left( {\begin{array}{*{20}c}
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1 & { - \frac{3}{2}} \\
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0 & {\frac{1}{2}} \\
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\end{array}} \right) $
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\begin{list}{\ding{42}}
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{\setlength{\topsep}{3mm}
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\setlength{\itemsep}{3mm}
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\setlength{\leftmargin}{6mm}
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\setlength{\labelwidth}{4mm}
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\setlength{\parsep}{2mm}
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\setlength{\labelsep}{2mm}
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\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
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\item[a.]Berechnen Sie die folgenden Matrizen bzw. begründen Sie das Nichterklärtsein:\\
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$A+B\text{, }B+C\text{, }C-D\text{, }4\cdot F$
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\item[b.]Berechnen Sie die folgenden Matrizen bzw. begründen Sie das Nichterklärtsein:\\
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$B\cdot A\text{, }A\cdot B\text{, }B\cdot C\text{, }C\cdot B$\\
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\item[c.]Berechnen Sie $D\cdot F$ und $F\cdot D$. Folgern Sie, daß $D$ invertierbar ist und geben Sie $D^{-1}$ an.
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\item[d.]Berechnen Sie $A^t$ und $B^t$.
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\end{list}
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\subsection{Lösung}
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\begin{list}{\ding{42}}
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{\setlength{\topsep}{3mm}
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\setlength{\itemsep}{3mm}
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\setlength{\leftmargin}{6mm}
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\setlength{\labelwidth}{4mm}
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\setlength{\parsep}{2mm}
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\setlength{\labelsep}{2mm}
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\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
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\item[a.]\underline{\underline{$A+B$ ist nicht erklärt}}, da $A$ und $B$ unterschiedliches Format haben.\\
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$ \underline{\underline {B + C}} = \left( {\begin{array}{cc}
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4 & 5 \\
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0 & 0 \\
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\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{cc}
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0 & 1 \\
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0 & { - 1} \\
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\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{cc}
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{4 + 0} & {5 + 1} \\
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{0 + 0} & {0 + \left( { - 9} \right)} \\
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\end{array}} \right) = \underline{\underline {\left( {\begin{array}{cc}
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4 & 6 \\
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0 & { - 1} \\
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\end{array}} \right)}} $ \\
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$\underline{\underline {C - D}} = \left( {\begin{array}{cc}
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0 & 1 \\
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0 & { - 1} \\
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\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{cc}
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1 & 3 \\
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0 & 2 \\
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\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{cc}
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{0 - 1} & {1 - 3} \\
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{0 - 0} & { - 1 - 2} \\
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\end{array}} \right) = \underline{\underline {\left( {\begin{array}{cc}
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{ - 1} & { - 2} \\
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0 & { - 3} \\
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\end{array}} \right)}} $\\
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$\underline{\underline {4 \cdot F}} = 4 \cdot \left( {\begin{array}{cc}
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1 & { - \frac{3}{2}} \\
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0 & {\frac{1}{2}} \\
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\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{cc}
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{4 \cdot 1} & {4 \cdot \left( { - \frac{3}{2}} \right)} \\
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{4 \cdot 0} & {4 \cdot \frac{1}{2}} \\
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\end{array}} \right) = \underline{\underline {\left( {\begin{array}{cc}
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4 & { - 6} \\
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0 & 2 \\
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\end{array}} \right)}} $
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\end{list}
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