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\section{Aufgabe 124}
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Es sei $I=\left[3.6;3.7\right]$ und $f:I\rightarrow\IR$ definiert durch $f(x)=\ln(x)-\arctan(x)$.
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\begin{list}{\ding{42}}
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{\setlength{\topsep}{0.2cm}
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\setlength{\itemsep}{0.1cm}
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\setlength{\leftmargin}{6mm}
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\setlength{\labelwidth}{4mm}
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\setlength{\parsep}{2mm}
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\setlength{\labelsep}{2mm}
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\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
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\item[a.]Zeigen Sie, daß $f$ genau eine Nullstelle $\overline{x}$ hat.
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\item[b.]Zeigen Sie für $g:I\rightarrow\IR$ mit $g(x)=\exp\left(\arctan\left(x\right)\right)$.
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\noindent \\$f\left(\overline{x}\right)=0\Leftrightarrow g\left(\overline{x}\right)=\overline{x}$.
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\item[c.]Zeigen Sie, daß die Folge $(x_n)$ mit $x_{n+1}=g(x_n)$ für jeden Startwert $x\in I$ gegen $\overline{x}$ konvergiert.
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\item[d.]Berechnen Sie für $x_0=3.6$ den Wert von $x_3$ als Näherung für $\overline{x}$ und schätzen Sie den Fehler $\left|\overline{x}-x_3\right|$ ab.
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\item[e.]Bestimmen Sie durch eine Apriori-Fehlerabschätzung ein möglichst kleines $n$ mit $\left|\overline{x}-x_n\right|\leq 10^{-6}$
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\end{list}
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\subsection{Lösung}
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\begin{list}{\ding{42}}
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{\setlength{\topsep}{0.2cm}
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\setlength{\itemsep}{0.1cm}
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\setlength{\leftmargin}{6mm}
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\setlength{\labelwidth}{4mm}
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\setlength{\parsep}{2mm}
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\setlength{\labelsep}{2mm}
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\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
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\item[a.]$\left.
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\hspace{-1.5mm}\begin{array}
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[l]{l}%
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f(3.6)\cong -0.01891563099\\
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f(3.7)\cong 1.500216481\cdot 10^{-3}
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\end{array}
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\right\} \overset{\text{$f$ stetig}}{\underset{4.1.5}{\Longrightarrow}}\text{\underline{\underline{$f$ hat mindestens eine Nullstelle }}}$ \\
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$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2-x+1}{x\left(x^2+1\right)}$
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\item[b.]xyz
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\item[c.]xyz
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\item[d.]xyz
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\item[e.]xyz
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\end{list}
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%$\begin{cases}
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%2 & \text{ für } ddd\\
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%3 & \text{ für }s
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%\end{cases}$
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%$\left. \right\rbrace$
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%$\left. {A \over B} \right\} \to X$
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