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\section{Aufgabe 120}
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Sei $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left( -1\right) ^{k}\frac{1}{k};$ \ $\widetilde{x}= \sum\limits_{k=0}^{4}\left( -1\right) ^{k}\frac{1}{k!}$
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\begin{description}
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\item[a.] Mit Hilfe von welcher speziellen Funktion l\"{a}\ss t sich $x$ genau
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beschreiben? Wie? (Tip: 3.3.5)
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\item[b.] Berechnen Sie $\widetilde{x}$.
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\item[c.] Geben Sie einen absoluten H\"{o}chstfehler von $\widetilde{x}$ an.
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(Tip: 3.2.7)
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\end{description}
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\subsection{Lösung}
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\begin{description}
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\item[a.] $\exp(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}z^{k}$ \ $\Longrightarrow$ \ \ $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\exp(-1)=\underline{\underline{\frac{1}{e}}}$
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\item[b.] $\widetilde{x}=\sum\limits_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\allowbreak1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{12-4+1}{24}=\allowbreak\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\allowbreak\underline{\underline{0.375}}\,$
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\item[c.] Da die vorliegende Reihe eine alternierende Reihe ist, gilt $|x-\widetilde{x}|\leq\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}$. Damit ist $\underline{\underline{\alpha_x=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}}}$ ein absoluter Höchstfehler von $\widetilde{x}$.
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\end{description}
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\section{Aufgabe 127}
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Die Geschwindigkeit $v(t)$ eines Teilchens werde durch ein Polynom vom Grad $\leq 3$ beschrieben. Folgende Werte sind bekannt:
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\begin{tabular}{l||c|c|c|c}
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$t$ (in $s$) & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\
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\hline
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$v(t)$ (in $\frac{m}{s}$) & $0$ & $4$ & $18$ & $48$
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\end{tabular}
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Bestimmen Sie $v(t)$. Wie groß sind $v(1.5s)$ und $v(2.5s)$.
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\subsection{Lösung}
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\begin{list}{\ding{42}}
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{\setlength{\topsep}{0.5cm}
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\setlength{\itemsep}{0.5cm}
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\setlength{\leftmargin}{45mm}
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\setlength{\labelwidth}{30mm}
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\setlength{\parsep}{2mm}
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\setlength{\labelsep}{10mm}
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\renewcommand{\makelabel}[1]{\textbf{#1}}}
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\item[1. Schritt] Wegen $v(0s)=0\frac{m}{s}$ genügt es, die Lagrangeschen Grundpolynome $L_1$, $L_2$ und $L_3$ zu bestimmen.\\
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$L_1(t)=\frac{t(t-2s)(t-3s)}{1s(-1s)\cdot(-2s)}=\frac{t(t^2-3st-2st+6s^2)}{2s^3}=\frac{t^3-5st^2+6s^2t}{2s^3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^3}t^3-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{s^2}t^2+3\frac{1}{s}t$\\
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$L_2(t)=$\\
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$L_3(t)=$\\
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\item[2. Schritt] $v(t)=4\frac{m}{s}\cdot L_1(t)+18\frac{m}{s}\cdot L_2(t)+48\frac{m}{s}\cdot L_3(t)= 2\frac{m}{{s^4 }}t^3 - 10\frac{m}{{s^3 }}t^2 + 12\frac{m}{{s^2 }}t - 9\frac{m}{{s^4 }}t^3 + 36\frac{m}{{s^3 }}t^2 - 27\frac{m}{{s^2 }}t + 8\frac{m}{{s^4 }}t^3 - 24\frac{m}{{s^3 }}t^2 + 16\frac{m}{{s^2 }}t = \underline{\underline {1\frac{m}{{s^4 }}t^3 + 2\frac{m}{{s^3 }}t^2 + 1\frac{m}{{s^2 }}t}}$
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\item[Insbesondere] $1112121dsdsdasfsdaaaaaaaaaaaaaaagdfgerterter21$
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\end{list}
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