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<TeXmacs|1.0.7.14>
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<style|generic>
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<\body>
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<\hide-preamble>
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<assign|clearemptydoublepage|<macro|<new-page><pagestyle|empty><new-dpage>>>
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<assign|IR|<macro|I<space|-1.4mm>R>>
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<assign|IN|<macro|I<space|-1.4mm>N>>
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<assign|tabumg|<macro|<space|10mm><math|<wide|<text|h>|\<bar\>>>space10mm<math|<wide|<text|h>|\<bar\>>>space10mm<math|<wide|<text|h>|\<bar\>>>space10mm<kill><next-line>>>
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<assign|entspricht|<macro|<above|=|<with|math-level|2|\<wedge\>>>>>
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</hide-preamble>
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<samp|<verbatim|<strong|<em|>>>>
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<surround|| <clearemptydoublepage>|<\table-of-contents|toc>
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\;
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</table-of-contents>>
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<chapter|Lineare Algebra>
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<section|Vektoren in der Ebene - Übersicht>
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<subsection|01_1 Veranschaulichung von Vektoren in der Ebene>
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<\big-figure>
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<\minipage>
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[b].4<linewidth>\
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</minipage> <space|.1><\minipage>
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[b].4<linewidth>\
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</minipage>
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</big-figure|Punkt <math|(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*)>>
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<space|20mm><math|<wide|a|\<vect\>>*=*(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*)><htab|1fn>auch
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üblich <htab|1fn><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1><next-line>a<rsub|2>|\<nobracket\>>>
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<right|)>\<leftarrow\> Geordnetes Paar<space|20mm>
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<subsection|01_1 Menge aller Vektoren in der Ebene>
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Die Menge aller Vektoren in der Ebene heißt
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<math|<with|math-font|Bbb|R><rsup|2>>; dabei ist
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<math|<with|math-font|Bbb|R>> die Menge der reellen Zahlen. Also:
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<math|<with|math-font|Bbb|R>=<around*|{|<wide|a|\<vect\>>*=*(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*)*\|*a<rsub|1>*\<in\><with|math-font|Bbb|R>,*a<rsub|2>*\<in\><with|math-font|Bbb|R>|}>>
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<subsection|01_1 Addition von Vektoren in der Ebene>
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<\tabbing>
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Die Addition von Vektoren liefert als Ergebnis wieder einen
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Vektor.<next-line><next-line>
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rechnerisch:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>*,*<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>><next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>=*<around*|(|(*a<rsub|1>*+*b<rsub|1>*,*a<rsub|2>*+*b<rsub|2>*)|)>><next-line>
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</tabbing>
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<new-page>zeichnerisch: <\big-figure>
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\;
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</big-figure|Addition von Vektoren <math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>>>
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<\tabbing>
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Rechenregeln:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>=*<wide|b|\<vect\>>+*<wide|a|\<vect\>>>;<next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*+*<around*|(|<wide|b|\<vect\>>+<wide|c|\<vect\>>|)>*=*<around*|(|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>|)>*+<wide|c|\<vect\>>><next-line>
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</tabbing>
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<subsection|01_2 Nullvektor in der Ebene>
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<\tabbing>
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<\>><\>><math|<wide|0|\<vect\>>*=<around*|(|0*,*0|)>><next-line><next-line>Rechenregel:<\>><\>>
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<math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|0|\<vect\>>*=*<wide|a|\<vect\>>><next-line>
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</tabbing>
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<new-page>
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<subsection|01_2 Subtraktion von Vektoren in der Ebene>
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Die Subtraktion von Vektoren liefert wieder einen Vektor.
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<\tabbing>
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rechnerisch:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>*,*<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>><next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>=*<around*|(|a<rsub|1>*-*b<rsub|1>*,*a<rsub|2>*-*b<rsub|2>|)>><next-line>
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</tabbing>
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zeichnerisch: <\big-figure>
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\;
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</big-figure|Subtraktion von Vektoren <math|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>>>
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<\tabbing>
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Rechenregel:<\>><\>> <math|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|a|\<vect\>>*=*<wide|0|\<vect\>>><next-line>
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</tabbing>
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<new-page>
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<subsection|01_2 Multiplikation von einem Vektor mit einem Skalar (einer
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Zahl)>
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<\tabbing>
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Liefert wieder einen Vektor.<next-line><next-line>
|
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rechnerisch:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>*,*k*\<in\><with|math-font|Bbb|R>><next-line><\>><\>><math|k*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|k*\<cdot\>*a<rsub|1>*,*k*\<cdot\>*a<rsub|2>|)>><next-line><\>><\>><math|k*=*0>:
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<math|0*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=*<wide|0|\<vect\>>><next-line>
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</tabbing>
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zeichnerisch:
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<\big-figure>
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\;
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</big-figure|Multiplikation von Vektoren
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<math|<wide|a|\<vect\>>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>>>
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<\tabbing>
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Rechenregeln:<\>><\>><math|<around*|(|k<rsub|1>*\<cdot\>*k<rsub|2>|)>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=*k<rsub|1>*\<cdot\><around*|(|k<rsub|2>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>|)>>;<next-line><\>><\>><math|1*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=*<wide|a|\<vect\>>>;<next-line><\>><\>><math|k*\<cdot\>*<around*|(|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>|)>*=*k*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*+*k*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>>;<next-line><\>><\>><math|<around*|(|k<rsub|1>*+*k<rsub|2>|)>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=*k<rsub|1>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*+*k<rsub|2>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>><next-line><next-line>Zusammenhang
|
|
mit der Subtraktion:<next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>=*<wide|a|\<vect\>>*+<around*|(|-*1|)>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>><next-line>
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</tabbing>
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<new-page>
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<subsection|02_1 "`Kanonische"' Basisvektoren in der Ebene>
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<space|10mm> <math|<wide|e<rsub|1>|\<vect\>>=<around*|(|1*,*0|)>>;
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<math|<wide|e<rsub|2>|\<vect\>>=<around*|(|0*,*1|)>>
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<vspace|4mm> <space|10mm>Darstellung von
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<math|<wide|a|\<vect\>>*=*a<rsub|1>*\<cdot\><wide|e<rsub|1>|\<vect\>>+*a<rsub|2>*\<cdot\><wide|e<rsub|2>|\<vect\>>>
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<subsection|02_1 Lineare Abhängigkeit (Kollinearität)>
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<\tabbing>
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<\>><math|<wide|a|\<vect\>>> und <math|<wide|b|\<vect\>>> sind linear
|
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abhänging falls gilt:<next-line><next-line>
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<\>><\>>es gibt <math|k<rsub|1>> mit <math|<wide|a|\<vect\>>*=*k<rsub|1>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>>
|
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oder<next-line><\>><\>>es gibt <math|k<rsub|2>> mit
|
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<math|<wide|b|\<vect\>>=*k<rsub|2>*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>><next-line>
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</tabbing>
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<\itemize>
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<item>Anschauung für <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>>,
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<math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>>: die Punkte
|
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<math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>> und
|
|
<math|<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>> liegen auf einer Geraden durch
|
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den Nullpunkt.
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<item>Gegenteil: <wide*|lineare Abhängigkeit|\<bar\>>
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</itemize>
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<subsection|02_1 Länge (Norm) eines Vektors in der Ebene>
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<\big-figure>
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\;
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</big-figure|Länge (Norm) eines Vektors in der Ebene>
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<\itemize>
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<item><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*=<sqrt|a<rsup|2><rsub|1>*+*a<rsup|2><rsub|2>>>.
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Auch üblich: <math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>>
|
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<item>ist auch der Abstand zwischen den Punkten
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<math|<around*|(|0*,*0|)>> und <math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>>
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</itemize>
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<\tabbing>
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Rechenregeln:<\>><\>><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*=*0> gilt
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nur für <math|<wide|a|\<vect\>>*=*<wide|0|\<vect\>>><next-line><\>><\>><math|<around*|\||k*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>|\|>*=<around*|\||k|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>>;<next-line><\>><\>><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>|\|>*\<leqslant\><around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*+<around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>
|
|
</tabbing>
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<\itemize>
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<item>für <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>>,
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|
<math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>> ist
|
|
<math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>|\|>> der Abstand
|
|
der Punkte <math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>> und
|
|
<math|<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>>.
|
|
</itemize>
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<subsection|02_2 Einheitsvektoren>
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Einheitsvekotren sind Vektoren der Länge 1.
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<subsection|02_2 Skalarprodukt von zwei Vektoren in der Ebene>
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<\itemize>
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<item>liefert wieder einen Skalar
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<item>Berechnung für <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>|)>>,
|
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<math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>|)>>;<next-line><math|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*=*a<rsub|1>***b<rsub|1>*+*a<rsub|2>***b<rsub|2>><htab|1fn>auch
|
|
übliche Schreibweise: <math|<around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>
|
|
bzw. <math|<wide|a|\<vect\>>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>>
|
|
</itemize>
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<\tabbing>
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Rechenregeln:<\>><\>><math|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*=<around*|\<langle\>|<wide|b|\<vect\>>,*<wide|a|\<vect\>>|\<rangle\>>>;<next-line><\>><\>><math|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*+<wide|c|\<vect\>>,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*=<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*+<around*|\<langle\>|<wide|c|\<vect\>>,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>>;<next-line><\>><\>><math|<around*|\<langle\>|k*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*=*k*\<cdot\><around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>>;<next-line><\>><\>><math|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|a|\<vect\>>|\<rangle\>>*\<gtr\>*0>
|
|
für <math|<wide|a|\<vect\>>*\<neq\>*<wide|0|\<vect\>>><next-line><\>><\>><math|<around*|\||<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>|\|>*\<leqslant\><around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>><next-line>
|
|
</tabbing>
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<subsection|02_2 Öffnungswinkel zwischen zwei Vektoren
|
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<math|<wide|a|\<vect\>>*\<neq\>*0>, <math|<wide|b|\<vect\>>\<neq\>*0> in
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der Ebene>
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<\big-figure>
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|
<\tikzpicture>
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|
[scale=1.2]
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<draw>[-triangle 45] (0,0) -- (4,0) node[right] <math|x>;
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|
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<foreach> <x> in 1,2,3 <draw> (<x> cm,1pt) -- (<x> cm,-1pt)
|
|
node[anchor=north] <math|<x>>;
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|
|
|
<draw>[-triangle 45] (0,0) -- (0,4) node[above] <math|y>;
|
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|
<foreach> <y> in 1,2,3 <draw> (1pt,<y> cm) -- (-1pt,<y> cm)
|
|
node[anchor=east] <math|<y>>;
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|
|
|
<draw> [color=blue, thick, -triangle 45](0,0) -- (1,3)
|
|
node[sloped,above] <math|<wide|b|\<vect\>>> ; <draw> [color=red, thick,
|
|
-triangle 45](0,0) -- (3,1) node[right] <math|<wide|a|\<vect\>>> ;
|
|
|
|
<draw> (0,0) +(19:25mm) arc (19:71:25mm);
|
|
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|
<draw> (0.5,1) node[right, text width=15mm]<math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>;
|
|
</tikzpicture>
|
|
</big-figure|Öffnungswinkel zwischen zwei Vektoren in der Ebene>
|
|
|
|
<math|cos <around*|(|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>|)>*=<frac|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>>,
|
|
wobei <math|0*\<leqslant\>*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>*\<leqslant\>*\<pi\>>
|
|
|
|
im Bogenmaß (d.h. <math|0<rsup|\<circ\>>*\<leqslant\>*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>*\<leqslant\>*180<rsup|\<circ\>>>
|
|
im Gradmaß)
|
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|
<clearemptydoublepage>
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|
<subsection|Aufgaben - Vektoren in der Ebene>
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<subsubsection|Aufgabe 1>
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|
(Lösung siehe<reference|A001>)
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|
Gegeben sind: <space|10mm><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|3*,*4|)>>,<space|5mm><math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|10*,*5|)>>,<space|5mm><math|<wide|c|\<vect\>>=*<wide|a|\<vect\>>*-<frac|1|2>***<wide|b|\<vect\>>>
|
|
|
|
<\list|<ding|42>| \ \ \ \ \ <assign|makelabel|<macro|1|<with|font-series|bold|<arg|1>>>>>
|
|
<item*|a>Bestimmen Sie <math|<wide|c|\<vect\>>> durch Zeichnung und
|
|
Rechnung!
|
|
|
|
<item*|b>Bestimmen Sie <math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>>,
|
|
<math|<around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>,
|
|
<math|<around*|\||<wide|c|\<vect\>>|\|>>.
|
|
|
|
<item*|c>Bestimmen Sie den Öffnungswinkel
|
|
<math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,<wide|c|\<vect\>>|)>> und
|
|
<math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>.
|
|
</list>
|
|
|
|
<subsubsection|Aufgabe 2>
|
|
|
|
Welche Gegenkraft <math|<wide|F|\<vect\>>> hebt die folgenden vier
|
|
Einzelkräfte, die an einem Massepunkt angreifen, in der Wirkung
|
|
auf?<next-line>
|
|
|
|
<space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|1>*=<around*|(|200***N*,*110***N|)>><space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|2>*=<around*|(|-*10***N*,*30***N|)>>
|
|
|
|
<space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|3>*=<around*|(|40***N*,*85***N|)>><space|14mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|4>*=*<around*|(|-*30***N*,*-*50***N|)>><next-line><next-line>Von
|
|
welchem Betrag ist <math|<wide|F|\<vect\>>>? Unter welchem Winkel greifen
|
|
<math|<wide|F<rsub|1>|\<vect\>>> und <math|<wide|F<rsub|2>|\<vect\>>> den
|
|
Massepunkt an?
|
|
|
|
<subsubsection|Aufgabe 3>
|
|
|
|
Gegeben sind: <math|<wide|a|\<vect\>>*=*<around*|(|3*,*-*1*,*2|)>***<text|,
|
|
><wide|b|\<vect\>>=<around*|(|1*,*2*,*4|)><text|,
|
|
><wide|c|\<vect\>>=<around*|(|1*,*1*,*1|)>>.
|
|
|
|
Berechnen Sie: <\list|<ding|42>| \ \ \ \ \ <assign|makelabel|<macro|1|<with|font-series|bold|<arg|1>>>>>
|
|
<item*|a><math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>**<text|,
|
|
><wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>**<text|,
|
|
>4*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*<text|,
|
|
>-<frac|1|4>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>><text|,
|
|
>-*5*\<cdot\><wide|c|\<vect\>>>,
|
|
|
|
<item*|b><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|><text|,
|
|
><around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|><text|,
|
|
><around*|\||<wide|c|\<vect\>>|\|>>,
|
|
|
|
<item*|c><math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>,
|
|
|
|
<item*|d><math|<wide|a|\<vect\>>*\<times\>*<wide|b|\<vect\>>> und den
|
|
Flächeninhalt des von <math|<wide|a|\<vect\>>> und
|
|
<math|<wide|b|\<vect\>>> aufgespannten Parallelogramms,
|
|
|
|
<item*|e><math|<around*|[|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>,<wide|c|\<vect\>>|]>>
|
|
und das Volumen des von <math|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>> und
|
|
<math|<wide|c|\<vect\>>> aufgespannten Spats.
|
|
</list>
|
|
|
|
<subsubsection|Aufgabe 4>
|
|
|
|
Eine Kraft <math|<wide|F|\<vect\>>> mit
|
|
<math|<around*|\||<wide|F|\<vect\>>|\|>*=*85***N> verschiebt einen
|
|
Massenpunkt um eine Strecke <math|<wide|s|\<vect\>>> mit
|
|
<math|<around*|\||<wide|s|\<vect\>>|\|>*=*32***m>; dabei wird eine Arbeit
|
|
von <math|W*=*1360***J> verrichtet.
|
|
|
|
Unter welchem Winkel greift die Kraft an?
|
|
|
|
<subsubsection|Aufgabe 5>
|
|
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|
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
|
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|
|
<\equation*>
|
|
<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|A*=<around*|(|<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|0>|<cell|2>>|<row|<cell|0>|<cell|3>|<cell|0>>>>>|)>>>|<row|<cell|B*=<around*|(|<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|4>|<cell|5>>|<row|<cell|0>|<cell|0>>>>>|)>>>|<row|<cell|C*=<around*|(|<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|0>|<cell|1>>|<row|<cell|0>|<cell|-*1>>>>>|)>>>|<row|<cell|D*=<around*|(|<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|3>>|<row|<cell|0>|<cell|2>>>>>|)>>>|<row|<cell|F*=<around*|(|<tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|-<frac|3|2>>>|<row|<cell|0>|<cell|<frac|1|2>>>>>>|)>>>|<row|<cell|A*+*B>>|<row|<cell|B*+*C>>|<row|<cell|C*-*D>>|<row|<cell|4*\<cdot\>*F>>|<row|<cell|B*\<cdot\>*A>>|<row|<cell|A*\<cdot\>*B>>|<row|<cell|B*\<cdot\>*C>>|<row|<cell|C*\<cdot\>*B>>|<row|<cell|D*\<cdot\>*F>>|<row|<cell|F*\<cdot\>*D>>|<row|<cell|D>>|<row|<cell|D<rsup|-*1>>>|<row|<cell|A<rsup|t>>>|<row|<cell|B<rsup|t>>>>>>
|
|
</equation*>
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<section|Vektoren im Raum und n-dimensionale Vektoren - Übersicht>
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<subsection|03_1 Veranschaulichung von Vektoren im Raum>
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<\big-figure>
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<minipage|[b].4<linewidth> <image|VeranschaulichungVonVektorenImRaum01||||>
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> <space|.1><minipage|[b].4<linewidth>
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<image|VeranschaulichungVonVektorenImRaum02||||> >
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</big-figure|<math|P***u***n***k***t*(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>*)>>
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<space|20mm><math|<wide|a|\<vect\>>*=*(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>*)><htab|1fn>auch
|
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üblich <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1><next-line>a<rsub|2><next-line>a<rsub|3>|\<nobracket\>>>
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<right|)>\<leftarrow\> Tripel<space|20mm>
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<subsection|03_1 Menge aller Vektoren im Raum / Menge aller n-dimensionalen
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Vektoren>
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<image|MengeAllerVektorenImRaum||||>
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<vspace|-15mm>
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<subsection|03_1 Addition von n-dimensionalen Vektoren>
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<\tabbing>
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Die Addition liefert wieder einen Vektor.<next-line><next-line>Berechnung:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>>,<space|10mm>
|
|
<math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*b<rsub|n>|)>><next-line><next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>=*<around*|(|a<rsub|1>*+*b<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>*+*b<rsub|n>|)>><next-line><next-line>
|
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|
|
Rechenregeln wie für <math|n*=*2>.
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</tabbing>
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<subsection|03_1 n-dimensionaler Nullvektor>
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<\tabbing>
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<\>><\>><math|<wide|0|\<vect\>>*=<around*|(|0*,*\<ldots\>*,*0|)>><next-line><next-line>Rechenregeln
|
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wie für <math|n*=*2>.
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</tabbing>
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<subsection|03_2 Subtraktion von n-dimensionalen Vektoren>
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<\tabbing>
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Die Subtraktion liefert wieder einen Vektor.<next-line><next-line>Berechnung:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>>,<space|10mm>
|
|
<math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*b<rsub|n>|)>><next-line><next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>=*<around*|(|a<rsub|1>*-*b<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>*-*b<rsub|n>|)>><next-line><next-line>
|
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|
Rechenregeln und Zusammenhang mit der Subtraktion wie für <math|n*=*2>.
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</tabbing>
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<subsection|03_2 Multiplikation von einem n-dimensionale Vektor mit einem
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Skalar>
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<\tabbing>
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Die Multiplikation liefert wieder einen
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Vektor.<next-line><next-line>Berechnung:<\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>>,
|
|
<space|5mm><math|k*\<in\><IR>><next-line><next-line><\>><\>><math|k*\<cdot\>*<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|k*\<cdot\>*a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*k*\<cdot\>*a<rsub|n>|)>><next-line><next-line>
|
|
|
|
Rechenregeln und Zusammenhang mit der Subtraktion wie für <math|n*=*2>.
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</tabbing>
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|
<new-page>
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<subsection|03_2 "`Kanonische"' n-dimensionale Basisvektoren>
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<\tabbing>
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<image|KanonischeVektorenImRaum||||><next-line><next-line><\>>Darstellung
|
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von <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>>:<next-line>
|
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|
|
<\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=*a<rsub|1><wide|e<rsub|1>|\<vect\>>+*\<ldots\>*+*a<rsub|n><wide|e<rsub|n>|\<vect\>>=*<big|sum><rsub|i*=*1><rsup|n>a<rsub|i><wide|e<rsub|i>|\<vect\>>>
|
|
</tabbing>
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<subsection|03_2 Eine Linearkombination von m n-dimensionalen Vektoren
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<math|<wide|a<rsub|1>|\<vect\>>,*\<ldots\>*,<wide|a<rsub|m>|\<vect\>>>>
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<\tabbing>
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|
<\>>ist ein Ausdruck der Form<next-line><\>><math|k<rsub|1>*\<cdot\><wide|a<rsub|1>|\<vect\>>+*\<ldots\>*+*k<rsub|m>*\<cdot\><wide|a<rsub|m>|\<vect\>>=*<big|sum><rsub|j*=*1><rsup|m>k<rsub|j>*\<cdot\><wide|a<rsub|j>|\<vect\>>><next-line>
|
|
</tabbing>
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<subsection|03_2 Lineare Abhängigkeit von n-dimensionalen Vektoren>
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<\tabbing>
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<\>><math|<wide|a<rsub|1>|\<vect\>>,*\<ldots\>*,<wide|a<rsub|m>|\<vect\>>>
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sind linear abhängig, falls sich einer der Vektoren als Linearkombination
|
|
der restlichen<next-line><\>>darstellen
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|
lässt.<next-line><\>>Gegenteil:<wide*|lineare
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Unabhängigkeit|\<bar\>><next-line>
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</tabbing>
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<\itemize>
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<item>Lineare Abhängigkeit für drei Vektoren im Raum:
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<\itemize>
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<item>anderer Name: Komplanarität
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<item>Anschauung für <math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>|)>>,
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|
<math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>*,*b<rsub|3>|)>>,
|
|
<math|<wide|c|\<vect\>>=<around*|(|c<rsub|1>*,*c<rsub|2>*,*c<rsub|3>|)>>:<next-line>die
|
|
Punkte <math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>|)>>,
|
|
<math|<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>*,*b<rsub|3>|)>> und
|
|
<math|<around*|(|c<rsub|1>*,*c<rsub|2>*,*c<rsub|3>|)>> liegen auf einer
|
|
Ebene durch den Nullpunkt.
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</itemize>
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</itemize>
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<subsection|04_1 Länge (Norm) eines n-dimensionalen Vektors>
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<\tabbing>
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<\>>Berechnung:<next-line><\>><\>><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>><next-line><\>><\>><math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*=<sqrt|a<rsub|1><rsup|2>*+*\<ldots\>*+*a<rsub|n><rsup|2>>*=<sqrt|<big|sum><rsub|i*=*1><rsup|n>a<rsub|i><rsup|2>>><next-line><next-line>
|
|
|
|
<\>>Rechenregeln wie für <math|n*=*2><next-line><next-line><\>>für
|
|
<math|n*=*3> ist <math|\|*<wide|a|\<vect\>>*\<\|\|\>> auch der Abstand
|
|
der Punkte <math|<around*|(|0*,*0*,*0|)>> und
|
|
<math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>|)>><next-line><next-line><\>>für
|
|
<math|n*=*3>, <math|<wide|a|\<vect\>><around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>|)>>,
|
|
<math|<wide|b|\<vect\>><around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>*,*b<rsub|3>|)>><next-line><\>>ist
|
|
<math|\<\|\|\>*<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>\<\|\|\>> auch der
|
|
Abstand der Punkte <math|<around*|(|a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>|)>><next-line><\>>und
|
|
<math|<around*|(|b<rsub|1>*,*b<rsub|2>*,*b<rsub|3>|)>>
|
|
</tabbing>
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|
<subsection|04_1 n-dimensionale Einheitsvektoren>
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<\tabbing>
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<\>>sind Vektoren der Länge 1
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</tabbing>
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<subsection|04_1 Skalarprodukt von zwei n-dimensionalen Vektoren>
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<\tabbing>
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<\>>liefert einen Skalar<next-line><\>>Berechnung:
|
|
<math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|a<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*a<rsub|n>|)>>,
|
|
<math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|b<rsub|1>*,*\<ldots\>*,*b<rsub|n>|)>><next-line><\>><math|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>*=*a<rsub|1>***b<rsub|1>*+*\<ldots\>*+*a<rsub|n>***b<rsub|1>*=*<big|sum><rsub|i*=*1><rsup|n>a<rsub|i>***b<rsub|i>><next-line><\>>Rechenregeln
|
|
wie für <math|n*=*2>
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</tabbing>
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<subsection|04_1 Öffnungswinkel zwischen zwei n-dimensionalen Vektoren
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<math|<wide|a|\<vect\>>*\<ne\>*<wide|0|\<vect\>>> und
|
|
<math|<wide|b|\<vect\>>\<ne\>*<wide|0|\<vect\>>>>
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|
<\tabbing>
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|
<\>>Berechnung: <math|cos <around*|(|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>|)>*=<frac|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>>,<next-line><\>>wobei
|
|
<math|0*\<le\>*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>*\<le\>*\<pi\>>
|
|
im Bogenmaß<next-line><\>>(d.h. <math|0<rsup|0>*\<le\>*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>*\<le\>*180<rsup|0>>
|
|
im Gradmaß),<next-line><\>>also wie für <math|n*=*2>
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</tabbing>
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<clearemptydoublepage>
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<chapter|Lösungen>
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<section|Aufgabe 1><label|A001>
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Gegeben sind: <space|10mm><math|<wide|a|\<vect\>>*=<around*|(|3*,*4|)>>,<space|5mm><math|<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|10*,*5|)>>,<space|5mm><math|<wide|c|\<vect\>>=*<wide|a|\<vect\>>*-<frac|1|2>***<wide|b|\<vect\>>>
|
|
|
|
<\list|<ding|42>| \ \ \ \ \ <assign|makelabel|<macro|1|<with|font-series|bold|<arg|1>>>>>
|
|
<item*|a>Bestimmen Sie <math|<wide|c|\<vect\>>> durch Zeichnung und
|
|
Rechnung!
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<item*|b>Bestimmen Sie <math|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>>,
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<math|<around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>,
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<math|<around*|\||<wide|c|\<vect\>>|\|>>.
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<item*|c>Bestimmen Sie den Öffnungswinkel
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<math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,<wide|c|\<vect\>>|)>> und
|
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<math|\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>.
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</list>
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<subsection|Lösung>
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<subsubsection|Zeichnung>
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<\list|<ding|42>| \ \ \ \ \ <assign|makelabel|<macro|1|<with|font-series|bold|<arg|1>>>>>
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<item*|a><image|Loesung0001||||>
|
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</list>
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|
|
<subsubsection|Rechnung>
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<\list|<ding|42>| \ \ \ \ \ <assign|makelabel|<macro|1|<with|font-series|bold|<arg|1>>>>>
|
|
<item*|a><math|<wide*|<wide*|<wide|c|\<vect\>>|\<bar\>>|\<bar\>>=*<wide|a|\<vect\>>*-<frac|1|2>***<wide|b|\<vect\>>=<around*|(|3*,*4|)>*-<frac|1|2><around*|(|10*,*5|)>*=<around*|(|3*,*4|)>*-<around*|(|10*\<cdot\><frac|1|2>*,*5*\<cdot\><frac|1|2>|)>*=<around*|(|3*,*4|)>*-<around*|(|5*,<frac|5|2>|)>*=*<around*|(|3*-*5*,*4*-<frac|5|2>|)>*=<wide*|<wide*|<around*|(|-*2*,<frac|3|2>|)>|\<bar\>>|\<bar\>>>
|
|
|
|
<item*|b><math|<wide*|<wide*|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>|\<bar\>>|\<bar\>>=<around*|\||<around*|(|3*,*4|)>|\|>*=<sqrt|3<rsup|2>*+*4<rsup|2>>*=<sqrt|9*+*16>*=<sqrt|25>*=<wide*|<wide*|5|\<bar\>>|\<bar\>>><next-line><next-line><math|<wide*|<wide*|<around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>|\<bar\>>|\<bar\>>=<around*|\||<around*|(|10*,*6|)>|\|>*=<sqrt|10<rsup|2>*+*5<rsup|2>>*=<sqrt|100*+*25>*=<sqrt|125>*=<sqrt|5*\<cdot\>*25>*=*5**<sqrt|5>*\<cong\><wide*|<wide*|11.18033988|\<bar\>>|\<bar\>>><next-line><math|<wide*|<wide*|<around*|\||<wide|c|\<vect\>>|\|>|\<bar\>>|\<bar\>>=<around*|\||<around*|(|-*2*,<frac|3|2>|)>|\|>*=<sqrt|<around*|(|-*2|)><rsup|2>*+<around*|(|<frac|3|2>|)><rsup|2>>*=<sqrt|4*+<frac|9|4>>*=<sqrt|<frac|16*+*9|4>>*=<sqrt|<frac|25|4>>*=<wide*|<wide*|<frac|5|2>|\<bar\>>|\<bar\>>>
|
|
|
|
<item*|c><math|\<alpha\>*=*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,<wide|c|\<vect\>>|)>***<text|,
|
|
>0*\<le\>*\<alpha\>*\<le\>*\<pi\>><next-line><vspace|2mm>
|
|
<space|-1.5mm><math|cos <around*|(|\<alpha\>|)>*=<frac|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,<wide|c|\<vect\>>|\<rangle\>>|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|c|\<vect\>>|\|>>*=<rsub|v***g***l.***b.><frac|<around*|\<langle\>|<around*|(|3*,*4|)>*,<around*|(|-*2*,<frac|3|2>|)>|\<rangle\>>|5*\<cdot\><frac|5|2>>*=<frac|3*\<cdot\><around*|(|-*2|)>*+*4*\<cdot\><frac|3|2>|<frac|25|2>>*=<frac|-*6*+*6|<frac|25|2>>*=*0*\<Rightarrow\><wide*|<wide*|\<alpha\>*=<frac|\<pi\>|2>|\<bar\>>|\<bar\>><around*|(|<entspricht>90<rsup|\<circ\>>|)>><next-line><vspace|5mm>
|
|
|
|
<math|\<beta\>*=*\<alpha\><around*|(|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|)>>,
|
|
<math|0*\<le\>*\<beta\>*\<le\>*\<pi\>><next-line><vspace|2mm>
|
|
<space|-1.5mm><math|cos <around*|(|\<beta\>|)>*=<frac|<around*|\<langle\>|<wide|a|\<vect\>>*,*<wide|b|\<vect\>>|\<rangle\>>|<around*|\||<wide|a|\<vect\>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<wide|b|\<vect\>>|\|>>*=<rsub|v***g***l.***b.><frac|<around*|\<langle\>|<around*|(|3*,*4|)>*,<around*|(|10*,*5|)>|\<rangle\>>|5*\<cdot\>*5*\<cdot\><sqrt|5>>*=<frac|3*\<cdot\>*10*+*4*\<cdot\>*5|25*\<cdot\><sqrt|5>>*=<frac|50|25*\<cdot\><sqrt|5>>*=<frac|2|<sqrt|5>>>.<next-line>Es
|
|
folgt:<next-line><math|\<beta\>*=*cos<rsup|-*1><around*|(|<frac|2|<sqrt|5>>|)>*=*arccos<around*|(|<frac|2|<sqrt|5>>|)>*\<cong\><wide*|<wide*|0.463647609|\<bar\>>|\<bar\>><around*|(|<entspricht>26.565051177078<rsup|\<circ\>>|)>>
|
|
</list>
|
|
|
|
<section|Aufgabe 2>
|
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|
Welche Gegenkraft <math|<wide|F|\<vect\>>> hebt die folgenden vier
|
|
Einzelkräfte, die an einem Massepunkt angreifen, in der Wirkung
|
|
auf?<next-line>
|
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<space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|1>*=<around*|(|200***N*,*110***N|)>><space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|2>*=<around*|(|-*10***N*,*30***N|)>>
|
|
|
|
<space|10mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|3>*=<around*|(|40***N*,*85***N|)>><space|14mm><math|<wide|F|\<vect\>><rsub|4>*=*<around*|(|-*30***N*,*-*50***N|)>><next-line><next-line>Von
|
|
welchem Betrag ist <math|<wide|F|\<vect\>>>? Unter welchem Winkel greifen
|
|
<math|<wide|F<rsub|1>|\<vect\>>> und <math|<wide|F<rsub|2>|\<vect\>>> den
|
|
Massepunkt an?
|
|
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|
<subsection|Lösung>
|
|
|
|
<math|<overrightarrow>F*=*-*<around*|(|<overrightarrow|F<rsub|1>>+<overrightarrow|F<rsub|2>>+<overrightarrow|F<rsub|3>>+<overrightarrow|F<rsub|4>>|)><next-line>=*-*<around*|(|200***N*-*10***N*+*40***N*-*30***N*,*110***N*+*30***N*+*85***N*-*50***N|)><next-line>=*-<around*|(|200***N*,*175***N|)><next-line>=<wide*|<wide*|<around*|(|-*200***N*,*-*175***N|)>|\<bar\>>|\<bar\>>><next-line>
|
|
|
|
<math|<wide*|<wide*|<overrightarrow>F|\<bar\>>|\<bar\>>=<sqrt|-<around*|(|200|)><rsup|2>*+<around*|(|-*175|)><rsup|2>>***N*=<sqrt|<around*|(|8*\<cdot\>*25|)><rsup|2>*+<around*|(|7*\<cdot\>*25|)><rsup|2>>***N*=*25*\<cdot\><sqrt|113>***N<entspricht><wide*|<wide*|265.7536453***N|\<bar\>>|\<bar\>>><next-line><next-line>Der
|
|
gesuchte Winkel sei <math|\<alpha\>*<text|,
|
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>0*\<leq\>*\<alpha\>*\<leq\>*\<pi\>>.<next-line>Dann gilt:
|
|
<math|cos<around*|(|\<alpha\>|)>*=<frac|<around*|\<langle\>|<overrightarrow|F<rsub|1>>,<overrightarrow|F<rsub|2>>|\<rangle\>>|<around*|\||<overrightarrow|F<rsub|1>>|\|>*\<cdot\><around*|\||<overrightarrow|F<rsub|2>>|\|>>>.
|
|
<math|<with|font-size|2|\<otimes\>>>
|
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|
|
<\math>
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|
<around*|\<langle\>|<wide|F|\<vect\>><rsub|1>*,<math-ordinary|<frac|<buildrel|<lower>3***p***t<math|<with|math-level|2|\<rightharpoonup\>>>>|F>><rsub|2>|\<rangle\>>*=<around*|\<langle\>|<around*|(|200***N*,*110***N|)>*,<around*|(|-*10***N*,*30***N|)>|\<rangle\>>*=*-*2000***N<rsup|2>*+*3300***N<rsup|2>*=*1300***N<rsup|2>
|
|
</math>
|
|
|
|
<\math>
|
|
<around*|\||<wide|F|\<vect\>><rsub|1>|\|>*=<sqrt|<around*|(|200|)><rsup|2>*+<around*|(|110|)><rsup|2>>***N*\<cong\>*228.2542442***N
|
|
</math>
|
|
|
|
<math|<around*|\||<wide|F|\<vect\>><rsub|2>|\|>*=<sqrt|<around*|(|-*10|)><rsup|2>*+<around*|(|30|)><rsup|2>>***N*\<cong\>*31.6227766***N><next-line>
|
|
|
|
Das Einsetzen in <math|<with|font-size|2|\<otimes\>>> ergibt:
|
|
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|
<\math>
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|
cos <around*|(|\<alpha\>|)>*\<cong\>*0.1801044696*\<Rightarrow\>*arccos
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|
<around*|(|\<alpha\>|)>*\<cong\><wide*|<wide*|1.38970367|\<bar\>>|\<bar\>><around*|(|<text|<with|font-family|rm|79><with|font-family|rm|.62415508>><rsup|\<circ\>>|)>
|
|
</math>
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<clearemptydoublepage>
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<assign|appendixname|<macro|Anhang>> <assign|bibname|<macro|Literatur>>
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</body>
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<\references>
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<\collection>
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<associate|A001|<tuple|1|?>>
|
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<associate|auto-1|<tuple|1|?>>
|
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<associate|auto-10|<tuple|3|?>>
|
|
<associate|auto-11|<tuple|1.6|?>>
|
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<associate|auto-12|<tuple|4|?>>
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<associate|auto-22|<tuple|1.13.1|?>>
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<associate|auto-24|<tuple|1.13.3|?>>
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<associate|auto-39|<tuple|2.11|?>>
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<associate|auto-4|<tuple|1|?>>
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<associate|auto-41|<tuple|2.13|?>>
|
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<associate|auto-42|<tuple|2|?>>
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<associate|auto-43|<tuple|1|?>>
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<associate|auto-44|<tuple|1.1|?>>
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<associate|auto-46|<tuple|1.1.2|?>>
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<associate|auto-47|<tuple|2|?>>
|
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<associate|auto-48|<tuple|2.1|?>>
|
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|
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|
<associate|auto-8|<tuple|1.4|?>>
|
|
<associate|auto-9|<tuple|1.5|?>>
|
|
</collection>
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|
</references>
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<\auxiliary>
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<\collection>
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<\associate|figure>
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|
<tuple|normal|Punkt <with|mode|<quote|math>|(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*)>|<pageref|auto-4>>
|
|
|
|
<tuple|normal|Addition von Vektoren
|
|
<with|mode|<quote|math>|<wide|a|\<vect\>>*+*<wide|b|\<vect\>>>|<pageref|auto-7>>
|
|
|
|
<tuple|normal|Subtraktion von Vektoren
|
|
<with|mode|<quote|math>|<wide|a|\<vect\>>*-*<wide|b|\<vect\>>>|<pageref|auto-10>>
|
|
|
|
<tuple|normal|Multiplikation von Vektoren
|
|
<with|mode|<quote|math>|<wide|a|\<vect\>>*\<cdot\>*<wide|b|\<vect\>>>|<pageref|auto-12>>
|
|
|
|
<tuple|normal|Länge (Norm) eines Vektors in der
|
|
Ebene|<pageref|auto-16>>
|
|
|
|
<tuple|normal|Öffnungswinkel zwischen zwei Vektoren in der
|
|
Ebene|<pageref|auto-20>>
|
|
|
|
<tuple|normal|<with|mode|<quote|math>|P***u***n***k***t*(*a<rsub|1>*,*a<rsub|2>*,*a<rsub|3>*)>|<pageref|auto-29>>
|
|
</associate>
|
|
<\associate|toc>
|
|
<vspace*|2fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|font-size|<quote|1.19>|Lineare
|
|
Algebra> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-1><vspace|1fn>
|
|
|
|
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Vektoren
|
|
in der Ebene - Übersicht> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-2><vspace|0.5fn>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|01_1 Veranschaulichung von Vektoren in der
|
|
Ebene <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-3>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|01_1 Menge aller Vektoren in der Ebene
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-5>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|01_1 Addition von Vektoren in der Ebene
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-6>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|01_2 Nullvektor in der Ebene
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-8>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|01_2 Subtraktion von Vektoren in der Ebene
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-9>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|01_2 Multiplikation von einem Vektor mit
|
|
einem Skalar (einer Zahl) <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-11>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|02_1 "`Kanonische"' Basisvektoren in der
|
|
Ebene <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-13>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|02_1 Lineare Abhängigkeit (Kollinearität)
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-14>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|02_1 Länge (Norm) eines Vektors in der
|
|
Ebene <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-15>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|02_2 Einheitsvektoren
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-17>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|02_2 Skalarprodukt von zwei Vektoren in
|
|
der Ebene <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-18>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|02_2 Öffnungswinkel zwischen zwei Vektoren
|
|
<with|mode|<quote|math>|<wide|a|\<vect\>>*\<neq\>*0>,
|
|
<with|mode|<quote|math>|<wide|b|\<vect\>>\<neq\>*0> in der Ebene
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-19>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|Aufgaben - Vektoren in der Ebene
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-21>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|3fn>|Aufgabe 1
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-22>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|3fn>|Aufgabe 2
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-23>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|3fn>|Aufgabe 3
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-24>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|3fn>|Aufgabe 4
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-25>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|3fn>|Aufgabe 5
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-26>>
|
|
|
|
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Vektoren
|
|
im Raum und n-dimensionale Vektoren - Übersicht>
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-27><vspace|0.5fn>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|03_1 Veranschaulichung von Vektoren im
|
|
Raum <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-28>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|03_1 Menge aller Vektoren im Raum / Menge
|
|
aller n-dimensionalen Vektoren <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-30>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|03_1 Addition von n-dimensionalen Vektoren
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-31>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|03_1 n-dimensionaler Nullvektor
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-32>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|03_2 Subtraktion von n-dimensionalen
|
|
Vektoren <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-33>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|03_2 Multiplikation von einem
|
|
n-dimensionale Vektor mit einem Skalar
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-34>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|03_2 "`Kanonische"' n-dimensionale
|
|
Basisvektoren <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-35>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|03_2 Eine Linearkombination von m
|
|
n-dimensionalen Vektoren <with|mode|<quote|math>|<wide|a<rsub|1>|\<vect\>>,*\<ldots\>*,<wide|a<rsub|m>|\<vect\>>>
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-36>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|03_2 Lineare Abhängigkeit von
|
|
n-dimensionalen Vektoren <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-37>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|04_1 Länge (Norm) eines n-dimensionalen
|
|
Vektors <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-38>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|04_1 n-dimensionale Einheitsvektoren
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-39>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|04_1 Skalarprodukt von zwei
|
|
n-dimensionalen Vektoren <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-40>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|04_1 Öffnungswinkel zwischen zwei
|
|
n-dimensionalen Vektoren <with|mode|<quote|math>|<wide|a|\<vect\>>*\<ne\>*<wide|0|\<vect\>>>
|
|
und <with|mode|<quote|math>|<wide|b|\<vect\>>\<ne\>*<wide|0|\<vect\>>>
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-41>>
|
|
|
|
<vspace*|2fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|font-size|<quote|1.19>|Lösungen>
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-42><vspace|1fn>
|
|
|
|
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Aufgabe
|
|
1> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-43><vspace|0.5fn>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|Lösung
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-44>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|3fn>|Zeichnung
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-45>>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|3fn>|Rechnung
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-46>>
|
|
|
|
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Aufgabe
|
|
2> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-47><vspace|0.5fn>
|
|
|
|
<with|par-left|<quote|1.5fn>|Lösung
|
|
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
|
|
<no-break><pageref|auto-48>>
|
|
</associate>
|
|
</collection>
|
|
</auxiliary> |