HS bis Seite 15 OCR
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Sven Riwoldt
@@ -283,6 +283,7 @@ gilt für die Summe einer geometrischen Reihe.
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aufzulösen.
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aufzulösen.
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–>13
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@@ -75,6 +75,292 @@
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1.
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Formelumstellungen .
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10
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 1.1.
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bis 1.9.
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13
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Einige Bemerkungen zum Lösungsplan .
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17
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2.
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Einige Bemerkungen zur Mengenlehre .
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18
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Übersicht über einige Funktionen und deren Bilder .
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23
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 2.1.
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bis 2.10 .
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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3.
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Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei unbekannten
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Variablen .
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31
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 3.1.
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bis 3.11.
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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4.
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Quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades .
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 4.1.
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bis 4.7.
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41 45
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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5.
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Ungleichungen, Wurzelgleichungen, goniometrische Gleichungen.
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 5.1.
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bis 5.7.
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(Ungleichungen) .
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55
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 5.8.
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bis 5.16.
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(Wurzelgleichungen) .
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55
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 5.17.
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bis 5.30.
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(goniometr.
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Gleichungen) .
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59
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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6.
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Folgen, Grenzwert, Stetigkeit .
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67
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Übersicht über einige Folgen und deren Eigenschaften .
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74
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 6.1 bis 6.21 .
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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7.
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Funktionsuntersuchungen, Kurvendiskussion
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 7.1.
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bis 7.12.
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8.
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Schnittprobleme-Methode der unbestimmten Koeffizienten .
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101
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 8.1.
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bis 8.8.
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103
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Übersicht über die Bilder einiger Funktionen .
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107
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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|
9.
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|
Extremwertaufgaben .
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108 Aufgaben 9.1.
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bis 9.15 .
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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10.
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Flächenberechnung durch Integration 111
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Differentialquotienten und unbestimmte Grundintegrale einiger wichtiger
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Funktionen .
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124
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 10.1.
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bis 10.8 .
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125
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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11.
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Volumenberechnung von Rotationskörpern Integrationsmethoden .
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129
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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Aufgaben 11.1.
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bis 11.8.
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\end_layout
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\begin_layout Standard
|
\begin_layout Standard
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1.
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1.
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Formelumstellungen
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Formelumstellungen
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500
Mathe Anleitung/gesamt.tex
Normal file
500
Mathe Anleitung/gesamt.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,500 @@
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%% LyX 2.3.7 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/.
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%% Do not edit unless you really know what you are doing.
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\documentclass[english]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[latin9]{inputenc}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{amsbsy}
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\usepackage{amstext}
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\usepackage{amssymb}
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\makeatletter
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
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%% Because html converters don't know tabularnewline
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\providecommand{\tabularnewline}{\\}
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\makeatother
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\usepackage{babel}
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\begin{document}
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|
1. Formelumstellungen . . . . . . . . . . . . . . . 10
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Aufgaben 1.1. bis 1.9. . . . . . . . . . . . . . . 13
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Einige Bemerkungen zum L<>sungsplan . . . . . . . 17
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|
2. Einige Bemerkungen zur Mengenlehre . . . . . . 18
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|
<EFBFBD>bersicht <20>ber einige Funktionen und deren Bilder . . 23
|
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|
Aufgaben 2.1. bis 2.10 .
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|
3. Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei unbekannten
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||||||
|
Variablen . . . . . . . . . . 31
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|
Aufgaben 3.1. bis 3.11.
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|
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|
4. Quadratische Gleichungen und Gleichungen h<>heren Grades .
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|
Aufgaben 4.1. bis 4.7. 41 45
|
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|
5. Ungleichungen, Wurzelgleichungen, goniometrische Gleichungen.
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||||||
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|
Aufgaben 5.1. bis 5.7. (Ungleichungen) . . . . . . . 55
|
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|
Aufgaben 5.8. bis 5.16. (Wurzelgleichungen) . . . . . 55
|
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|
Aufgaben 5.17. bis 5.30. (goniometr. Gleichungen) . . 59
|
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|
6. Folgen, Grenzwert, Stetigkeit . . . . . . . . . . . 67
|
||||||
|
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|
<EFBFBD>bersicht <20>ber einige Folgen und deren Eigenschaften . 74
|
||||||
|
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|
Aufgaben 6.1 bis 6.21 .
|
||||||
|
|
||||||
|
7. Funktionsuntersuchungen, Kurvendiskussion
|
||||||
|
|
||||||
|
Aufgaben 7.1. bis 7.12. 8. Schnittprobleme-Methode der unbestimmten
|
||||||
|
Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
|
||||||
|
|
||||||
|
Aufgaben 8.1. bis 8.8. . . . . . . . . . . . . . . 103
|
||||||
|
|
||||||
|
<EFBFBD>bersicht <20>ber die Bilder einiger Funktionen . . . . 107
|
||||||
|
|
||||||
|
9. Extremwertaufgaben . 108 Aufgaben 9.1. bis 9.15 .
|
||||||
|
|
||||||
|
10. Fl<46>chenberechnung durch Integration 111
|
||||||
|
|
||||||
|
Differentialquotienten und unbestimmte Grundintegrale einiger wichtiger
|
||||||
|
Funktionen . . . . . . . 124
|
||||||
|
|
||||||
|
Aufgaben 10.1. bis 10.8 . 125
|
||||||
|
|
||||||
|
11. Volumenberechnung von Rotationsk<73>rpern Integrationsmethoden .
|
||||||
|
. . . . . . . . . . . . . 129
|
||||||
|
|
||||||
|
Aufgaben 11.1. bis 11.8.
|
||||||
|
|
||||||
|
1. Formelumstellungen
|
||||||
|
|
||||||
|
In Technik, Physik und Mathematik sind gegenseitige Beziehungen zwischen
|
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|
Gr<EFBFBD><EFBFBD>en als Formeln bekannt. Es handelt sich um Gleichungen, die entweder
|
||||||
|
Identit<EFBFBD>ten sind (f<>r alle Belegungen der Variablen gelten) oder innerhalb
|
||||||
|
eines bestimmten Definitionsbereiches die objektive Realit<69>t widerspiegeln.
|
||||||
|
H<EFBFBD>ufig sind solche Beziehungen ihr<68>r mathematischen Struktur nach
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gleichartig aufgebaut. Die Bearbeitung der v<>llig: verschiedenen Gebieten
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entnommenen Gesetzm<7A><6D>igkeiten erfolgt deshalb oft analog. Ein und
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derselbe Typ einer mathematischen Beziehung beschreibt und charakterisiert
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also dann physikalische oder technische Verh<72>ltnisse aus verschiedenen
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Sachgebieten.
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||||||
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Beispiele: %
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
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||||||
|
\hline
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||||||
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\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Typ: \tabularnewline
|
||||||
|
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}$ \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$s=v\cdot t$ \tabularnewline
|
||||||
|
gleichf<EFBFBD>rmige \tabularnewline
|
||||||
|
Bewegung \tabularnewline
|
||||||
|
$\sin\alpha=n\sin\beta$ \tabularnewline
|
||||||
|
Brechungs- \tabularnewline
|
||||||
|
gesetz Optik \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$U=R\cdot I$ \tabularnewline
|
||||||
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OHmsches \tabularnewline
|
||||||
|
Gesetz \tabularnewline
|
||||||
|
$\Phi=I\cdot\omega$ \tabularnewline
|
||||||
|
Lichtstrom \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$v=r\cdot\omega$ \tabularnewline
|
||||||
|
Dreh- \tabularnewline
|
||||||
|
bewegung \tabularnewline
|
||||||
|
$RT=p\cdot V$ \tabularnewline
|
||||||
|
Gas- \tabularnewline
|
||||||
|
gleichung \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$F_{\mathrm{R}}=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Reibung \tabularnewline
|
||||||
|
$u=\pi\cdot d$ \tabularnewline
|
||||||
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Kreisumfang \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Typ: \tabularnewline
|
||||||
|
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}^{2}$ \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$a_{\mathrm{r}}=\omega\cdot r^{2}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Radial- \tabularnewline
|
||||||
|
beschleunigung \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$E=m\cdot c^{2}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Gleichung von \tabularnewline
|
||||||
|
EINSTEIN \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$J=\frac{\varrho}{2}cu^{2}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Schallst<EFBFBD>rke \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$s=\frac{g}{2}\cdot t^{2}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Freier Fall \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
& %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$F_{z}=\frac{m}{r}\cdot v^{2}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Zentri- \tabularnewline
|
||||||
|
fugalkraft \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$A=\pi\cdot r^{2}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Kreisfl<EFBFBD>che \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$P=R\cdot I^{2}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Elektrische \tabularnewline
|
||||||
|
Leistung \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$A_{1}=A_{0}\cdot k^{2}$ \tabularnewline
|
||||||
|
<EFBFBD>hnlichkeit \tabularnewline
|
||||||
|
bei Fl<46>chen \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
& $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}$ & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}$ & $c=\sqrt{\frac{E}{\varrho}}$ & $d=a\cdot\sqrt{2}$ \tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\sqrt{\boldsymbol{C}}$ & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Periodendauer \tabularnewline
|
||||||
|
beim Faden- \tabularnewline
|
||||||
|
pendel \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Periodendauer \tabularnewline
|
||||||
|
physikalisches \tabularnewline
|
||||||
|
Pendel \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Schall- \tabularnewline
|
||||||
|
geschwindig- \tabularnewline
|
||||||
|
keit \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Quadrat- \tabularnewline
|
||||||
|
diagonale \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Typ: \tabularnewline
|
||||||
|
$\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{D}\pm\boldsymbol{E}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$\varrho=\frac{\gamma_{\mathrm{F}}\cdot G}{G-G_{\mathrm{F}}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Dichte- \tabularnewline
|
||||||
|
bestimmung \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$R=\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
KiRchHoFF- \tabularnewline
|
||||||
|
sches Gesetz \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$f=\frac{a\cdot b}{a+b}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Brennweite \tabularnewline
|
||||||
|
beim Spiegel \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$Z=\frac{\omega L_{1}\cdot L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Betrag des Wider- \tabularnewline
|
||||||
|
standsoperators \tabularnewline
|
||||||
|
Parallelschaltung \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Typ: \tabularnewline
|
||||||
|
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\frac{\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{E}^{2}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$F=\gamma\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Anziehung \tabularnewline
|
||||||
|
von Massen \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{s^{2}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
CoulomB- \tabularnewline
|
||||||
|
Gesetz \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$F=c\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{e^{2}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Magnetisches \tabularnewline
|
||||||
|
Feld \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$E=\frac{I\cdot\cos\varepsilon}{r^{2}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
Beleuchtungs- \tabularnewline
|
||||||
|
st<EFBFBD>rke $\quad$. \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$\mathrm{Typ}:$ \tabularnewline
|
||||||
|
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}(\mathbf{1}+\boldsymbol{C})$ \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$l=$ \tabularnewline
|
||||||
|
$l_{0}(1+\alpha\Delta t)$ \tabularnewline
|
||||||
|
L<EFBFBD>ngen- \tabularnewline
|
||||||
|
ausdehnung \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$V=$ \tabularnewline
|
||||||
|
$V_{0}(1+\gamma\Delta t)$ \tabularnewline
|
||||||
|
Volumen- \tabularnewline
|
||||||
|
ausdehnung \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$R=$ \tabularnewline
|
||||||
|
$R_{0}(1+\alpha t)$ \tabularnewline
|
||||||
|
Widerstand \tabularnewline
|
||||||
|
in Abh<62>ngig- \tabularnewline
|
||||||
|
keit von der \tabularnewline
|
||||||
|
Temperatur \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$a_{n}-a_{1}=$ \tabularnewline
|
||||||
|
$d(n-1)$ \tabularnewline
|
||||||
|
arithmetische \tabularnewline
|
||||||
|
Folge \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
\end{tabular}
|
||||||
|
|
||||||
|
Die Beziehungen (Gleichungen, Formeln) enthalten in den Termen Variablen,
|
||||||
|
die voneinander abh<62>ngen.
|
||||||
|
|
||||||
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Die Beziehung $s\quad v\quad.\quad t$ $($ Weg = Geschwindigkeit
|
||||||
|
$\cdot$ Zeit $)$ kann als Funktionsgleichung
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
s(t)\quad=\quad v\cdot t\quad[s\text{ und }t\text{ variabel, }v\text{ konstant }]
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
dargestellt werden. Bedeutung: Der zur<75>ckgelegte Weg $s$ ist bei
|
||||||
|
gleichf<EFBFBD>rmig geradliniger Bewegung von der Zeit $t$ abh<62>ngig. Entsprechend
|
||||||
|
kann man schreiben: $U(R)=I\cdot R$ und $v(r)=\omega\cdot r$ und
|
||||||
|
$F_{R}\left(F_{\mathrm{N}}\right)=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ und $u(d)=\pi\cdot d$
|
||||||
|
usw. Der Typ oiner solchen Abh<62>ngigkeit wird mathematisch durch die
|
||||||
|
verallgemeinernde Symbolik $f(x)=\ldots$ beschrieben. In der Regel
|
||||||
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ist in einer Formel eine bestimmte Variable gesucht (unbekannt), die
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||||||
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anderen Gr<47><72>en sind gegeben. Nicht immer ist jedoch die unbekannte
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||||||
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Variable in Abh<62>ngigkeit von den anderen explizit dargestellt. Dann
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||||||
|
mu<EFBFBD> die Formel erst nach einer bestimmten (umbekannten) Variablen
|
||||||
|
aufgel<EFBFBD>st werden.
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|
Das geschieht in folgender Weise: %
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\begin{tabular}{|c|c|c|}
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\hline
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||||||
|
Schritt & Prinzip & Muster \tabularnewline
|
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|
\hline
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||||||
|
\multirow{1}{*}{t} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Aufgabenstellung \tabularnewline
|
||||||
|
(sachgebietsbezogen) \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
In einer Batterieschaltung sind $n$ Ele- \tabularnewline
|
||||||
|
mente in Reihe (hintereinander) ge- \tabularnewline
|
||||||
|
schaltet. Jedes Element hat die Span- \tabularnewline
|
||||||
|
nung $U$ und den inneren Widerstand \tabularnewline
|
||||||
|
$R_{1}$. Die Gesamtstromst<73>rke ist $I$. Der \tabularnewline
|
||||||
|
Au<EFBFBD>enwiderstand $R_{\mathrm{a}}$ ist gesucht. \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
& %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Aufstellen der Formel \tabularnewline
|
||||||
|
(bekannt oder gegeben, evtl. aus \tabularnewline
|
||||||
|
der Formelsammlung zu entnehmen) \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & $I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
& %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Formulierung der mathema- \tabularnewline
|
||||||
|
tischen Aufgabe \tabularnewline
|
||||||
|
(Kennzeichnung der gesuchten \tabularnewline
|
||||||
|
Gr<EFBFBD><EFBFBD>e) \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+\boldsymbol{R}_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
|
||||||
|
ist nach $R_{\mathrm{a}}$ aufzul<75>sen. \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
\multirow{1}{*}{t} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Beschreibung der mathematischen \tabularnewline
|
||||||
|
Terme \tabularnewline
|
||||||
|
(L<>sungsplan) \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Die gesuchte Variable steht als Sum- \tabularnewline
|
||||||
|
mand im Nenner eines Bruches. \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
& %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
Elementare 0perationen zur Verein- \tabularnewline
|
||||||
|
fachung \tabularnewline
|
||||||
|
(falls erforderlich, Wurzeln oder \tabularnewline
|
||||||
|
Br<EFBFBD>che beseitigen - falls unbek. \tabularnewline
|
||||||
|
Variable innerhalb eines durch \tabularnewline
|
||||||
|
Klammern eingeschlossenen Terms, \tabularnewline
|
||||||
|
Aufl<EFBFBD>sen desselben oft zweckm<6B><6D>ig) \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular} & %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
$I\left(n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}\right)=n\cdot U$ \tabularnewline
|
||||||
|
$I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}+I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U$ \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||||
|
\hline
|
||||||
|
\end{tabular}
|
||||||
|
|
||||||
|
C Isolieren der unbekannten Variablen $I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{1}$
|
||||||
|
(Ziel: Terme mit der unbekannten Variablen stehen isoliert auf einer
|
||||||
|
Seite der Beziehung) Division der gesamten Gleichung durch den Koeffizienten
|
||||||
|
(Beiwert) $R_{\mathrm{a}}=\frac{n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}}{I}$
|
||||||
|
der unbekannten Variablen (Zuvor ist gegebenenfalls die unbekannte
|
||||||
|
Variable auszuheben / auszuklammern) %
|
||||||
|
\begin{tabular}{l}
|
||||||
|
D Bessere Gestaltung der gefundenen \tabularnewline
|
||||||
|
Formel \tabularnewline
|
||||||
|
\end{tabular}$R_{\mathrm{a}}=n\frac{U}{I}-nR_{1}$ oder:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
R_{\mathrm{a}}=n\left(\frac{U}{I}-R_{\mathrm{l}}\right)
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
Deutung und Diskussion Der Au<41>enwiderstand kann bestimmt werden durch
|
||||||
|
die mit der Anzahl der Elemente multiplizierten Differenz von Gesamtwiderstand
|
||||||
|
und Innenwiderstand.
|
||||||
|
|
||||||
|
Beachten Sie: Bei der Umstellung von Formeln gelten die Gesetzm<7A><6D>igkeiten
|
||||||
|
des L<>sens von Gleichungen. Es d<>rfen also nur <20>quivalente Umformungen
|
||||||
|
vorgenommen werden. Grunds<64>tzlich darf auf beiden Seiten einer Gleichheitsbeziehung
|
||||||
|
nur die gleiche Operation ausgef<65>hrt werden, und zwar: Addition oder
|
||||||
|
Subtraktion eines Terms,. Multiplikation mit einem von Null verschiedenen
|
||||||
|
Term, Division durch einen von Null verschiedenen Term, Potenzieren
|
||||||
|
mit ungeradzahligem Exponenten, Radizieren, sofern auf beiden Seiten
|
||||||
|
positive Gr<47><72>en stehen. Eine Division durch 0 oder durch einen Term,
|
||||||
|
der den Wert 0 annehmen kann, ist nicht zul<75>ssig.
|
||||||
|
|
||||||
|
---------
|
||||||
|
|
||||||
|
1.1. Die im Beispiel genannte Formel
|
||||||
|
\[
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||||||
|
I=\frac{nU}{nR_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
ist nach $n$ aufzul<75>sen. (Gesucht ist die Anzahl der in Reihe geschalteten
|
||||||
|
Elemente.) 1.2. Die unter dem Namen \quotedblbase Geradengleichung\textquotedblleft{}
|
||||||
|
oder \quotedblbase Linearfunktion\textquotedblleft{} bekannte Beziehung
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||||||
|
\[
|
||||||
|
y=a_{0}+a_{1}x
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
ist nach $x$ aufzul<75>sen. 1.3. F<>r die Berechnung des Widerstandswertes
|
||||||
|
eines Drahtes gilt die Formel $R=\varrho\frac{l}{A}$, wobei $\varrho$
|
||||||
|
eine Materialkonstante (spez. Widerstand), $A$ der Leitungsquerschnitt
|
||||||
|
und $l$ die L<>nge der Leitung ist. F<>r $A$ ist $\pi r^{2}$ einzusetzen.
|
||||||
|
Die Formel ist nach dem Radius des Leitungsdrahtes aufzul<75>sen. 1.4.
|
||||||
|
Die Formel der Richmannschen Mischungsregel
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
m_{1}c_{1}\left(t-t_{1}\right)=m_{2}c_{2}\left(t_{2}-t\right)
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
ist nach der Mischtemperatur $t$ aufzul<75>sen. 1.5. Die Gleichung
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\frac{1+m}{1-m}=\frac{a}{b}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
ist nach $m$ aufzul<75>sen. 1.6. Im gleichseitigen Dreieck gilt f<>r
|
||||||
|
dieH<EFBFBD>he $h$ und die Seitenl<6E>nge $a$ die Beziehung:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
h=\frac{a}{2}\sqrt{3}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
Die Seitenl<6E>nge $a$ soll in Abh<62>ngigkeit von der H<>he $h$ angegeben
|
||||||
|
werden. 1.7. F<>r einen Kreis gelten bekanntlich die Formeln $A=\pi r^{2}$
|
||||||
|
f<EFBFBD>r die Kreisfl<66>che und $u=2\pi r$ f<>r den Kreisumfang. L<>sen Sie
|
||||||
|
beide Formeln nach $r$ auf. Durch Gleichsetzung ist anschlie<69>end
|
||||||
|
eine Beziehung zwischen $A$ und $u$ herzustellen, die von $r$ unabh<62>ngig
|
||||||
|
ist. 1.8. Die Beziehung
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v=\sqrt{t+1}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
ist nach $t$ aufzul<75>sen. 1.9. Die Formel
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
s_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
gilt f<>r die Summe einer geometrischen Reihe. (Der Quotient zweier
|
||||||
|
aufeinanderfolgender Glieder ist konstant.) Die Beziehung ist nach
|
||||||
|
der Gliederzahl $n$ aufzul<75>sen.
|
||||||
|
|
||||||
|
------13---
|
||||||
|
|
||||||
|
1.1. Die gesuchte Variable steht im Z<>hler $InR_{\mathrm{i}}+IR_{\mathrm{a}}=nU$
|
||||||
|
und in einem Summanden des Nenners (nach Multiplikation eines Bruches.
|
||||||
|
mit dem gesamten Nenner) 1.2. Die gesuchte Variable ist Faktor in
|
||||||
|
$\quad y-a_{0}=a_{1}x$ einem Summanden der rechten Seite. oder
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
a_{1}x=y-a_{0}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
1.3. Es ist zun<75>chst der Ausdruck f<>r $A$ einzusetzen. Die gesuchte
|
||||||
|
Variable $r$ steht dann in quadratischer Form im Nenner eines Bruches.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
R=\varrho\frac{l}{\pi r^{2}}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
Mit $\pi r^{2}$ multipliziert: wegen $A=\pi r^{2}$
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
R\pi r^{2}=\varrho l
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
1.4. Die gesuchte V<>riable $t$ tritt links- und rechtsseitig als
|
||||||
|
Glied einer Differenz auf, die mit verschiedenen Faktoren multipliziert
|
||||||
|
ist.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
m_{1}c_{1}t-m_{1}c_{1}t_{1}=m_{2}c_{2}t_{2}-m_{2}c_{2}t
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
1.5. Die gesuchte Variable $m$ steht im $\quad b(1+m)=a(1-m)$ Z<>hler
|
||||||
|
und im Nenner eines Bruches $\quad b+bm=a$-am in einer Summe bzw.
|
||||||
|
Differenz. 1.6. Die gesuchte Variable $a$ ist Teil eines Produktes,
|
||||||
|
das eine irrationale Zahl enth<74>lt. Es wird mit 2 multipliziert, durch
|
||||||
|
$\sqrt{3}$ dividiert. Anschlie<69>end werden die Seiten vertauscht.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\frac{2h}{\sqrt{3}}=a;\quad a=\frac{2h}{\sqrt{3}}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
1.7. Beide Beziehungen werden durch die Koeffizienten von $r$ bzw.
|
||||||
|
$r^{2}$ dividiert.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\frac{A}{\pi}=r^{2}\quad\frac{u}{2\pi}=r
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
1.8. Die gesuchte Variable $t$ tritt als Summand im Radikanden einer
|
||||||
|
Wurzel auf. Es mu<6D> $t\geqq-1$ gelten. Zweckm<6B><6D>igerweise wird zun<75>chst
|
||||||
|
quadriert. $v^{2}=t+1$ 1.9. Die gesuchte Variable $n$ tritt im Exponenten
|
||||||
|
eines Gliedes im Z<>hler eines Bruchs auf. Multiplikation mit $(q-1)$,
|
||||||
|
Division durch $a_{1}$.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\frac{s_{n}(q-1)}{a_{1}}=q^{n}-1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
----14----
|
||||||
|
|
||||||
|
1.1. Glieder mit der unbekannten Variablen linksseitig zusammengefa<66>t.
|
||||||
|
Division durch die Klammer. 1.2. Man dividiere durch \$a\_1\$ : \$\$
|
||||||
|
x=\textbackslash frac\{y-a\_0\}\{a\_1\} \$\$ 1.3. Zun<75>chst ist durch
|
||||||
|
\$R \textbackslash pi\$ zu dividieren. \$\$ r\textasciicircum 2=\textbackslash frac\{\textbackslash varrho
|
||||||
|
l\}\{R \textbackslash pi\} \$\$
|
||||||
|
|
||||||
|
Zur Aufl<66>sung nach \$r\$ ist die Wurzel zu ziehen: \$\$ r= \textbackslash pm
|
||||||
|
\textbackslash sqrt\{\textbackslash frac\{\textbackslash varrho
|
||||||
|
l\}\{R \textbackslash pi\}\} \$\$
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
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