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Mathe Anleitung/06.lyx

@@ -283,6 +283,7 @@ gilt für die Summe einer geometrischen Reihe.
 \end_inset
 
  aufzulösen.
+ –>13
 \end_layout
 
 \end_body

Mathe Anleitung/bis05.lyx

@@ -75,6 +75,292 @@
 
 \begin_body
 
+\begin_layout Standard
+1.
+ Formelumstellungen .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 10 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 1.1.
+ bis 1.9.
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 13 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Einige Bemerkungen zum Lösungsplan .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 17 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+2.
+ Einige Bemerkungen zur Mengenlehre .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 18 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Übersicht über einige Funktionen und deren Bilder .
+ .
+ 23 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 2.1.
+ bis 2.10 .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+3.
+ Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei unbekannten
+ Variablen .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 31 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 3.1.
+ bis 3.11.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+4.
+ Quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 4.1.
+ bis 4.7.
+ 41 45 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+5.
+ Ungleichungen, Wurzelgleichungen, goniometrische Gleichungen.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 5.1.
+ bis 5.7.
+ (Ungleichungen) .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 55 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 5.8.
+ bis 5.16.
+ (Wurzelgleichungen) .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 55 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 5.17.
+ bis 5.30.
+ (goniometr.
+ Gleichungen) .
+ .
+ 59 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+6.
+ Folgen, Grenzwert, Stetigkeit .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 67 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Übersicht über einige Folgen und deren Eigenschaften .
+ 74 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 6.1 bis 6.21 .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+7.
+ Funktionsuntersuchungen, Kurvendiskussion 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 7.1.
+ bis 7.12.
+ 8.
+ Schnittprobleme-Methode der unbestimmten Koeffizienten .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 101 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 8.1.
+ bis 8.8.
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 103 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Übersicht über die Bilder einiger Funktionen .
+ .
+ .
+ .
+ 107 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+9.
+ Extremwertaufgaben .
+ 108 Aufgaben 9.1.
+ bis 9.15 .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+10.
+ Flächenberechnung durch Integration 111 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Differentialquotienten und unbestimmte Grundintegrale einiger wichtiger
+ Funktionen .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 124 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 10.1.
+ bis 10.8 .
+ 125 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+11.
+ Volumenberechnung von Rotationskörpern Integrationsmethoden .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ .
+ 129 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Aufgaben 11.1.
+ bis 11.8.
+\end_layout
+
 \begin_layout Standard
 1.
  Formelumstellungen

Mathe Anleitung/gesamt.tex

@@ -0,0 +1,500 @@
+%% LyX 2.3.7 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
+%% Do not edit unless you really know what you are doing.
+\documentclass[english]{article}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[latin9]{inputenc}
+\usepackage{multirow}
+\usepackage{amsbsy}
+\usepackage{amstext}
+\usepackage{amssymb}
+
+\makeatletter
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
+%% Because html converters don't know tabularnewline
+\providecommand{\tabularnewline}{\\}
+
+\makeatother
+
+\usepackage{babel}
+\begin{document}
+1. Formelumstellungen . . . . . . . . . . . . . . . 10 
+
+Aufgaben 1.1. bis 1.9. . . . . . . . . . . . . . . 13 
+
+Einige Bemerkungen zum Lösungsplan . . . . . . . 17 
+
+2. Einige Bemerkungen zur Mengenlehre . . . . . . 18 
+
+Übersicht über einige Funktionen und deren Bilder . . 23 
+
+Aufgaben 2.1. bis 2.10 . 
+
+3. Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei unbekannten
+Variablen . . . . . . . . . . 31 
+
+Aufgaben 3.1. bis 3.11. 
+
+4. Quadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades . 
+
+Aufgaben 4.1. bis 4.7. 41 45 
+
+5. Ungleichungen, Wurzelgleichungen, goniometrische Gleichungen. 
+
+Aufgaben 5.1. bis 5.7. (Ungleichungen) . . . . . . . 55 
+
+Aufgaben 5.8. bis 5.16. (Wurzelgleichungen) . . . . . 55 
+
+Aufgaben 5.17. bis 5.30. (goniometr. Gleichungen) . . 59 
+
+6. Folgen, Grenzwert, Stetigkeit . . . . . . . . . . . 67 
+
+Übersicht über einige Folgen und deren Eigenschaften . 74 
+
+Aufgaben 6.1 bis 6.21 . 
+
+7. Funktionsuntersuchungen, Kurvendiskussion 
+
+Aufgaben 7.1. bis 7.12. 8. Schnittprobleme-Methode der unbestimmten
+Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 
+
+Aufgaben 8.1. bis 8.8. . . . . . . . . . . . . . . 103 
+
+Übersicht über die Bilder einiger Funktionen . . . . 107 
+
+9. Extremwertaufgaben . 108 Aufgaben 9.1. bis 9.15 . 
+
+10. Flächenberechnung durch Integration 111 
+
+Differentialquotienten und unbestimmte Grundintegrale einiger wichtiger
+Funktionen . . . . . . . 124 
+
+Aufgaben 10.1. bis 10.8 . 125 
+
+11. Volumenberechnung von Rotationskörpern Integrationsmethoden .
+. . . . . . . . . . . . . 129 
+
+Aufgaben 11.1. bis 11.8.
+
+1. Formelumstellungen
+
+In Technik, Physik und Mathematik sind gegenseitige Beziehungen zwischen
+Größen als Formeln bekannt. Es handelt sich um Gleichungen, die entweder
+Identitäten sind (für alle Belegungen der Variablen gelten) oder innerhalb
+eines bestimmten Definitionsbereiches die objektive Realität widerspiegeln.
+Häufig sind solche Beziehungen ihrër mathematischen Struktur nach
+gleichartig aufgebaut. Die Bearbeitung der völlig: verschiedenen Gebieten
+entnommenen Gesetzmäßigkeiten erfolgt deshalb oft analog. Ein und
+derselbe Typ einer mathematischen Beziehung beschreibt und charakterisiert
+also dann physikalische oder technische Verhältnisse aus verschiedenen
+Sachgebieten.
+
+Beispiele: %
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+\hline 
+\begin{tabular}{l}
+Typ: \tabularnewline
+$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}$ \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$s=v\cdot t$ \tabularnewline
+gleichförmige \tabularnewline
+Bewegung \tabularnewline
+$\sin\alpha=n\sin\beta$ \tabularnewline
+Brechungs- \tabularnewline
+gesetz Optik \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$U=R\cdot I$ \tabularnewline
+OHmsches \tabularnewline
+Gesetz \tabularnewline
+$\Phi=I\cdot\omega$ \tabularnewline
+Lichtstrom \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$v=r\cdot\omega$ \tabularnewline
+Dreh- \tabularnewline
+bewegung \tabularnewline
+$RT=p\cdot V$ \tabularnewline
+Gas- \tabularnewline
+gleichung \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$F_{\mathrm{R}}=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ \tabularnewline
+Reibung \tabularnewline
+$u=\pi\cdot d$ \tabularnewline
+Kreisumfang \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+\begin{tabular}{l}
+Typ: \tabularnewline
+$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}^{2}$ \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$a_{\mathrm{r}}=\omega\cdot r^{2}$ \tabularnewline
+Radial- \tabularnewline
+beschleunigung \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$E=m\cdot c^{2}$ \tabularnewline
+Gleichung von \tabularnewline
+EINSTEIN \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$J=\frac{\varrho}{2}cu^{2}$ \tabularnewline
+Schallstärke \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$s=\frac{g}{2}\cdot t^{2}$ \tabularnewline
+Freier Fall \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+ & %
+\begin{tabular}{l}
+$F_{z}=\frac{m}{r}\cdot v^{2}$ \tabularnewline
+Zentri- \tabularnewline
+fugalkraft \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$A=\pi\cdot r^{2}$ \tabularnewline
+Kreisfläche \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$P=R\cdot I^{2}$ \tabularnewline
+Elektrische \tabularnewline
+Leistung \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$A_{1}=A_{0}\cdot k^{2}$ \tabularnewline
+Ähnlichkeit \tabularnewline
+bei Flächen \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+ & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}$  & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}$  & $c=\sqrt{\frac{E}{\varrho}}$  & $d=a\cdot\sqrt{2}$ \tabularnewline
+\hline 
+$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\sqrt{\boldsymbol{C}}$  & %
+\begin{tabular}{l}
+Periodendauer \tabularnewline
+beim Faden- \tabularnewline
+pendel \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+Periodendauer \tabularnewline
+physikalisches \tabularnewline
+Pendel \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+Schall- \tabularnewline
+geschwindig- \tabularnewline
+keit \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+Quadrat- \tabularnewline
+diagonale \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+\begin{tabular}{l}
+Typ: \tabularnewline
+$\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{D}\pm\boldsymbol{E}}$ \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$\varrho=\frac{\gamma_{\mathrm{F}}\cdot G}{G-G_{\mathrm{F}}}$ \tabularnewline
+Dichte- \tabularnewline
+bestimmung \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$R=\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \tabularnewline
+KiRchHoFF- \tabularnewline
+sches Gesetz \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$f=\frac{a\cdot b}{a+b}$ \tabularnewline
+Brennweite \tabularnewline
+beim Spiegel \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$Z=\frac{\omega L_{1}\cdot L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$ \tabularnewline
+Betrag des Wider- \tabularnewline
+standsoperators \tabularnewline
+Parallelschaltung \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+\begin{tabular}{l}
+Typ: \tabularnewline
+$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\frac{\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{E}^{2}}$ \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$F=\gamma\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}$ \tabularnewline
+Anziehung \tabularnewline
+von Massen \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{s^{2}}$ \tabularnewline
+CoulomB- \tabularnewline
+Gesetz \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$F=c\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{e^{2}}$ \tabularnewline
+Magnetisches \tabularnewline
+Feld \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$E=\frac{I\cdot\cos\varepsilon}{r^{2}}$ \tabularnewline
+Beleuchtungs- \tabularnewline
+stärke $\quad$. \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+\begin{tabular}{l}
+$\mathrm{Typ}:$ \tabularnewline
+$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}(\mathbf{1}+\boldsymbol{C})$ \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$l=$ \tabularnewline
+$l_{0}(1+\alpha\Delta t)$ \tabularnewline
+Längen- \tabularnewline
+ausdehnung \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$V=$ \tabularnewline
+$V_{0}(1+\gamma\Delta t)$ \tabularnewline
+Volumen- \tabularnewline
+ausdehnung \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$R=$ \tabularnewline
+$R_{0}(1+\alpha t)$ \tabularnewline
+Widerstand \tabularnewline
+in Abhängig- \tabularnewline
+keit von der \tabularnewline
+Temperatur \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$a_{n}-a_{1}=$ \tabularnewline
+$d(n-1)$ \tabularnewline
+arithmetische \tabularnewline
+Folge \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+\end{tabular}
+
+Die Beziehungen (Gleichungen, Formeln) enthalten in den Termen Variablen,
+die voneinander abhängen.
+
+Die Beziehung $s\quad v\quad.\quad t$ $($ Weg = Geschwindigkeit
+$\cdot$ Zeit $)$ kann als Funktionsgleichung 
+\[
+s(t)\quad=\quad v\cdot t\quad[s\text{ und }t\text{ variabel, }v\text{ konstant }]
+\]
+dargestellt werden. Bedeutung: Der zurückgelegte Weg $s$ ist bei
+gleichförmig geradliniger Bewegung von der Zeit $t$ abhängig. Entsprechend
+kann man schreiben: $U(R)=I\cdot R$ und $v(r)=\omega\cdot r$ und
+$F_{R}\left(F_{\mathrm{N}}\right)=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ und $u(d)=\pi\cdot d$
+usw. Der Typ oiner solchen Abhängigkeit wird mathematisch durch die
+verallgemeinernde Symbolik $f(x)=\ldots$ beschrieben. In der Regel
+ist in einer Formel eine bestimmte Variable gesucht (unbekannt), die
+anderen Größen sind gegeben. Nicht immer ist jedoch die unbekannte
+Variable in Abhängigkeit von den anderen explizit dargestellt. Dann
+muß die Formel erst nach einer bestimmten (umbekannten) Variablen
+aufgelöst werden.
+
+Das geschieht in folgender Weise: %
+\begin{tabular}{|c|c|c|}
+\hline 
+Schritt  & Prinzip  & Muster \tabularnewline
+\hline 
+\multirow{1}{*}{t} & %
+\begin{tabular}{l}
+Aufgabenstellung \tabularnewline
+(sachgebietsbezogen) \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+In einer Batterieschaltung sind $n$ Ele- \tabularnewline
+mente in Reihe (hintereinander) ge- \tabularnewline
+schaltet. Jedes Element hat die Span- \tabularnewline
+nung $U$ und den inneren Widerstand \tabularnewline
+$R_{1}$. Die Gesamtstromstärke ist $I$. Der \tabularnewline
+Außenwiderstand $R_{\mathrm{a}}$ ist gesucht. \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+ & %
+\begin{tabular}{l}
+Aufstellen der Formel \tabularnewline
+(bekannt oder gegeben, evtl. aus \tabularnewline
+der Formelsammlung zu entnehmen) \tabularnewline
+\end{tabular} & $I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
+\hline 
+ & %
+\begin{tabular}{l}
+Formulierung der mathema- \tabularnewline
+tischen Aufgabe \tabularnewline
+(Kennzeichnung der gesuchten \tabularnewline
+Größe) \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+\boldsymbol{R}_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
+ist nach $R_{\mathrm{a}}$ aufzulösen. \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+\multirow{1}{*}{t} & %
+\begin{tabular}{l}
+Beschreibung der mathematischen \tabularnewline
+Terme \tabularnewline
+(Lösungsplan) \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+Die gesuchte Variable steht als Sum- \tabularnewline
+mand im Nenner eines Bruches. \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+ & %
+\begin{tabular}{l}
+Elementare 0perationen zur Verein- \tabularnewline
+fachung \tabularnewline
+(falls erforderlich, Wurzeln oder \tabularnewline
+Brüche beseitigen - falls unbek. \tabularnewline
+Variable innerhalb eines durch \tabularnewline
+Klammern eingeschlossenen Terms, \tabularnewline
+Auflösen desselben oft zweckmäßig) \tabularnewline
+\end{tabular} & %
+\begin{tabular}{l}
+$I\left(n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}\right)=n\cdot U$ \tabularnewline
+$I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}+I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U$ \tabularnewline
+\end{tabular}\tabularnewline
+\hline 
+\end{tabular}
+
+C Isolieren der unbekannten Variablen $I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{1}$
+(Ziel: Terme mit der unbekannten Variablen stehen isoliert auf einer
+Seite der Beziehung) Division der gesamten Gleichung durch den Koeffizienten
+(Beiwert) $R_{\mathrm{a}}=\frac{n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}}{I}$
+der unbekannten Variablen (Zuvor ist gegebenenfalls die unbekannte
+Variable auszuheben / auszuklammern) %
+\begin{tabular}{l}
+D Bessere Gestaltung der gefundenen \tabularnewline
+Formel \tabularnewline
+\end{tabular}$R_{\mathrm{a}}=n\frac{U}{I}-nR_{1}$ oder: 
+\[
+R_{\mathrm{a}}=n\left(\frac{U}{I}-R_{\mathrm{l}}\right)
+\]
+
+Deutung und Diskussion Der Außenwiderstand kann bestimmt werden durch
+die mit der Anzahl der Elemente multiplizierten Differenz von Gesamtwiderstand
+und Innenwiderstand.
+
+Beachten Sie: Bei der Umstellung von Formeln gelten die Gesetzmäßigkeiten
+des Lösens von Gleichungen. Es dürfen also nur äquivalente Umformungen
+vorgenommen werden. Grundsätzlich darf auf beiden Seiten einer Gleichheitsbeziehung
+nur die gleiche Operation ausgeführt werden, und zwar: Addition oder
+Subtraktion eines Terms,. Multiplikation mit einem von Null verschiedenen
+Term, Division durch einen von Null verschiedenen Term, Potenzieren
+mit ungeradzahligem Exponenten, Radizieren, sofern auf beiden Seiten
+positive Größen stehen. Eine Division durch 0 oder durch einen Term,
+der den Wert 0 annehmen kann, ist nicht zulässig.
+
+---------
+
+1.1. Die im Beispiel genannte Formel 
+\[
+I=\frac{nU}{nR_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}
+\]
+ist nach $n$ aufzulösen. (Gesucht ist die Anzahl der in Reihe geschalteten
+Elemente.) 1.2. Die unter dem Namen \quotedblbase Geradengleichung\textquotedblleft{}
+oder \quotedblbase Linearfunktion\textquotedblleft{} bekannte Beziehung
+\[
+y=a_{0}+a_{1}x
+\]
+ist nach $x$ aufzulösen. 1.3. Für die Berechnung des Widerstandswertes
+eines Drahtes gilt die Formel $R=\varrho\frac{l}{A}$, wobei $\varrho$
+eine Materialkonstante (spez. Widerstand), $A$ der Leitungsquerschnitt
+und $l$ die Länge der Leitung ist. Für $A$ ist $\pi r^{2}$ einzusetzen.
+Die Formel ist nach dem Radius des Leitungsdrahtes aufzulösen. 1.4.
+Die Formel der Richmannschen Mischungsregel 
+\[
+m_{1}c_{1}\left(t-t_{1}\right)=m_{2}c_{2}\left(t_{2}-t\right)
+\]
+ist nach der Mischtemperatur $t$ aufzulösen. 1.5. Die Gleichung 
+\[
+\frac{1+m}{1-m}=\frac{a}{b}
+\]
+ist nach $m$ aufzulösen. 1.6. Im gleichseitigen Dreieck gilt für
+dieHöhe $h$ und die Seitenlänge $a$ die Beziehung: 
+\[
+h=\frac{a}{2}\sqrt{3}
+\]
+
+Die Seitenlänge $a$ soll in Abhängigkeit von der Höhe $h$ angegeben
+werden. 1.7. Für einen Kreis gelten bekanntlich die Formeln $A=\pi r^{2}$
+für die Kreisfläche und $u=2\pi r$ für den Kreisumfang. Lösen Sie
+beide Formeln nach $r$ auf. Durch Gleichsetzung ist anschließend
+eine Beziehung zwischen $A$ und $u$ herzustellen, die von $r$ unabhängig
+ist. 1.8. Die Beziehung 
+\[
+v=\sqrt{t+1}
+\]
+ist nach $t$ aufzulösen. 1.9. Die Formel 
+\[
+s_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}
+\]
+gilt für die Summe einer geometrischen Reihe. (Der Quotient zweier
+aufeinanderfolgender Glieder ist konstant.) Die Beziehung ist nach
+der Gliederzahl $n$ aufzulösen.
+
+------13---
+
+1.1. Die gesuchte Variable steht im Zähler $InR_{\mathrm{i}}+IR_{\mathrm{a}}=nU$
+und in einem Summanden des Nenners (nach Multiplikation eines Bruches.
+mit dem gesamten Nenner) 1.2. Die gesuchte Variable ist Faktor in
+$\quad y-a_{0}=a_{1}x$ einem Summanden der rechten Seite. oder 
+\[
+a_{1}x=y-a_{0}
+\]
+1.3. Es ist zunächst der Ausdruck für $A$ einzusetzen. Die gesuchte
+Variable $r$ steht dann in quadratischer Form im Nenner eines Bruches.
+\[
+R=\varrho\frac{l}{\pi r^{2}}
+\]
+
+Mit $\pi r^{2}$ multipliziert: wegen $A=\pi r^{2}$ 
+\[
+R\pi r^{2}=\varrho l
+\]
+1.4. Die gesuchte Váriable $t$ tritt links- und rechtsseitig als
+Glied einer Differenz auf, die mit verschiedenen Faktoren multipliziert
+ist. 
+\[
+m_{1}c_{1}t-m_{1}c_{1}t_{1}=m_{2}c_{2}t_{2}-m_{2}c_{2}t
+\]
+1.5. Die gesuchte Variable $m$ steht im $\quad b(1+m)=a(1-m)$ Zähler
+und im Nenner eines Bruches $\quad b+bm=a$-am in einer Summe bzw.
+Differenz. 1.6. Die gesuchte Variable $a$ ist Teil eines Produktes,
+das eine irrationale Zahl enthält. Es wird mit 2 multipliziert, durch
+$\sqrt{3}$ dividiert. Anschließend werden die Seiten vertauscht.
+\[
+\frac{2h}{\sqrt{3}}=a;\quad a=\frac{2h}{\sqrt{3}}
+\]
+1.7. Beide Beziehungen werden durch die Koeffizienten von $r$ bzw.
+$r^{2}$ dividiert. 
+\[
+\frac{A}{\pi}=r^{2}\quad\frac{u}{2\pi}=r
+\]
+1.8. Die gesuchte Variable $t$ tritt als Summand im Radikanden einer
+Wurzel auf. Es muß $t\geqq-1$ gelten. Zweckmäßigerweise wird zunächst
+quadriert. $v^{2}=t+1$ 1.9. Die gesuchte Variable $n$ tritt im Exponenten
+eines Gliedes im Zähler eines Bruchs auf. Multiplikation mit $(q-1)$,
+Division durch $a_{1}$. 
+\[
+\frac{s_{n}(q-1)}{a_{1}}=q^{n}-1
+\]
+
+----14----
+
+1.1. Glieder mit der unbekannten Variablen linksseitig zusammengefaßt.
+Division durch die Klammer. 1.2. Man dividiere durch \$a\_1\$ : \$\$
+x=\textbackslash frac\{y-a\_0\}\{a\_1\} \$\$ 1.3. Zunächst ist durch
+\$R \textbackslash pi\$ zu dividieren. \$\$ r\textasciicircum 2=\textbackslash frac\{\textbackslash varrho
+l\}\{R \textbackslash pi\} \$\$
+
+Zur Auflösung nach \$r\$ ist die Wurzel zu ziehen: \$\$ r= \textbackslash pm
+\textbackslash sqrt\{\textbackslash frac\{\textbackslash varrho
+l\}\{R \textbackslash pi\}\} \$\$
+\end{document}