Mathe Anleitung
This commit is contained in:
Sven Riwoldt
334
Mathe Anleitung/bis05.tex
Normal file
334
Mathe Anleitung/bis05.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,334 @@
|
||||
%% LyX 2.3.6.2 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/.
|
||||
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
|
||||
\documentclass[english]{article}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
\usepackage[latin9]{inputenc}
|
||||
\usepackage{multirow}
|
||||
\usepackage{amsbsy}
|
||||
\usepackage{amstext}
|
||||
|
||||
\makeatletter
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
|
||||
%% Because html converters don't know tabularnewline
|
||||
\providecommand{\tabularnewline}{\\}
|
||||
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\usepackage{babel}
|
||||
\begin{document}
|
||||
1. Formelumstellungen
|
||||
|
||||
In Technik, Physik und Mathematik sind gegenseitige Beziehungen zwischen
|
||||
Gr<EFBFBD><EFBFBD>en als Formeln bekannt. Es handelt sich um Gleichungen, die entweder
|
||||
Identit<EFBFBD>ten sind (f<>r alle Belegungen der Variablen gelten) oder innerhalb
|
||||
eines bestimmten Definitionsbereiches die objektive Realit<69>t widerspiegeln.
|
||||
H<EFBFBD>ufig sind solche Beziehungen ihr<68>r mathematischen Struktur nach
|
||||
gleichartig aufgebaut. Die Bearbeitung der v<>llig: verschiedenen Gebieten
|
||||
entnommenen Gesetzm<7A><6D>igkeiten erfolgt deshalb oft analog. Ein und
|
||||
derselbe Typ einer mathematischen Beziehung beschreibt und charakterisiert
|
||||
also dann physikalische oder technische Verh<72>ltnisse aus verschiedenen
|
||||
Sachgebieten.
|
||||
|
||||
Beispiele: %
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Typ: \tabularnewline
|
||||
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}$ \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$s=v\cdot t$ \tabularnewline
|
||||
gleichf<EFBFBD>rmige \tabularnewline
|
||||
Bewegung \tabularnewline
|
||||
$\sin\alpha=n\sin\beta$ \tabularnewline
|
||||
Brechungs- \tabularnewline
|
||||
gesetz Optik \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$U=R\cdot I$ \tabularnewline
|
||||
OHmsches \tabularnewline
|
||||
Gesetz \tabularnewline
|
||||
$\Phi=I\cdot\omega$ \tabularnewline
|
||||
Lichtstrom \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$v=r\cdot\omega$ \tabularnewline
|
||||
Dreh- \tabularnewline
|
||||
bewegung \tabularnewline
|
||||
$RT=p\cdot V$ \tabularnewline
|
||||
Gas- \tabularnewline
|
||||
gleichung \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$F_{\mathrm{R}}=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ \tabularnewline
|
||||
Reibung \tabularnewline
|
||||
$u=\pi\cdot d$ \tabularnewline
|
||||
Kreisumfang \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Typ: \tabularnewline
|
||||
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}^{2}$ \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$a_{\mathrm{r}}=\omega\cdot r^{2}$ \tabularnewline
|
||||
Radial- \tabularnewline
|
||||
beschleunigung \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$E=m\cdot c^{2}$ \tabularnewline
|
||||
Gleichung von \tabularnewline
|
||||
EINSTEIN \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$J=\frac{\varrho}{2}cu^{2}$ \tabularnewline
|
||||
Schallst<EFBFBD>rke \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$s=\frac{g}{2}\cdot t^{2}$ \tabularnewline
|
||||
Freier Fall \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
& %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$F_{z}=\frac{m}{r}\cdot v^{2}$ \tabularnewline
|
||||
Zentri- \tabularnewline
|
||||
fugalkraft \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$A=\pi\cdot r^{2}$ \tabularnewline
|
||||
Kreisfl<EFBFBD>che \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$P=R\cdot I^{2}$ \tabularnewline
|
||||
Elektrische \tabularnewline
|
||||
Leistung \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$A_{1}=A_{0}\cdot k^{2}$ \tabularnewline
|
||||
<EFBFBD>hnlichkeit \tabularnewline
|
||||
bei Fl<46>chen \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
& $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}$ & $T=2\pi\cdot\sqrt{\frac{m}{D}}$ & $c=\sqrt{\frac{E}{\varrho}}$ & $d=a\cdot\sqrt{2}$ \tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\cdot\sqrt{\boldsymbol{C}}$ & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Periodendauer \tabularnewline
|
||||
beim Faden- \tabularnewline
|
||||
pendel \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Periodendauer \tabularnewline
|
||||
physikalisches \tabularnewline
|
||||
Pendel \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Schall- \tabularnewline
|
||||
geschwindig- \tabularnewline
|
||||
keit \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Quadrat- \tabularnewline
|
||||
diagonale \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Typ: \tabularnewline
|
||||
$\boldsymbol{A}=\frac{\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{D}\pm\boldsymbol{E}}$ \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$\varrho=\frac{\gamma_{\mathrm{F}}\cdot G}{G-G_{\mathrm{F}}}$ \tabularnewline
|
||||
Dichte- \tabularnewline
|
||||
bestimmung \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$R=\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ \tabularnewline
|
||||
KiRchHoFF- \tabularnewline
|
||||
sches Gesetz \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$f=\frac{a\cdot b}{a+b}$ \tabularnewline
|
||||
Brennweite \tabularnewline
|
||||
beim Spiegel \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$Z=\frac{\omega L_{1}\cdot L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$ \tabularnewline
|
||||
Betrag des Wider- \tabularnewline
|
||||
standsoperators \tabularnewline
|
||||
Parallelschaltung \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Typ: \tabularnewline
|
||||
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\frac{\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{E}^{2}}$ \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$F=\gamma\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}$ \tabularnewline
|
||||
Anziehung \tabularnewline
|
||||
von Massen \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{s^{2}}$ \tabularnewline
|
||||
CoulomB- \tabularnewline
|
||||
Gesetz \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$F=c\frac{m_{1}\cdot m_{2}}{e^{2}}$ \tabularnewline
|
||||
Magnetisches \tabularnewline
|
||||
Feld \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$E=\frac{I\cdot\cos\varepsilon}{r^{2}}$ \tabularnewline
|
||||
Beleuchtungs- \tabularnewline
|
||||
st<EFBFBD>rke $\quad$. \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$\mathrm{Typ}:$ \tabularnewline
|
||||
$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}(\mathbf{1}+\boldsymbol{C})$ \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$l=$ \tabularnewline
|
||||
$l_{0}(1+\alpha\Delta t)$ \tabularnewline
|
||||
L<EFBFBD>ngen- \tabularnewline
|
||||
ausdehnung \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$V=$ \tabularnewline
|
||||
$V_{0}(1+\gamma\Delta t)$ \tabularnewline
|
||||
Volumen- \tabularnewline
|
||||
ausdehnung \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$R=$ \tabularnewline
|
||||
$R_{0}(1+\alpha t)$ \tabularnewline
|
||||
Widerstand \tabularnewline
|
||||
in Abh<62>ngig- \tabularnewline
|
||||
keit von der \tabularnewline
|
||||
Temperatur \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$a_{n}-a_{1}=$ \tabularnewline
|
||||
$d(n-1)$ \tabularnewline
|
||||
arithmetische \tabularnewline
|
||||
Folge \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
Die Beziehungen (Gleichungen, Formeln) enthalten in den Termen Variablen,
|
||||
die voneinander abh<62>ngen.
|
||||
|
||||
Die Beziehung $s\quad v\quad.\quad t$ $($ Weg = Geschwindigkeit
|
||||
$\cdot$ Zeit $)$ kann als Funktionsgleichung
|
||||
\[
|
||||
s(t)\quad=\quad v\cdot t\quad[s\text{ und }t\text{ variabel, }v\text{ konstant }]
|
||||
\]
|
||||
dargestellt werden. Bedeutung: Der zur<75>ckgelegte Weg $s$ ist bei
|
||||
gleichf<EFBFBD>rmig geradliniger Bewegung von der Zeit $t$ abh<62>ngig. Entsprechend
|
||||
kann man schreiben: $U(R)=I\cdot R$ und $v(r)=\omega\cdot r$ und
|
||||
$F_{R}\left(F_{\mathrm{N}}\right)=\mu\cdot F_{\mathrm{N}}$ und $u(d)=\pi\cdot d$
|
||||
usw. Der Typ oiner solchen Abh<62>ngigkeit wird mathematisch durch die
|
||||
verallgemeinernde Symbolik $f(x)=\ldots$ beschrieben. In der Regel
|
||||
ist in einer Formel eine bestimmte Variable gesucht (unbekannt), die
|
||||
anderen Gr<47><72>en sind gegeben. Nicht immer ist jedoch die unbekannte
|
||||
Variable in Abh<62>ngigkeit von den anderen explizit dargestellt. Dann
|
||||
mu<EFBFBD> die Formel erst nach einer bestimmten (umbekannten) Variablen
|
||||
aufgel<EFBFBD>st werden.
|
||||
|
||||
Das geschieht in folgender Weise: %
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
Schritt & Prinzip & Muster \tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
\multirow{1}{*}{t} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Aufgabenstellung \tabularnewline
|
||||
(sachgebietsbezogen) \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
In einer Batterieschaltung sind $n$ Ele- \tabularnewline
|
||||
mente in Reihe (hintereinander) ge- \tabularnewline
|
||||
schaltet. Jedes Element hat die Span- \tabularnewline
|
||||
nung $U$ und den inneren Widerstand \tabularnewline
|
||||
$R_{1}$. Die Gesamtstromst<73>rke ist $I$. Der \tabularnewline
|
||||
Au<EFBFBD>enwiderstand $R_{\mathrm{a}}$ ist gesucht. \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
& %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Aufstellen der Formel \tabularnewline
|
||||
(bekannt oder gegeben, evtl. aus \tabularnewline
|
||||
der Formelsammlung zu entnehmen) \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & $I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
& %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Formulierung der mathema- \tabularnewline
|
||||
tischen Aufgabe \tabularnewline
|
||||
(Kennzeichnung der gesuchten \tabularnewline
|
||||
Gr<EFBFBD><EFBFBD>e) \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$I=\frac{n\cdot U}{n\cdot R_{\mathrm{i}}+\boldsymbol{R}_{\mathrm{a}}}$ \tabularnewline
|
||||
ist nach $R_{\mathrm{a}}$ aufzul<75>sen. \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
\multirow{1}{*}{t} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Beschreibung der mathematischen \tabularnewline
|
||||
Terme \tabularnewline
|
||||
(L<>sungsplan) \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Die gesuchte Variable steht als Sum- \tabularnewline
|
||||
mand im Nenner eines Bruches. \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
& %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
Elementare 0perationen zur Verein- \tabularnewline
|
||||
fachung \tabularnewline
|
||||
(falls erforderlich, Wurzeln oder \tabularnewline
|
||||
Br<EFBFBD>che beseitigen - falls unbek. \tabularnewline
|
||||
Variable innerhalb eines durch \tabularnewline
|
||||
Klammern eingeschlossenen Terms, \tabularnewline
|
||||
Aufl<EFBFBD>sen desselben oft zweckm<6B><6D>ig) \tabularnewline
|
||||
\end{tabular} & %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
$I\left(n\cdot R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{a}}\right)=n\cdot U$ \tabularnewline
|
||||
$I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}+I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U$ \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}\tabularnewline
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
C Isolieren der unbekannten Variablen $I\cdot R_{\mathrm{a}}=n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{1}$
|
||||
(Ziel: Terme mit der unbekannten Variablen stehen isoliert auf einer
|
||||
Seite der Beziehung) Division der gesamten Gleichung durch den Koeffizienten
|
||||
(Beiwert) $R_{\mathrm{a}}=\frac{n\cdot U-I\cdot n\cdot R_{\mathrm{i}}}{I}$
|
||||
der unbekannten Variablen (Zuvor ist gegebenenfalls die unbekannte
|
||||
Variable auszuheben / auszuklammern) %
|
||||
\begin{tabular}{l}
|
||||
D Bessere Gestaltung der gefundenen \tabularnewline
|
||||
Formel \tabularnewline
|
||||
\end{tabular}$R_{\mathrm{a}}=n\frac{U}{I}-nR_{1}$ oder:
|
||||
\[
|
||||
R_{\mathrm{a}}=n\left(\frac{U}{I}-R_{\mathrm{l}}\right)
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Deutung und Diskussion Der Au<41>enwiderstand kann bestimmt werden durch
|
||||
die mit der Anzahl der Elemente multiplizierten Differenz von Gesamtwiderstand
|
||||
und Innenwiderstand.
|
||||
|
||||
Beachten Sie: Bei der Umstellung von Formeln gelten die Gesetzm<7A><6D>igkeiten
|
||||
des L<>sens von Gleichungen. Es d<>rfen also nur <20>quivalente Umformungen
|
||||
vorgenommen werden. Grunds<64>tzlich darf auf beiden Seiten einer Gleichheitsbeziehung
|
||||
nur die gleiche Operation ausgef<65>hrt werden, und zwar: Addition oder
|
||||
Subtraktion eines Terms,. Multiplikation mit einem von Null verschiedenen
|
||||
Term, Division durch einen von Null verschiedenen Term, Potenzieren
|
||||
mit ungeradzahligem Exponenten, Radizieren, sofern auf beiden Seiten
|
||||
positive Gr<47><72>en stehen. Eine Division durch 0 oder durch einen Term,
|
||||
der den Wert 0 annehmen kann, ist nicht zul<75>ssig.
|
||||
\end{document}
|
||||
Reference in New Issue
Block a user