378 lines
13 KiB
Typst
378 lines
13 KiB
Typst
#set text(font: "Inria Sans")
|
||
//#import "@preview/biz-report:0.3.1": authorwrap, dropcappara, infobox, report
|
||
|
||
#import "mein_Template.typ": authorwrap, dropcappara, infobox, report
|
||
|
||
#import "@preview/colorful-boxes:1.4.3":*
|
||
|
||
#import "@preview/marge:0.1.0": sidenote
|
||
|
||
#import "@preview/itemize:0.2.0" as el
|
||
|
||
#set page(margin: (right: 5cm))
|
||
#set par(justify: true) //Blocksatz
|
||
|
||
|
||
#show: report.with(
|
||
title: "Mathematik Lehrprogrammbücher Hochschulstudium 2 - Einführung in die Technik des Integrierens",
|
||
|
||
publishdate: {},
|
||
mycolor: rgb("#A1AFA1"),
|
||
myfont: "DejaVu Sans"
|
||
)
|
||
|
||
#show: set text(lang: "de")
|
||
//#show par: set par(leading: 1.5em)
|
||
|
||
|
||
#set heading(numbering: "A.1")
|
||
|
||
//Formelnummerierung
|
||
#set math.equation(numbering: "(1.1)")
|
||
|
||
|
||
// 1. Die Bezeichnung auf "Bild" ändern
|
||
#set figure(supplement: [Bild])
|
||
#set figure.caption(separator: [ ])
|
||
//#set par(leading: 1.5em)
|
||
|
||
|
||
// 2. Die Nummerierung manuell berechnen
|
||
#show figure.where(kind: image): set figure(numbering: (..nums) => {
|
||
// Holt die aktuelle Nummerierung der Überschriften
|
||
let h-nums = counter(heading).at(here())
|
||
|
||
// Wenn wir mindestens in einer Sektion (Ebene 2) sind
|
||
if h-nums.len() >= 2 {
|
||
// Gibt Kapitel.Sektion.Bildnummer zurück
|
||
return str(h-nums.at(0)) + "." + str(h-nums.at(1)) + "." + str(nums.pos().last())
|
||
} else if h-nums.len() == 1 {
|
||
// Falls nur ein Kapitel existiert: Kapitel.Bildnummer
|
||
return str(h-nums.at(0)) + "." + str(nums.pos().last())
|
||
} else {
|
||
// Falls gar keine Überschrift existiert
|
||
return str(nums.pos().last())
|
||
}
|
||
})
|
||
|
||
// 3. Optional: Den Bild-Zähler bei jeder neuen Sektion (==) zurücksetzen
|
||
#show heading.where(level: 2): it => {
|
||
it
|
||
counter(figure.where(kind: image)).update(0)
|
||
}
|
||
|
||
|
||
|
||
//#set figure(supplement: [Bild])
|
||
|
||
|
||
//#dropcappara(firstline: "Welcome to this report.")[#lorem(50)]
|
||
#show selector(<nonumber>): set heading(numbering: none)
|
||
|
||
|
||
/*#set text(
|
||
font: "TeX Gyre Heros",
|
||
size: 10pt
|
||
)*/
|
||
|
||
#let align-label(doc) = el.default-enum-list(
|
||
auto-label-width: auto,
|
||
el.auto-label-item(form: (none, "all"), doc),
|
||
)
|
||
|
||
|
||
|
||
= Voraussetzungen für die Durcharbeitung des Programms <nonumber>
|
||
|
||
Das Programm gibt eine Einführung in die Technik des Integrierens. Als Voraussetzung für das Studium dieses Programms genügt der Abschluss der 12. Klasse (Abitur) in Mathematik. Allerdings wird demjenigen das Durcharbeiten noch leichter fallen, der in einem Kurs über Differentialrechnung an einer Hoch- oder Fachschule seine Kenntnisse über das Differenzieren erweitert und z. B. auch die hyperbolischen Funktionen, deren Ableitungen und Umkehrungen kennengelernt hat.
|
||
|
||
Das Programm richtet sich vorwiegend an:
|
||
|
||
Abiturienten; Studenten des ersten Studienjahres an Hoch-, Fach- und Ingenieurschulen sowie pädagogischen Instituten im Direkt- und Fernstudium; Lehrer; Praktiker.
|
||
|
||
*Ziele*
|
||
|
||
Nach dem Durcharbeiten des Programms wird der Lernende
|
||
|
||
1. in der Lage sein, unbestimmte Integrale zu berechnen, die entweder Grundintegrale sind oder sich mit Hilfe einfacher Integrationsregeln darauf zurückführen lassen,
|
||
|
||
2. Verfahren kennen, mit deren Hilfe er Integrale, die nicht zu den Grundintegralen gehören, so umformen kann, daß sie auf Grundintegrale zurückgeführt werden können.
|
||
|
||
*Es handelt sich um folgende Verfahren:*
|
||
|
||
- *Die Methode der Integration durch Substitution* \ Neben der Lösung solcher Integrale, bei denen der Integrand die besondere Gestalt $f( phi(x)) dot phi^{prime}(x)$ hat, werden eine Reihe wichtiger Substitutionen zur Lösung von Integralen besprochen.
|
||
|
||
- *Die Methode der partiellen Integration*
|
||
|
||
- *Die Integration durch Partialbruchzerlegung* \ Mit dem Studium dieses Abschnittes wird der Lernende systematisch mit der Integration gebrochener rationaler Funktionen vertraut gemacht. \
|
||
Nach der Zerlegung echt gebrochener rationaler Funktionen in Partialbrüche, der Bestimmung der Koeffizienten durch die Methode des Koeffizientenvergleichs und der Integration der bei der Partialbruchzerlegung auftretenden Grundtypen von gebrochenen rationalen Funktionen sind wesentliche Voraussetzungen für die Integration beliebiger rationaler Funktionen geschaffen.
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
|
||
== Hinweise zur Arbeit mit dem Programm <nonumber>
|
||
Das vorliegende Programm hat die Aufgabe, Sie in die Technik des Integrierens einzuführen, d.h. Ihnen bei der selbständigen Aneignung gewisser technischer Fertigkeiten im Integrieren gegebener Funktionen zu helfen. Die Arbeitsweise unterscheidet sich vom Studium eines herkömmlichen Lehrbuches. Vielleicht brauchen Sie eine gewisse Zeit, bis Sie mit der neuen Form des Lernens vertraut sind. Wenn Sie jedoch gewissenhaft arbeiten und die Hinweise im Programm genau befolgen, werden Sie bald Freude an dieser Art zu lernen finden. - Das Integrieren kann man nur erlernen, wenn man selbst zahlreiche Aufgaben löst. Aus diesem Grunde nehmen Übungen einen breiten Raum ein, andere Teile sind dafür bewußt knapp gehalten. Sätze werden nur genannt, auf Beweise wird verzichtet. Das Programm ist seinem Charakter nach ein _Übungsprogramm_.
|
||
|
||
Beachten Sie bitte im einzelnen folgende Hinweise!
|
||
|
||
#set enum(numbering: "1.")
|
||
|
||
#align-label[
|
||
+ Das Programm gliedert sich in sechs Abschnitte und diese wieder in Lehreinheiten. Jede Lehreinheit besteht aus einem Darbietungsteil, der einen bestimmten Sachverhalt vermittelt, und einem Lösungsteil, welcher durch $L$ gekennzeichnet ist.
|
||
+ Studieren Sie den Darbietungsteil gründlich, denn er schließt jeweils mit Aufgaben ab. Prägen Sie sich die farbig unterlegten Stellen (es sind meist wichtige Sätze) gut ein!
|
||
+ Lösen Sie alle Aufgaben sorgfältig! Legen Sie sich dafür einige Blatt Papier zurecht!
|
||
+ Die Ergebnisse der Aufgaben finden Sie jeweils auf der folgenden rechten Seite. Schlagen Sie diese erst auf, wenn Sie die betreffende(n) Aufgabe(n) gelöst haben!
|
||
+ Stimmt Ihre Lösung mit der im Programm angegebenen nicht überein, dann werden Sie oft schon durch den Vergleich mit der richtigen Lösung Ihren Fehler erkennen. Außerdem haben Sie die Möglichkeit, die Lösungshinweise (Hilfsschritte *H1*, *H2*, ... am Ende des Buches) in Anspruch zu nehmen. Sie sind so gestaltet, daß wichtige Stationen auf dem Wege zur Lösung farbig hervorgehoben sind. Wahrscheinlich können Sie bei einiger Übung schon durch einen Vergleich dieser Stellen mit Ihrer Lösung den Fehler finden. Von den Hilfsschritten kehren Sie stets wieder nach vorn zurück.
|
||
+ Oft empfiehlt es sich auch, die vorangegangene Information oder bereits früher abgearbeitete Teile des Programms zur Fehlersuche heranzuziehen.
|
||
+ Arbeiten Sie zügig!
|
||
|
||
Gehen Sie aber nur dann im Programm weiter, wenn Sie das Gelesene wirklich verstanden und die Aufgaben gelöst haben.
|
||
+ Am Schluß des Programms finden Sie eine Zusammenfassung, weitere Übungsaufgaben mit Lösungen und eine Kontrollarbeit mit Bewertung.
|
||
+ Beachten Sie besonders:
|
||
|
||
*Lassen Sie sich durch die Anordnung der Buchseiten (linke Seiten stehen kopf) nicht vom Lernen ablenken. Sie arbeiten stets nur auf der rechten Seite und drehen das Buch nur einmal bei Lehreinheit 50.*
|
||
]
|
||
|
||
Und denken Sie daran:
|
||
|
||
Lernen führt nur dann zum Erfolg, wenn der Lernende aktiv ist!
|
||
|
||
Viel Spaß bei der Arbeit!
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
|
||
|
||
//#show raw: set text(32pt, purple)
|
||
#show raw: set text(32pt)
|
||
#let sidenote = sidenote.with(padding: 1em)
|
||
#let my-raw = text.with(font: "DejaVu Sans", size: 37pt, spacing: 0%)
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
#let margin-char(char) = place(
|
||
left, // Ausrichtung am linken Rand des Textbereichs
|
||
dx: 170mm, // Schiebt den Buchstaben nach links in den Margin
|
||
dy: -20mm, // Deine gewünschte vertikale Verschiebung nach unten
|
||
my-raw(char) // Nutzt deine vordefinierte Text-Funktion
|
||
)
|
||
|
||
= Stammfunktion und unbestimmtes Integral
|
||
|
||
In der *Differentialrechnung* wurde folgende Aufgabenstellung betrachtet: #margin-char[I]
|
||
|
||
#h(1cm)_Gegeben_ ist eine Funktion $F(x)$,
|
||
|
||
#h(1cm)_gesucht_ wird die erste Ableitung dieser Funktion $F^{prime}(x)=f(x)$.
|
||
|
||
#colorbox(
|
||
title: "Beispiel",
|
||
color: "blue",
|
||
radius: 2pt,
|
||
width: auto,
|
||
)[
|
||
#h(1cm)_Gegeben:_ $F(x)=x^3$,
|
||
|
||
#h(1cm)_gesucht:_ $F^prime (x)=f(x)=3 x^2$.
|
||
|
||
Die Aufgabenstellung in der *Integralrechnung* ist die Umkehrung des Grundproblems der Differentialrechnung:
|
||
|
||
#h(1cm)_Gegeben_ ist eine Funktion $f(x)$,
|
||
|
||
#h(1cm)_gesucht_ wird eine Funktion $F(x)$ mit der Eigenschaft
|
||
|
||
#h(2cm)$F^prime (x)=f(x) .$
|
||
|
||
|
||
#h(2cm)Die Ableitung der gesuchten Funktion soll also gleich der gegebenen
|
||
|
||
#h(2cm)Funktion sein.
|
||
]
|
||
|
||
#v(3mm)
|
||
|
||
#colorbox(
|
||
title: "Beispiel",
|
||
color: "blue",
|
||
radius: 2pt,
|
||
width: auto,
|
||
)[
|
||
#h(1cm)_Gegeben:_ $f(x)=3 x^2$,
|
||
|
||
#h(1cm)_gesucht:_ $F(x)$ mit der Eigenschaft, daß $F^prime (x)=3 x^2$ ist; also
|
||
|
||
#h(27mm)$F(x)=x^3$.
|
||
|
||
|
||
]
|
||
|
||
#v(3mm)
|
||
|
||
#colorbox(
|
||
title: "Definition",
|
||
color: "red",
|
||
radius: 2pt,
|
||
width: auto,
|
||
)[
|
||
Die Funktion $y=f(x)$ sei reell und stetig im Intervall $(a, b)$. Jede dort definierte reelle Funktion $F(x)$, deren erste Ableitung gleich $f(x)$ ist, heißt Stammfunktion von $f(x)$ in diesem Intervall.
|
||
]
|
||
|
||
#pagebreak()
|
||
|
||
//https://github.com/tianyi-smile/itemize/blob/main/examples/align-label.typ
|
||
//https://typst.app/universe/package/itemize
|
||
|
||
|
||
#colorbox(
|
||
title: "Beispiele",
|
||
color: "teal",
|
||
radius: 2pt,
|
||
width: auto,
|
||
)[
|
||
#align-label[
|
||
+ Die Ableitung von $\sin x$ ist $cos x$. Deshalb ist $F(x)=sin x$ Stammfunktion von $f(x)=cos x$.
|
||
|
||
Beide Funktionen sind im Intervall $(-infinity, infinity)$ definiert.
|
||
+ Die Ableitung von $4 x^3+2$ ist $12 x^2$. Deshalb ist $F(x)=4 x^3+2$ Stammfunktion von $f(x)=12 x^2$.
|
||
|
||
Beide Funktionen sind im Intervall $(-infinity, infinity)$ definiert.
|
||
+ Die Ableitung von $sqrt(x)+C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante darstellt, ist $1/2 sqrt(x)}$. Deshalb ist $F(x)=sqrt{x}+C$ Stammfunktion von $f(x)=1/2 sqrt{x}}$. $f(x)=frac{1}{2 sqrt{x}}$ ist definiert im Intervall $(0, infinity)$ und $F(x)=sqrt{x}+C$ im Intervall $[0, \iinfinity)$. Größtmögliches Intervall, in dem beide Funktionen definiert sind, ist das Intervall $(0, \iinfinity)$.
|
||
]
|
||
]
|
||
|
||
|
||
/*
|
||
|
||
|
||
|
||
Beispiele:
|
||
|
||
2. .
|
||
3.
|
||
|
||
|
||
Gegeben sind zehn Funktionen. Diese Funktionen sind nicht wahllos zusammengestellt, sondern so ausgewählt, daß fünf von ihnen Stammfunktionen der fünf übrigen sind.
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{array}{ll}
|
||
\sqrt{x-1} ; & 3+x^2 ; \\
|
||
2 x ; & \ln (3+x) ; \\
|
||
\frac{1}{2 \sqrt{x-1}} ; & \cos x ; \\
|
||
-\frac{1}{x^2} ; & \frac{1}{x} ; \\
|
||
\frac{1}{3+x} ; & -\sin x .
|
||
\end{array}
|
||
$$
|
||
|
||
1. Stellen Sie die gegebenen Funktionen zu Paaren ( $f(x), F(x)$ ) zusammen, wobei $F(x)$ Stammfunktion von $f(x)$ ist, also $F^{\prime}(x)=f(x)$.
|
||
Beispiel: Ein solches Paar ist $\left(2 x, 3+x^2\right)$, da $\left(3+x^2\right)^{\prime}=2 x$ ist.
|
||
2. Geben Sie die größtmöglichen Definitionsintervalle an!
|
||
|
||
Hinweis: Ordnen Sie die Lösungen in einer Tabelle folgender Form an:
|
||
|
||
\begin{tabular}{l|l|l}
|
||
\hline $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ & $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ & Definitionsintervall \\
|
||
\hline $2 x$ & $3+x^2$ & $(-\infty, \infty)$
|
||
\end{tabular}
|
||
|
||
|
||
Schreiben Sie Ihre Lösungen auf, bevor Sie umblättern !
|
||
|
||
-----------------------------------
|
||
|
||
L 1
|
||
|
||
\begin{tabular}{l|l|l}
|
||
\hline $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ & $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ & Definitionsintervall \\
|
||
\hline $2 x$ & $3+x^2$ & $(-\infty, \infty)$ \\
|
||
$-\sin x$ & $\cos x$ & $(-\infty, \infty)$ \\
|
||
$\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}$ & $\sqrt{x-1}$ & $(1, \infty)$ \\
|
||
$\frac{1}{3+x}$ & $\ln (3+x)$ & $(-3, \infty)$ \\
|
||
$-\frac{1}{x^2}$ & $\frac{1}{x}$ & $(-\infty, 0)$ und $(0, \infty)$
|
||
\end{tabular}
|
||
|
||
Stimmen Ihre Lösungen mit den hier angegebenen vollständig überein, so
|
||
$\_\_\_\_$ 2
|
||
|
||
Abweichungen in den Spalten $f(x)$ und $F(x)$ : ⟶ H 1, 1., Seite 63
|
||
|
||
Abweichungen bei Angabe der Definitionsintervalle: $\_\_\_\_$ H 1, 2., Seite 63
|
||
|
||
|
||
---------------------------------------
|
||
|
||
Es gilt der folgende
|
||
|
||
Satz: Ist die Funktion $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ im Intervall $(a, b)$, dann ist auch die Funktion $F(x)+C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist, eine Stammfunktion von $f(x)$.
|
||
|
||
Kennt man also irgendeine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$, so erhält man daraus durch Addition beliebiger Konstanten $C$ die Menge aller Stammfunktionen von $f(x)$.
|
||
Anders ausgedrückt: Zwei Stammfunktionen einer Funktion $f(x)$ unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante.
|
||
|
||
Geben Sie für die solgenden Funktionen je zwei Stammfunktionen an!
|
||
а) $f(x)=6 x^5$;
|
||
b) $f(x)=x^2+3$;
|
||
c) $f(x)=3 x^2+5 x$.
|
||
|
||
|
||
|
||
-----------------------------------------------
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
*/
|
||
/*Gegeben ist eine Funktion $f(x)$, gesucht wird eine Funktion $F(x)$ mit der Eigenschaft
|
||
|
||
$$
|
||
F^{\prime}(x)=f(x) .
|
||
$$
|
||
$$
|
||
|
||
|
||
Die Ableitung der gesuchten Funktion soll also gleich der gegebenen Funktion sein.
|
||
Beispiel
|
||
Gegeben: $f(x)=3 x^2$,
|
||
gesucht: $F(x)$ mit der Eigenschaft, daß $F^{\prime}(x)=3 x^2$ ist; also $F(x)=x^3$.
|
||
|
||
*/
|
||
|
||
|
||
/*#block(inset: (right: 5cm))[
|
||
#lorem(30)
|
||
]
|
||
|
||
#block(inset: (left: 5cm))[
|
||
#lorem(30)
|
||
]
|
||
|
||
|
||
|
||
The Simpsons is an iconic animated series that began in 1989
|
||
#sidenote[The show holds the record for the most episodes of any
|
||
American sitcom.]. The show features the Simpson family: Homer,
|
||
Marge, Bart, Lisa, and Maggie.
|
||
|
||
Bart is the rebellious son who often gets into trouble, and Lisa
|
||
is the intelligent and talented daughter #sidenote[Lisa is known
|
||
for her saxophone playing and academic achievements.]. Baby
|
||
Maggie, though silent, has had moments of surprising brilliance
|
||
#sidenote[Maggie once shot Mr. Burns in a dramatic plot twist.].*/
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
#set enum(numbering: "1.1.")
|
||
#align-label[
|
||
+ #lorem(15)
|
||
+ #lorem(5)
|
||
+ #lorem(5)
|
||
+ #lorem(5)
|
||
+ #lorem(5)
|
||
#lorem(5)
|
||
100. #lorem(5)
|
||
10. #lorem(20)
|
||
+ #lorem(5)
|
||
+ #lorem(5)
|
||
#lorem(15)
|
||
10. #lorem(5)
|
||
20. #lorem(5)
|
||
] |