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12 KiB
Typst
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Typst
#import "@preview/cetz:0.3.3" //Grafiken
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#import "deckblatt.typ": deckblatt
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#import "definitionen.typ": *
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#set text(
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font: "Lato", //Serifenlose Schrift
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size: 8.5pt,
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lang: "de", //Deutsche Spracheinstellungen
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)
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#set page(
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margin: 2.5cm,
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paper: "a5"
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)
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#set par(
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justify: true, //Blocksatz
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leading: 0.55em,
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)
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// Einfach die Funktion aufrufen
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#deckblatt(titel: "MATHEMATIK", reihe1: "LEHRPROGRAMMBÜCHER", reihe2: "HOCHSCHULSTUDIUM", titel2: "Zum Sprachgebrauch in\nder Mathematik", logo: image("Band1_Titel.png", width: 80%), verlag: "Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. Leipzig", bandnr: "1")
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#counter(page).update(1)
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#outline() //Inhaltsverzeichnis
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//Für die nachfolgenden Seiten neuer Rand
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#set page(margin: 2cm)
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#nonumber[= Vorwort des Herausgeber]
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Mit diesem Heft eröffnen wir die Reihe „Lehrprogrammbücher Hochschulstudium - Mathematik ", die die Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. dankenswerterweise in ihr Verlagsprogramm aufgenommen hat.
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Programmierte Lehrmaterialien werden zusammen mit anderen Methoden für die Aneignung von Wissen und Können einen gesicherten Platz in der Ausbildung an den Hoch- und Fachschulen einnehmen. Die Programme sind vom Ziel und vom Inhalt so angelegt, daß sie sich als Bausteine in den Ausbildungsprozeß einfügen und dem wissenschaftlich-produktiven Studium als grundlegendem Prinzip bei der Entwicklung sozialistischer Persönlichkeiten dienen.
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Das hier vorgelegte erste Heft der Reihe bildet nun insofern eine Ausnahme, als es sich nicht vorrangig an denjenigen wendet, der bereits Mathematik studiert, sondern insbesondere an den, der ein Studium der Mathematik im Haupt- oder Nebenfach aufnehmen will oder der sich für mathematische Denkweisen und Sachverhalte interessiert.
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Die in dieser Reihe erscheinenden Lehr- und Übungsprogramme sind unter Anleitung und Betreuung des Forschungszentrums für Theorie und Methodologie der Programmierung von Lehr- und Lernprozessen an der Karl-Marx-Universität entstanden und bilden die Grundlage für weitere Forschungen. Deshalb wird in den einzelnen Heften keine einheitliche Programmierungstechnik angewandt. In jedem Programm wird aber großer Wert darauf gelegt, daß der Lernende durch aktives Mitdenken zum Verstehen der Sachverhalte und Zusammenhänge geführt wird.
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Es ist programmierten Materialien zu eigen, daß sie für den Lernenden geschrieben sind und seinen Wünschen und Bedürfnissen weitgehend Rechnung zu tragen haben.
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Bitte lassen Sie uns wissen, wie weit es uns gelungen ist, dieser Forderung nachzukommen.
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Schreiben Sie, welche der in den einzelnen Bausteinen angewandten Programmierungsmethoden Ihnen am meisten zusagt.
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Ich wünsche der Reihe einen guten Start!
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Leipzig, im Juni 1971 #h(1fr) DER HERAUSGEBER
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#nonumber[= Das Programm richtet sich vorwiegend an:]
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Absolventen der zehnklassigen polytechnischen Oberschule; Abiturienten; Studenten des ersten Semesters an Hoch-, Fach- und Ingenieurschulen sowie pädagogischen Instituten im Direkt- und Fernstudium; Lehrer.
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#nonumber[= Voraussetzung zum erfolgreichen Durcharbeiten dieses Programms:]
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Mathematik-Abschluß Klasse 10
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#nonumber[= Ziele]
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Nach Durcharbeitung des Programms sollen Sie den Gebrauch der Wörter
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#einruecken(2cm)["_und_", "_oder_", "_nicht_",]
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der Redeweisen
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#einruecken(2cm)[- _"wenn - so", "genau dann, wenn",_
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- _"für alle $...$", "es gibt mindestens (genau, höchstens) ein $...$"_
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- _es gibt mindestens (genau, höchstens) } $n...$ $(n=2,3,...)$_]
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sowie den Gebrauch des bestimmten Artikels in der Mathematik verstanden haben.
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Im besonderen bedeutet dies:
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- Sie haben erfaßt, was unter einer Aussage sowie der _Negation einer Aussage_ zu verstehen ist.
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- Sie kennen die Aussagenverknüpfungen _Konjunktion_, _Alternative_ und _Implikation_, insbesondere wissen Sie Bescheid, in welcher Weise das Wahr- bzw. Falschsein dieser Aussagenverknüpfungen vom Wahr- bzw. Falschsein der jeweils miteinander verknüpften Aussagen abhängt.
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- Sie sind in der Lage, die Gleichwertigkeit gewisser Formulierungen zu erkennen, in denen Wörter oder Redeweisen der genannten Art vorkommen.
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Im Verlaufe der Durcharbeitung des Programms sollen Teile Ihres Schulwissens über die trigonometrischen Funktionen, die Logarithmusfunktionen, die Quadratwurzel sowie über den absoluten Betrag einer Zahl gefestigt werden.
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//Ab hier Seitennummerierung
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#set page(
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footer: context {
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let seite = counter(page).display()
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align(center)[-- #seite --]
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}
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)
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#nonumber[= Hinweise für die Arbeit mit dem Lehrprogramm]
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Dieses Lehrprogramm unterscheidet sich in einigen Punkten wesentlich von Lehrbüchern. Rein äußerlich zeigt sich das bereits darin, daß der Stoff außerordentlich stark gegliedert ist. Er wird Ihnen in sogenannten Lehrschritten geboten. Von wenigen Ausnahmen abgesehen, befinden sich auf jeder Seite mehrere solcher Lehrschritte, die durch Striche voneinander getrennt und durchgehend numeriert sind. Dabei ist es nicht so, daß diese Lehrschritte immer der Reihe nach durchzuarbeiten sind. Oft entscheiden Ihre eigenen Lernergebnisse, die in Aufgaben überprüft werden, über die Reihenfolge der von Ihnen zu bearbeitenden Lehrschritte.
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Am Ende der Lehrschritte wird durch Pfeile angegeben, welcher Lehrschritt als nächster von Ihnen zu bearbeiten ist. Dabei bedeuten im einzelnen:
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#einruecken(1cm)[
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#table(
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columns: 2,
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stroke: none,
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[#pfeil_mit_x("x")],[Gehen Sie nach Lehrschritt x !],
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[#pfeil_mit_xy("x","y")],[Gehen Sie zunächst zum Lehrschritt x , dann weiter nach y !],
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[#pfeilrueck_mit_x("x")],[Studieren Sie Lehrschritt x und kehren Sie dann nach diesem (eben bearbeiteten) Lehrschritt zurück!],
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[#pfeilrueck_mit_xy("x", "y")],[Studieren Sie Lehrschritt x und kehren Sie dann nach Lehrschritt y zurück!])
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]
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Das erfolgreiche Durcharbeiten des Programms erfordert sehr genaues und konzentriertes Lesen sowie die aktive Auseinandersetzung mit den Aufgaben und Fragen, mit denen Sie ständig konfrontiert werden. Gehen Sie tatsächlich erst dann weiter, wenn Sie überzeugt sind, die richtige Lösung gefunden bzw. den Text verstanden zu haben. Es empfiehlt sich, an einigen Stellen die Arbeit zu unterbrechen, um so einem zu schnellen und oberflächlichen Vorgehen entgegenzuwirken.
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Besonders zu beachtende Stellen des Programms sind durch Farbgestaltung hervorgehoben.
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Legen Sie sich zur Lösung der Aufgaben einige Blatt Papier bereit.
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Und nun: Frisch ans Werk!
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#let sn-base = sidenote
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#let snr(it) = sn-base(side: right, padding: 1em)[#set text(size: 28pt, font: "Tahoma"); #it]
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#let snl(it) = sn-base(side: left, padding: 0.75em)[#set text(size: 28pt, font: "Tahoma"); #it]
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//#let sidenote = sidenote.with(padding: 1em,side: right)
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Es #snr(1) ist kennzeichnend für die Mathematik, daß die Herleitung ihrer Ergebnisse stets so geschieht, daß aus relativ wenigen genau formulierten Voraussetzungen logisch einwandfrei - und daher unanfechtbar - Schlüsse gezogen werden. Zum Beispiel kann man alle Regeln für das Rechnen mit natürlichen Zahlen aus nur fünf Grundvoraussetzungen herleiten.
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#figure(
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[], // Leerer Inhalt
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kind: "punkt",
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supplement: none,
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numbering: "1"
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) <1>
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#v(-1em)
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Die für Nicht-Mathematiker vielleicht erstaunliche Tatsache, daß derart erhaltene Ergebnisse immer dann, wenn die gemachten Voraussetzungen in der Praxis erfüllt sind, auch die objektive Realität richtig beschreiben, resultiert letzten Endes daraus, daß das (logische) Denken des Menschen objektiv real vorhandene Zusammenhänge richtig widerspiegelt.
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Da solche allgemeinen Zusammenhänge in jedem Bereich der objektiven Realität bestehen und da die für die mathematischen Schlüsse aufzustellenden Voraussetzungen allgemein formuliert werden - und daher in den verschiedensten Situationen erfüllt sein können - ist die Mathematik in sehr vielen Wissenschaften mit Erfolg anwendbar. Beispiele bieten etwa die Physik, die Technik, die Ökonomie, die Chemie, aber auch die Soziologie, die Medizin und gewisse Bereiche der Sprachwissenschaften. Mit dem weiteren wissenschaftlich-technischen Fortschritt werden ständig neue Anwendungsmöglichkeiten für die Mathematik erschlossen.
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#v(5mm)
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#align(right)[#pfeil_mit_x(ref(<2>))]
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#hrule
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#figure(
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[], // Leerer Inhalt
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kind: "punkt",
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supplement: none,
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numbering: "1"
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) <2> #v(-1em)
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Wegen der #snr(2) genannten Art der Herleitung mathematischer Ergebnisse ist eine der Hauptforderungen an mathematische Überlegungen und deren Darstellung diejenige nach *Exaktheit* und *Klarheit*. Denn bei deren Nichterfüllung besteht die Gefahr, daß sich kleine oder kleinste Ungenauigkeiten schließlich zu großen Fehlern ausweiten.
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Die Forderung nach Exaktheit und Klarheit darf sich aber nicht nur auf die Aufeinanderfolge logischer Schlüsse beziehen. Sehr wichtig ist auch, daß völlige Klarheit über die verwendeten mathematischen Begriffe und Redewendungen besteht. Diese Forderungen bewahren die Mathematiker davor, sich gegenseitig mißzuverstehen und dadurch evtl. in unfruchtbaren Meinungsstreit zu verfallen.
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Wir wollen in diesem Programm keine speziellen mathematischen Begriffe einführen, sondern unsere Aufmerksamkeit gewissen (logischen) Begriffen widmen, die in der Sprache der Mathematik ständig benutzt werden und deren genaues Verständnis daher für die Beschäftigung mit der Mathematik unerläßlich ist. Außerdem wollen wir einige der Mathematik eigentümliche Ausdrucksweisen kennenlernen.
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#v(5mm)
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#align(right)[#pfeil_mit_x(ref(<3>))]
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#figure(
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[], // Leerer Inhalt
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kind: "punkt",
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supplement: none,
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numbering: "1"
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) <3> #v(-1em)
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Leider #snl(3) ist es nicht so, daß jeder, der sich in der Umgangssprache einigermaßen gut auszudrücken vermag, sich auch _exakt_ auszudrücken weiß. Denn die Umgangssprache mit ihren Mehrdeutigkeiten und Bedeutungsschattierungen vieler Wörter und Sätze ist nicht immer ein gutes Werkzeug für genaue und klare Formulierungen.
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Aus solchen Gründen ist der Mathematiker in seiner Ausdrucksweise zu mehr oder weniger starken Abweichungen von der Umgangssprache genötigt, wobei er mitunter um des genauen Ausdrucks willen auf stilistische Schönheit verzichten muß. Auch haben sich im Laufe der Zeit gewisse Formulierungen herausgebildet, deren Sinn jeder Mathematiker genauestens kennt und durch deren Verwendung sprachliche Mißverständnisse vermieden werden.
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Umgangssprachliche Erscheinungen, die sich aus der gefühlsmäßigen Färbung gewisser Wörter, der Satzmelodie der Sprache und aus dem allgemeinen Textzusammenhang ergeben, liegen außerhalb unserer Betrachtungen.
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#v(3cm)
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#align(right)[#pfeil_mit_x(ref(<5>))]
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#hrule
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#v(1cm)
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#snl(4)
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#v(1cm)
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#figure(
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[], // Leerer Inhalt
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kind: "punkt",
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supplement: none,
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numbering: "1"
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) <4> #v(-1em)
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Richtige Antwort: $d$ und $e$;
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#einruecken(2cm)[
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denn $2$ ist eine gerade Primzahl, und Adam Ries (1492-1559) und Goethe (1749-1832) waren keinesfalls Zeitgenossen; die Sätze $a$, $b$, $c$ dagegen sind zutreffende Beschreibungen der betreffenden Sachverhalte.]
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#pagebreak()
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#figure(
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[], // Leerer Inhalt
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kind: "punkt",
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supplement: none,
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numbering: "1"
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) <5> #v(-1em)
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#hrule
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#figure(
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[], // Leerer Inhalt
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kind: "punkt",
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supplement: none,
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numbering: "1"
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) <6> #v(-1em)
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#pagebreak()
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#figure(
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[], // Leerer Inhalt
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kind: "punkt",
|
|
supplement: none,
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|
numbering: "1"
|
|
) <7> #v(-1em)
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#figure(
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[], // Leerer Inhalt
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|
kind: "punkt",
|
|
supplement: none,
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numbering: "1"
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) <8> #v(-1em)
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#hrule
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#figure(
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[], // Leerer Inhalt
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kind: "punkt",
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|
supplement: none,
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numbering: "1"
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) <9> #v(-1em)
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#pagebreak()
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= Methods
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== Setup
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#lorem(10)
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Studieren Sie Lehrschritt x und kehren Sie dann nach Lehrschritt y zurück! |