Vollständige Induktion

Definitionen/I_D_21.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_21}
+Wenn $a_{k}$ ein beliebiger Ausdruck in Abhängigkeit von $k \in \mathbb{Z}$ und $m, n \in \mathbb{Z}$ mit $m \leq n$ ist, dann ist das \textbf{Summenzeichen} definiert als
+$$
+\sum_{k=m}^{n} a_{k}:=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots+a_{n-1}+a_{n}
+$$
+Für den Fall $m>n$ setzt man $\sum_{k=m}^{n} a_{k}:=0$.
+\end{definition}

I_2.tex

@@ -72,41 +72,61 @@ Ein Beweis muss immer allgemeingültig sein und \underline{alle} möglichen Fäl
 
 \begin{beispiel}\label{B0013}
 
-\textit{Behauptung}: Für alle $n \in \mathbb{N}$ liefert die Formel $p(n):=n^2-n+41$ eine \textbf{Primzahl}. Das heißt eine Zahl, die nur durch $1$ oder sich selbst teilbar ist.
+\textbf{Behauptung}: Für alle $n \in \mathbb{N}$ liefert die Formel $p(n):=n^2-n+41$ eine \textbf{Primzahl}. Das heißt eine Zahl, die nur durch $1$ oder sich selbst teilbar ist.
 
 
 Diese Aussage ist offensichtlich falsch, weil $p(41)=41^{2}-41+41=41^{2}$ keine Primzahl ist. Denn die Zahl $41^{2}$ lässt sich neben 1 und $41^{2}$ auch durch die Zahl 41 teilen.
 
 \end{beispiel}
-2.2 Indirekter Beweis
+\section{Indirekter Beweis}
 Der indirekte Beweis oder auch Widerspruchsbeweis ist einer der elegantesten und auch einfachsten Beweise. Wie bei dem direkten Beweis ist es auch hier das Ziel, aus einer Aussage $A$ (Voraussetzung) eine Aussage $B$ (Behauptung) zu beweisen.
-Das Prinzip des indirekten Beweises besteht darin, das man annimmt, die Behauptung $B$ sei falsch und stattdessen das logische Gegenteil $\neg B$ richtig. Durch erlaubte mathematische Operationen führt man unter Benutzung der zusätzlichen Voraussetzung $\neg B$ einen Widerspruch her. Die Folgerung ist, dass $B$ richtig sein muss.
-Beispiel 14
-Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl $n$ eine natürliche Zahl, so ist diese gerade.
 
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+Das Prinzip des indirekten Beweises besteht darin, das man annimmt, die Behauptung $B$ sei falsch und stattdessen das logische Gegenteil $\neg B$ richtig. Durch \underline{erlaubte} mathematische Operationen führt man unter Benutzung der zusätzlichen Voraussetzung $\neg B$ einen Widerspruch her. Die Folgerung ist, dass $B$ richtig sein muss.
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+\begin{beispiel}\label{B0014}
+	
+\textbf{Behauptung}: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl $n$ eine natürliche Zahl, so ist diese gerade.
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+\textbf{Beweis} : Nimmt man an, dass $k=\sqrt{n}$ eine ungerade Zahl ist, dann ist wegen der in Beispiel 11 bewiesenen Behauptung auch $k^2=n$ ungerade und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass $n$ gerade ist. Also ist die getroffene Annahme falsch und das heißt $\sqrt{n}$ ist eine gerade Zahl.
+
+\hfill $\blacksquare$
+\end{beispiel}
+
+Bei diesem Beweisverfahren schleicht sich oft ein häufig gemachter Fehler ein, indem die Behauptung falsch negiert wird. Dazu das folgende
+
+\begin{beispiel}\label{B0015}
+\textbf{Behauptung}: Die Zahl $1$ ist die größte reelle Zahl.
+
+\textbf{Beweis}: Angenommen die Behauptung ist falsch, dass heißt es gibt eine andere größte Zahl $y$, mit $1<y$. Weil die Zahl $y$ positiv ist, kann die Ungleichung $1<y$ mit $y$ multipliziert werden und man erhält $y<y^{2}$. Das ist offenbar ein Widerspruch zur Annahme, dass $y$ die größte Zahl ist, weil $y^{2}$ ja noch größer als $y$ ist. Also folgt die Behauptung und somit ist die Zahl $1$ die größte reelle Zahl.
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+\textbf{Wo liegt hier der Fehler ?}
+Die Negation der Behauptung ist falsch! Die richtige Negation muss lauten : $1$ ist nicht die größte reelle Zahl.
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+\end{beispiel}
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+\section{Vollständige Induktion}
+Zur Vorbereitung dieser wichtigen Beweismethode werden zunächst einige Begriffe definiert, die in den zu beweisenden Behauptungen immer wieder auftauchen.
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+\input{Definitionen/I_D_21.tex}
 %%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
 
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 \newpage
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-Beweis :
-Nimmt man an, dass $k=\sqrt{n}$ eine ungerade Zahl ist, dann ist wegen der in Beispiel 11 bewiesenen Behauptung auch $k^{2}=n$ ungerade und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass $n$ gerade ist. Also ist die getroffene Annahme falsch und das heißt $\sqrt{n}$ ist eine gerade Zahl.
 
-Bei diesem Beweisverfahren schleicht sich oft ein häufig gemachter Fehler ein, indem die Behauptung falsch negiert wird. Dazu das folgende
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 Beispiel 15
-Behauptung: Die Zahl 1 ist die größte reelle Zahl.
-Beweis:
-Angenommen die Behauptung ist falsch, dass heißt es gibt eine andere größte Zahl $y$, mit $1<y$. Weil die Zahl y positiv ist, kann die Ungleichung $1<y$ mit $y$ multipliziert werden und man erhält $y<y^{2}$. Das ist offenbar ein Widerspruch zur Annahme, dass y die größte Zahl ist, weil $y^{2}$ ja noch größer als $y$ ist. Also folgt die Behauptung und somit ist die Zahl 1 die größte reelle Zahl.
-Wo liegt hier der Fehler ?
-Die Negation der Behauptung ist falsch! Die richtige Negation muss lauten : 1 ist nicht die größte reelle Zahl.
-2.3 Vollständige Induktion
-Zur Vorbereitung dieser wichtigen Beweismethode werden zunächst einige Begriffe definiert, die in den zu beweisenden Behauptungen immer wieder auftauchen.
-Definition 2.1 Wenn $a_{k}$ ein beliebiger Ausdruck in Abhängigkeit von $k \in \mathbb{Z}$ und $m, n \in \mathbb{Z}$ mit $m \leq n$ ist, dann ist das Summenzeichen definiert als
-$$
-\sum_{k=m}^{n} a_{k}:=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots+a_{n-1}+a_{n}
-$$
-Für den Fall $m>n$ setzt man $\sum_{k=m}^{n} a_{k}:=0$.
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+2.3 
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 Das Summenzeichen dient also dazu, endliche Summen von Ausdrücken oder Termen effizient und platzsparend darzustellen.
 Beispiel 16
 a) $1+2+3+\ldots+n-1+n=\sum_{k=1}^{n} k$