Band I Init

Definitionen/I_D_01.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+%!TEX root=../../MathIng.tex
+
+\begin{definition}\label{D1_1_01}Eine \textbf{Menge} ist eine Zusammenfassung bestimmter unterscheidbarer Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte heißen die \textbf{Elemente} der Menge.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_02.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_02}Ist $x$ \textbf{ein} Element einer beliebigen Menge $A$ ‚so schreibt man dafür kurz $x\in A$. Ist $x$ dagegen \textbf{kein} Element der Menge $A$, so schreibt man dafür kurz $x\notin A$.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_03.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_03}Eine Menge mit endlich vielen Elementen heißt \textbf{endliche Menge}, eine Menge mit unendlich vielen Elementen heißt \textbf{unendliche Menge}.
+Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge $A$ bezeichnet man als \textbf{Kardinalzahl} oder auch \textbf{Mächtigkeit} und schreibt dafür $\# A$.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_04.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_04}
+Eine Menge die kein Element besitzt heißt \textbf{leere Menge} und wird mit $\left\{\ \right\}$ oder auch $\emptyset$ bezeichnet. Die leere Menge zählt verabredungsgemäß zu den endlichen Mengen.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_05.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_05}
+	Die Menge $\mathbb{N}:= \left\{1,2,3,\ldots\right\}$ heißt die Menge der \textbf{natürlichen Zahlen}. Wird der Menge der natürlichen Zahlen die Zahl $0$ hinzugefügt, dann schreibt man $\mathbb{N}_0:=\left\{1,2,3,\ldots\right\}$.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_06.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_06}Die Menge $\mathbb{Z}:=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ heißt die Menge der \textbf{ganzen Zahlen}. 
+
+Mit $\mathbb{Z}^{-}:=\{\ldots,-3,-2,-1\}$ werden gelegentlich alle negativen ganzen Zahlen bezeichnet.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_07.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_07}
+	Die Menge $\mathbb{Q}:=\left\{x \mid x=\frac{p}{q}\right.$ mit $p, q \in \mathbb{Z}$ und $\left.q \neq 0\right\}$ heißt die Menge der \textbf{rationalen Zahlen}.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_08.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_08}Die Menge der rationalen Zahlen $Q$ erweitert um die Menge aller irrationalen Zahlen heißt die Menge der \textbf{reellen Zahlen} und wird mit $\mathbb{R}$ bezeichnet.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_09.tex

@@ -0,0 +1,8 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_09}Für alle $a, b \in \mathbb{R}$ mit $a \leq b$ heißt
+	\begin{itemize}
+\item $]a, b[=(a, b):=\{x \in \mathbb{R} \mid a<x<b\}$ offenes Intervall (ausschließlich der Endpunkte), 
+\item $]a, b]=(a, b]:=\{x \in \mathbb{R} \mid a<x \leq b\}$ halboffenes Intervall,
+\item $[a, b[=[a, b):=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x<b\}$ halboffenes Intervall,
+\item $[a, b]:=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ abgeschlossenes beziehungsweise auch kompaktes Intervall (einschließlich der Endpunkte).
+	\end{itemize}
+\end{definition}

Definitionen/I_D_10.tex

@@ -0,0 +1,11 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_10}\reversemarginpar\marginnote{\footnotesize{siehe auch \ref{Anm:001}}}
+
+Für alle $a, b \in \mathbb{R}$ mit $a \leq b$ heißt
+\begin{itemize}
+\item $]a, \infty[=(a, \infty):=\{x \in \mathbb{R} \mid a<x\}$ offenes Intervall, 
+\item $[a, \infty[=[a, \infty):=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x\}$ halboffenes Intervall,
+\item $\infty ]-\infty, b[=(-\infty, b):=\{x \in \mathbb{R} \mid x<b\}$ offenes Intervall,
+\item $]-\infty, b]=(-\infty, b]:=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\}$ halboffenes Intervall,
+\item $]-\infty, \infty[=(-\infty, \infty):=\mathbb{R}$ Menge der reellen Zahlen.
+\end{itemize}
+\end{definition}

Definitionen/I_D_11.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_11}
+Zwei beliebige Mengen $A, B$ heißen \textbf{gleich}, wenn sie dieselben Elemente haben. Man schreibt dann $A=B$.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_12.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_12}
+Seien $A, B$ zwei beliebige Mengen. Die Menge $A$ heißt eine \textbf{Teilmenge} der Menge $B$, wenn für jedes $x \in A$ auch $x \in B$ folgt. Man schreibt dann $A \subset B$ und sagt die Menge $A$ ist in der Menge $B$ enthalten. Ist $A$ keine Teilmenge von $B$ beziehungsweise nicht enthalten in $B$, dann schreibt man $A \not \subset B$.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_13.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_13}
+Jede Teilmenge einer Menge $A$, die weder leer noch gleich $A$ ist, heißt echte Teilmenge von $A$.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_14.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_14}
+Die Gesamtheit aller voneinander verschiedener Teilmengen einer Menge $A$ heißt die \textbf{Potenzmenge} der Menge $A$ und wird bezeichnet mit $\mathcal{P}(A):=\{X \mid X \subset A\}$.
+\end{definition}

Definitionen/I_D_15.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_15}
+Seien $A, B$ beliebige Mengen
+
+\begin{enumerate}
+\item Der \textbf{Durchschnitt}\marginnote{\Huge$\cap$\\ \small Durchschnitt} der Mengen $A$ und $B$ ist die Menge derjenigen Elemente, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören. Man schreibt
+
+\[A \cap B:=\{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}:=\{x \mid x \in A \wedge x \in B\} .\]
+
+\item Die \textbf{Vereinigung}\marginnote{\Huge$\cup$\\ \small Vereinigung} der Mengen $A$ und $B$ ist die Menge, die entsteht, wenn die Elemente der Mengen $A$ und $B$ zu einer neuen Menge zusammengefasst werden. Man schreibt
+
+\[A \cup B:=\{x \mid x \in A\text{ oder }x \in B\}:=\{x \mid x \in A \vee x \in B\} .\]
+
+\item Die \textbf{Differenz} der Mengen $A$ und $B$ ist die Menge derjenigen Elemente, die zu $A$ aber nicht zu $B$ gehören. Man schreibt
+\[
+A \setminus B:=\{x \mid x \in A \text { und } x \notin B\}:=\{x \mid x \in A \wedge x \notin B\} .
+\]
+
+\end{enumerate}
+\end{definition}

Definitionen/I_D_16.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_16}
+
+Seien $k, n \in \mathbb{N}$ und $A_{k}$ beliebige Mengen, dann gilt:
+
+\begin{itemize}
+\item Die Durchschnittsmenge aller Mengen $A_{k}$ ist definiert als
+$$
+\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}:=A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \ldots \cap A_{n} .
+$$
+
+\item Die Vereinigungsmenge aller Mengen $A_{k}$ ist definiert als
+$$
+\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}:=A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup \ldots \cup A_{n}
+$$
+\end{itemize}
+\end{definition}

Definitionen/I_D_17.tex

@@ -0,0 +1,12 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_17}
+Seien $A$ und $B$ zwei beliebige Mengen. Die \textbf{Produktmenge} beziehungsweise das \textbf{kartesische Produkt} der Mengen $A$ und $B$, geschrieben als $A \times B$, ist die Menge aller möglichen geordneten Paare $(a, b)$ mit der Eigenschaft $a \in A$ und $b \in B$.
+$$
+A \times B:=\{(a, b) \mid a \in A \wedge b \in B\}
+$$%\marginnote{a \textbf{und} b}
+
+\begin{itemize}
+\item Das Produkt einer Menge $A$ mit sich selbst, also $A \times A$ wird mit $A^{2}$ bezeichnet.
+\item Ein Element aus $A \times B$ bezeichnet man auch als \textbf{Dupel}.
+\end{itemize}
+
+\end{definition}

Definitionen/I_D_18.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+\begin{definition}\label{D1_1_18}
+Seien $k, n \in \mathbb{N}$ und $A_{k}$ beliebige Mengen. Dann gilt für die Menge der geordneten $\mathrm{n}$ - \textbf{Tupel}:
+$$
+A_{1} \times \ldots \times A_{n}:=\left\{\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \mid a_{k} \in A_{k}\right\} .
+$$
+\end{definition}