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Q1_1.tex

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+\section*{Aufgabe 1}
+
+Welche der folgenden Intervalle sind im Bereich der Funktion $\sqrt{2 x-x^3}$ enthalten? Wählen Sie alle zutreffenden Antworten aus $\ldots$
+
+		
+  \begin{itemize}
+			\item $\mathbf{[0, \sqrt{2}]}$
+			\item $[\sqrt{2},+\infty)$
+			\item $[-\sqrt{2}, 0]$
+  		\item $\mathbf{(-\infty,-\sqrt{2}]}$
+        \end{itemize}	
+        
+\subsection*{Bestimmen des Definitionsbereiches}
+
+\begin{flalign*}
+f(x) &= \sqrt{2 x-x^3}\\
+\sqrt{2 x-x^3} & \geq 0\qquad \vert ^2 \\
+2x-x^3 & \geq 0\qquad|  x\text{ ausklammern}\\
+x\left(2-x^2\right) & \geq 0\\
+x_1 & \geq 0\\
+2-x^2 & \geq 0 \qquad \vert -2\\
+-x^2 & \geq -2 \qquad \vert \div (-1)\\
+x^2 & \leq 2 \qquad \vert \sqrt{ }\\
+x_2 & \leq \sqrt{2}\\
+x_3 & \leq -\sqrt{2}
+\end{flalign*}
+
+Damit ergeben sich die folgenden Intervalle:
+\begin{itemize}
+    \item $(-\infty,-\sqrt{2}]$
+    \item $[0,\sqrt{2}]$
+\end{itemize}
+
+
+\subsection*{Bestimmen der Nullstellen}
+\begin{flalign*}
+x\left(2-x^2\right) & = 0\\
+x_1 &= 0\\
+2-x^2 & = 0 \qquad \vert -2\\
+-x^2 & = -2 \qquad \vert \div (-1)\\
+x^2 & = 2 \qquad \vert \sqrt{ }\\
+x_2 & = \sqrt{2}\\
+x_3 & = -\sqrt{2}
+\end{flalign*}
+
+\vspace{2pt}
+\begin{figure}[ht]
+    \centering
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+        domain=-4:3, % Bereich, in dem die Funktion definiert ist
+        samples=1000, % Anzahl der Abtastpunkte
+        xlabel={$x$},
+        ylabel={$y$},
+        axis lines=middle,
+        xtick={-4,-3,-1.414, 0, 1, 1.414,3},
+        xticklabels={-4,-3,-$\sqrt{2}$, 0, 1, $\sqrt{2}$,3},
+        ytick={0, 1,2,3},
+        ymin=-0.1, ymax=3.5,
+        xmin=-4, xmax=3,
+        legend pos=outer north east,
+        %grid=both,
+        %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+        %minor grid style={line width=.1pt,draw=gray!50},
+    ]
+    \addplot [
+        domain=0:1.414,
+        samples=500,
+        thick,
+        red,
+    ] {sqrt(2*x - x^3)};
+    \addplot [
+        domain=-4:-1,
+        samples=500,
+        thick,
+        red,
+    ] {sqrt(2*x - x^3)};
+    \addlegendentry{$\sqrt{2x - x^3}$}
+    \end{axis}
+\end{tikzpicture}
+%		%\caption{}
+	\label{fig:q2}
+\end{figure}
+