Init

Calc01.tex

@@ -0,0 +1,44 @@
+\documentclass[]{scrbook}
+\usepackage{color}
+\usepackage{marginnote}
+\usepackage[fleqn]{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\newcommand\mpar[1]{\marginpar {\flushleft\sffamily\small #1}}
+\setlength{\marginparwidth}{35mm}
+
+\usepackage{slashed}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{tikz}
+
+\usepackage{graphicx}
+
+
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\newcommand{\changefont}[3]{
+%	\fontfamily{#1} \fontseries{#2} \fontshape{#3} \selectfont}
+
+\setlength\parindent{0pt}
+%\changefont{pag}{m}{n}
+
+%\usepackage[sc]{mathpazo}		% Palatino Font
+\usepackage{cmbright} 
+%\usepackage{charter} 
+
+% %%%  Überschriften %%%%
+%\setkomafont{disposition}{\normalcolor\sffamily\bfseries} % standard
+\setkomafont{disposition}{\normalcolor\bfseries} % alle überschriften fett und serifenlos
+%\setkomafont{disposition}{\normalcolor}
+
+
+
+\everymath{\displaystyle}
+\begin{document}
+
+%\input{Eingangstest}
+	
+
+
+\input{Quiz1.tex}
+
+	
+\end{document}

Eingangstest.tex

@@ -0,0 +1,221 @@
+	\begin{description}
+		\item[1. Aufgabe ] Was ist die Ableitung von $x^4-2 x^3+3 x^2-5 x+11$ ?
+		\mpar{\textcolor{red}{\textbf{Potenzregel:} $f(x)=x^n$\\$f'(x)=nx^{x-1}$}}
+		\begin{itemize}
+			\item $x^3-2 x^2+3 x+6$
+			\item $4 x^3-6 x^2-6 x-5$
+			\item $\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+x^3-\frac{5 x^2}{2}+11 x+C$, wobei $C$ eine Konstante ist.
+			\item Keiner von ihnen.
+			\item $4 x^3-6 x^2+6 x-5$
+			\item $x^3-2 x^2+3 x-5$
+			\item $\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+x^3-\frac{5 x^2}{2}+11 x$
+			\item $4 x^4-6 x^3+6 x^2-5 x+11$
+		\end{itemize}
+		
+		\textbf{Lösung:} 
+		
+		$4x^3-6x^2+6x-5$
+		
+		\begin{figure}[ht]
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.75\linewidth]{Grafiken/A1}
+			\label{fig:a1}
+		\end{figure}
+		
+		\newpage
+		
+		\item[2. Aufgabe]  Welche der folgenden Gleichungen gibt die Gleichung eines Kreises mit dem Radius $2$ und dem Mittelpunkt im Punkt $(-1,2)$ an?
+		\mpar{\textcolor{red}{\textbf{Kreisgleichung:} $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$}}
+		\begin{itemize}
+			\item $(x+1)^2-(y-2)^2=2$
+			\item 	$(x-1)^2+(y+2)^2=4$
+			\item 	$x^2+\frac{y^2}{2}=4$
+			\item 	$x^2+y^2=4$
+			\item 	$(x+1)^2+(y-2)^2=4$
+			\item 	$(x+1)^2+(y-2)^2=2$
+			\item 	$(x-1)^2+(y+2)^2=2$
+		\end{itemize}
+		
+		\textbf{Lösung:} 
+		
+		Einsetzen in Kreisgleichung
+		$(x-(-1))^2+(y-2)^2=4$ somit $(x+1)^2+(y-2)^2=4$
+		
+		\begin{figure}[ht]
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.75\linewidth]{Grafiken/A2}
+			\caption{}
+			\label{fig:a2}
+		\end{figure}
+		
+		\newpage
+		
+		\item[3. Aufgabe] Vereinfachen Sie $\left(\frac{-125}{8}\right)^{2/3}$
+		\begin{itemize}
+			\item $\frac{15625}{64}$
+			\item $-\frac{2}{5}$
+			\item $\frac{2}{5}$
+			\item $-\frac{5}{2}$
+			\item $\frac{3}{5}$
+			\item $\frac{4}{25}$
+			\item \underline{\underline{$\frac{25}{4}$}}
+		\end{itemize}
+		
+		\textbf{Lösung:} Ohne TR
+		
+		$\left(\frac{-125}{8}\right)^{2/3}=\frac{\sqrt[3]{(-125)^2}}{\sqrt[3]{8^2}}=\frac{\sqrt[3]{15625}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{\sqrt[3]{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}{\sqrt[3]{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}=\frac{\slashed{5}\cdot \slashed{5}\cdot \slashed{5}\cdot \slashed{5}\cdot 5\cdot 5}{\slashed{2}\cdot \slashed{2}\cdot \slashed{2}\cdot \slashed{2}\cdot 2\cdot 2}=\frac{5\cdot 5}{2 \cdot 2}=\frac{25}{4}$
+		
+		\newpage
+		
+		\item[4. Aufgabe]Lösen Sie $e^{2-3 x}=125$ für $x$.
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $\frac{2}{3}+\ln 25$
+			\item $\frac{2}{3}-\ln 125$
+			\item $\frac{2}{3}+\ln 125$
+			\item $\frac{3}{2}+\ln 125$
+			\item $\frac{2}{3}-\ln 5$
+			\item $\frac{3}{2}-\ln 5$
+			\item $\frac{3}{2}+\ln 25$
+			\item $\frac{3}{2}-\ln 125$
+		\end{itemize}
+		
+		\textbf{Lösung:} 
+		
+		\mpar{\textcolor{red}{$\ln e=1$}}
+		
+		\mpar{\textcolor{red}{$\log_b (x^z) = z \cdot \log_b(x)$}}
+		
+		\begin{tabular}{rll}
+			& $e^{2-3 x}=125$ & $\vert{} \ln()$ \\
+			$\Leftrightarrow$ & $\ln e^{2-3x}=\ln 125$ & $\vert{}$ siehe Regel \\
+			$\Leftrightarrow$ & $\left(2-3x\right) \cdot \ln e = \ln 125$ &  $\vert{}$ siehe Regel \\
+			$\Leftrightarrow$ & $2-3x=\ln 125$ & $\vert{} -2$\\
+			$\Leftrightarrow$ & $-3x=\ln 125-2$ &$\vert{} \div(-3)$\\
+			$\Leftrightarrow$ & $x=\ln 125-2$ &\\
+			$\Leftrightarrow$ & $x=\frac{2}{3} -\frac{\ln 125}{3}$ &\\
+			
+		\end{tabular}
+		
+		
+		\newpage
+		
+		\item[5. Aufgabe]Bewerten Sie $\int_1^3 \frac{d x}{x^2}$.
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $-\frac{1}{2}$
+			\item $-\frac{2}{3}$
+			\item $-\frac{1}{3}$
+			\item $-\frac{8}{9}$
+			\item $\frac{1}{3}$
+			\item $-\frac{26}{27}$
+			\item $\frac{2}{3}$
+			\item $\frac{1}{2}$
+		\end{itemize}
+		
+		\textbf{Lösung:} 
+		
+		\mpar{\textcolor{red}{$\int_a^b f(x) d x=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$}}
+		
+		\mpar{$\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}$}
+		
+		$\int_1^3 \frac{d x}{x^2}=\int_1^3 \frac{1}{x^2}dx=\left[ -\frac{1}{x}\right]_1^3=-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{1}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
+		
+		
+		\begin{figure}[ht]
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.65\linewidth]{Grafiken/A5}
+			\label{fig:a5}
+		\end{figure}
+		
+		
+		\newpage
+		
+		\item[6. Aufgabe]Es sei $f(x)=x+\sin 2 x$. Finden Sie die Ableitung $f^{\prime}(0)$.
+		\mpar{Summenregel: $f(x)=g(x)+k(x) \quad \rightarrow \quad f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+k^{\prime}(x)$}
+		\mpar{Kettenregel: $\left[u\left(v\left(x\right)\right)\right]^{\prime}=u^{\prime}\left(v\left(x\right)\right)\cdot v^{\prime}\left(x\right)$}
+		\begin{itemize}
+			\item $3$
+			\item $2$
+			\item $6$
+			\item $-1$
+			\item $-3$
+			\item $0$
+			\item $-2$
+			\item $1$
+		\end{itemize}
+		
+		\textbf{Lösung:}
+		
+		$f(x)=x+\sin 2 x \Rightarrow f'(x)=1+2\cdot \cos(2x)$
+		
+		$f(0)^\prime=1+2\cdot \cos(2\cdot 0)= 1+2\cdot 1=3$
+		
+		
+		Nebenrechnung wegen Verkettung:
+		$\left(\sin(2x)\right)^\prime$
+		\begin{itemize}
+			\item $u=2x$;  $u^\prime = 2$
+			\item $\left(\sin(u)\right)^\prime = \cos(u)$
+			\item somit: $\left(\sin(2x)\right)^\prime = 2\cdot \cos(2x)$
+		\end{itemize}
+		
+		\begin{figure}[ht]
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.65\linewidth]{Grafiken/A6}
+			\label{fig:a6}
+		\end{figure}
+		
+		\newpage
+		
+		\item[7. Aufgabe]Bewerten Sie $\cos \frac{2 \pi}{3}-\arctan 1$. Seien Sie vorsichtig und prüfen Sie alle Optionen.
+		
+		\begin{itemize}
+			\item  $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
+			\item  $\frac{1-\pi}{2}$
+			\item  $-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
+			\item  $-\frac{\sqrt{3}+2}{4}$
+			\item  $\frac{\pi+2}{4}$
+			\item  $-\frac{\pi+2}{4}$
+			\item  $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
+			\item  $\frac{\pi-2}{4}$
+		\end{itemize}
+		
+		
+		\textbf{Lösung: } 
+		
+		
+		$\cos \frac{2 \pi}{3}=-\frac{1}{2}$
+		
+		$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$
+		
+		$-\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}=-\frac{2}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{-2-\pi}{4}=-\frac{\pi+2}{4}$
+		
+		\newpage
+		
+		\item[8. Aufgabe]Bewerten Sie $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^2+x-3}{x^2-x}$
+		
+		\begin{itemize}
+		\item  $\frac{4 x+1}{2 x-1}$
+		\item  	$\frac{5}{2}$
+		\item  $0$
+		\item  $-3$
+		\item  $2$
+		\item  $5$
+		\item  $\frac{7}{2}$
+		\item  $\frac{0}{0}$
+		\end{itemize}
+		
+		$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 \cdot1^2+1-3}{1^2-1}=\frac{0}{0}$
+		
+		daher L'Hospital:
+		
+		$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^2+x-3}{x^2-x}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{4 x+1}{2x-1}=\frac{5}{1}=5$
+		
+		\begin{figure}[ht]
+			\centering
+			\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/A8}
+			\label{fig:a8}
+		\end{figure}
+		
+	\end{description}

Q1_1.tex

@@ -0,0 +1,84 @@
+\section*{Aufgabe 1}
+
+Welche der folgenden Intervalle sind im Bereich der Funktion $\sqrt{2 x-x^3}$ enthalten? Wählen Sie alle zutreffenden Antworten aus $\ldots$
+
+		
+  \begin{itemize}
+			\item $\mathbf{[0, \sqrt{2}]}$
+			\item $[\sqrt{2},+\infty)$
+			\item $[-\sqrt{2}, 0]$
+  		\item $\mathbf{(-\infty,-\sqrt{2}]}$
+        \end{itemize}	
+        
+\subsection*{Bestimmen des Definitionsbereiches}
+
+\begin{flalign*}
+f(x) &= \sqrt{2 x-x^3}\\
+\sqrt{2 x-x^3} & \geq 0\qquad \vert ^2 \\
+2x-x^3 & \geq 0\qquad|  x\text{ ausklammern}\\
+x\left(2-x^2\right) & \geq 0\\
+x_1 & \geq 0\\
+2-x^2 & \geq 0 \qquad \vert -2\\
+-x^2 & \geq -2 \qquad \vert \div (-1)\\
+x^2 & \leq 2 \qquad \vert \sqrt{ }\\
+x_2 & \leq \sqrt{2}\\
+x_3 & \leq -\sqrt{2}
+\end{flalign*}
+
+Damit ergeben sich die folgenden Intervalle:
+\begin{itemize}
+    \item $(-\infty,-\sqrt{2}]$
+    \item $[0,\sqrt{2}]$
+\end{itemize}
+
+
+\subsection*{Bestimmen der Nullstellen}
+\begin{flalign*}
+x\left(2-x^2\right) & = 0\\
+x_1 &= 0\\
+2-x^2 & = 0 \qquad \vert -2\\
+-x^2 & = -2 \qquad \vert \div (-1)\\
+x^2 & = 2 \qquad \vert \sqrt{ }\\
+x_2 & = \sqrt{2}\\
+x_3 & = -\sqrt{2}
+\end{flalign*}
+
+\vspace{2pt}
+\begin{figure}[ht]
+    \centering
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+        domain=-4:3, % Bereich, in dem die Funktion definiert ist
+        samples=1000, % Anzahl der Abtastpunkte
+        xlabel={$x$},
+        ylabel={$y$},
+        axis lines=middle,
+        xtick={-4,-3,-1.414, 0, 1, 1.414,3},
+        xticklabels={-4,-3,-$\sqrt{2}$, 0, 1, $\sqrt{2}$,3},
+        ytick={0, 1,2,3},
+        ymin=-0.1, ymax=3.5,
+        xmin=-4, xmax=3,
+        legend pos=outer north east,
+        %grid=both,
+        %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+        %minor grid style={line width=.1pt,draw=gray!50},
+    ]
+    \addplot [
+        domain=0:1.414,
+        samples=500,
+        thick,
+        red,
+    ] {sqrt(2*x - x^3)};
+    \addplot [
+        domain=-4:-1,
+        samples=500,
+        thick,
+        red,
+    ] {sqrt(2*x - x^3)};
+    \addlegendentry{$\sqrt{2x - x^3}$}
+    \end{axis}
+\end{tikzpicture}
+%		%\caption{}
+	\label{fig:q2}
+\end{figure}
+

Q1_2.tex

@@ -0,0 +1,98 @@
+\section*{Aufgabe 2}
+Welche der folgenden Intervalle sind im Bereich der Funktion $\frac{x-3}{x^2-4} \ln x$ enthalten? Wählen Sie alle zutreffenden Antworten aus...
+
+\begin{itemize}
+    \item $(2,+\infty)$
+    \item $(-\infty,-2)$
+    \item $(-2,0)$
+    \item $(0,2)$
+\end{itemize}
+
+Untersuchung des Nenners (wann gibt es eine Division durch Null):
+\begin{align*}
+    x^2-4=0 & \qquad \vert{} +4   \\
+    x^2=4 & \qquad \vert{} \sqrt{\quad} \\
+    x_1=-2 \\
+    x_2=2
+\end{align*}
+
+Somit sind die Bereiche $(2,+\infty)$ und $(-\infty,-2)$ 
+
+\textcolor{red}{\textbf{Dies stellt mich aber noch nicht zufrieden, das kann einfach nicht alles sein}}
+
+\textcolor{blue}{\textbf{Hier hatte ich im ersten Versuch den Fehler gemacht, das ich das $\ln x$ übersah}}
+
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+
+    \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+        domain=0.1:4.9, % Bereich, in dem die Funktion definiert ist (z.B. nahe bei 0 und 2 ausgespart)
+        samples=100, % Anzahl der Abtastpunkte
+        xlabel={$x$},
+        ylabel={$f(x)$},
+        axis lines=middle,
+        xtick={0, 1, 2, 3, 4},
+        ytick={-2, -1, 0, 1, 2},
+        ymin=-2.5, ymax=2.5,
+        xmin=0, xmax=5,
+        legend pos=outer north east,
+        grid=both,
+        major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+        minor grid style={line width=.1pt,draw=gray!50},
+        restrict y to domain=-2.5:2.5, % Begrenze y-Werte für bessere Darstellung
+    ]
+    \addplot [
+        domain=0.1:1.9999,
+        samples=500,
+        thick,
+        blue
+    ] {(x-3)/(x^2-4) * ln(x)};
+    \addlegendentry{$\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln(x)$}
+
+    \addplot [
+        domain=2.00001:5,
+        samples=500,
+        thick,
+        blue
+    ] {(x-3)/(x^2-4) * ln(x)};
+    \end{axis}
+\end{tikzpicture}
+%    \includegraphics[width=0.75\linewidth]{Grafiken/Q1_2.png}
+    %\caption{Enter Caption}
+    \label{fig:enter-label}
+\end{figure}
+
+
+
+Um die Intervalle zu bestimmen, in denen die Funktion $h(x)=\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln (x)$ definiert ist, muss man die Punkte betrachten, an denen die Funktion nicht definiert ist. Diese Punkte sind:
+
+\begin{enumerate}
+    \item Nullstellen des Nenners $x^2-4$
+    \item Punkte, an denen der Logarithmus $\ln (x)$ nicht definiert ist (insbesondere $x \leq 0$ )
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Nullstellen des Nenners}
+\begin{flalign*}
+x^2-4&=0 \\
+x^2&=4 \\
+x&= \pm 2    
+\end{flalign*}
+
+
+Die Funktion hat also Pole (nicht definierte Punkte) bei $x=2$ und $x=-2$.
+2. Definitionsbereich des Logarithmus:
+$\ln (x)$ ist nur für $x>0$ definiert.
+Zusammenführung der Bedingungen:
+- Der Nenner darf nicht null sein: $x \neq 2$ und $x \neq-2$.
+- Der Logarithmus ist nur für $x>0$ definiert.
+
+Schlussfolgerung:
+Die Funktion $h(x)=\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln (x)$ ist definiert für $x>0$, ausgenommen $x=2$. Somit sind die Intervalle, in denen die Funktion definiert ist:
+$$
+(0,2) \cup(2, \infty)
+$$
+
+Diese Intervalle umfassen alle Werte, für die der Ausdruck sowohl im Nenner als auch im Logarithmus definiert und nicht null ist.
+

Q1_3.tex

@@ -0,0 +1,71 @@
+\begin{itemize}
+\item Was ist der Bereich der Funktion $\arcsin \frac{x-2}{3}$ ?
+\begin{itemize}
+    \item $[-2,3]$
+    \item \textcolor{red}{$[-1,5]$}
+    \item $[2-3 \pi, 2+3 \pi]$
+    \item $[-2,2]$
+    \item $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$
+    \item $\left[\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right]$
+\end{itemize}  
+\end{itemize}
+
+
+%\begin{figure}[h]
+%    \centering
+%    \includegraphics[width=0.5\linewidth]%{Grafiken/A10.png}
+    %\caption{Enter Caption}
+    %\label{fig:enter-label}
+%\end{figure}
+
+\begin{tikzpicture}
+	\begin{axis}[
+		domain=-1:5,
+		samples=500, 
+		axis lines*=middle, 
+		xtick={-1,1,2,3,4,5}, ytick={-1.57,1.57}, 
+		yticklabels={$-\pi$/2,$\pi$/2}]
+		\addplot[color = red]  {asin((x-2)/3)/180*pi};
+		\addlegendentry{$\arcsin\left(\frac{x-2}{3}\right)$}
+	\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+
+Um den Wertebereich der Funktion $h(x)=\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ zu bestimmen, müssen wir sicherstellen, dass der Ausdruck $\frac{x-2}{3}$ im Definitionsbereich der Arkussinusfunktion liegt. Die Arkussinusfunktion, $\arcsin (y)$, ist nur für $-1 \leq y \leq 1$ definiert und ihr Wertebereich ist $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
+1. Bedingung für den Argumentbereich von arcsin:
+$$
+-1 \leq \frac{x-2}{3} \leq 1
+$$
+2. Lösen der Ungleichung:
+Multiplizieren wir alle Teile der Ungleichung mit 3:
+$$
+-3 \leq x-2 \leq 3
+$$
+
+Addieren wir 2 zu allen Teilen der Ungleichung:
+$$
+-1 \leq x \leq 5
+$$
+
+Das bedeutet, dass $x$ im Intervall $[-1,5]$ liegen muss, damit der Ausdruck $\frac{x-2}{3}$ im Bereich $[-1,1]$ liegt und arcsin definiert ist.
+3. Bestimmung des Wertebereichs:
+Nun betrachten wir die Extremwerte des Ausdrucks $\frac{x-2}{3}$ :
+- Für $x=-1$ :
+$$
+\frac{-1-2}{3}=\frac{-3}{3}=-1
+$$
+- Für $x=5$ :
+$$
+\frac{5-2}{3}=\frac{3}{3}=1
+$$
+
+Die Funktion $\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ nimmt also ihre Extremwerte bei $\arcsin (-1)$ und $\arcsin (1)$ an:
+- $\arcsin (-1)=-\frac{\pi}{2}$
+- $\arcsin (1)=\frac{\pi}{2}$
+
+Da die Arkussinusfunktion stetig und streng monoton ist, nimmt sie alle Werte zwischen diesen Extremwerten an.
+
+Der Wertebereich der Funktion $h(x)=\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ ist daher:
+$$
+\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
+$$

Quiz1.tex

@@ -0,0 +1,128 @@
+ \chapter{Quiz Woche 1}
+
+%\input{Q1_1}
+%\newpage
+\input{Q1_2}
+\newpage
+\input{Q1_3}
+
+
+
+
+\newpage
+\begin{itemize}
+\item Was ist der Bereich der Funktion $-x^2+1$ ?
+\begin{itemize}
+    \item $(-\infty, 0]$
+    \item $[1,+\infty)$
+    \item $[0,1]$
+    \item $[0,+\infty)$
+    \item $(-\infty, 1]$
+    \item $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$
+ \end{itemize}
+ \end{itemize}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{Grafiken/A11.png}
+    %\caption{Enter Caption}
+    \label{fig:enter-label}
+\end{figure}
+
+$-x^2+1$
+
+Nullstellen
+
+$-x^2+1=0$
+
+$-x^2=-1$
+
+$x^2=1$
+
+$x_1=-1$ und $x_2=1$
+
+Muss ich nun den Scheitelpunkt berechnen? \textcolor{red}{Ja}
+
+Hier gibt es verschiedene Wege:
+
+\begin{enumerate}
+    \item per Differentialrechnung
+    \begin{itemize}
+        \item Bilden der ersten Ableitung
+        $f(x)=-x^2+1 $
+
+         $f'(x)=-2x$ 
+        \item $x=0$ setzen
+
+        $-2x=0$ 
+
+        $x=0$
+
+       \item $y$ berechnen, $x$ in $f(x)$ einsetzen
+         $f(x)=-x^2+1 $
+
+         $f(0)=-0^2+1$
+
+         $f(0)=1$
+    
+       
+     \end{itemize}
+    
+    \item per quadratischer Ergänzung 
+
+
+
+    
+\end{enumerate}
+ 
+\newpage
+
+ \begin{itemize}
+\item Was ist der Bereich der Funktion $\ln \left(1+x^2\right)$ ?
+\begin{itemize}	
+ \item $[1,+\infty)$
+\item $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$
+\item $(-\infty, 0]$
+\item $(-\infty, 1]$
+\item $[0,+\infty)$
+\item $[-1,+\infty)$
+  \end{itemize}
+ \end{itemize}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{Grafiken/A12.png}
+    %\caption{Enter Caption}
+    \label{fig:enter-label}
+\end{figure}
+
+ 
+
+ \newpage
+	6. Wie groß ist der Bereich der Funktion $\arctan \cos x$ (d.h. die Umkehrung der Tangensfunktion mit dem Parameter $\cos x) ?$
+	$[0,+\infty)$
+	$\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$
+	$[-\pi, \pi]$
+	$\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$
+	$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
+	$(-\infty, 0]$
+
+
+\newpage
+ 
+	7. Wenn $f(x)=4 x^3+1$ und $g(x)=\sqrt{x+3}$, berechnen Sie $(f \circ g)(x)$ und $(g \circ f)(x)$.
+	$(f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=\left(4 x^3+1\right) \sqrt{x+3}$
+	$(f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=4 x^3+1+\sqrt{x+3}$
+	$(f \circ g)(x)=4(x+3)^{3 / 2}+1$ und $(g \circ f)(x)=2 \sqrt{x^3+1}$
+	$(f \circ g)(x)=2 \sqrt{x^3+1}$ und $(g \circ f)(x)=4(x+3)^{3 / 2}+1$
+
+
+\newpage
+ 
+	8. Was ist die Umkehrung der Funktion $f(x)=e^{2 x}$ ? Wählen Sie alle, die richtig sind.
+	Die Exponentialfunktion ist ihre eigene Inverse, also $f^{-1}(x)=e^{2 x}$
+	$f^{-1}(x)=\log _2 x$
+	$f^{-1}(x)=\ln x^2$
+	$f^{-1}(x)=\frac{1}{e^{2 x}}$
+	$f^{-1}(x)=\frac{1}{2} \ln x$.
+	$f^{-1}(x)=\ln \sqrt{x}$