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2024-06-29 08:05:31 +02:00
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--- a/Q1_2.tex
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+\section*{Aufgabe 2}
+Welche der folgenden Intervalle sind im Bereich der Funktion $\frac{x-3}{x^2-4} \ln x$ enthalten? Wählen Sie alle zutreffenden Antworten aus...
+
+\begin{itemize}
+    \item $(2,+\infty)$
+    \item $(-\infty,-2)$
+    \item $(-2,0)$
+    \item $(0,2)$
+\end{itemize}
+
+Untersuchung des Nenners (wann gibt es eine Division durch Null):
+\begin{align*}
+    x^2-4=0 & \qquad \vert{} +4   \\
+    x^2=4 & \qquad \vert{} \sqrt{\quad} \\
+    x_1=-2 \\
+    x_2=2
+\end{align*}
+
+Somit sind die Bereiche $(2,+\infty)$ und $(-\infty,-2)$ 
+
+\textcolor{red}{\textbf{Dies stellt mich aber noch nicht zufrieden, das kann einfach nicht alles sein}}
+
+\textcolor{blue}{\textbf{Hier hatte ich im ersten Versuch den Fehler gemacht, das ich das $\ln x$ übersah}}
+
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+
+    \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+        domain=0.1:4.9, % Bereich, in dem die Funktion definiert ist (z.B. nahe bei 0 und 2 ausgespart)
+        samples=100, % Anzahl der Abtastpunkte
+        xlabel={$x$},
+        ylabel={$f(x)$},
+        axis lines=middle,
+        xtick={0, 1, 2, 3, 4},
+        ytick={-2, -1, 0, 1, 2},
+        ymin=-2.5, ymax=2.5,
+        xmin=0, xmax=5,
+        legend pos=outer north east,
+        grid=both,
+        major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+        minor grid style={line width=.1pt,draw=gray!50},
+        restrict y to domain=-2.5:2.5, % Begrenze y-Werte für bessere Darstellung
+    ]
+    \addplot [
+        domain=0.1:1.9999,
+        samples=500,
+        thick,
+        blue
+    ] {(x-3)/(x^2-4) * ln(x)};
+    \addlegendentry{$\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln(x)$}
+
+    \addplot [
+        domain=2.00001:5,
+        samples=500,
+        thick,
+        blue
+    ] {(x-3)/(x^2-4) * ln(x)};
+    \end{axis}
+\end{tikzpicture}
+%    \includegraphics[width=0.75\linewidth]{Grafiken/Q1_2.png}
+    %\caption{Enter Caption}
+    \label{fig:enter-label}
+\end{figure}
+
+
+
+Um die Intervalle zu bestimmen, in denen die Funktion $h(x)=\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln (x)$ definiert ist, muss man die Punkte betrachten, an denen die Funktion nicht definiert ist. Diese Punkte sind:
+
+\begin{enumerate}
+    \item Nullstellen des Nenners $x^2-4$
+    \item Punkte, an denen der Logarithmus $\ln (x)$ nicht definiert ist (insbesondere $x \leq 0$ )
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Nullstellen des Nenners}
+\begin{flalign*}
+x^2-4&=0 \\
+x^2&=4 \\
+x&= \pm 2    
+\end{flalign*}
+
+
+Die Funktion hat also Pole (nicht definierte Punkte) bei $x=2$ und $x=-2$.
+2. Definitionsbereich des Logarithmus:
+$\ln (x)$ ist nur für $x>0$ definiert.
+Zusammenführung der Bedingungen:
+- Der Nenner darf nicht null sein: $x \neq 2$ und $x \neq-2$.
+- Der Logarithmus ist nur für $x>0$ definiert.
+
+Schlussfolgerung:
+Die Funktion $h(x)=\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln (x)$ ist definiert für $x>0$, ausgenommen $x=2$. Somit sind die Intervalle, in denen die Funktion definiert ist:
+$$
+(0,2) \cup(2, \infty)
+$$
+
+Diese Intervalle umfassen alle Werte, für die der Ausdruck sowohl im Nenner als auch im Logarithmus definiert und nicht null ist.
+