Init

Q1_3.tex

@@ -0,0 +1,71 @@
+\begin{itemize}
+\item Was ist der Bereich der Funktion $\arcsin \frac{x-2}{3}$ ?
+\begin{itemize}
+    \item $[-2,3]$
+    \item \textcolor{red}{$[-1,5]$}
+    \item $[2-3 \pi, 2+3 \pi]$
+    \item $[-2,2]$
+    \item $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$
+    \item $\left[\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right]$
+\end{itemize}  
+\end{itemize}
+
+
+%\begin{figure}[h]
+%    \centering
+%    \includegraphics[width=0.5\linewidth]%{Grafiken/A10.png}
+    %\caption{Enter Caption}
+    %\label{fig:enter-label}
+%\end{figure}
+
+\begin{tikzpicture}
+	\begin{axis}[
+		domain=-1:5,
+		samples=500, 
+		axis lines*=middle, 
+		xtick={-1,1,2,3,4,5}, ytick={-1.57,1.57}, 
+		yticklabels={$-\pi$/2,$\pi$/2}]
+		\addplot[color = red]  {asin((x-2)/3)/180*pi};
+		\addlegendentry{$\arcsin\left(\frac{x-2}{3}\right)$}
+	\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+
+Um den Wertebereich der Funktion $h(x)=\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ zu bestimmen, müssen wir sicherstellen, dass der Ausdruck $\frac{x-2}{3}$ im Definitionsbereich der Arkussinusfunktion liegt. Die Arkussinusfunktion, $\arcsin (y)$, ist nur für $-1 \leq y \leq 1$ definiert und ihr Wertebereich ist $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
+1. Bedingung für den Argumentbereich von arcsin:
+$$
+-1 \leq \frac{x-2}{3} \leq 1
+$$
+2. Lösen der Ungleichung:
+Multiplizieren wir alle Teile der Ungleichung mit 3:
+$$
+-3 \leq x-2 \leq 3
+$$
+
+Addieren wir 2 zu allen Teilen der Ungleichung:
+$$
+-1 \leq x \leq 5
+$$
+
+Das bedeutet, dass $x$ im Intervall $[-1,5]$ liegen muss, damit der Ausdruck $\frac{x-2}{3}$ im Bereich $[-1,1]$ liegt und arcsin definiert ist.
+3. Bestimmung des Wertebereichs:
+Nun betrachten wir die Extremwerte des Ausdrucks $\frac{x-2}{3}$ :
+- Für $x=-1$ :
+$$
+\frac{-1-2}{3}=\frac{-3}{3}=-1
+$$
+- Für $x=5$ :
+$$
+\frac{5-2}{3}=\frac{3}{3}=1
+$$
+
+Die Funktion $\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ nimmt also ihre Extremwerte bei $\arcsin (-1)$ und $\arcsin (1)$ an:
+- $\arcsin (-1)=-\frac{\pi}{2}$
+- $\arcsin (1)=\frac{\pi}{2}$
+
+Da die Arkussinusfunktion stetig und streng monoton ist, nimmt sie alle Werte zwischen diesen Extremwerten an.
+
+Der Wertebereich der Funktion $h(x)=\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ ist daher:
+$$
+\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
+$$