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2.1 KiB
TeX
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\section*{Aufgabe 1}
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Welche der folgenden Intervalle sind im Bereich der Funktion $\sqrt{2 x-x^3}$ enthalten? Wählen Sie alle zutreffenden Antworten aus $\ldots$
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\begin{itemize}
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\item $\mathbf{[0, \sqrt{2}]}$
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\item $[\sqrt{2},+\infty)$
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\item $[-\sqrt{2}, 0]$
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\item $\mathbf{(-\infty,-\sqrt{2}]}$
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\end{itemize}
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\subsection*{Bestimmen des Definitionsbereiches}
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\begin{flalign*}
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f(x) &= \sqrt{2 x-x^3}\\
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\sqrt{2 x-x^3} & \geq 0\qquad \vert ^2 \\
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2x-x^3 & \geq 0\qquad| x\text{ ausklammern}\\
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x\left(2-x^2\right) & \geq 0\\
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x_1 & \geq 0\\
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2-x^2 & \geq 0 \qquad \vert -2\\
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-x^2 & \geq -2 \qquad \vert \div (-1)\\
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x^2 & \leq 2 \qquad \vert \sqrt{ }\\
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x_2 & \leq \sqrt{2}\\
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x_3 & \leq -\sqrt{2}
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\end{flalign*}
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Damit ergeben sich die folgenden Intervalle:
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\begin{itemize}
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\item $(-\infty,-\sqrt{2}]$
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\item $[0,\sqrt{2}]$
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\end{itemize}
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\subsection*{Bestimmen der Nullstellen}
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\begin{flalign*}
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x\left(2-x^2\right) & = 0\\
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x_1 &= 0\\
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2-x^2 & = 0 \qquad \vert -2\\
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-x^2 & = -2 \qquad \vert \div (-1)\\
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x^2 & = 2 \qquad \vert \sqrt{ }\\
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x_2 & = \sqrt{2}\\
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x_3 & = -\sqrt{2}
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\end{flalign*}
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\vspace{2pt}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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domain=-4:3, % Bereich, in dem die Funktion definiert ist
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samples=1000, % Anzahl der Abtastpunkte
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xlabel={$x$},
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ylabel={$y$},
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axis lines=middle,
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xtick={-4,-3,-1.414, 0, 1, 1.414,3},
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xticklabels={-4,-3,-$\sqrt{2}$, 0, 1, $\sqrt{2}$,3},
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ytick={0, 1,2,3},
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ymin=-0.1, ymax=3.5,
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xmin=-4, xmax=3,
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legend pos=outer north east,
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%grid=both,
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%major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
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%minor grid style={line width=.1pt,draw=gray!50},
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]
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\addplot [
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domain=0:1.414,
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samples=500,
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thick,
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red,
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] {sqrt(2*x - x^3)};
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\addplot [
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domain=-4:-1,
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samples=500,
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|
thick,
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|
red,
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|
] {sqrt(2*x - x^3)};
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|
\addlegendentry{$\sqrt{2x - x^3}$}
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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% %\caption{}
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\label{fig:q2}
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\end{figure}
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