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TeX
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\begin{description}
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\item[1. Aufgabe ] Was ist die Ableitung von $x^4-2 x^3+3 x^2-5 x+11$ ?
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\mpar{\textcolor{red}{\textbf{Potenzregel:} $f(x)=x^n$\\$f'(x)=nx^{x-1}$}}
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\begin{itemize}
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\item $x^3-2 x^2+3 x+6$
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\item $4 x^3-6 x^2-6 x-5$
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\item $\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+x^3-\frac{5 x^2}{2}+11 x+C$, wobei $C$ eine Konstante ist.
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\item Keiner von ihnen.
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\item $4 x^3-6 x^2+6 x-5$
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\item $x^3-2 x^2+3 x-5$
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\item $\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+x^3-\frac{5 x^2}{2}+11 x$
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\item $4 x^4-6 x^3+6 x^2-5 x+11$
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\end{itemize}
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\textbf{Lösung:}
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$4x^3-6x^2+6x-5$
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\includegraphics[width=0.75\linewidth]{Grafiken/A1}
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\label{fig:a1}
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\end{figure}
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\newpage
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\item[2. Aufgabe] Welche der folgenden Gleichungen gibt die Gleichung eines Kreises mit dem Radius $2$ und dem Mittelpunkt im Punkt $(-1,2)$ an?
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\mpar{\textcolor{red}{\textbf{Kreisgleichung:} $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$}}
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\begin{itemize}
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\item $(x+1)^2-(y-2)^2=2$
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\item $(x-1)^2+(y+2)^2=4$
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\item $x^2+\frac{y^2}{2}=4$
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\item $x^2+y^2=4$
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\item $(x+1)^2+(y-2)^2=4$
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\item $(x+1)^2+(y-2)^2=2$
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\item $(x-1)^2+(y+2)^2=2$
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\end{itemize}
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\textbf{Lösung:}
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Einsetzen in Kreisgleichung
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$(x-(-1))^2+(y-2)^2=4$ somit $(x+1)^2+(y-2)^2=4$
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\includegraphics[width=0.75\linewidth]{Grafiken/A2}
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\caption{}
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\label{fig:a2}
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\end{figure}
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\newpage
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\item[3. Aufgabe] Vereinfachen Sie $\left(\frac{-125}{8}\right)^{2/3}$
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\begin{itemize}
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\item $\frac{15625}{64}$
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\item $-\frac{2}{5}$
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\item $\frac{2}{5}$
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\item $-\frac{5}{2}$
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\item $\frac{3}{5}$
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\item $\frac{4}{25}$
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\item \underline{\underline{$\frac{25}{4}$}}
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\end{itemize}
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\textbf{Lösung:} Ohne TR
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$\left(\frac{-125}{8}\right)^{2/3}=\frac{\sqrt[3]{(-125)^2}}{\sqrt[3]{8^2}}=\frac{\sqrt[3]{15625}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{\sqrt[3]{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}{\sqrt[3]{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}=\frac{\slashed{5}\cdot \slashed{5}\cdot \slashed{5}\cdot \slashed{5}\cdot 5\cdot 5}{\slashed{2}\cdot \slashed{2}\cdot \slashed{2}\cdot \slashed{2}\cdot 2\cdot 2}=\frac{5\cdot 5}{2 \cdot 2}=\frac{25}{4}$
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\newpage
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\item[4. Aufgabe]Lösen Sie $e^{2-3 x}=125$ für $x$.
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\begin{itemize}
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\item $\frac{2}{3}+\ln 25$
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\item $\frac{2}{3}-\ln 125$
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\item $\frac{2}{3}+\ln 125$
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\item $\frac{3}{2}+\ln 125$
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\item $\frac{2}{3}-\ln 5$
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\item $\frac{3}{2}-\ln 5$
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\item $\frac{3}{2}+\ln 25$
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\item $\frac{3}{2}-\ln 125$
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\end{itemize}
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\textbf{Lösung:}
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\mpar{\textcolor{red}{$\ln e=1$}}
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\mpar{\textcolor{red}{$\log_b (x^z) = z \cdot \log_b(x)$}}
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\begin{tabular}{rll}
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& $e^{2-3 x}=125$ & $\vert{} \ln()$ \\
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$\Leftrightarrow$ & $\ln e^{2-3x}=\ln 125$ & $\vert{}$ siehe Regel \\
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$\Leftrightarrow$ & $\left(2-3x\right) \cdot \ln e = \ln 125$ & $\vert{}$ siehe Regel \\
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$\Leftrightarrow$ & $2-3x=\ln 125$ & $\vert{} -2$\\
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$\Leftrightarrow$ & $-3x=\ln 125-2$ &$\vert{} \div(-3)$\\
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$\Leftrightarrow$ & $x=\ln 125-2$ &\\
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$\Leftrightarrow$ & $x=\frac{2}{3} -\frac{\ln 125}{3}$ &\\
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\end{tabular}
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\newpage
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\item[5. Aufgabe]Bewerten Sie $\int_1^3 \frac{d x}{x^2}$.
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\begin{itemize}
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\item $-\frac{1}{2}$
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\item $-\frac{2}{3}$
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\item $-\frac{1}{3}$
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\item $-\frac{8}{9}$
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\item $\frac{1}{3}$
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\item $-\frac{26}{27}$
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\item $\frac{2}{3}$
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\item $\frac{1}{2}$
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\end{itemize}
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\textbf{Lösung:}
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\mpar{\textcolor{red}{$\int_a^b f(x) d x=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$}}
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\mpar{$\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}$}
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$\int_1^3 \frac{d x}{x^2}=\int_1^3 \frac{1}{x^2}dx=\left[ -\frac{1}{x}\right]_1^3=-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{1}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\includegraphics[width=0.65\linewidth]{Grafiken/A5}
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\label{fig:a5}
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\end{figure}
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\newpage
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\item[6. Aufgabe]Es sei $f(x)=x+\sin 2 x$. Finden Sie die Ableitung $f^{\prime}(0)$.
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\mpar{Summenregel: $f(x)=g(x)+k(x) \quad \rightarrow \quad f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+k^{\prime}(x)$}
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\mpar{Kettenregel: $\left[u\left(v\left(x\right)\right)\right]^{\prime}=u^{\prime}\left(v\left(x\right)\right)\cdot v^{\prime}\left(x\right)$}
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\begin{itemize}
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\item $3$
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\item $2$
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\item $6$
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\item $-1$
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\item $-3$
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\item $0$
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\item $-2$
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\item $1$
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\end{itemize}
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\textbf{Lösung:}
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$f(x)=x+\sin 2 x \Rightarrow f'(x)=1+2\cdot \cos(2x)$
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$f(0)^\prime=1+2\cdot \cos(2\cdot 0)= 1+2\cdot 1=3$
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Nebenrechnung wegen Verkettung:
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$\left(\sin(2x)\right)^\prime$
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\begin{itemize}
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\item $u=2x$; $u^\prime = 2$
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\item $\left(\sin(u)\right)^\prime = \cos(u)$
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\item somit: $\left(\sin(2x)\right)^\prime = 2\cdot \cos(2x)$
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\end{itemize}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\includegraphics[width=0.65\linewidth]{Grafiken/A6}
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\label{fig:a6}
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\end{figure}
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\newpage
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\item[7. Aufgabe]Bewerten Sie $\cos \frac{2 \pi}{3}-\arctan 1$. Seien Sie vorsichtig und prüfen Sie alle Optionen.
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\begin{itemize}
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\item $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
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\item $\frac{1-\pi}{2}$
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\item $-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
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\item $-\frac{\sqrt{3}+2}{4}$
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\item $\frac{\pi+2}{4}$
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\item $-\frac{\pi+2}{4}$
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\item $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$
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\item $\frac{\pi-2}{4}$
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\end{itemize}
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\textbf{Lösung: }
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$\cos \frac{2 \pi}{3}=-\frac{1}{2}$
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$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$
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$-\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}=-\frac{2}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{-2-\pi}{4}=-\frac{\pi+2}{4}$
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\newpage
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\item[8. Aufgabe]Bewerten Sie $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^2+x-3}{x^2-x}$
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\begin{itemize}
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\item $\frac{4 x+1}{2 x-1}$
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\item $\frac{5}{2}$
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\item $0$
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\item $-3$
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\item $2$
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\item $5$
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\item $\frac{7}{2}$
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\item $\frac{0}{0}$
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\end{itemize}
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$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 \cdot1^2+1-3}{1^2-1}=\frac{0}{0}$
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daher L'Hospital:
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$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^2+x-3}{x^2-x}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{4 x+1}{2x-1}=\frac{5}{1}=5$
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/A8}
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\label{fig:a8}
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\end{figure}
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\end{description} |