Rest Zusammenfassung

Band1/MaIng01.md

@@ -115,37 +115,40 @@ Können wir die Objekte, die zur Menge gehören und *Elemente* der Menge heißen
 
 $$M=\{x \mid E\}.$$
 
-<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--<!--%-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->-->
+Wir lesen dieses Symbol folgendermaßen: „$M$ ist die Menge aller Elemente $x$, die Eigenschaft $E$ besitzen“. Die oben erklärte Menge $A_1$ ist in dieser Schreibweise formuliert $A_1=\{p \mid p \text{ ist eine Aussage }\}$. Die Menge $M_1$ kann mit Hilfe dieser Symbol als
+
+	$M_1=\{x \mid x, \text { natürliche Zahl und } 2<x<10\}$
+
+geschrieben werden.
+Schließlich sei bereits an dieser Stelle der Begriff der Teilmenge erklärt.
+Die Menge $A$ heißt Teilmenge der Menge $B$, wenn jedes Element der Menge $A$ auch Element der Menge $B$ ist. Wir schreiben in diesem Fall: $A \subseteq B$.
+
+**Zum Beispiel**
+$\{3,4,5\} \subseteqq M_1=\{3,4, \ldots, 9\},$
+
+aber
+
+$\{2,9\}$ ist keine Teilmenge von $M_1$.
+
+Dieser Vorgriff auf Grundbegriffe der Mengenlehre gestattet es uns, nachfolgend gewisse Sachverhalte besser zu formulieren.
+
+Bei unseren weiteren Betrachtungen wollen wir uns auf eine wichtige Teilmenge von $A_1$ beschränken.
+
+##### Definition 3.1
+Die Aussage $p$ heißt **zweiwertige Aussage**, wenn $p$ entweder wahr oder falsch ist.
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
-Wir lesen dieses Symbol folgendermaßen: "\`M ist die Menge aller Elemente $x$, die Eigenschaft $E$ besitzen"'. Die oben erklärte Menge $A\_1$ ist in dieser Schreibweise formuliert $A\_1=\\{p \\mid p \\text{ ist eine Aussage }\\}$. Die Menge $M\_1$ kann mit Hilfe dieser Symbol als
 
-\\einrueckungm{35}{$
-	M\_1=\\{x \\mid x, \\text { natürliche Zahl und } 2\<x\<10\\}$}
 
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
-geschrieben werden.
-Schließlich sei bereits an dieser Stelle der Begriff der Teilmenge erklärt.
-Die Menge $A$ heißt Teilmenge der Menge $B$, wenn jedes Element der Menge $A$ auch Element der Menge $B$ ist. Wir schreiben in diesem Fall: $A \\subseteq B$.
 
 
-Zum Beispiel
-\\einrueckungm{35}{$
-	\\{3,4,5\\} \\subseteqq M\_1=\\{3,4, \\ldots, 9\\},$}
-
-aber
-
-\\einrueckungm{35}{
-	$\\{2,9\\}$ ist keine Teilmenge von $M\_1$.}
 
 
-Dieser Vorgriff auf Grundbegriffe der Mengenlehre gestattet es uns, nachfolgend gewisse Sachverhalte besser zu formulieren.
 
-Bei unseren weiteren Betrachtungen wollen wir uns auf eine wichtige Teilmenge von $A\_1$ beschränken.
-
-
-\\begin{definition}\\label{D.3.1}Die Aussage $p$ heißt \\marginpar[\\textbf{D.3.1}]{\\textbf{D.3.1}}\\textbf{zweiwertige Aussage}, wenn $p$ entweder wahr oder falsch ist.\\end{definition}
 
 Entsprechend $A\_1$ bilden wir die Menge der zweiwertigen Aussagen $A\_2$: 
 

Band1/Vorwort.tex

@@ -8,7 +8,7 @@ Das Lehrbuch ist so angelegt, daß es sowohl Direkt- als auch Fernstudenten zur
 
 Weiterhin eignet sich dieser Band sicher auch zum Nachlesen für alle diejeniger Interessenten, die während ihrer Ausbildung die behandelten Gebiete nicht oder nur wenig kennengelernt haben. Wegen seines spezifischen Inhaltes eignet sich auf diese Weise das Lehrbuch auch zum Nachschlagen.
 
-Die Autoren waren sich beim Schreiben dieses Bandes auch der Probleme bewußt, die seine Gestaltung bei teilweise unterschiedlichen Zielstellungen mit sich brachte. Sie möchten sich deshalb sehr herzlich für die vielen konstruktiven Hinweise - insbesondere zu methodischen Fragen - bedanken, die weitgehend berücksichtigt werden konnten. Wir bedanken uns bei Herrn Professor Erfurth, Merseburg, sowie bei Herrn Dipl.-Math. H. Ebmeyer, Dresden, für ihre kritischen Anregungen und konkreten Abänderungsvorschläge, die uns sehr geholfen haben. Weiterhin danken wir Herrn Professor Wußing, Leipzig, für seine wertvollen Bemerkungen zum geschichtlichen Überblick. Besonderer Dank gilt Frau Ziegler vom Teubner-Verlag Leipzig; sie war uns in der Zusammenarbeit wiederum eine verständnisvolle und sachkundige Beraterin.
+Die Autoren waren sich beim Schreiben dieses Bandes auch der Probleme bewusst, die seine Gestaltung bei teilweise unterschiedlichen Zielstellungen mit sich brachte. Sie möchten sich deshalb sehr herzlich für die vielen konstruktiven Hinweise - insbesondere zu methodischen Fragen - bedanken, die weitgehend berücksichtigt werden konnten. Wir bedanken uns bei Herrn Professor Erfurth, Merseburg, sowie bei Herrn Dipl.-Math. H. Ebmeyer, Dresden, für ihre kritischen Anregungen und konkreten Abänderungsvorschläge, die uns sehr geholfen haben. Weiterhin danken wir Herrn Professor Wußing, Leipzig, für seine wertvollen Bemerkungen zum geschichtlichen Überblick. Besonderer Dank gilt Frau Ziegler vom Teubner-Verlag Leipzig; sie war uns in der Zusammenarbeit wiederum eine verständnisvolle und sachkundige Beraterin.
 
 \hfill Die Autoren
 

Band1/ZumEinfuegen.tex

@@ -76,21 +76,21 @@ in der letzten Zeile jeweils nur das Symbol $W$ besitzen, also immer wahre Aussa
 
 
 
-\begin{figure}[H]
-	\centering
-	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{3.4}
-	\caption{Logisch gleichwertige Aussagenverbindungen $p \wedge(p \vee q), p$}
-	\label{fig:3}
-\end{figure}
+%\begin{figure}[H]
+%	\centering
+%	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Grafiken/3.4.png}
+%	\caption{Logisch gleichwertige Aussagenverbindungen $p \wedge(p \vee q), p$}
+%	\label{fig:3}
+%\end{figure}
 
 Somit können wir die betrachteten Aussageverbindungen durch Schaltungen realisieren, die jeweils dasselbe leisten (siehe Bild 3.4 und 3.5). Man braucht sicherlich nicht gesondert zu erwähnen, welches die jeweils einfachere Schaltung ist.
 
-\begin{figure}[H]
-	\centering
-	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{3.5}
-	\caption{Logisch gleichwertige Aussagenverbindungen $p \vee(q \wedge r),(p \vee q) \wedge(p \vee r)$}
-	\label{fig:3}
-\end{figure}
+%\begin{figure}[H]
+%	\centering
+%	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{3.5}
+%	\caption{Logisch gleichwertige Aussagenverbindungen $p \vee(q \wedge r),(p \vee q) \wedge(p \vee r)$}
+%	\label{fig:3}
+%\end{figure}
 
 
 
@@ -119,11 +119,7 @@ Beim Beweisen mathematischer Aussagen steht häufig das Problem, daß nicht sofo
 Beispiel 4.1: Man beweise: Wenn $\alpha$ und $\beta$ zwei gleiche Winkel über einer Strecke $\overline{P_1 P_2}$ sind, so geht der durch die Punkte $P_1, P_2, P_3$ bestimmte Kreis $K$ auch durch den Punkt $P_4$. (In Bild 4.1 ist zu sehen, daß der Winkel bei $P_3$ mit $\alpha$, der Winkel bei $P_4$ mit $\beta$ bezeichnet wird.)
 
 Mit den Hilfsmitteln, die in der Logik bereitgestellt werden, sind wir bereits in der Lage, die zu beweisende mathematische Aussage als Aussagenverbindung darzustellen. Bezeichnen nämlich
-
-
 $p="` \alpha$ und $\beta$ sind zwei gleiche Winkel über $\bar{P}_1 \overline{P_2}$ "'
-
-
 $q=$ "`$P_4$ liegt auf dem Kreis $K^{\text {“ }}$
 zweiwertige Aussagen, so haben wir zu beweisen, daß
 $p \rightarrow q$ eine wahre Aussage ist.
@@ -178,7 +174,7 @@ sind wahre Aussagen.
 Aufgabe 4.1: Man beweise, daß $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ wahre Aussagen sind.
 Die Frage ist nun, wieso wir auf Grund dessen, da $\beta \bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ wahre Aussagen sind, darauf schließen können, daß auch $p \rightarrow q$ eine wahre Aussage ist. Der wesentliche Schritt hierbei ist, daß wir begründen :
 
-Es genügt zu wissen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}, \bar{q} \rightarrow \bar{p}=$ Wenn,$P_4$ nicht auf $K^{\prime \prime}$ liegt, so gilt \anf{Winkel $\alpha$ ist verschieden Winkel $\beta$}, eine wahre Aussage ist, um folgern zu können, daß auch $p \rightarrow q$ wahr ist. Falls eine solche Begründung möglich ist, gilt sie natürlich für alle Beispiele, in denen man den Beweis von $p \rightarrow q$ durch den Beweis von $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ ersetzen möchte. Wir verlassen also zunächst das Beispiel und stellen uns unter $p, q$ beliebige Aussagen vor.
+Es genügt zu wissen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}, \bar{q} \rightarrow \bar{p}=$ Wenn,$P_4$ nicht auf $K^{\prime \prime}$ liegt, so gilt „Winkel $\alpha$ ist verschieden Winkel $\beta$ ", eine wahre Aussage ist, um folgern zu können, daß auch $p \rightarrow q$ wahr ist. Falls eine solche Begründung möglich ist, gilt sie natürlich für alle Beispiele, in denen man den Beweis von $p \rightarrow q$ durch den Beweis von $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ ersetzen möchte. Wir verlassen also zunächst das Beispiel und stellen uns unter $p, q$ beliebige Aussagen vor.
 
 Die oben genannte Begründung kann man wie folgt formulieren:
 I. Es ist zu zeigen, daß $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ eine wahre Aussage ist.
@@ -311,27 +307,20 @@ Da dieses Vorgehen sehr aufwendig ist und darüber hinaus auch die Übersichtlic
 
 
 Tabelle 4.6. Schema logischer Schlußfiguren und Beispiel - indirekter Beweis
+Voraussetzung 1
+Voraussetzung $k$
+Behauptung 1
+Behauptung $l$
+$q$
+$\frac{\bar{p} \rightarrow \bar{q}}{p}$
 
-
-\[\begin{array}{cc}
-	\text { Voraussetzung 1 } & q\\
-	\vdots  \\
-	\text { Voraussetzung } k & \bar{p} \rightarrow \bar{q}  \\
-	\hline 
-		\text { Behauptung 1 } & p\\
-		\vdots \\
-		\text { Behauptung } l
-
-\end{array}\]
-
-
-Über einem horizontalen Strich werden im allgemeinen $k$ Voraussetzungen angegeben, unter diesem Strich $l$ Behauptungen, die jeweils durch \anf{und} also konjunktiv verknüpft sind. Wenn man die Gültigkeit der Voraussetzungen nachgeprüft hat, kann man folgern, daß auch die Behauptungen wahre Aussagen sind. Die Begründung dafür liefert jeweils die entsprechende Tautologie gemeinsam mit der Abtrennungsregel. Ein solches Schema ist sehr zweckmäßig, weil es unmittelbar ein Rezept für das \anf{Beweisen} liefert. Hat man zum Beispiel - wie in Tabelle 4.6 - die Wahrheit einer Aussage $p$ zu beweisen, so kann man anstelle dessen versuchen, die Wahrheit der beiden Aussagen (Voraussetzungen) $q$ und $\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ zu überprüfen, was unter Umständen wesentlich leichter sein kann. Wir werden das in 4.3.3. an einem Beispiel demonstrieren.
+Über einem horizontalen Strich werden im allgemeinen $k$ Voraussetzungen angegeben, unter diesem Strich $l$ Behauptungen, die jeweils durch „und“ also konjunktiv verknüpft sind. Wenn man die Gültigkeit der Voraussetzungen nachgeprüft hat, kann man folgern, daß auch die Behauptungen wahre Aussagen sind. Die Begründung dafür liefert jeweils die entsprechende Tautologie gemeinsam mit der Abtrennungsregel. Ein solches Schema ist sehr zweckmäßig, weil es unmittelbar ein Rezept für das „Beweisen“ liefert. Hat man zum Beispiel - wie in Tabelle 4.6 - die Wahrheit einer Aussage $p$ zu beweisen, so kann man anstelle dessen versuchen, die Wahrheit der beiden Aussagen (Voraussetzungen) $q$ und $\bar{p} \rightarrow \bar{q}$ zu überprüfen, was unter Umständen wesentlich leichter sein kann. Wir werden das in 4.3.3. an einem Beispiel demonstrieren.
 
 Nachfolgend geben wir ausgehend von (4.1) bis (4.11) die entsprechenden logischen Schlußfiguren an.
 
 Im Abschnitt 4.2. werden wir die Anwendung dieser logischen Schlußfiguren auf einige Beispiele aus der Elementarmathematik zeigen.
 
-Wir sind jetzt in der Lage, auch die etwas kompliziertere Frage \anf{Warum kann man auf Grund von $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ auf $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ schließen?} zu beantworten, die im Zusammenhang mit unserem einführenden Beispiel noch offen ist.
+Wir sind jetzt in der Lage, auch die etwas kompliziertere Frage ,Warum kann man auf Grund von $\bar{q}_1 \rightarrow \bar{p}$ und $\bar{q}_2 \rightarrow \bar{p}$ auf $\bar{q} \rightarrow \bar{p}$ schließen?" zu beantworten, die im Zusammenhang mit unserem einführenden Beispiel noch offen ist.