Sven/maing01_06
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

Band 1 neuer Zwischenstand

Browse Source
This commit is contained in:
Sven Riwoldt
2026-03-08 19:49:31 +01:00
parent 83c7a1b907
commit 240f75dddc
1 changed files with 181 additions and 59 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

240
Band1/Band1.typ
View File

@@ -3,7 +3,7 @@
#import "@preview/marge:0.1.0": sidenote
#import "@preview/itemize:0.2.0" as el
#import "deckblatt.typ": deckblatt
@@ -38,7 +38,7 @@
*Definition #full-num*: #if title != none [(#title)] #body
]),
kind: "definition",
supplement: [Definition],
supplement: [D.],
numbering: _ => full-num,
) #label
]
@@ -53,8 +53,16 @@
#let sn-base = sidenote
#let snr(it) = sn-base(side: right, padding: 1em)[#it]
#let snl(it) = sn-base(side: left, padding: 1em)[#it]
#let snr(it) = sn-base(side: right, padding: 1em)[
#set text(size: 1.3em, weight: "bold")
#it
]
#let snl(it) = sn-base(side: left, padding: 1em)[
#set text(size: 1.3em, weight: "bold")
#it
]
@@ -347,12 +355,17 @@ edge(
#counter(page).update(1)
#pagebreak()
#set text(font: "Atkinson Hyperlegible Next")
#set text(
font: "Lato", //Serifenlose Schrift
font: "Atkinson Hyperlegible Next", //Serifenlose Schrift
size: 9pt,
lang: "de", //Deutsche Spracheinstellungen
)
#set par(
justify: true,
leading: 0.55em,
)
#set page(
//background: grid(columns: (1mm,) * 162, rows: (1mm,) * 230, stroke: 0.1mm),
@@ -363,6 +376,7 @@ edge(
),
width:162mm,
height: 230mm,
)
#set heading(numbering: "1.1.")
@@ -462,6 +476,7 @@ edge(
)
}
}
)
#set heading(numbering: "1.1.")
@@ -611,7 +626,7 @@ Dieser Vorgriff auf Grundbegriffe der Mengenlehre gestattet es uns, nachfolgend
Bei unseren weiteren Betrachtungen wollen wir uns auf eine wichtige Teilmenge von $A_1$ beschränken.
#definition(label: <D.31>)[Die #snl([@D.31]) Aussage $p$ heißt zweiwertige Aussage, wenn $p$ entweder wahr oder falsch ist.]
#definition(label: <D.31>)[Die #snl([@D.31]) Aussage $p$ heißt *zweiwertige Aussage*, wenn $p$ entweder wahr oder falsch ist.]
Entsprechend $A_1$ bilden wir die Menge der zweiwertigen Aussagen $A_2$ : $A_2={p mid(|) p$ ist eine zweiwertige Aussage $}$
@@ -648,73 +663,180 @@ die wir mit $p(x)$ bzw. $q(y)$ abkürzen wollen, stellen zunächst keine Aussage
_Beispiel 3.3:_
$X={1,2, dots.h , 10}$, $Y={$ Moskau, Leipzig, Weimar $}$. Die Aussagen $p(2), p(3), p(5), p(7)$ sind wahre Aussagen, dagegen sind $p(1), p(4), p(6), p(8), p(9)$ und $p(10)$ falsche Aussagen. Setzen wir im Satz $q(y)$ für die Variable $y$ die Elemente ihres Bereiches ein, so entstehen die wahren Aussagen „Moskau ist eine Großstadt“, „Leipzig ist eine Großstadt" und die falsche Aussage „Weimar ist eine Großstadt".
$X={1,2, dots.h , 10}$, $Y={$ Moskau, Leipzig, Weimar $}$. Die Aussagen $p(2), p(3), p(5), p(7)$ sind wahre Aussagen, dagegen sind $p(1), p(4), p(6), p(8), p(9)$ und $p(10)$ falsche Aussagen. Setzen wir im Satz $q(y)$ für die Variable $y$ die Elemente ihres Bereiches ein, so entstehen die wahren Aussagen "Moskau ist eine Großstadt“, "Leipzig ist eine Großstadt" und die falsche Aussage "Weimar ist eine Großstadt".
Für solche Sätze, die eine Variable enthalten, wollen wir einen Namen einführen. Wir definieren:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Für solche Sätze, die eine Variable enthalten, wollen wir einen Namen einführen. Wir definieren:
Definition 3.2: Eine Formulierung $p(x)$ mit der Variablen $x \in X$ heißt eine Aussageform,
D.3.2 wenn $p(x)$ bei Einsetzen jedes konkreten Wertes $x=x_1 \in X$ in eine zweiwertige Aussage übergeht. Die Menge der so entstehenden Aussagen heißt Bereich der Aussageform.
#definition(label: <D.32>)[Eine #snr([@D.32]) Formulierung $p(x)$ mit der Variablen $x in X$ heißt eine *Aussageform*, wenn $p(x)$ bei Einsetzen jedes konkreten Wertes $x=x_1 \in X$ in eine zweiwertige Aussage übergeht. Die Menge der so entstehenden Aussagen heißt Bereich der Aussageform.]
Eine Aussageform ist weder wahr noch falsch. Sie ist selbst keine Aussage, sondern stellt eine Vorschrift zur Gewinnung von Aussagen dar.
Die Sätze der Mathematik und anderer Wissenschaften sind Aussagen bzw. Aussageformen, die eventuell auch von mehr als einer Variablen abhängen. Diese Aussagen bzw. Aussageformen treten nun aber häufig verknüpft durch Bindewörter, verneint oder auf andere Weise modifiziert auf. Mit solchen Aussagenverbindungen wollen wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen.
Die Sätze der Mathematik und anderer Wissenschaften sind Aussagen bzw. Aussageformen, die eventuell auch von mehr als einer Variablen abhängen. Diese Aussagen bzw. Aussageformen treten nun aber häufig verknüpft durch Bindewörter, verneint oder auf andere Weise modifiziert auf. Mit solchen _Aussagenverbindungen_ wollen wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen.
3.3. Aussagenverbindungen
3.3.1. Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen
== Aussagenverbindungen
=== Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen
Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage zuordnen kann.
Beispiel 3.4: Betrachten wir als Beispiele die beiden Aussagen
_Beispiel 3.4:_ Betrachten wir als Beispiele die beiden Aussagen
$$
\begin{aligned}
& p=, 3 \text { ist eine Primzahl" } \\
& q=,, 10 \text { ist durch } 3 \text { teilbar" }
\end{aligned}
$$
#einruecken(15mm)[
$p=$ "$3$ ist eine Primzahl"
$q=$ "$10$ ist durch $3$ teilbar" ]
Dann können wir die folgenden neuen Sätze bilden:
(1) $p_1=$ „3 ist keine Primzahl“
(2) $p_2=,, 3$ ist eine Primzahl und 10 ist durch 3 teilbar"
(3) $p_3=, 3$ ist eine Primzahl oder 10 ist durch 3 teilbar"
(4) $\quad p_4=$ „Wenn 10 durch 3 teilbar ist, so ist 3 eine Primzahl“
(5) $\quad p_5=,, 3$ ist genau dann eine Primzahl, wenn 10 durch 3 teilbar ist"
(6) $\quad p_6=$ „Entweder 3 ist eine Primzahl oder 10 ist durch 3 teilbar“
(7) $p_7=,, 3$ ist eine Primzahl, weil 10 durch 3 teilbar ist"
Zunächst einmal steht fest, daß die Sätze $p_1$ bis $p_7$ zweiwertige Aussagen darstellen. Ihr Wahrheitswert läßt sich in der von der Umgangssprache bekannten Weise einfach bestimmen. So gilt:
$$
\begin{aligned}
& w(p)=W, w(q)=F, \\
& w\left(p_1\right)=F, w\left(p_2\right)=F, w\left(p_3\right)=W, w\left(p_4\right)=W, w\left(p_5\right)=F, \\
& w\left(p_6\right)=W, w\left(p_7\right)=F .
\end{aligned}
$$
Wir wollen nun die Überlegungen aus Beispiel 3.4 verallgemeinern. Die Größen $p$ und $q$ bezeichnen zwei beliebige Aussagen, $p \in A_2, q \in A_2$. Dann gibt die folgende Tabelle die den Beispielen entsprechenden Aussagenverbindungen, deren Namen und Kurzschreibweisen an. Wir bemerken noch einmal, daß eine solche Aussagenverbindung je zwei Elementen von $A_2$ in eindeutiger Weise ein Element von $A_2$ zuordnet. Im Beispiel (1) wird einer Aussage aus $A_2$ eine andere Aussage, ebenfalls aus $A_2$, eindeutig zugeordnet. Aus diesem Grunde können wir auch das Wort Aussagenfunktion anstelle Aussagenverbindung benutzen.
#let resuming-enum(doc) = el.default-enum-list(
auto-resuming: auto,
auto-label-width: auto,
// debug
// body-format: (
// inner: (
// stroke: (left: 1pt + blue) ,
// outset: it => {
// if it.n < it.n-last or it.level >= 2 {
// (bottom: 2em + it.n * 5em)
// }
// }
// ),
// ),
el.auto-resume-enum(auto-resuming: true, el.auto-label-item(form: (none, "all"), doc)),
)
#set enum(numbering: "(1)")
#resuming-enum[
+ $p_1=$ "3 ist keine Primzahl“
+ $p_2=$ "$3$ ist eine Primzahl und $10$ ist durch $3$ teilbar"
+ $p_3=$ "$3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"
+ $p_4=$ "Wenn $10$ durch $3$ teilbar ist, so ist $3$ eine Primzahl“
+ $p_5=$ "$3$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $10$ durch $3$ teilbar ist"
+ $p_6=$ "Entweder $3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar“
+ $p_7=$ "$3$ ist eine Primzahl, weil $10$ durch $3$ teilbar ist"
]
\begin{table}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{Tabelle 3.1. Aussagenverbindungen}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline Nr. & Aussagenverbindung & Kurzzeichen & Name \\
\hline 1 & nicht $p$ & $\bar{p}$ & Negation \\
\hline 2 & $p$ und $q$ & $p \wedge q$ & Konjunktion \\
\hline 3 & $p$ oder $q$ & $p \vee q$ & Alternative \\
\hline 4 & wenn $p$, so $q$ & $p \rightarrow q$ & Implikation \\
\hline 5 & $p$ genau dann, wenn $q$ & $p \leftrightarrow q$ & Äquivalenz \\
\hline 6 & entweder $p$ oder $q$ & - & Disjunktion \\
\hline 7 & $p$ weil $q$ & - & - \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
Zunächst einmal steht fest, daß die Sätze $p_1$ bis $p_7$ zweiwertige Aussagen darstellen. Ihr Wahrheitswert läßt sich in der von der Umgangssprache bekannten Weise einfach bestimmen. So gilt:
#einruecken(15mm)[
$w(p)=W, w(q)=F$,
$w(p_1=F, w(p_2)=F, w(p_3=W, w(p_4=W, w(p_5)=F,$
& $w(p_6)=W, w(p_7)=F$.
]
// Wir wollen nun die Überlegungen aus Beispiel 3.4 verallgemeinern. Die Größen $p$ und $q$ bezeichnen zwei beliebige Aussagen, $p \in A_2, q \in A_2$. Dann gibt die folgende Tabelle die den Beispielen entsprechenden Aussagenverbindungen, deren Namen und Kurzschreibweisen an. Wir bemerken noch einmal, daß eine solche Aussagenverbindung je zwei Elementen von $A_2$ in eindeutiger Weise ein Element von $A_2$ zuordnet. Im Beispiel (1) wird einer Aussage aus $A_2$ eine andere Aussage, ebenfalls aus $A_2$, eindeutig zugeordnet. Aus diesem Grunde können wir auch das Wort Aussagenfunktion anstelle Aussagenverbindung benutzen.
// \begin{table}
// \captionsetup{labelformat=empty}
// \caption{Tabelle 3.1. Aussagenverbindungen}
// \begin{tabular}{|l|l|l|l|}
// \hline Nr. & Aussagenverbindung & Kurzzeichen & Name \\
// \hline 1 & nicht $p$ & $\bar{p}$ & Negation \\
// \hline 2 & $p$ und $q$ & $p \wedge q$ & Konjunktion \\
// \hline 3 & $p$ oder $q$ & $p \vee q$ & Alternative \\
// \hline 4 & wenn $p$, so $q$ & $p \rightarrow q$ & Implikation \\
// \hline 5 & $p$ genau dann, wenn $q$ & $p \leftrightarrow q$ & Äquivalenz \\
// \hline 6 & entweder $p$ oder $q$ & - & Disjunktion \\
// \hline 7 & $p$ weil $q$ & - & - \\
// \hline
// \end{tabular}
// \end{table}
// Die Aussagenverbindungen (2) bis (7) in der Tabelle 3.1 sind zweistellige Aussagenverbindungen, da sie je 7wei Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ eindeutig zuordnen. Die Negation kann als einstellige Aussagenverbindung aufgefaßt werden. Die Begriffe Alternative und Disjunktion werden in der Literatur unterschiedlich verwendet.
// Mit diesen ein- und zweistelligen Aussagenverbindungen ist aber die Menge der Verknüpfungen von Aussagen noch keineswegs erschöpft. Oft ist es zur Beschreibung mathematischer Sachverhalte notwendig, Aussagenverbindungen zu betrachten, die aus mehr als zwei Teilaussagen zusammengesetzt werden.
// Beispiel 3.5 (Wir benutzen die Kurzschreibweise, um die Struktur der Aussagenverbindung deutlicher hervorzuheben):
// $$
// \begin{aligned}
// & (p \wedge q) \rightarrow(r \vee s) \\
// & ((p \vee q \vee r) \wedge(p \rightarrow s) \wedge(q \rightarrow s) \wedge(r \rightarrow s)) \rightarrow s
// \end{aligned}
// $$
// Mit Worten bedeutet (3.1): Wenn $p$ und $q$ gelten, so gilt auch $r$ oder $s$. Dabei kann man sich für $p, q, r, s$ beliebige Aussagen aus $A_2$ eingesetzt denken.
// Allgemein gesprochen, können wir also mit Hilfe von Bindewörtern $n$ Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ zuordnen, die wir dann n-stellige Aussagenverbindung nennen. Die konkrete Art der Verbindung nennen wir die logische Struktur der Aussage. Zu dieser logischen Struktur gehören insbesondere auch die Klammern.
// Nun können wir die folgende entscheidende Fragestellung der Logik formulieren, auf der dann alle anderen Untersuchungen aufbauen: Wie beeinflußt die logische Struktur den Wahrheitswert der Aussagenverbindung? Dabei fordert man: Der Wahrheitswert der Aussagenverbindung soll nur abhängen
// 1. von den Wahrheitswerten der eingehenden Teilaussagen und
// 2. von der logischen Struktur der Aussagenverbindung.
// Er soll aber nicht vom konkreten Sinn der in der Aussagenverbindung verknüpften Teilaussagen abhängen. Aussagenverbindungen, die diese Forderung erfüllen, heißen extensional (Extension - Ausdehnung); alle anderen heißen intensionale Aussagenverbindungen (Intension - Sinn).
// Die Aussagenverbindungen 1 bis 6 unserer Tabelle 3.1 werden als extensional aufgefaßt. Dagegen beschreibt zum Beispiel „weil“ eine intensionale Aussagenverbindung, was man sich anhand eines Beispiels überlegen kann [14].
// 3.3.2 Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen
// Im folgenden beschäftigen wir uns nur noch mit extensionalen Aussagenverbindungen und wollen zunächst für die Aussagenverbindungen 1) bis 6) aus Tabelle 3.1 den Wahrheitswert bestimmen. Da diese extensional sind, genügt es, für jede Kombination von Wahrheitswerten (aus $\{W, F\}$ ) der eingehenden Teilaussagen den Wahrheitswert der Aussagenverbindung anzugeben.
// 1. Wahrheitstabelle für die Negation
// \begin{table}
// \captionsetup{labelformat=empty}
// \caption{Tabelle 3.2. Wahrheitstabelle der Negation}
// \begin{tabular}{l|ll}
// $p$ & $F$ & $W$ \\
// \hline $\bar{p}$ & $W$ & $F$
// \end{tabular}
// \end{table}
// In der ersten Zeile dieser Tabelle steht links das Symbol $p$ für die Aussage, rechts daneben die beiden möglichen Wahrheitswerte für $p: F, W$. Die zweite Zeile enthält links das Symbol $\bar{p}$ für die Negation, daneben die Wahrheitswerte für $\bar{p}$, d. h., gilt $w(p)=F$, so ist $w(\bar{p})=W$, und für $w(p)=W$ wird $w(\bar{p})=F$. Diese Tabelle, die wir Wahrheitstabelle nennen, gibt also die Zuordnung spaltenweise an.
// 2. Wahrheitstabelle für die Konjunktion
// \begin{table}
// \captionsetup{labelformat=empty}
// \caption{Tabelle 3.3. Wahrheitstabelle der Konjunktion}
// \begin{tabular}{l|llll}
// $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
// $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
// \hline$\wedge$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$
// \end{tabular}
// \end{table}
// Da wir es hier mit einer zweistelligen Aussagenverbindung zu tun haben, gibt es $2^2=4$ Kombinationen (Paare) von Wahrheitswerten (s. Abschnitt 6.). Jedem solchen Paar entspricht wieder eine Spalte der Tabelle, wobei in der letzten Zeile der zugehörige Wahrheitswert von $p \wedge q$ aufgeschrieben ist. Wir sehen, daß die Konjunktion genau dann wahr ist, wenn beide durch und verbundenen Teilaussagen wahr sind.
// Entsprechend definieren wir die Wahrheitstabellen der anderen Aussagenverbindungen.
// \begin{table}
// \captionsetup{labelformat=empty}
// \caption{Tabelle 3.4. Wahrheitstabelle der Alternative}
// \begin{tabular}{l|llll}
// $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
// $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
// \hline$\vee$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$
// \end{tabular}
// \end{table}
// \begin{table}
// \captionsetup{labelformat=empty}
// \caption{Tabelle 3.5. Wahrheitstabelle der Implikation}
// \begin{tabular}{l|llll}
// $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
// $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
// \hline$\rightarrow$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$
// \end{tabular}
// \end{table}
// Tabelle 3.6. Wahrheitstabelle der Äquivalenz
// \begin{tabular}{l|llll}
// $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
// $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
// \hline$\leftrightarrow$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$
// \end{tabular}
// Tabelle 3.7. Wahrheitstabelle der Disjunktion
// \begin{tabular}{l|llll}
// $p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
// $q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
// \hline entweder $p$ oder $q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$
// \end{tabular}
// * Aufgabe 3.1: Man gebe die Wahrheitstabellen der Aussagenverbindungen $\overline{p \wedge q}$ (Sheffersche Funktion) bzw. $\overline{p \vee q}$ (Nicodsche Funktion) an!