Aufagben mit aufgenommen
This commit is contained in:
+74
-30
@@ -16,23 +16,26 @@
|
||||
|
||||
#import "@preview/marge:0.1.0": sidenote
|
||||
|
||||
#import "@preview/itemize:0.2.0" as el
|
||||
|
||||
#import "@preview/eqalc:0.1.3": *
|
||||
#import "grafiken.typ": *
|
||||
|
||||
#import "deckblatt.typ": deckblatt
|
||||
|
||||
#import "abhaengigkeit.typ": abhaengigkeit
|
||||
|
||||
#let einruecken(abstand, inhalt) = pad(left: abstand, inhalt)
|
||||
|
||||
#let def-counter = counter("definition")
|
||||
|
||||
#let bsp-counter = counter("besipiel")
|
||||
#let bsp-counter = counter("beispiel")
|
||||
|
||||
#let aufg-counter = counter("aufgabe")
|
||||
|
||||
// Zähler bei jedem neuen Kapitel (Ebene 1) zurücksetzen
|
||||
|
||||
#show math.equation: it => {
|
||||
if it.body.fields().at("size", default: none) != "display" {
|
||||
return math.display(it)
|
||||
}
|
||||
it
|
||||
}
|
||||
|
||||
#let hrule = line(length: 100%)
|
||||
|
||||
@@ -41,6 +44,7 @@
|
||||
it
|
||||
def-counter.update(1)
|
||||
bsp-counter.update(1)
|
||||
aufg-counter.update(1)
|
||||
}
|
||||
|
||||
#let definition(title: none, body, label: none) = context {
|
||||
@@ -74,17 +78,36 @@
|
||||
[
|
||||
#figure(
|
||||
block(width: 100%, align(left)[
|
||||
#hrule
|
||||
//#hrule
|
||||
*Beispiel #full-num*: #if title != none [(#title)] #body
|
||||
#hrule]),
|
||||
//#hrule
|
||||
]),
|
||||
kind: "beispiel",
|
||||
supplement: [B.],
|
||||
supplement: [Beispiel],
|
||||
numbering: _ => full-num,
|
||||
) #label
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
|
||||
#let aufgabe(title: none, body, label: none) = context {
|
||||
aufg-counter.step()
|
||||
|
||||
let h1-num = counter(heading).at(here()).first()
|
||||
let b-num = aufg-counter.at(here()).first()
|
||||
let full-num = [#h1-num.#b-num]
|
||||
|
||||
// Die Figure wird erstellt und das Label direkt angehängt
|
||||
[
|
||||
#figure(
|
||||
block(width: 100%, align(left)[
|
||||
#h(-2.8mm)$ast.op$ *Aufgabe #full-num*: #if title != none [(#title)] #body
|
||||
]),
|
||||
kind: "beispiel",
|
||||
supplement: [Aufgabe],
|
||||
numbering: _ => full-num,
|
||||
) #label
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
|
||||
// Zähler bei jedem neuen Kapitel (Ebene 1) zurücksetzen
|
||||
#show heading.where(level: 1): it => {
|
||||
@@ -334,7 +357,7 @@ Im folgenden bedeutet "Funktion" stets "reellwertige Funktion einer reellen Vari
|
||||
|
||||
Als Vorbereitung auf den Grenzwertbegriff für Funktionen behandeln wir das
|
||||
|
||||
#beispiel[An die Parabel $y=x^2$ werde die Sekante durch den festen Kurvenpunkt $P_0(1/2, 1/4)$ und den variablen Kurvenpunkt $P(x, x^2)$ gelegt (s. @abb1). Der Anstieg der Sekante ist eine Funktion $f$ von $x$:
|
||||
#beispiel(label: <Bsp21>)[An die Parabel $y=x^2$ werde die Sekante durch den festen Kurvenpunkt $P_0(1/2, 1/4)$ und den variablen Kurvenpunkt $P(x, x^2)$ gelegt (s. @abb1). Der Anstieg der Sekante ist eine Funktion $f$ von $x$:
|
||||
|
||||
#table(
|
||||
columns: (1fr, 1fr),
|
||||
@@ -375,7 +398,7 @@ Soll allgemein das Verhalten einer Funktion $f$ bei "Annäherung" der unabhängi
|
||||
#set math.equation(numbering: none)
|
||||
$
|
||||
& ("E 1") &quad& x_n in D(f) ^#footnote[$D(f)$ bezeichnet den Definitionsbereich von $f$.] &quad& " für alle" n &quad& (n=1,2,3,dots) \
|
||||
& ("E 2") && x_n eq.not x_0 && " für alle" n \
|
||||
& ("E 2") && x_n eq.not x_0 && " für alle" n \
|
||||
& ("E 3") && lim_(x->n)x_n = x_0
|
||||
$])
|
||||
|
||||
@@ -413,7 +436,7 @@ In @abb4 haben wir die ersten drei Glieder einer Folge ( $x_n$ ) und der zugehö
|
||||
caption: [],
|
||||
) <abb4>
|
||||
|
||||
#beispiel[Gesucht ist der Grenzwert der Funktion
|
||||
#beispiel(label: <Bsp22>)[Gesucht ist der Grenzwert der Funktion
|
||||
#math.equation(
|
||||
block: true,
|
||||
numbering: none,
|
||||
@@ -431,30 +454,51 @@ Unter Verwendung von @eq22 und bekannten Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen folg
|
||||
|
||||
Die Gültigkeit von @eq24 wurde für eine beliebige und damit für jede Folge $\(x_n)$ mit den Eigenschaften @eq23 bewiesen. Daher gilt
|
||||
|
||||
/*
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}}=1,
|
||||
$$
|
||||
#einruecken(15mm)[
|
||||
$display(lim_(x->1/2) (x^2-1/4)/(x-1/2) = 1)$,]
|
||||
|
||||
was in Einklang mit der Anschauung steht (Bild 2.2).
|
||||
was in Einklang mit der Anschauung steht (@abb2).
|
||||
]
|
||||
|
||||
Beispiel 2.3: Wir wollen den Grenzwert der Funktion
|
||||
#beispiel(label: <Bsp23>)[Wir wollen den Grenzwert der Funktion
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}
|
||||
\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} & \text { für } & x \neq \frac{1}{2} \\
|
||||
2 & \text { für } & x=\frac{1}{2}
|
||||
\end{array}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
für $x \rightarrow \frac{1}{2}$ ermitteln (s. Bild 2.5).
|
||||
|
||||
Obwohl $f$ an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ definiert ist, werden auch hier nur Folgen $\left(x_n\right)$ mit $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1}{2}$ betrachtet, für die $x_n \neq \frac{1}{2}$ für alle $n$ gilt [vgl. (E 2)]. Für jede solche Folge erhält man wie in Beispiel 2.2
|
||||
#einruecken(15mm)[$display(y = cases(
|
||||
(x^2 - 1/4)/(x- 1/2) &text("für")& x eq.not 1/2,
|
||||
2 &text("für")& x= 1/2,
|
||||
))$]
|
||||
|
||||
für $display(x->1/2)$ ermitteln (s. @abb5).
|
||||
|
||||
#figure(
|
||||
{
|
||||
set math.equation(numbering: none)
|
||||
scale(x: 50%, y: 50%, reflow: true, b2_5)
|
||||
},
|
||||
caption: [],
|
||||
) <abb5>
|
||||
|
||||
Obwohl $f$ an der Stelle $x=1/2$ definiert ist, werden auch hier nur Folgen $(x_n)$ mit $lim_(n->infinity)x_n=1/2$ betrachtet, für die $x_n eq.not 1/2$ für alle $n$ gilt [vgl. (E 2)]. Für jede solche Folge erhält man wie in @Bsp22.
|
||||
|
||||
#einruecken(15mm)[$lim_(x->infinity)f(x_n)=lim_(n->infinity)(x_n^2-1/4)/(x_n-1/2)=lim_(x->infinity)(x_n+1/2)=1$,]
|
||||
|
||||
also ist
|
||||
|
||||
#einruecken(15mm)[$lim_(x->1/2)f(x)=1$.]
|
||||
]
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
#beispiel(label: <Bsp24>)[]
|
||||
|
||||
|
||||
#aufgabe(label: <Aufg2>)[]
|
||||
|
||||
|
||||
/*
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n^2-\frac{1}{4}}{x_n-\frac{1}{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\frac{1}{2}\right)=1,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
also ist
|
||||
|
||||
@@ -570,7 +614,7 @@ ${ }^3$ ) Statt $\lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r
|
||||
|
||||
*/
|
||||
|
||||
]
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user