Aufagben mit aufgenommen
This commit is contained in:
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-35
@@ -16,23 +16,26 @@
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#import "@preview/marge:0.1.0": sidenote
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#import "@preview/itemize:0.2.0" as el
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#import "@preview/eqalc:0.1.3": *
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#import "grafiken.typ": *
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#import "deckblatt.typ": deckblatt
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#import "abhaengigkeit.typ": abhaengigkeit
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#let einruecken(abstand, inhalt) = pad(left: abstand, inhalt)
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#let def-counter = counter("definition")
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#let bsp-counter = counter("besipiel")
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#let bsp-counter = counter("beispiel")
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#let aufg-counter = counter("aufgabe")
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// Zähler bei jedem neuen Kapitel (Ebene 1) zurücksetzen
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#show math.equation: it => {
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if it.body.fields().at("size", default: none) != "display" {
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return math.display(it)
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}
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it
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}
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#let hrule = line(length: 100%)
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@@ -41,6 +44,7 @@
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it
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def-counter.update(1)
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bsp-counter.update(1)
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aufg-counter.update(1)
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}
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#let definition(title: none, body, label: none) = context {
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@@ -74,17 +78,36 @@
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[
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#figure(
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block(width: 100%, align(left)[
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#hrule
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//#hrule
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*Beispiel #full-num*: #if title != none [(#title)] #body
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#hrule]),
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//#hrule
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]),
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kind: "beispiel",
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supplement: [B.],
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supplement: [Beispiel],
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numbering: _ => full-num,
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) #label
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]
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}
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#let aufgabe(title: none, body, label: none) = context {
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aufg-counter.step()
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let h1-num = counter(heading).at(here()).first()
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let b-num = aufg-counter.at(here()).first()
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let full-num = [#h1-num.#b-num]
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// Die Figure wird erstellt und das Label direkt angehängt
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[
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#figure(
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||||
block(width: 100%, align(left)[
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||||
#h(-2.8mm)$ast.op$ *Aufgabe #full-num*: #if title != none [(#title)] #body
|
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]),
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||||
kind: "beispiel",
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||||
supplement: [Aufgabe],
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numbering: _ => full-num,
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) #label
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]
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}
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// Zähler bei jedem neuen Kapitel (Ebene 1) zurücksetzen
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#show heading.where(level: 1): it => {
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@@ -334,7 +357,7 @@ Im folgenden bedeutet "Funktion" stets "reellwertige Funktion einer reellen Vari
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Als Vorbereitung auf den Grenzwertbegriff für Funktionen behandeln wir das
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#beispiel[An die Parabel $y=x^2$ werde die Sekante durch den festen Kurvenpunkt $P_0(1/2, 1/4)$ und den variablen Kurvenpunkt $P(x, x^2)$ gelegt (s. @abb1). Der Anstieg der Sekante ist eine Funktion $f$ von $x$:
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#beispiel(label: <Bsp21>)[An die Parabel $y=x^2$ werde die Sekante durch den festen Kurvenpunkt $P_0(1/2, 1/4)$ und den variablen Kurvenpunkt $P(x, x^2)$ gelegt (s. @abb1). Der Anstieg der Sekante ist eine Funktion $f$ von $x$:
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#table(
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columns: (1fr, 1fr),
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@@ -375,7 +398,7 @@ Soll allgemein das Verhalten einer Funktion $f$ bei "Annäherung" der unabhängi
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#set math.equation(numbering: none)
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$
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& ("E 1") &quad& x_n in D(f) ^#footnote[$D(f)$ bezeichnet den Definitionsbereich von $f$.] &quad& " für alle" n &quad& (n=1,2,3,dots) \
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||||
& ("E 2") && x_n eq.not x_0 && " für alle" n \
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||||
& ("E 2") && x_n eq.not x_0 && " für alle" n \
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& ("E 3") && lim_(x->n)x_n = x_0
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$])
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@@ -413,7 +436,7 @@ In @abb4 haben wir die ersten drei Glieder einer Folge ( $x_n$ ) und der zugehö
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caption: [],
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) <abb4>
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#beispiel[Gesucht ist der Grenzwert der Funktion
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#beispiel(label: <Bsp22>)[Gesucht ist der Grenzwert der Funktion
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#math.equation(
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block: true,
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numbering: none,
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@@ -431,30 +454,51 @@ Unter Verwendung von @eq22 und bekannten Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen folg
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Die Gültigkeit von @eq24 wurde für eine beliebige und damit für jede Folge $\(x_n)$ mit den Eigenschaften @eq23 bewiesen. Daher gilt
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#einruecken(15mm)[
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$display(lim_(x->1/2) (x^2-1/4)/(x-1/2) = 1)$,]
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||||
was in Einklang mit der Anschauung steht (@abb2).
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]
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#beispiel(label: <Bsp23>)[Wir wollen den Grenzwert der Funktion
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#einruecken(15mm)[$display(y = cases(
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(x^2 - 1/4)/(x- 1/2) &text("für")& x eq.not 1/2,
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||||
2 &text("für")& x= 1/2,
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))$]
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für $display(x->1/2)$ ermitteln (s. @abb5).
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#figure(
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{
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set math.equation(numbering: none)
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||||
scale(x: 50%, y: 50%, reflow: true, b2_5)
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},
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||||
caption: [],
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) <abb5>
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||||
Obwohl $f$ an der Stelle $x=1/2$ definiert ist, werden auch hier nur Folgen $(x_n)$ mit $lim_(n->infinity)x_n=1/2$ betrachtet, für die $x_n eq.not 1/2$ für alle $n$ gilt [vgl. (E 2)]. Für jede solche Folge erhält man wie in @Bsp22.
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#einruecken(15mm)[$lim_(x->infinity)f(x_n)=lim_(n->infinity)(x_n^2-1/4)/(x_n-1/2)=lim_(x->infinity)(x_n+1/2)=1$,]
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also ist
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#einruecken(15mm)[$lim_(x->1/2)f(x)=1$.]
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]
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#beispiel(label: <Bsp24>)[]
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#aufgabe(label: <Aufg2>)[]
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/*
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$$
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||||
\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}}=1,
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||||
$$
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||||
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||||
was in Einklang mit der Anschauung steht (Bild 2.2).
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Beispiel 2.3: Wir wollen den Grenzwert der Funktion
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$$
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f(x)=\left\{\begin{array}{lll}
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||||
\frac{x^2-\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}} & \text { für } & x \neq \frac{1}{2} \\
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||||
2 & \text { für } & x=\frac{1}{2}
|
||||
\end{array}\right.
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||||
$$
|
||||
|
||||
für $x \rightarrow \frac{1}{2}$ ermitteln (s. Bild 2.5).
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||||
|
||||
Obwohl $f$ an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ definiert ist, werden auch hier nur Folgen $\left(x_n\right)$ mit $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1}{2}$ betrachtet, für die $x_n \neq \frac{1}{2}$ für alle $n$ gilt [vgl. (E 2)]. Für jede solche Folge erhält man wie in Beispiel 2.2
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||||
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||||
$$
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||||
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n^2-\frac{1}{4}}{x_n-\frac{1}{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\frac{1}{2}\right)=1,
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||||
$$
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||||
|
||||
also ist
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@@ -570,7 +614,7 @@ ${ }^3$ ) Statt $\lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=g_r$ (bzw. $f(x) \rightarrow g_r
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*/
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]
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@@ -211,5 +211,60 @@
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||||
content("plot.F", text(0.85em)[$y=x^2$], anchor: "west", name: "pt")
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})
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||||
#let b2_5 = cetz.canvas({
|
||||
|
||||
import cetz.draw: *
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||||
set-style(
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||||
axes: (
|
||||
// Basisstil beibehalten
|
||||
stroke: (thickness: 0.5pt),
|
||||
// x-Achse: stealth-Pfeil am Ende
|
||||
x: (mark: (end: "stealth", fill: black)),
|
||||
// y-Achse: stealth-Pfeil am Ende
|
||||
y: (mark: (end: "stealth", fill: black)),
|
||||
),
|
||||
)
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||||
plot.plot(
|
||||
name: "plot",
|
||||
size: (5, 8),
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||||
x-tick-step: none,
|
||||
y-tick-step: none,
|
||||
axis-style: "school-book",
|
||||
x-label: $x$,
|
||||
y-label: $y$,
|
||||
x-ticks: ((0.5, $1/2$),),
|
||||
y-ticks: ((1, $1$),(2, $2$)),
|
||||
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||||
//definitionen
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{
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||||
let f = x => if x != 0.5 { (calc.pow(x, 2) - 0.25) / (x - 0.5) } else { none }
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let x0 = 0.5
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||||
let y0 = 1
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let y1 = 2
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||||
let domain_end_x = 1.75
|
||||
let domain_end_y = f(1.75)
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||||
plot.add(f, domain: (-0.6, domain_end_x), style: (stroke: blue))
|
||||
|
||||
plot.add(((x0, 0), (x0, y0)), style: (stroke: (dash: "dashed", paint: gray, thickness: 0.75pt)))
|
||||
|
||||
plot.add(((x0, y0), (x0, y1)), style: (stroke: (dash: "dashed", paint: gray, thickness: 0.75pt)))
|
||||
|
||||
plot.add(((0, y0), (x0, y0)), style: (stroke: (dash: "dashed", paint: gray, thickness: 0.75pt)))
|
||||
|
||||
plot.add(((0, y1), (x0, y1)), style: (stroke: (dash: "dashed", paint: gray, thickness: 0.75pt)))
|
||||
|
||||
plot.add(((x0, y0),), mark: "o")
|
||||
plot.add(((x0, y1),), mark: "o")
|
||||
|
||||
plot.add-anchor("F1", (domain_end_x,domain_end_y))
|
||||
|
||||
}
|
||||
)
|
||||
content("plot.F1",padding: (left: 2mm, bottom: 0mm), text(1em)[$ y = cases(
|
||||
(x^2 - 1/4)/(x- 1/2) &text("für")& x eq.not 1/2,
|
||||
2 &text("für")& x= 1/2,
|
||||
) $], anchor: "mid-west", name: "pt")
|
||||
|
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})
|
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Reference in New Issue
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