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# Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen
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## Vorwort
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Der vorliegende Band der Lehrbuchreihe „Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte" gehört mit den ersten drei Bänden zu denen, auf welchen alle weiteren Bände wesentlich aufbauen. Der Band 4 ist einerseits eine unmittelbare Fortsetzung des Bandes 2 „Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen“ und bereitet andererseits den Band 5 „Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen" direkt vor. Bei der Übertragung der gewöhnlichen Differentialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen auf den Fall von Funktionen, die von mehreren Veränderlichen abhängen, ergeben sich eine ganze Reihe grundlegender qualitativer Unterschiede in Begriffen, Sätzen und Methoden, so daß ein gesonderter Band speziell über die Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Veränderlichen berechtigt erscheint.
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Wie im Band 2 wurden schwierige Beweise im allgemeinen weggelassen und mehr Gewicht auf die anschauliche Interpretation und Anwendung der dargestellten Methoden und Zusammenhänge gelegt.
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Für wertvolle Hinweise bei der Vorbereitung der dritten Auflage danken wir vor allem dem Herausgeber, Herrn Prof. Dr. K. Manteuffel (TH Magdeburg) und Herrn Dr. R. Kuhrt (HU Berlin).
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Dresden, März 1980
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K. Harbarth
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T. Riedrich
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## Vorwort zur vierten Auflage
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Im Juli 1981 verstarb plötzlich der Mitautor dieses Bandes, Dozent Dr. rer. nat. Klaus Harbarth. An seiner Stelle wird von nun an Dr. sc. nat. W. Schirotzek als Mitautor tätig sein. Wir werden das Buch im Sinne des Verstorbenen weiterführen und auch damit unserem Kollegen ein bleibendes Andenken bewahren.
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In der vierten Auflage wurden nur kleinere Berichtigungen und Ergänzungen angebracht.
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Dresden, im März 1983
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T. Riedrich
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W. Schirotzek
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## 1. Elemente der Theorie der Punktmengen
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### 1.1. Grundbegriffe der Theorie der Punktmengen
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#### 1.1.1. Definition des $R^n$; Abstand im $R^n$
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In der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen werden alle Überlegungen in der Menge der reellen Zahlen als Grundmenge durchgeführt. Es bezeichne wie bisher $\mathbb{R}$ oder $R^1$ die Menge der reellen Zahlen. Wir rechnen im $R^1$ nach den üblichen Regeln. Als Abstand $d\left(x_1, x_2\right)$ zweier reeller Zahlen $x_1$ und $x_2$ verwenden wir die Zahl
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d\left(x_1, x_2\right)=\left|x_1-x_2\right|
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$$
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Für eine Ausdehnung der Theorie auf Funktionen von *mehreren* unabhängigen Veränderlichen ist es erforderlich, neue Grundmengen heranzuziehen. Wir betrachten zunächst Paare von reellen Zahlen und legen für je zwei reelle Zahlen $a, b$ eine Reihenfolge fest. Soll $a$ die erste und $b$ die zweite Zahl sein, so schreiben wir $x_1=a$ und $x_2=b$ und fassen beide Zahlen durch Klammern in der Weise zu einem Paar zusammen, daß wir innerhalb der Klammern $x_1$ an die erste und $x_2$ an die zweite Stelle setzen. Wir schreiben also ( $x_1, x_2$ ) und bezeichnen ( $x_1, x_2$ ) als **geordnetes Zahlenpaar**. Die Zahlen 3 und -1 können also zu dem Paar $(3,-1)$ oder zu dem Paar $(-1,3)$ zusammengefaßt werden. Zwei geordnete Zahlenpaare ( $x_1, x_2$ ) und ( $y_1, y_2$ ) nennen wir gleich, wenn innerhalb der Klammern an der jeweils entsprechenden Stelle die gleiche Zahl steht. Wir setzen also $\left(x_1, x_2\right)=\left(y_1, y_2\right)$ genau dann, wenn $x_1=y_1$ und $x_2=y_2$ gilt. Somit ist $(3,-1) \neq(-1,3)$ und auch $(3,-1) \neq(3,0)$ wegen $-1 \neq 0$.
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Eine geometrische Veranschaulichung von geordneten Zahlenpaaren ist in einer mit einem kartesischen Koordinatensystem versehenen Ebene möglich. Man erkennt an Bild 1.1, daß man das Zahlenpaar ( $x_1, x_2$ ) durch den Punkt $X$ mit den Koordinaten $x_1$ und $x_2$ oder durch den Vektor $\mathbf{x}$ mit den Koordinaten $x_1$ und $x_2$ veranschaulichen kann. Gleichbedeutend
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<img src="assets/Band4_1.1.png" alt="Band4_1.1" style="zoom:67%;" />sprechen wir in diesem Zusammenhang also von dem **geordneten Zahlenpaar** ( $x_1, x_2$ ), dem **Punkt** $X\left(x_1, x_2\right)$ oder dem **Vektor** $\mathbf{x}=x_1 \mathbf{e}_1+x_2 \mathbf{e}_2$. Eine Menge von geordneten Zahlenpaaren nennen wir demzufolge auch eine Punktmenge. Unter dem $R^2$ verstehen wir die Menge aller geordneten Zahlenpaare ( $x_1, x_2$ ).
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Sind $X\left(x_1, x_2\right)$ und $Y\left(y_1, y_2\right)$ zwei beliebige Punkte des $R^2$, so bezeichnet man unter Beachtung des Satzes von Pythagoras die Zahl
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$$
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d(X, Y)=\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\left(x_2-y_2\right)^2}
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$$
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als Abstand der Punkte $X$ und $Y$ (vgl. Bild 1.2). Bei Benutzung der Vektorschreibweise $\mathbf{x}=x_1 \mathbf{e}_1+x_2 \mathbf{e}_2$ und $\mathbf{y}=y_1 \mathbf{e}_1+y_2 \mathbf{e}_2$ bzw. der Koordinatenschreibweise hätte man zu formulieren:
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$d(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\left(x_2-y_2\right)^2}$
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bzw.
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$d\left(\left(x_1, x_2\right),\left(y_1, y_2\right)\right)=\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\left(x_2-y_2\right)^2} .$
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Speziell für $X(-1,3)$ und $Y(5,-4)$ erhält man
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$d(X, Y)=\sqrt{(-1-5)^2+(3+4)^2}=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}.$
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Je zwei Punkten $X$ und $Y$ ist also eine nichtnegative reelle Zahl $d(X, Y)$ als Abstand zwischen $X$ und $Y$ zugeordnet. Man sagt für diesen Sachverhalt auch, daß im $R^2$ eine Abstandsfunktion oder Metrik erklärt ist. Man erkennt leicht, daß die Metrik im $R^2$ die von der Abstandsfunktion (1.1) im $R^1$ her bekannten drei Eigenschaften erfüllt:
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