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@@ -0,0 +1,3 @@
+*.log
+*.synctex
+*.aux

LineareAlgebra.tex

@@ -1,3 +1,4 @@
+%!TEX root=MathematikFHTW.tex
 \chapter{Lineare Algebra}
 \section{Vektoren in der Ebene - Übersicht}
 
@@ -28,4 +29,4 @@
 \input{LineareAbhaengigkeit_von_n_dimensionalen_Vektoren.tex}
 \input{Laenge_eines_n_dimensionalen_Vektors.tex}%%04_1%%
 \input{N_Dimensionale_Einheitsvektoren.tex}%%04_1%%
-\input{Skalarprodukt_von_zwei_n_dimensionalen_Vektoren.tex}%%04_1%% 
+\input{Skalarprodukt_von_zwei_n_dimensionalen_Vektoren.tex} \input{Oeffnungswinkel_zwischen_zwei_n_dimensionalen_Vektoren.tex}% 

Loesung120.tex

@@ -3,19 +3,19 @@
 Sei $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(  -1\right)  ^{k}\frac{1}{k};$ \ $\widetilde{x}= \sum\limits_{k=0}^{4}\left(  -1\right)  ^{k}\frac{1}{k!}$
 
 \begin{description}
-\item[a.] Mit Hilfe von welcher speziellen Funktion l\"{a}\ss t sich $x$ genau beschreiben? Wie? (Tip: 3.3.5)
+\item[a.] Mit Hilfe von welcher speziellen Funktion läßt sich $x$ genau beschreiben? Wie? (Tip: 3.3.5)
 
-\item[b.] Berechnen Sie $\widetilde{x}$.
+\item[b.] Berechnen Sie $\displaystyle \widetilde{x}$.
 
-\item[c.] Geben Sie einen absoluten H\"{o}chstfehler von $\widetilde{x}$ an.
+\item[c.] Geben Sie einen absoluten Höchstfehler von $\widetilde{x}$ an.
 (Tip: 3.2.7)
 \end{description}
 
 \subsection{Lösung}
 \begin{description}
-\item[a.] $\exp(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}z^{k}$ \ $\Longrightarrow$ \ \ $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\exp(-1)=\underline{\underline{\frac{1}{e}}}$
+\item[a.] $\displaystyle \exp(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}z^{k}$ \ $\Longrightarrow$ \ \ $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\exp(-1)=\underline{\underline{\frac{1}{e}}}$
 
-\item[b.] $\widetilde{x}=\sum\limits_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\allowbreak 1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{12-4+1}{24}=\allowbreak\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\allowbreak\underline{\underline{0.375}}\,$
+\item[b.] $\displaystyle \widetilde{x}=\sum\limits_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\allowbreak 1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{12-4+1}{24}=\allowbreak\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\allowbreak\underline{\underline{0.375}}\,$
 
-\item[c.] Da die vorliegende Reihe eine alternierende Reihe ist, gilt $|x-\widetilde{x}|\leq\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}$.  Damit ist $\underline{\underline{\alpha_x=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}}}$ ein absoluter Höchstfehler von $\widetilde{x}$.
+\item[c.] Da die vorliegende Reihe eine alternierende Reihe ist, gilt $\displaystyle |x-\widetilde{x}|\leq\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}$.  Damit ist $\underline{\underline{\alpha_x=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}}}$ ein absoluter Höchstfehler von $\widetilde{x}$.
 \end{description} 

Loesung125.tex

@@ -1,9 +1,9 @@
 \section{Aufgabe 125}
 
-Gegeben sei das eindeutig lösbare lineare Gleichungssystem $\ A\cdot
+Gegeben sei das eindeutig lösbare lineare Gleichungssystem $\displaystyle A\cdot
 \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$ mit
 
-$A=\left(
+$\displaystyle A=\left(
 \begin{array}
 [c]{cccccc}%
 4 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\
@@ -26,48 +26,48 @@ $A=\left(
 \right)  $
 
 \begin{itemize}
-\item[a.] Sei $\overrightarrow{x}^{\left(  0\right)  }=\overrightarrow{0}$.
-Berechnen Sie die Näherungslösung $\overrightarrow{x}^{\left(
+\item[a.] Sei $\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left(  0\right)  }=\overrightarrow{0}$.
+Berechnen Sie die Näherungslösung $\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left(
 3\right)  }$ des Systems, die man nach 3 Schritten des
 Gesamtschrittverfahrens erhält.
 
 \item[b.] Zeigen Sie, daß das Gesamtschrittverfahren konvergiert.
 
 \item[c.] Führen Sie eine Apeoteriori-Fehlerabschätzung für
-$\overrightarrow{x}^{\left(  3\right)  }$\ durch.
+$\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left(  3\right)  }$\ durch.
 
 \item[d.] Führen Sie eine Apriori-Fehlerabschätzung für
-$\overrightarrow{x}^{\left(  10\right)  }$ durch.
+$\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left(  10\right)  }$ durch.
 \end{itemize}
 
 \subsection{Lösung}
 
 \begin{itemize}
-\item[a.] Rechenvorschriften:\newline$x_{1}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}%
+\item[a.] Rechenvorschriften:\newline$\displaystyle x_{1}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}%
 {4}\left(  2+x_{2}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{4}^{\left(  Z-1\right)  }\right)
 =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{4}^{\left(
-Z-1\right)  }$\newline$x_{2}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
+Z-1\right)  }$\newline$\displaystyle x_{2}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
 1+x_{1}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{3}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{5}^{\left(
 Z-1\right)  }\right)  =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}x_{1}^{\left(  Z-1\right)
 }+\frac{1}{4}x_{3}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left(
-Z-1\right)  }$\newline$x_{3}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
+Z-1\right)  }$\newline$\displaystyle x_{3}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
 2+x_{2}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{6}^{\left(  Z-1\right)  }\right)  =\frac
 {1}{2}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{6}^{\left(
-Z-1\right)  }$\newline$x_{4}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
+Z-1\right)  }$\newline$\displaystyle x_{4}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
 2+x_{1}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{5}^{\left(  Z-1\right)  }\right)  =\frac
 {1}{2}+\frac{1}{4}x_{1}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left(
-Z-1\right)  }$\newline$x_{5}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
+Z-1\right)  }$\newline$\displaystyle x_{5}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
 1+x_{2}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{4}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{6}^{\left(
 Z-1\right)  }\right)  =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left(  Z-1\right)
 }+\frac{1}{4}x_{4}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{6}^{\left(
-Z-1\right)  }$\newline$x_{6}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
+Z-1\right)  }$\newline$\displaystyle x_{6}^{\left(  Z\right)  }=\frac{1}{4}\left(
 2+x_{3}^{\left(  Z-1\right)  }+x_{5}^{\left(  Z-1\right)  }\right)  =\frac
 {1}{2}+\frac{1}{4}x_{3}^{\left(  Z-1\right)  }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left(
 Z-1\right)  }$\newline\newline%
 \begin{tabular}
 [c]{l||llllll}%
-z & $x_{1}^{\left(  Z\right)  }$ & $x_{2}^{\left(  Z\right)  }$ &
-$x_{3}^{\left(  Z\right)  }$ & $x_{4}^{\left(  Z\right)  }$ & $x_{5}^{\left(
+z & $\displaystyle x_{1}^{\left(  Z\right)  }$ & $\displaystyle x_{2}^{\left(  Z\right)  }$ &
+$x_{3}^{\left(  Z\right)  }$ & $\displaystyle x_{4}^{\left(  Z\right)  }$ & $\displaystyle x_{5}^{\left(
 Z\right)  }$ & $x_{6}^{\left(  Z\right)  }$\\\hline\hline
 1 & $0.5$ & $0.25$ & $0.5$ & $0.5$ & $0.25$ & $0.5$\\
 2 & $0.6875$ & $0.5625$ & $0.6875$ & $0.6875$ & $0.5625$ & $0.6875$\\

Oeffnungswinkel_zwischen_zwei_n_dimensionalen_Vektoren.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+
+%!TEX root=MathematikFHTW.tex
+\subsection{Öffnungswinkel zwischen zwei n-dimensionalen Vektoren $\vec{a}\neq \vec{0}$ und $\vec{b}\neq \vec{0}$}
+\begin{itemize}
+\item $\cos \left(\alpha\right)$	
+\end{itemize}

Skalarprodukt_von_zwei_n_dimensionalen_Vektoren.tex

@@ -1,5 +1,9 @@
+%!TEX root=MathematikFHTW.tex
 \subsection{Skalarprodukt von zwei n-dimensionalen Vektoren}
 \begin{itemize}
 	\item liefert einen Skalar
 	\item Berechnung: $\vec{a}=\left(a_1,\ldots,a_n\right),\;\vec{b}=\left(b_1,\ldots,b_n\right)$
+
+$\displaystyle<\vec{a},\vec{b}>=a_1b_1+ \ldots +a_nb_n= \sum_{i=1}^n a_1b_i $
+\item Rechenregel wie für $n=2$
 \end{itemize}

tikzgrafiken/Grafiken.tex

@@ -0,0 +1,25 @@
+%\documentclass[convert={density=400,outext=.png}]{standalone}
+
+\documentclass[11pt]{book}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{pgf,tikz,pgfplots}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\usetikzlibrary{arrows,shapes,calc,decorations.pathreplacing,fit,positioning,backgrounds}
+
+\usetikzlibrary{shadings,patterns}
+
+\usepackage{pst-fractal}
+
+\definecolor{azure}{rgb}{0.0, 0.5, 1.0}
+
+\begin{document}
+
+
+\input{tikz_3_2.tex}
+
+\newpage
+
+\input{tikz_3_3.tex}
+
+\end{document}

tikzgrafiken/tikz_3_2.tex

@@ -0,0 +1,29 @@
+%!TEX root=Grafiken.tex
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{snakes}
+
+\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
+
+% https://tex.stackexchange.com/questions/175016/how-is-arc-defined-in-tikz
+
+%\draw (x,y) arc (start:stop:radius); draws an arc
+
+%with radius radius
+%starts from (x,y)
+%with center (x-r*cos(start), y-r*sin(start)) and
+%ends at (x-r*cos(start)+r*cos(stop), y-r*sin(start)+r*sin(stop)).
+
+
+
+
+
+    \draw[help lines] (-5,-5) grid (5,5);
+  
+	\draw[red] (1,0) arc (0:56:1) node[midway,xshift=-15, yshift=-6]{$\alpha$};
+	
+        \draw [thick,-latex] (0,0) -- (3,0);
+        \draw [thick,dashed] (1,1.5) -- (4,1.5);
+        \draw [thick, -latex] (0,0) -- (1,1.5);
+	    \draw [thick,dashed] (3,0) -- (4,1.5);
+\end{tikzpicture}

tikzgrafiken/tikz_3_3.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+%!TEX root=Grafiken.tex
+
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{snakes}
+
+\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
+
+    \draw[help lines] (-5,-5) grid (5,5);
+
+	
+    \draw [thick,-latex] (0,0) -- (3,0);
+	 \draw [thick,-latex] (0,0) -- (1,2);
+	 \draw [thick,-latex] (3,0) -- (4.2,0.5);
+	 \draw [thick,-latex, dashed] (0,0) -- (1.2,0.5);
+	 \draw [thick, dashed] (1.2,0.5) -- (4.2,0.5);
+
+ %       \draw [thick,dashed] (1,1.5) -- (4,1.5);
+ %       \draw [thick, -latex] (0,0) -- (1,1.5);
+%	    \draw [thick,dashed] (3,0) -- (4,1.5);
+\end{tikzpicture}