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Sven Riwoldt
2020-10-25 20:00:59 +01:00
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12
Loesung120.tex
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@@ -3,19 +3,19 @@
Sei $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left( -1\right) ^{k}\frac{1}{k};$ \ $\widetilde{x}= \sum\limits_{k=0}^{4}\left( -1\right) ^{k}\frac{1}{k!}$
\begin{description}
\item[a.] Mit Hilfe von welcher speziellen Funktion l\"{a}\ss t sich $x$ genau beschreiben? Wie? (Tip: 3.3.5)
\item[a.] Mit Hilfe von welcher speziellen Funktion läßt sich $x$ genau beschreiben? Wie? (Tip: 3.3.5)
\item[b.] Berechnen Sie $\widetilde{x}$.
\item[b.] Berechnen Sie $\displaystyle \widetilde{x}$.
\item[c.] Geben Sie einen absoluten H\"{o}chstfehler von $\widetilde{x}$ an.
\item[c.] Geben Sie einen absoluten Höchstfehler von $\widetilde{x}$ an.
(Tip: 3.2.7)
\end{description}
\subsection{Lösung}
\begin{description}
\item[a.] $\exp(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}z^{k}$ \ $\Longrightarrow$ \ \ $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\exp(-1)=\underline{\underline{\frac{1}{e}}}$
\item[a.] $\displaystyle \exp(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}z^{k}$ \ $\Longrightarrow$ \ \ $x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\exp(-1)=\underline{\underline{\frac{1}{e}}}$
\item[b.] $\widetilde{x}=\sum\limits_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\allowbreak 1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{12-4+1}{24}=\allowbreak\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\allowbreak\underline{\underline{0.375}}\,$
\item[b.] $\displaystyle \widetilde{x}=\sum\limits_{k=0}^{4}\frac{1}{k!}(-1)^{k}=\allowbreak 1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{12-4+1}{24}=\allowbreak\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\allowbreak\underline{\underline{0.375}}\,$
\item[c.] Da die vorliegende Reihe eine alternierende Reihe ist, gilt $|x-\widetilde{x}|\leq\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}$. Damit ist $\underline{\underline{\alpha_x=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}}}$ ein absoluter Höchstfehler von $\widetilde{x}$.
\item[c.] Da die vorliegende Reihe eine alternierende Reihe ist, gilt $\displaystyle |x-\widetilde{x}|\leq\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}$. Damit ist $\underline{\underline{\alpha_x=8.\overline{3}\cdot 10^{-3}}}$ ein absoluter Höchstfehler von $\widetilde{x}$.
\end{description}

28
Loesung125.tex
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@@ -1,9 +1,9 @@
\section{Aufgabe 125}
Gegeben sei das eindeutig lösbare lineare Gleichungssystem $\ A\cdot
Gegeben sei das eindeutig lösbare lineare Gleichungssystem $\displaystyle A\cdot
\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$ mit
$A=\left(
$\displaystyle A=\left(
\begin{array}
[c]{cccccc}%
4 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\
@@ -26,48 +26,48 @@ $A=\left(
\right) $
\begin{itemize}
\item[a.] Sei $\overrightarrow{x}^{\left( 0\right) }=\overrightarrow{0}$.
Berechnen Sie die Näherungslösung $\overrightarrow{x}^{\left(
\item[a.] Sei $\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left( 0\right) }=\overrightarrow{0}$.
Berechnen Sie die Näherungslösung $\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left(
3\right) }$ des Systems, die man nach 3 Schritten des
Gesamtschrittverfahrens erhält.
\item[b.] Zeigen Sie, daß das Gesamtschrittverfahren konvergiert.
\item[c.] Führen Sie eine Apeoteriori-Fehlerabschätzung für
$\overrightarrow{x}^{\left( 3\right) }$\ durch.
$\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left( 3\right) }$\ durch.
\item[d.] Führen Sie eine Apriori-Fehlerabschätzung für
$\overrightarrow{x}^{\left( 10\right) }$ durch.
$\displaystyle \overrightarrow{x}^{\left( 10\right) }$ durch.
\end{itemize}
\subsection{Lösung}
\begin{itemize}
\item[a.] Rechenvorschriften:\newline$x_{1}^{\left( Z\right) }=\frac{1}%
\item[a.] Rechenvorschriften:\newline$\displaystyle x_{1}^{\left( Z\right) }=\frac{1}%
{4}\left( 2+x_{2}^{\left( Z-1\right) }+x_{4}^{\left( Z-1\right) }\right)
=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{4}^{\left(
Z-1\right) }$\newline$x_{2}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left(
Z-1\right) }$\newline$\displaystyle x_{2}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left(
1+x_{1}^{\left( Z-1\right) }+x_{3}^{\left( Z-1\right) }+x_{5}^{\left(
Z-1\right) }\right) =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}x_{1}^{\left( Z-1\right)
}+\frac{1}{4}x_{3}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left(
Z-1\right) }$\newline$x_{3}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left(
Z-1\right) }$\newline$\displaystyle x_{3}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left(
2+x_{2}^{\left( Z-1\right) }+x_{6}^{\left( Z-1\right) }\right) =\frac
{1}{2}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{6}^{\left(
Z-1\right) }$\newline$x_{4}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left(
Z-1\right) }$\newline$\displaystyle x_{4}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left(
2+x_{1}^{\left( Z-1\right) }+x_{5}^{\left( Z-1\right) }\right) =\frac
{1}{2}+\frac{1}{4}x_{1}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left(
Z-1\right) }$\newline$x_{5}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left(
Z-1\right) }$\newline$\displaystyle x_{5}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left(
1+x_{2}^{\left( Z-1\right) }+x_{4}^{\left( Z-1\right) }+x_{6}^{\left(
Z-1\right) }\right) =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}x_{2}^{\left( Z-1\right)
}+\frac{1}{4}x_{4}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{6}^{\left(
Z-1\right) }$\newline$x_{6}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left(
Z-1\right) }$\newline$\displaystyle x_{6}^{\left( Z\right) }=\frac{1}{4}\left(
2+x_{3}^{\left( Z-1\right) }+x_{5}^{\left( Z-1\right) }\right) =\frac
{1}{2}+\frac{1}{4}x_{3}^{\left( Z-1\right) }+\frac{1}{4}x_{5}^{\left(
Z-1\right) }$\newline\newline%
\begin{tabular}
[c]{l||llllll}%
z & $x_{1}^{\left( Z\right) }$ & $x_{2}^{\left( Z\right) }$ &
$x_{3}^{\left( Z\right) }$ & $x_{4}^{\left( Z\right) }$ & $x_{5}^{\left(
z & $\displaystyle x_{1}^{\left( Z\right) }$ & $\displaystyle x_{2}^{\left( Z\right) }$ &
$x_{3}^{\left( Z\right) }$ & $\displaystyle x_{4}^{\left( Z\right) }$ & $\displaystyle x_{5}^{\left(
Z\right) }$ & $x_{6}^{\left( Z\right) }$\\\hline\hline
1 & $0.5$ & $0.25$ & $0.5$ & $0.5$ & $0.25$ & $0.5$\\
2 & $0.6875$ & $0.5625$ & $0.6875$ & $0.6875$ & $0.5625$ & $0.6875$\\