Reorganisation

2026-01-18 16:08:19 +01:00
parent 985cfaf85d
commit 70e94764cb
67 changed files with 3373 additions and 376 deletions
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--- a/Band1/004.png
+++ b/Band1/004.png
--- a/Band1/B1.000.tex
+++ b/Band1/B1.000.tex
@@ -0,0 +1,101 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+%\documentclass[Band1.tex]{subfiles} % verweist auf das Hauptdokument
+
+%\begin{document}
+
+\textbf{Vorwort des Herausgebers}
+
+Mit diesem Heft eröffnen wir die Reihe „Lehrprogrammbücher Hochschulstudium - Mathematik", die die Akademische Verlagsgesellschaft Geest \& Portig K.-G. dankenswerterweise in ihr Verlagsprogramm aufgenommen hat.
+
+
+Programmierte Lehrmaterialien werden zusammen mit anderen Methoden für die Aneignung von Wissen und Können einen gesicherten Platz in der Ausbildung an den Hoch- und Fachschulen einnehmen. Die Programme sind vom Ziel und vom Inhalt so angelegt, daß sie sich als Bausteine in den Ausbildungsprozeß einfügen und dem wissenschaftlich-produktiven Studium als grundlegendem Prinzip bei der Entwicklung sozialistischer Persönlichkeiten dienen.
+
+Das hier vorgelegte erste Heft der Reihe bildet nun insofern eine Ausnahme, als es sich nicht vorrangig an denjenigen wendet, der bereits Mathematik studiert, sondern insbesondere an den, der ein Studium der Mathematik im Haupt- oder Nebenfach aufnehmen will oder der sich für mathematische Denkweisen und Sachverhalte interessiert.
+
+Die in dieser Reihe erscheinenden Lehr- und Übungsprogramme sind unter Anleitung und Betreuung des Forschungszentrums für Theorie und Methodologie der Programmierung von Lehr- und Lernprozessen an der Karl-Marx-Universität entstanden und bilden die Grundlage für weitere Forschungen. Deshalb wird in den einzelnen Heften keine einheitliche Programmierungstechnik angewandt. In jedem Programm wird aber großer Wert darauf gelegt, daß der Lernende durch aktives Mitdenken zum Verstehen der Sachverhalte und Zusammenhänge geführt wird.
+
+Es ist programmierten Materialien zu eigen, daß sie für den Lernenden geschrieben sind und seinen Wünschen und Bedürfnissen weitgehend Rechnung zu tragen haben.
+
+Bitte lassen Sie uns wissen, wie weit es uns gelungen ist, dieser Forderung nachzukommen.
+
+Schreiben Sie, welche der in den einzelnen Bausteinen angewandten Programmierungsmethoden Ihnen am meisten zusagt.
+
+Ich wünsche der Reihe einen guten Start!
+
+Leipzig, im Juni 1971\hfill DER HERAUSGEBER
+\myemptypage
+
+
+\textbf{Das Programm richtet sich vorwiegend an}:
+
+
+Absolventen der zehnklassigen polytechnischen Oberschule; Abiturienten; Studenten des ersten Semesters an Hoch-, Fach- und Ingenieurschulen sowie pädagogischen Instituten im Direkt- und Fernstudium; Lehrer.
+
+\textbf{Voraussetzung zum erfolgreichen Durcharbeiten dieses Programms:}
+
+Mathematik-Abschluß Klasse 10
+
+\textbf{Ziele}
+
+Nach Durcharbeitung des Programms sollen Sie den Gebrauch der Wörter
+
+\hspace{1cm}\textit{\anf{und}, \anf{oder}, "`nicht"',}\par
+
+der Redeweisen
+
+
+\hspace{1cm}\textit{"`wenn -- so"', "`genau dann, wenn"',}
+
+\hspace{1cm}\textit{"`für alle ..."', "`es gibt mindestens (genau, höchstens) ein..."',}
+
+\hspace{1cm}\textit{"`es gibt mindestens (genau, höchstens) $n \ldots $"' $(n=2,3, \ldots)$}
+
+
+
+sowie den Gebrauch des bestimmten Artikels in der Mathematik verstanden haben.
+
+
+Im besonderen bedeutet dies:
+\begin{itemize}
+	\item Sie haben erfaßt, was unter einer \textit{Aussage} sowie der \textit{Negation} einer Aussage zu verstehen ist.
+	\item Sie kennen die Aussagenverknüpfungen \textit{Konjunktion}, \textit{Alternative} und \textit{Implikation}, insbesondere wissen Sie Bescheid, in welcher Weise das Wahr- bzw. Falschsein dieser Aussagenverknüpfungen vom Wahr- bzw. Falschsein der jeweils miteinander verknüpften Aussagen abhängt.
+	\item Sie sind in der Lage, die Gleichwertigkeit gewisser Formulierungen zu erkennen, in denen Wörter oder Redeweisen der genannten Art vorkommen.
+\end{itemize}
+
+Im Verlaufe der Durcharbeitung des Programms sollen Teile Ihres Schulwissens über die trigonometrischen Funktionen, die Logarithmusfunktionen, die Quadratwurzel sowie über den absoluten Betrag einer Zahl gefestigt werden.
+
+\newpage
+
+\textbf{Hinweise für die Arbeit mit dem Lehrprogramm}
+
+Dieses Lehrprogramm unterscheidet sich in einigen Punkten wesentlich von Lehrbüchern. Rein äußerlich zeigt sich das bereits darin, daß der Stoff außerordentlich stark gegliedert ist. Er wird Ihnen in sogenannten Lehrschritten geboten. Von wenigen Ausnahmen abgesehen, befinden sich auf jeder Seite mehrere solcher Lehrschritte, die durch Striche voneinander getrennt und durchgehend numeriert sind. Dabei ist es nicht so, daß diese Lehrschritte immer der Reihe nach durchzuarbeiten sind. Oft entscheiden Ihre eigenen Lernergebnisse, die in Aufgaben überprüft werden, über die Reihenfolge der von Ihnen zu bearbeitenden Lehrschritte.
+
+
+Am Ende der Lehrschritte wird durch Pfeile angegeben, welcher Lehrschritt als nächster von Ihnen zu bearbeiten ist. Dabei bedeuten im einzelnen:
+
+
+
+\begin{tabular}{ll}
+	\raisebox{-0.4\height}{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{Grafiken/001.png}}
+	& Gehen Sie nach Lehrschritt x ! \\
+	\\
+	\raisebox{-0.4\height}{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{Grafiken/002.png}}& \makecell[l]{Gehen Sie zunächst zum Lehrschritt $x$, dann weiter \\nach $y$!}\\
+	\\
+	\raisebox{-0.4\height}{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{Grafiken/003.png}}& \makecell[l]{Studieren Sie Lehrschritt $x$ und kehren Sie dann \\nach diesem (eben bearbeiteten) Lehrschritt zurück!}\\
+	\\
+		\raisebox{-0.4\height}{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{Grafiken/004.png}}& \makecell[l]{Studieren Sie Lehrschritt $x$ und kehren Sie dann\\nach Lehrschritt $y$ zurück!} \\
+\end{tabular}
+
+
+Das erfolgreiche Durcharbeiten des Programms erfordert sehr genaues und konzentriertes Lesen sowie die aktive Auseinandersetzung mit den Aufgaben und Fragen, mit denen Sie ständig konfrontiert werden. Gehen Sie tatsächlich erst dann weiter, wenn Sie überzeugt sind, die richtige Lösung gefunden bzw. den Text verstanden zu haben. Es empfiehlt sich, an einigen Stellen die Arbeit zu unterbrechen, um so einem zu schnellen und oberflächlichen Vorgehen entgegenzuwirken.
+
+Besonders zu beachtende Stellen des Programms sind durch Farbgestaltung hervorgehoben.
+
+
+Legen Sie sich zur Lösung der Aufgaben einige Blatt Papier bereit.
+
+\vfill
+Und nun: Frisch ans Werk!
+
+%\end{document}
--- a/Band1/B1.001.tex
+++ b/Band1/B1.001.tex
@@ -0,0 +1,42 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+%\documentclass[Band1.tex]{subfiles} % verweist auf das Hauptdokument
+
+%\begin{document}
+
+
+
+Es\secnr{1} ist kennzeichnend für die Mathematik, daß die Herleitung ihrer Ergebnisse stets so geschieht, daß aus relativ wenigen genau formulierten Voraussetzungen logisch einwandfrei - und daher unanfechtbar - Schlüsse gezogen werden. Zum Beispiel kann man alle Regeln für das Rechnen mit natürlichen Zahlen aus nur fünf Grundvoraussetzungen herleiten.
+
+
+Die für Nicht-Mathematiker vielleicht erstaunliche Tatsache, daß derart erhaltene Ergebnisse immer dann, wenn die gemachten Voraussetzungen in der Praxis erfüllt sind, auch die objektive Realität richtig beschreiben, resultiert letzten Endes daraus, daß das (logische) Denken des Menschen objektiv real vorhandene Zusammenhänge richtig widerspiegelt.
+
+Die für Nicht-Mathematiker vielleicht erstaunliche Tatsache, daß derart erhaltene Ergebnisse immer dann, wenn die gemachten Voraussetzungen in der Praxis erfüllt sind, auch die objektive Realität richtig beschreiben, resultiert letzten Endes daraus, daß das (logische) Denken des Menschen objektiv real vorhandene Zusammenhänge richtig widerspiegelt.
+
+Da solche allgemeinen Zusammenhänge in jedem Bereich der objektiven Realität bestehen und da die für die mathematischen Schlüsse aufzustellenden Voraussetzungen allgemein formuliert werden - und daher in den verschiedensten Situationen erfüllt sein können - ist die Mathematik in sehr vielen Wissenschaften mit Erfolg anwendbar. Beispiele bieten etwa die Physik, die Technik, die Ökonomie, die Chemie, aber auch die Soziologie, die Medizin und gewisse Bereiche der Sprachwissenschaften. Mit dem weiteren wissenschaftlich-technischen Fortschritt werden ständig neue Anwendungsmöglichkeiten für die Mathematik erschlossen.
+
+
+
+
+%	\resizebox{\linewidth}{!}{\begin{tikzpicture}[scale=2, align=right, text width=\textwidth] 
+		%			\node (A) at (0, 0) {};
+		%			\node (B) at (2, 0) {$2$};
+		%			\draw[-Stealth]  (A) edge (B);
+		%		\end{tikzpicture}}
+
+%	\hfill \begin{tikzpicture}[ scale=2, align=right, text width=0.9\textwidth] 
+	%		\node (A) at (0, 0) {};
+	%		\node (B) at (2, 0) {$2$};
+	%		\draw[-Stealth]  (A) edge (B);
+	%	\end{tikzpicture}
+
+%\begin{mybox}%
+%	\begin{tikzpicture}[ scale=2] 
+	%		\node (A) at (0, 0) {};
+	%		\node (B) at (2, 0) {$2$};
+	%		\draw[-Stealth]  (A) edge (B);
+	%	\end{tikzpicture}
+	
+\verweisrechts{B1.2}{2}
+
+%\end{document}
--- a/Band1/B1.002.tex
+++ b/Band1/B1.002.tex
@@ -0,0 +1,10 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+Wegen\secnr{2} der genannten Art der Herleitung mathematischer Ergebnisse ist eine der Hauptforderungen an mathematische Überlegungen und deren Darstellung  diejenige nach Exaktheit und Klarheit. Denn bei deren Nichterfüllung besteht die Gefahr, daß sich kleine oder kleinste Ungenauigkeiten schließlich zu großen Fehlern ausweiten.
+
+Die Forderung nach \textbf{Exaktheit} und \textbf{Klarheit} darf sich aber nicht nur auf die Aufeinanderfolge logischer Schlüsse beziehen. Sehr wichtig ist auch, daß völlige Klarheit über die verwendeten mathematischen Begriffe und Redewendungen besteht. Diese Forderungen bewahren die Mathematiker davor, sich gegenseitig mißzuverstehen und dadurch evtl. in unfruchtbaren Meinungsstreit zu verfallen.
+
+Wir wollen in diesem Programm keine speziellen mathematischen Begriffe einführen, sondern unsere Aufmerksamkeit gewissen (logischen) Begriffen widmen, die in der Sprache der Mathematik ständig benutzt werden und deren genaues Verständnis daher für die Beschäftigung mit der Mathematik unerläßlich ist. Außerdem wollen wir einige der Mathematik eigentümliche Ausdrucksweisen kennenlernen.
+
+
+\verweisrechts{B1.3}{3}
--- a/Band1/B1.003.tex
+++ b/Band1/B1.003.tex
@@ -0,0 +1,16 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection \label{B1.3}
+Leider ist es nicht so, daß jeder,\secnr{3}  der sich in der Umgangssprache einigermaßen gut auszudrücken vermag, sich auch exakt auszudrücken weiß. Denn die Umgangssprache mit ihren Mehrdeutigkeiten und Bedeutungsschattierungen vieler Wörter und Sätze ist nicht immer ein gutes Werkzeug für genaue und klare Formulierungen.
+
+Aus solchen Gründen ist der Mathematiker in seiner Ausdrucksweise zu mehr oder weniger starken Abweichungen von der Umgangssprache genötigt, wobei er mitunter um des genauen Ausdrucks willen auf stilistische Schönheit verzichten muß. Auch haben sich im Laufe der Zeit gewisse Formulierungen herausgebildet, deren Sinn jeder Mathematiker genauestens kennt und durch deren Verwendung sprachliche Mißverständnisse vermieden werden.
+
+Umgangssprachliche Erscheinungen, die sich aus der gefühlsmäßigen Färbung gewisser Wörter, der Satzmelodie der Sprache und aus dem allgemeinen Textzusammenhang ergeben, liegen außerhalb unserer Betrachtungen.
+
+
+\verweisrechts{B1.5}{5}
+
+
+
+
+
--- a/Band1/B1.004.tex
+++ b/Band1/B1.004.tex
@@ -0,0 +1,13 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{B1.4}
+Richtige Antwort\secnr{4}: $d$ und $e$;
+\vspace{5mm}
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+	denn $2$ ist eine gerade Primzahl, und Adam Ries (1492-1559) und Goethe (1749-1832) waren keinesfalls Zeitgenossen; die Sätze $a$, $b$, $c$ dagegen sind zutreffende Beschreibungen der betreffenden Sachverhalte.
+\end{addmargin}
+
+\verweisrechts{B1.7}{7}
+
--- a/Band1/B1.005.tex
+++ b/Band1/B1.005.tex
@@ -0,0 +1,20 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{B1.5}
+Sieht man sich in einem mathematischen Text \secnr{5}oder auch in irgendeinem anderen wissenschaftlichen Fachtext die einzelnen Sätze an, so wird man feststellen, daß kaum jemals Wünsche, Aufforderungen oder Fragen formuliert werden, sondern fast alle Sätze \textbf{Aussagesätze} sind, also Sätze, in denen irgendwelche Sachverhalte ausgesprochen bzw. beschrieben werden.
+
+\textbf{Beispiele} für solche Sätze finden sich nicht nur im wissenschaftlichen Bereich. Zur Illustration seien einige angeführt:
+
+\einrueckung{\begin{description}
+		\item[a:] \textit{Die Erde ist ein Planet}
+		\item[b:] \textit{Die Gleichung $x^2+1=0$ hat keine reelle Lösung}
+		\item[c;] \textit{Das Produkt von $3$ und $4$ ist $12$}
+		\item[d:] \textit{Jede Primzahl ist ungerade}
+		\item[e:] \textit{Adam Ries war ein Zeitgenosse Goethes}
+		\item[\textbf{\Huge{!}}]  \raisebox{-0.5\height+\ht\strutbox}{Betrachten Sie diese Beispiele noch einmal!}
+	\end{description}}
+
+
+\verweisrechts{B1.8}{8}
+
--- a/Band1/B1.006.tex
+++ b/Band1/B1.006.tex
@@ -0,0 +1,28 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{B1.6}
+Beschreibungen von Sachverhalten \secnr{6}können \textit{zutreffend} sein oder \textit{unzutreffend}. Aussagen können also zutreffende Beschreibungen sein oder nichtzutreffende Beschreibungen.
+
+\begin{flushright}
+\begin{mybox}
+	Ist eine Aussage eine zutreffende Beschreibung eines Sachverhaltes, so nennen wir diese Aussage \textbf{wahr} bzw. eine \textbf{wahre Aussage}.
+	
+	
+	Ist eine Aussage eine nicht-zutreffende Beschreibung eines Sachverhaltes, so nennen wir diese Aussage \textbf{falsch} bzw. eine \textbf{falsche Aussage}.
+\end{mybox}	
+\end{flushright}
+
+
+Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch.
+\begin{description}[labelwidth =\widthof{\bfseries}, leftmargin = !]
+\vspace{4mm}
+	%[leftmargin=3.5em, align=left]
+	%[align=myparleft]%[leftmargin=3.5em, align=left]
+	\item[\textbf{Frage:}] Welche der fünf Aussagen im Lehrschritt 5 ist eine (sind) falsche Aussage(n)?	
+	\item[\textbf{Antwort:}] $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
+\end{description}
+
+
+\verweisrechtskom{B1.4}{4}{8.75}{Dann}
+
--- a/Band1/B1.007.tex
+++ b/Band1/B1.007.tex
@@ -0,0 +1,60 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+%\documentclass[Band1.tex]{subfiles} % verweist auf das Hauptdokument
+%
+%\begin{document}
+
+\phantomsection
+\label{B1.7}
+Für Umformungen bzw. Verknüpfungen von \secnr{7}Aussagen ist es günstig, Buchstaben stellvertretend für Aussagen verwenden zu können. Man bevorzugt insbesondere $p, q$ usw. Wir vereinbaren daher: Buchstaben $p, q$ usw. sollen Aussagen bedeuten können.
+
+Betrachten wir als Beispiel die Aussage
+
+\einrueckung{
+	\textit{Klaus und Dieter haben jeder ein Motorrad.}
+}
+
+Diese Aussage können wir z. B. mit $p$ abkürzen. Wir können uns diese Aussage aber auch in der Form
+
+\einrueckung{
+	\textit{Klaus hat ein Motorrad, und Dieter hat ein Motorrad}
+}
+aufschreiben und als Abkürzungen vereinbaren:
+\vspace{-4mm} %Leider hart formatiert
+\einrueckung{
+	\textit{\begin{description}
+			\item[$p:$] Klaus hat ein Motorrad
+			\item[$q:$] Dieter hat ein Motorrad
+	\end{description}}
+} 
+Unsere vorgegebene Aussage haben wir in diesem zweiten Falle abgekürzt zu
+
+\einrueckung{
+	\textit{ $p$ und $q$.}
+}
+
+Wir erkennen, daß wir die gegebene Aussage auch als eine Verknüpfung zweier Aussagen auffassen können.
+
+\begin{description}[labelwidth =\widthof{\bfseries9999999}, leftmargin = !]
+	\item[Aufgabe:] Führen Sie in gleicher Weise als ein zweites Beispiel für die Aussage
+	
+	\textit{Bei Rot und bei Gelb darf man eine Kreuzung nicht überqueren}
+	
+	
+	Abkürzungen geeignet so ein, daß sich auch diese Aussage als eine Aussagenverknüpfung erweist!
+	
+	\item[\textbf{\Huge{\;\;!}}]  \raisebox{-0.5\height+\ht\strutbox}{\textbf{Notieren Sie sich die gewählten Abkürzungen!}}
+	%\item[\Huge{\;\;\;!}]
+	
+	\vspace{1em}
+	
+	\item[] .......................................................................................................
+	\vspace{1em}
+	\item[].......................................................................................................
+	\vspace{1em}
+	\item[].......................................................................................................
+\end{description}
+
+\verweisrechtskom{B1.4}{4}{8.75}{Dann}
+
+%\end{document}
--- a/Band1/B1.008.tex
+++ b/Band1/B1.008.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+%%%8
+\phantomsection
+\label{B1.8}
+Sicher haben Sie erkannt,\liRa{8} daß diese Sätze nicht in jedem Falle den objektiv bestehenden Sachverhalt zutreffend beschreiben.
+
+Doch betrachten wir zunächst den Satz
+
+\einrueckung{
+	\textit{Das Produkt von $3$ und $4$ ist $12$}
+}
+
+
+etwas genauer. Sein Inhalt läßt sich auch mit anderen Worten wiedergeben. Beispielsweise drücken die folgenden Sätze dasselbe aus :
+
+\einrueckung{
+	\textit{Das Ergebnis der Multiplikation der Zahl $3$ mit der Zahl $4$ ist die Zahl $12$}
+	
+	
+	\textit{Wird $3$ mit $4$ multipliziert, so ergibt sich $12$}
+	
+	\textit{$3$ mal $4$ ist $12$}
+	
+	\textit{$3 \cdot 4=12$.}
+}
+Da man sich in jeder Wissenschaft in erster Linie für Sachverhalte interessiert, ist die sprachliche Einkleidung der Beschreibungen von Sachverhalten weniger wichtig - jedenfalls so lange, wie verschiedene sprachliche Formulierungen jeweils dasselbe ausdrücken, das heißt, gleichwertig sind. Wichtig sind die \textbf{durch die Sätze ausgedrückten Vorstellungen über Sachverhalte}.
+
+\verweisrechts{B1.9}{9}
--- a/Band1/B1.009.tex
+++ b/Band1/B1.009.tex
@@ -0,0 +1,18 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{B1.9}
+Jeder Aussagesatz ist mithin nur als sprachliches Gewand \liRa{9}für den durch ihn ausgedrückten Inhalt von Interesse. Deshalb führen wir für die durch Aussagesätze ausgedrückten bzw. ausdrückbaren Inhalte - das sind Beschreibungen von Sachverhalten - eine eigene Bezeichnung ein: Wir nennen solche Inhalte \textbf{Aussagen}.
+
+\begin{flushright}
+\begin{mybox}
+\textbf{Aussagen} sind Beschreibungen von Sachverhalten, die ihren sprachlichen Ausdruck in Form von Aussagesätzen finden.
+\end{mybox}
+\end{flushright}
+
+Verschiedene Aussagesätze, die dieselbe Aussage formulieren, nennen wir \textbf{gleichwertig}.
+
+Auf Schwierigkeiten, die mit der Feststellung der Gleichwertigkeit gegebener Aussagesätze auf Grund dieser Festlegung zusammenhängen, gehen wir nicht näher ein.
+
+	
+\verweisrechts{B1.6}{6}
--- a/Band1/B1.010.tex
+++ b/Band1/B1.010.tex
@@ -0,0 +1,27 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{B1.10}
+\textbf{Lösung:}
+\liRa{10}
+
+Wie im ersten Beispiel werden Sie sich zunächst überlegt haben, daß man die Aussage
+
+\einrueckung{\textit{Bei Rot und bei Gelb darf man eine Kreuzung nicht überqueren }}
+
+auch formulieren kann mittels des Satzes
+
+\einrueckung{\textit{Bei Rot darf man eine Kreuzung nicht überqueren, und bei Gelb darf man eine Kreuzung nicht überqueren.}}
+
+
+Deswegen werden Sie als gesuchte Abkürzungen leicht gefunden haben
+
+\einrueckung{\begin{description}
+	\item[$p:$]Bei Rot darf man eine Kreuzung nicht überqueren
+	\item[$q$:] Bei Gelb darf man eine Kreuzung nicht überqueren.
+	\end{description}
+	}
+   
+Damit ist die gesuchte Aussage abgekürzt worden zu $p$ und $q$.
+
+\verweisrechts{B1.11}{11}
--- a/Band1/B1.011.tex
+++ b/Band1/B1.011.tex
@@ -0,0 +1,28 @@
+\phantomsection
+\label{sec:B1.11}
+Wir \liRa{11}wollen uns nun der Besprechung spezieller Verknüpfungen von Aussagen und dem Übergang von einer Aussage zu ihrem logischen Gegenteil zuwenden.
+
+\begin{flushright}
+\begin{mybox}
+	Die Aussage, die das \textbf{logische Gegenteil} einer vorgegebenen Aussage ausdrückt, nennt man die \textbf{Negation} der vorgegebenen Aussage.	
+\end{mybox}	
+\end{flushright}
+
+
+
+
+Hat man eine Aussage $p$ vorliegen, so kann man deren Negation ausdrücken durch die Formulierungen
+
+\einrueckung{\begin{description}
+		\item[] \textit{Es ist nicht so, daß $p$ (gilt)}
+		\item[] \textit{Es ist nicht richtig, daß $p$ (gilt)}
+	\end{description}
+	}
+
+bzw. durch irgendeinen damit gleichbedeutenden Satz.
+
+Jede der möglichen Formulierungen der Negation einer Aussage $p$ wollen wir eine \textbf{Verneinung} von $p$ nennen.
+
+Die Negation einer Aussage $p$ werden wir mit \textit{nicht-$p$} bezeichnen.
+
+\verweisrechts{B1.12}{12}
--- a/Band1/B1.012.tex
+++ b/Band1/B1.012.tex
@@ -0,0 +1,73 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{sec:B1.12}
+
+\liRa{12}
+
+\vspace{15mm}
+
+Zur Übung betrachten wir die Aussage
+
+%\marginpar[\raggedright\huge{12}]{\textbf{\huge{12}}}
+
+\begin{description}[labelwidth =\widthof{\bfseries9999999}, leftmargin = !]
+
+\item[]\textit{Es gibt Dreiecke, für die die Summe der Innenwinkelgrößen von $180^{\circ}$ verschieden ist.}
+
+
+\item[\textbf{\Huge{\;\;!}}]  \raisebox{-0.25\height+\ht\strutbox}{\begin{minipage}[t]{10cm}Entscheiden Sie, welche der folgenden Sätze Verneinungen dieser \\Aussage sind! Überlegen Sie gut!
+\end{minipage}}
+
+\item[(1)] \textit{Es gibt Dreiecke, für die die Summe der Innenwinkelgrößen nicht von $180^{\circ}$ verschieden ist.}
+
+\item[(2)] \textit{Es gibt keine Dreiecke, für die die Summe der Innenwinkelgrößen von $180^{\circ}$ verschieden ist.}
+
+
+\item[(3)] \textit{Es gibt keine Dreiecke, für die die Summe der Innenwinkelgrößen nicht von $180^{\circ}$ verschieden ist.}
+
+\item[(4)] \textit{In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkelgrößen von $180^{\circ}$ nicht verschieden.}
+
+\item[(5)] \textit{Für alle Dreiecke gilt, daß die Summe der Innenwinkelgrößen gleich $180^{\circ}$ ist.}
+
+\item[(6)] \textit{Es ist nicht so, daß es Dreiecke gibt, für die die Summe der Innenwinkelgrößen von $180^{\circ}$ verschieden ist.}
+
+\item[(7)] \textit{In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkelgrößen $180^{\circ}$.}
+
+\item[]
+
+\item[\textbf{\Huge{\;\;!}}]  \raisebox{-0.5\height+\ht\strutbox}{Notieren Sie die Nummern der betreffenden Sätze!}
+
+\vspace{1em}
+
+\item[] .......................................................................................................
+\vspace{1em}
+
+\end{description}
+
+\verweisrechtskom{B1.15}{15}{8.75}{Dann}
+
+%{{\fontsize{40}{48} \selectfont Text}
+
+
+
+%
+%\begin{description}[labelwidth =\widthof{\bfseries9999999}, leftmargin = !]
+%	\item[Aufgabe:] Führen Sie in gleicher Weise als ein zweites Beispiel für die Aussage
+%	
+%	\textit{Bei Rot und bei Gelb darf man eine Kreuzung nicht überqueren}
+%	
+%	
+%	Abkürzungen geeignet so ein, daß sich auch diese Aussage als eine Aussagenverknüpfung erweist!
+%	
+%	\item[\textbf{\Huge{\;\;!}}]  \raisebox{-0.5\height+\ht\strutbox}{\textbf{Notieren Sie sich die gewählten Abkürzungen!}}
+%	%\item[\Huge{\;\;\;!}]
+%	
+%	\vspace{1em}
+%	
+%	\item[] .......................................................................................................
+%	\vspace{1em}
+%	\item[].......................................................................................................
+%	\vspace{1em}
+%	\item[].......................................................................................................
+%\end{description}
--- a/Band1/B1.013.tex
+++ b/Band1/B1.013.tex
@@ -0,0 +1,28 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+%\documentclass[Band1.tex]{subfiles} % verweist auf das Hauptdokument
+
+%\begin{document}
+
+%\vspace{6mm}
+\phantomsection \label{B1.13}
+
+Gut! Die\liRa{13} von Ihnen (in Lehrschritt \textcolor{red}{\textbf{42}}) gegebene Antwort $c$ ist richtig!
+
+Sie mußten sich überlegen, daß jede Ungleichung der Form $y>a x+b$ bzw. $y<a x+b$ von allen Punkten einer der Halbebenen erfüllt wird, in die die Gerade $y=a x+b$ die Koordinatenebene zerlegt.
+
+In jeder der angegebenen Antwortmöglichkeiten kamen drei solche Halbebenen vor. 
+
+Die inneren Punkte des betrachteten Dreiecks waren also mittels dreier Halbebenen zu charakterisieren, und zwar gerade dadurch, daß sie $3$ geeigneten Halbebenen zugleich angehören.
+
+\verweisrechts{B1.51}{51}
+%\hspace*{\dimexpr-5.8mm-0.3em\relax}\begin{tikzpicture}[]
+%	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+%	\draw [white](4,0) -- (6,0);
+%	%	\node (A) at (8.25,0) {Dann};
+%	\bglayer{%
+%		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (3.75,0) -- (1,0) node [left] {\hyperref[B1.51]{51}};
+%	}
+%\end{tikzpicture}
+
+%\end{document}
--- a/Band1/B1.014.tex
+++ b/Band1/B1.014.tex
@@ -0,0 +1,70 @@
+%\vspace{5mm}
+
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{sec:B1.14}
+%\vspace{-5mm}
+Dann\liRa{14} wird es Ihnen nicht schwerfallen, die folgenden \textbf{Aufgaben} zu lösen.
+
+\vspace{1em}
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+	{\huge{\textbf{!}}}\;\;\raisebox{-0.5\height+\ht\strutbox}{Halten Sie in jedem Fall Ihre Lösung fest!}
+\end{addmargin}
+
+\vspace{2em}
+
+\begin{description}[style=unboxed,leftmargin=0cm]
+	
+	\vspace{-2em}
+	\item [1.]Die Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich der Null) ist eine Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen. Durch welche Aussage wird die Eigenschaft einer rationalen Zahl $x$, eine natürliche Zahl zu sein, charakterisiert?
+	
+	\begin{addmargin}[3em]{2em}% 1em left, 2em right
+		\begin{description}
+			\item[a:] Es ist $x \geqq 0$, und $x$ ist ganzzahlig
+			\item[b:] Es ist $x \geqq 0$, oder $x$ ist ganzzahlig
+			
+		\end{description}
+	\end{addmargin}
+	\item[Antwort:] $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
+	
+	\ausrichtung{\textbf{Antwort:}}$(a/b)$
+	%\newlength{\nlaenge}
+	%\settowidth{\nlaenge}{\textbf{Antwort:}}
+	%\hspace{\nlaenge}$(a/b)$
+	%\hspace{\widthof{\bfseries9999999}
+		
+		\item[2:] Ist die Aussage
+		
+		\ausrichtung{\textbf{2:} Ist die A} \textit{$2$ oder $4$ ist ein Teiler von $8$}
+		
+		\ausrichtung{\textbf{2: }}wahr?
+		
+		\item[Antwort:] $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
+		
+		\ausrichtung{\textbf{Antwort:}}(wahr/falsch)
+		
+		
+		\item[3:] Ist die Aussage
+		
+		\ausrichtung{\textbf{3:} Ist die A}\textit{$11$ ist eine Primzahl, und $17$ ist keine Primzahl wahr?}
+		
+		\item[Antwort:] $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
+		
+		\ausrichtung{\textbf{Antwort}}(wahr/falsch)
+	\end{description}
+	\vspace{1em}
+	
+\verweisrechts{B1.29}{29}
+%\hspace*{\dimexpr-5.8mm-0.3em\relax}\begin{tikzpicture}[]
+		%Vorfüllen sonst verrutscht es
+%		\draw [white](4,0) -- (6,0);
+		%	\node (A) at (8.25,0) {Dann};
+%		\bglayer{%
+%			\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (3.75,0) -- (1,0) node [left] {\hyperref[B1.29]{29}};
+%		}
+%	\end{tikzpicture}
+	
+	
+	
--- a/Band1/B1.015.tex
+++ b/Band1/B1.015.tex
@@ -0,0 +1,22 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection \label{B1.15}
+
+%\vspace{-2mm}
+
+\textbf{Lösung} der\liRa{15} Übung aus Lehrschritt \hyperref[sec:B1.12]{12}:
+
+
+Verneinungen der vorgegebenen Aussage sind die durch
+
+$$
+\left(2\right),\left(4\right),\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right)
+$$
+
+gekennzeichneten Sätze.
+
+
+Schwierigkeiten ergaben sich für Sie vielleicht aus der Redeweise \anf{\textit{es gibt $\ldots$}}. Wenn wir später diese Redeweise und die Negation von Aussagen, die diese Redeweise enthalten, besprochen haben, werden Sie leicht sehen, daß nur $\left(1\right)$ und $\left(3\right)$ keine Verneinungen der gegebenen Aussage sind.
+
+
+\verweisrechtskom{B1.16}{16}{8.75}{Dann}
--- a/Band1/B1.016.tex
+++ b/Band1/B1.016.tex
@@ -0,0 +1,26 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection \label{B1.16}
+
+Wir\liRa{16}  wollen uns noch überlegen, welchen Einfluß die Wahrheit bzw. Falschheit einer Aussage $p$ auf die Wahrheit bzw. Falschheit ihrer Negation \textit{$\text{nicht-}p$} hat. Dazu erinnern wir uns, daß die Negation einer betrachteten Aussage $p$ das logische Gegenteil der Aussage $p$ ausdrückt, d. h., die Negation \textit{$\text{nicht-}p$} besagt, daß der durch $p$ beschriebene Sachverhalt nicht vorliegt.
+
+Es sei nun $p$ eine \textbf{wahre Aussage}. Dann beschreibt $p$ einen in der Realität vorliegenden Sachverhalt zutreffend. Die Aussage \textit{$\text{nicht-}p$} dagegen besagt, daß es nicht so ist, wie die Aussage $p$ behauptet. Mithin besagt die Negation \textit{$\text{nicht-}p$}, daß ein anderer als der von $p$ beschriebene Sachverhalt vorliegt. Das ist aber unzutreffend, da $p$ eine wahre Aussage sein sollte. Also beschreibt die Aussage \textit{$\text{nicht-}p$} die Realität nicht richtig - die Negation \textit{$\text{nicht-}p$} der wahren Aussage $p$ ist eine falsche Aussage.
+
+\textbf{Aufgabe:}
+
+Stellen Sie entsprechende Überlegungen für den Fall an, daß $p$ eine \textbf{falsche Aussage} ist. Ist dann die Negation \textit{$\text{nicht-}p$} eine wahre Aussage oder eine falsche Aussage?
+
+\textbf{Antwort:}
+
+\verweisrechtskom{B1.20}{20}{7}{$\text{nicht-}p$ ist wahr}
+
+\verweisrechtskom{B1.21}{21}{7}{$\text{nicht-}p$ ist falsch}
+
+%\begin{tikzpicture}[]
+	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+%	\draw [white](0,0) -- (5,0);
+%	\node (A) at (7.6,0) {$\text{nicht-}p$ ist falsch};
+%	\bglayer{%
+%		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (9,0) -- (11.25,0) node [right] {\hyperref[B1.21]{21}};
+%	}
+%\end{tikzpicture} 
--- a/Band1/B1.017.tex
+++ b/Band1/B1.017.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection \label{B1.17}
+
+%\vspace{-4mm}
+
+Sie\liRa{17} haben recht, denn $2$ \textsl{und} $4$ sind Teiler von $316$.
+
+\vspace{5mm}
+
+\verweisrechts{B1.19}{19}
--- a/Band1/B1.018.tex
+++ b/Band1/B1.018.tex
@@ -0,0 +1,31 @@
+%\documentclass[Band1.tex]{subfiles} % verweist auf das Hauptdokument
+
+%!TEX root=Band1.tex
+
+%\begin{document}
+
+
+%\rule{\textwidth}{4pt}
+
+\phantomsection \label{B1.18}
+
+
+%\vspace{-6mm}
+
+Nein, \liRa{18}diese Aussage ist falsch! Denn es ist sowohl $2$ als auch $4$ ein Teiler von $316$. Der durch die Formulierung, \anf{\textit{Entweder $2$ oder $4$ $\ldots$}} ausgedrückte Sachverhalt, daß $2$ ein Teiler von $316$ sei und $4$ kein Teiler von $316$ bzw. daß $4$ ein Teiler von $316$ sei und $2$ kein Teiler von $316$, liegt also nicht vor.
+
+Mithin ist die Aussage
+
+\textit{$$
+\text{Entweder } 2 \text{ oder } 4 \text{ ist ein Teiler von } 316
+$$}
+
+eine \textbf{falsche} Aussage.
+
+
+\verweisrechts{B1.19}{19}
+
+\rule{\textwidth}{4pt}
+
+
+%\end{document}
--- a/Band1/B1.019.tex
+++ b/Band1/B1.019.tex
@@ -0,0 +1,35 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+%\documentclass[Band1.tex]{subfiles} % verweist auf das Hauptdokument
+
+%\begin{document}
+
+\label{B1.19}
+
+%\vspace*{-6mm}
+
+Häufig \liRa{19}werden Aussagen durch, \anf{\textit{und}} verbunden. Ein Beispiel ist unser Satz,  \anf{\textit{Klaus und Dieter haben jeder ein Motorrad.}} aus Lehrschritt 7.
+
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+\textbf{Dient das Wort \anf{und} zur Verknüpfung zweier Aussagen, so ist es stets gleichbedeutend mit \anf{sowohl $\ldots$ als auch}.}
+\end{addmargin}
+
+
+Anders wird das Wort, \anf{\textit{und}} z. B. in den Sätzen
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+\begin{description}
+\item \textit{Klaus und Dieter sind Brüder}
+\item \textit{$\pi$ liegt zwischen $3$ und $4$}
+\end{description}
+\end{addmargin}
+verwendet. Derartige andere Bedeutungen -- bei denen das Wort \anf{\textit{und}} nicht zur Verknüpfung von Aussagen dient -- sollen uns hier aber nicht interessieren.
+$\qquad$
+
+\verweisrechts{B1.31}{31}
+
+%\rule{\textwidth}{4pt}
+
+
+%\end{document}
--- a/Band1/B1.020.tex
+++ b/Band1/B1.020.tex
@@ -0,0 +1,10 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{B1.20}
+
+%\vspace*{-6mm}
+Sie \liRa{20}haben richtig geantwortet, die Negation einer falschen Aussage ist eine wahre Aussage.
+
+\vspace{8mm}
+\verweisrechts{B1.22}{22}
--- a/Band1/B1.021.tex
+++ b/Band1/B1.021.tex
@@ -0,0 +1,14 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection \label{B1.21}
+\phantomsection
+\label{B1.21}
+
+
+%\vspace*{-2mm}
+%\marginpar[\raggedleft \Huge{\textbf{22}}]{{\Huge \textbf{22}}}
+Sie \liRa{21}haben nicht richtig geantwortet. Überlegen wir uns die Antwort gemeinsam!
+
+Wir wollten den Fall betrachten, daß $p$ eine \textbf{falsche Aussage} ist. Dann liegt der durch $p$ beschriebene Sachverhalt in der Realität nicht vor. Andererseits besagt die Negation \textit{nicht}-$p$, daß ein anderer als der von $p$ beschriebene Sachverhalt vorliegt. Damit beschreibt die Aussage \textit{nicht}-$p$ die vorliegende Situation zutreffend. Also ist die Negation \textit{nicht}-$p$ der falschen Aussage $p$ eine wahre Aussage.
+
+\verweisrechts{B1.22}{22}
--- a/Band1/B1.022.tex
+++ b/Band1/B1.022.tex
@@ -0,0 +1,37 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection \label{B1.22}
+\phantomsection
+\label{B1.22}
+
+%\vspace*{-6mm}
+Zusammenfassend\liRa{22} haben wir erhalten:
+
+\begin{flushright}
+\begin{myboxred}
+	\textbf{Die Negation einer wahren Aussage ist eine falsche Aussage. Die Negation einer falschen Aussage ist eine wahre Aussage.}
+\end{myboxred}	
+\end{flushright}
+
+
+
+Kürzen wir die Eigenschaft einer Aussage, wahr zu sein, durch $W$ ab und entsprechend durch $F$ die Eigenschaft, falsch zu sein, so können wir dieses Ergebnis für eine vorgegebene Aussage $p$ auch in Tabellenform aufschreiben:
+
+%	\begin{mybox}
+	\begin{center}
+		
+		\begin{tabular}{c|c}
+			\rowcolor{red!50}
+			$p$ & nicht-p \\
+			\rowcolor{red!50}
+			\hline$W$ & $F$ \\
+			\rowcolor{red!50}
+			$F$ & $W$ \\
+			
+		\end{tabular}
+	\end{center}
+	%\end{mybox}
+	
+	
+	
+\verweisrechts{B1.23}{23}
--- a/Band1/B1.023.tex
+++ b/Band1/B1.023.tex
@@ -0,0 +1,40 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection \label{B1.23}
+\phantomsection
+\label{B1.23}
+\liRa{23}
+
+\vspace*{6mm}
+
+
+Nun wenden wir uns \textbf{Verknüpfungen von} jeweils \textbf{zwei Aussagen} zu. Sprachlich werden solche Verknüpfungen durch Bindewörter hergestellt.
+
+Wir wollen uns zunächst den Gebrauch der Wörter \anf{\textit{oder}} sowie \anf{\textit{und}} in der Mathematik überlegen, für den wir leicht Beispiele finden:
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+	\begin{description}
+		\item\textit{$2$ ist eine Primzahl, und $3$ ist eine Primzahl}
+		\item \textit{$1$ oder $-1$ ist Lösung der Gleichung $x^2=-x$.}
+	\end{description}
+\end{addmargin}
+
+Wissen Sie über den Gebrauch dieser Wörter zum Verknüpfen von Aussagęn schon genau Bescheid?
+
+
+
+
+\verweisrechtskom{B1.14}{14}{8.75}{Ja}
+
+\verweisrechtskom{B1.24}{24}{8.75}{Nein}
+
+
+%\hspace*{\dimexpr-5mm-0.5em\relax}\begin{tikzpicture}[]
+%	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+%	\draw [white](5.9,0) -- (6,0);
+%	%	\node (A) at (8.25,0) {Dann};
+%	\bglayer{%
+%		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (3.75,0) -- (1,0) node [left] {\hyperref[B1.24]{24}};
+%		\node[right, xshift=1mm] at (3.75,0) {Nein};
+%	}
+%\end{tikzpicture}
--- a/Band1/B1.024.tex
+++ b/Band1/B1.024.tex
@@ -0,0 +1,23 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+
+\phantomsection \label{B1.24}
+\phantomsection
+\label{B1.24}
+
+\liRa{24}
+
+\vspace*{6mm}
+
+Stellen Sie sich vor, Sie knobeln mit einem Bekannten in der einfachen Art, daß Sie etwa ein Streichholz in eine geschlossene Hand nehmen und Ihr Partner eine Ihrer beiden Hände zu wählen hat. Er gewinnt, wenn er die Hand wählt, in der Sie das Streichholz verborgen halten.
+
+
+Sie werden dann vielleicht an Ihren Mitspieler die ihn zum Wählen auffordernde Frage richten: \anf{\textit{Rechte oder linke Hand?}} Dabei ist Ihnen beiden klar, daß \textit{entweder} die rechte \textit{oder} die linke Hand gewählt werden soll; mit anderen Worten, Ihr Partner soll nur die linke und nicht die rechte bzw. nur die rechte und nicht die linke Hand wählen.
+
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+	\textbf{Das Wort \anf{oder} steht also hier abkürzend für \anf{entweder \ldots oder}. Es wird, wie man auch sagt, im ausschließenden Sinne gebraucht.}
+\end{addmargin}
+
+
+\verweisrechts{B1.25}{25}
--- a/Band1/B1.025.tex
+++ b/Band1/B1.025.tex
@@ -0,0 +1,25 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+%\vspace*{4mm}
+\phantomsection \label{B1.25}
+
+\liRa{25}
+
+\vspace*{6mm}
+Ein anderer Gebrauch des Wortes \anf{\textit{oder}} liegt vor, wenn Ihnen etwa einer Ihrer Freunde seinen Besuch verspricht mit der Einschränkung: \anf{Nur bei Nebel oder Glatteis komme ich nicht.} Dann wird er natürlich auch nicht kommen, wenn sowohl Nebel als auch Glatteis herrschen.
+
+\textbf{Das Wort \anf{oder} wird dabei im nichtausschließenden Sinne gebraucht.}
+
+In diesem Sinne ist das Wort \anf{oder} auch in der Aussage
+$0$ oder $-1$ ist Lösung der Gleichung $x^2=-x$.
+zu verstehen. Mehr noch:
+
+
+\begin{flushright}
+\begin{myboxred}
+	\textbf{Nur im nichtausschließenden Sinne wird das Wort \anf{oder} in der Mathematik verwendet.}
+\end{myboxred}	
+\end{flushright}
+
+
+\verweisrechts{B1.26}{26}
--- a/Band1/B1.026.tex
+++ b/Band1/B1.026.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\liRa{26}
+\vspace{6mm}
+
+Bei dem in der Mathematik üblichen Gebrauch des Wortes \anf{\textit{oder}} ist die Aussage
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+	\begin{description}
+		\item \textit{$2$ oder $4$ ist ein Teiler von $316$}
+	\end{description}
+\end{addmargin}
+
+
+eine wahre Aussage. Denn wegen $316=2 \cdot 158$ ist $2$ ein Teiler von $316$. (Eine andere mögliche Begründung wäre: Denn wegen $316=4 \cdot 79$ ist $4$ ein Teiler von $316$.)
+
+Betrachten Sie noch die Aussage
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+	\begin{description}
+		\item Entweder $2$ oder $4$ ist ein Teiler von $316$.
+		\item Entscheiden Sie, ob diese Aussage wahr ist!
+	\end{description}
+\end{addmargin}
+
+
+\verweisrechtskom{B1.18}{18}{7.8}{sie ist wahr}
+
+\verweisrechtskom{B1.17}{17}{7.8}{sie ist falsch}
+
--- a/Band1/B1.027.tex
+++ b/Band1/B1.027.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection  %\phantomsection
+
+\textbf{\liRa{27}\label{sec:B1.27}Aufgabe 4:}
+
+
+Wir betrachten die durch die Gleichungen $f(x)=|x|$ und $g(x)=2$ gegebenen Funktionen der reellen Variablen $x$ (s. Abb. \ref{fig:001}).
+
+
+\begin{figure}[ht]
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
+		% Koordinatensystem
+		\draw[arrows = {-Latex[width=1pt 7, length=7pt]}] (-3.5,0) -- (4,0) node[below right, xshift=-10pt,yshift=-2pt] {\small$x$}; % x-Achse
+		\draw[arrows = {-Latex[width=1pt 7, length=7pt]}] (0,-0.5) -- (0,3.8) node[right,yshift=-5pt,xshift=2pt] {\small $y$}; % y-Achse
+		
+		% Skalierung und Beschriftungen für x-Achse (ohne die 0)
+		\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3}
+		\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\small\x};
+		
+		% Skalierung und Beschriftungen für y-Achse (rechts)
+		\foreach \y in {1,2,3}
+		\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[right,xshift=5pt] {\small \y};
+		
+		% Funktion f(x) = |x|
+		\draw (-3,3) -- (0,0) -- (3,3) node[right] {\small $f(x) $};
+		
+		% Funktion g(x) = 2 (gestrichelt)
+		\draw[dashed] (-3,2) -- (3,2) node[right] {$g(x)$};
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{\label{fig:001}}
+\end{figure}
+
+Die reelle Zahl $x_0$ sei so gewählt, daß 
+\einrueckung{$f\left(x_0\right)<g\left(x_0\right)$}
+gilt.
+
+Welche Aussagen sind dann stets (d. h. unabhängig von der noch auf verschiedene Weise möglichen Wahl von $x_0$ ) wahr?
+
+\einrueckung{
+\begin{description}
+	\item[a:] Es ist $x_0<2$, und es ist $x_0>2$
+	\item[b:] Es ist $x_0<2$, und es ist nicht $x_0>2$
+	\item [c:] Es ist $\left|x_0\right|<2$, oder es ist $0 \leqq x_0<2$.
+\end{description}}
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+$\begin{array}{ll}
+	{\huge{\textbf{!}}}\;\;\raisebox{-0.5\height+\ht\strutbox}{Notieren Sie Ihre Lösung(en)!} & \ldots \ldots . . \\
+	& (\mathrm{a} / \mathrm{b} / \mathrm{c})
+\end{array}$
+\end{addmargin}
+
+\verweisrechtskom{B1.30}{30}{7}{Erst Dann}
+
+
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "Band1.tex"
+%%% End:
--- a/Band1/B1.028.tex
+++ b/Band1/B1.028.tex
@@ -0,0 +1,22 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{B1.28}
+\vspace{7mm}\liRa{28}
+\vspace{-7mm}Richtig!
+
+
+Betrachten Sie noch folgendes \textbf{Beispiel}. Es seien $a, b$ reelle Zahlen mit $0<a \leqq 7$ und $0<b \leqq 7$. Dafür gelte
+
+\einrueckung{$\lg a \cdot \cot \frac{b}{2}=0$.}
+Welche Aussage ist dann bei jeder zulässigen Wahl von $a, b$ wahr?
+
+
+\verweisrechtskom{B1.37}{37}{3.75}{$\text{Entweder } a=1 \text { oder } b=\pi$}
+\vspace{-2mm}
+\verweisrechtskom{B1.35}{35}{3.75}{$a=3\text { oder } b=\pi$}
+\vspace{-2mm}
+\verweisrechtskom{B1.32}{32}{3.75}{$a=1 \text { oder } b=\frac{1}{2} \pi$}
+\vspace{-2mm}
+\verweisrechtskom{B1.38}{38}{3.75}{$a=1\text { oder } b=\pi$}
+
--- a/Band1/B1.029.tex
+++ b/Band1/B1.029.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+
+Für \label{B1.29}\liRa{29}Ihre Antworten (Lehrschritt \hyperref[B1.14]{14}) erhalten Sie Punkte.
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+		{\huge{\textbf{!}}}\;\;\raisebox{-0.5\height+\ht\strutbox}{Ermitteln Sie die von Ihnen erreichte Punktzahl!} 
+\end{addmargin}		
+
+\begin{addmargin}[40pt]{0pt}
+		\begin{tabular}{llll}
+			Aufgabe 1: &Die richtige Lösung ist & a & 0 Punkte \\
+			&Die richtige Lösung ist & b & 2 Punkte \\
+            Aufgabe 2: & Die angegebene Aussage ist \\
+			&& wahr & 5 Punkte \\
+			&& falsch & 0 Punkte \\
+			Aufgabe 3: &Die angegebene Aussage ist \\
+			&& wahr & 2 Punkte \\
+			&& falsch & 0 Punkte \\
+		\end{tabular}
+\end{addmargin}		
+
+
+
+Notieren Sie Ihre Punktzahl:
+Lösen Sie noch eine weitere Aufgabe!
+$\square$
+27
--- a/Band1/B1.030.tex
+++ b/Band1/B1.030.tex
@@ -0,0 +1,40 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+
+
+Ha\liRa{30}\label{B1.30}ben Sie (in Lehrschritt \hyperref[sec:B1.27]{27}) gefunden, daß nur die Aussage c bei jeder Wahl von $x_0$ wahr ist, so erhalten Sie weitere $0$ Punkte.
+Andernfalls fügen Sie zu der bisher von Ihnen (in Lehrschritt 29) erreichten Punktzahl 2 Punkte hinzu.
+
+Wieviel Punkte haben Sie insgesamt?
+
+\begin{tikzpicture}[anchor=west]
+	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+	\draw [white](0,0) -- (6,0);
+	\node (A) at (5.2,0) {Mehr als $8$ Punkte};
+	\bglayer{%
+		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (9,0) -- (11.25,0) node [right] {\hyperref[B1.33]{33}};
+	}
+\end{tikzpicture} 
+
+\vspace{-2mm}
+
+\begin{tikzpicture}[anchor=west]
+	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+	\draw [white](0,0) -- (6,0);
+	\node (A) at (5.2,0) {$2$, $4$ bzw. $6$};
+	\bglayer{%
+		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (9,0) -- (11.25,0) node [right] {\hyperref[B1.36]{36}};
+	}
+\end{tikzpicture} 
+
+\vspace{-2mm}
+
+\begin{tikzpicture}[anchor=west]
+	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+	\draw [white](0,0) -- (6,0);
+	\node (A) at (5.2,0) {Eine andere Punktzahl};
+	\bglayer{%
+		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (9,0) -- (11.25,0) node [right] {\hyperref[B1.57]{57}};
+	}
+\end{tikzpicture} 
--- a/Band1/B1.031.tex
+++ b/Band1/B1.031.tex
@@ -0,0 +1,45 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{B1.31}
+\liRa{31}
+Kommen wir nun zu Beispielen für den Gebrauch der Wörter \anf{und}, \anf{oder} in mathematischen Aussagen.
+
+Es seien $a, b$ rationale Zahlen, und es sei $a \cdot b=0$.
+
+\begin{addmargin}[40pt]{0pt}
+\textbf{Frage}: Welche Aussage ist dann bei jeder Wahl von $a, b$ wahr?
+\end{addmargin}
+
+\begin{tikzpicture}[anchor=west]
+	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+	\draw [white](0,0) -- (6,0);
+	\node (A) at (1.25,0) { \textbf{Antwort}: Entweder $a=0$ oder $b=0$};
+	\bglayer{%
+		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (9,0) -- (11.25,0) node [right] {\hyperref[B1.40]{40}};
+	}
+\end{tikzpicture} 
+
+\vspace{-2mm}
+
+\begin{tikzpicture}[anchor=west]
+	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+	\draw [white](0,0) -- (6,0);
+	\node (A) at (2.9,0) { $a=0$ oder $b=0$};
+	\bglayer{%
+		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (9,0) -- (11.25,0) node [right] {\hyperref[B1.28]{28}};
+	}
+\end{tikzpicture} 
+
+
+\vspace{-2mm}
+
+\begin{tikzpicture}[anchor=west]
+	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+	\draw [white](0,0) -- (6,0);
+	\node (A) at (2.9,0) { $a=0$ und $b=0$};
+	\bglayer{%
+		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (9,0) -- (11.25,0) node [right] {\hyperref[B1.34]{34}};
+	}
+\end{tikzpicture} 
+
--- a/Band1/B1.032.tex
+++ b/Band1/B1.032.tex
@@ -0,0 +1,19 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\phantomsection
+\label{B1.32}
+\liRa{32}
+
+
+Falsch!
+
+\begin{addmargin}[40pt]{0pt}
+	\textbf{Frage}: Welche Aussage ist dann bei jeder Wahl von $a, b$ wahr?
+\end{addmargin}
+
+\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+	{\scalebox{2}{\huge{\textbf{!}}}}\;\;\raisebox{-0.5\height+\ht\strutbox}{\raisebox{1ex}{\shortstack[l]{Informieren Sie sich in den Lehrschritten \textcolor{red}{106/107} über die  \\ trigonometrischen Funktionen, und gehen Sie danach \\ zurück zum Lehrschritt \textcolor{red}{28}.}} }
+\end{addmargin}
+
+
+Informieren Sie sich in den Lehrschritten 106/107 über die trigonometrischen Funktionen, und gehen Sie danach zurück zum Lehrschritt 28.
--- a/Band1/B1.033.tex
+++ b/Band1/B1.033.tex
@@ -0,0 +1 @@
+%!TEX root=Band1.tex
--- a/Band1/B1.034.tex
+++ b/Band1/B1.034.tex
@@ -0,0 +1,3 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+
--- a/Band1/B1.035.tex
+++ b/Band1/B1.035.tex
@@ -0,0 +1 @@
+%!TEX root=Band1.tex
--- a/Band1/B1.036.tex
+++ b/Band1/B1.036.tex
@@ -0,0 +1 @@
+%!TEX root=Band1.tex
--- a/Band1/Band
+++ b/Band1/Band
--- a/Band1/Band1.tex
+++ b/Band1/Band1.tex
@@ -0,0 +1,994 @@
+\documentclass[german,10pt,final,twoside,titlepage,table]{scrbook}
+
+\input{Definitionen.tex}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+
+	%\subfile{B1.000.tex}
+
+\input{B1.000.tex}
+
+\myemptypage
+
+	%\subfile{B1.001.tex}
+
+\input{B1.001.tex}
+
+\trenner	
+	\input{B1.002.tex}
+
+    \input{B1.003.tex}	
+
+   
+    \rule{\textwidth}{4pt}
+
+	\vspace{8mm}
+
+    \input{B1.004.tex}	
+
+\newpage
+
+\input{B1.005.tex}
+
+\rule{\textwidth}{4pt}
+
+\input{B1.006.tex}
+
+\newpage
+
+%\subfile{B1.007.tex}
+
+\input{B1.007.tex}
+\newpage
+
+\input{B1.008.tex}
+
+\rule{\textwidth}{4pt}
+
+\input{B1.009.tex}
+
+\newpage
+
+\input{B1.010.tex}
+
+\rule{\textwidth}{4pt}
+
+\input{B1.011.tex}
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+\newpage
+
+\input{B1.012.tex}
+
+\newpage
+
+%\subfile{B1.013.tex}
+
+\input{B1.013.tex}
+\vspace{5mm} 
+\trenner
+
+\vspace{5mm}
+
+\input{B1.014.tex}
+
+\newpage
+
+\input{B1.015.tex}
+
+\trenner
+
+\input{B1.016.tex}
+
+%\rule{\textwidth}{4pt}
+
+%\vspace{6mm}
+\newpage
+
+\input{B1.017.tex}
+
+\rule{\textwidth}{4pt}
+
+\vspace{10mm}
+
+%\subfile{B1.018.tex}
+\input{B1.018.tex}
+
+\vspace{10mm}
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+%\subfile{B1.019.tex}
+\input{B1.019.tex}
+
+
+\newpage	
+
+%\vspace{4mm}
+
+\input{B1.020.tex}
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+\vspace{10mm}
+\rule{\textwidth}{4pt}
+\vspace{10mm}
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+\input{B1.021.tex}
+
+\rule{\textwidth}{4pt}
+\vspace{6mm}
+
+\input{B1.022.tex}
+
+\newpage
+
+
+\input{B1.023.tex}
+
+\vspace{10mm}
+\rule{\textwidth}{4pt}
+\vspace{10mm}
+
+\input{B1.024.tex}
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+\newpage
+
+\input{B1.025.tex}
+
+\vspace{10mm}
+\rule{\textwidth}{4pt}
+\vspace{10mm}
+
+\input{B1.026.tex}
+\newpage
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+\trenner
+\input{B1.028.tex}
+
+\newpage
+
+\input{B1.029.tex}
+
+\rule{\textwidth}{4pt}
+
+\input{B1.030.tex}
+
+\rule{\textwidth}{4pt}
+
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+
+\rule{\textwidth}{4pt}
+
+\input{B1.032.tex}
+
+\input{B1.033.tex}
+
+
+
+
+
+%\begin{figure}[ht]
+%	\centering
+%	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Grafiken/006}
+%\end{figure}
+
+%\begin{tikzpicture}[]
+%	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+%	\draw [white](0,0) -- (5,0);
+%	\node (A) at (7.6,0) {$\text{nicht-}p$ ist wahr};
+%	\bglayer{%
+%		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (9,0) -- (11.25,0) node [right] {\hyperref[B1.20]{20}};
+%	}
+%\end{tikzpicture} 
+
+
+\hspace{-7mm}\begin{tikzpicture}
+[scale=1]
+% Linie nach rechts (1 cm)
+\draw[line width=1pt] (-1.4,0.8) -- (-0.5  ,0.8);
+
+\draw[line width=1pt] (0.8,0.8) -- (1  ,0.8);
+
+% Zahl 20
+	\node[right] at (-0.55,0.8) {\hyperref[B1.106]{106}/\hyperref[B1.107]{107}};
+
+% Bogen nach rechts außen und wieder zurück
+\draw [line width=1pt](1,0) arc[start angle=270, end angle=450, radius=4mm];
+
+% Linie nach links (1 cm)
+\draw[line width=1pt,-Latex] (1,-0mm) -- (-1.5,-0mm)node[xshift=-3mm]{\hyperref[B1.28]{28}};
+
+% Zahl (am Ende der Linie)
+\node[below] at (0,-4mm) {10};
+\end{tikzpicture}
+
+\phantomsection
+\label{B1.33}
+\liRa{33}
+Zwei oder drei Ihrer Antworten waren falsch. Es ist daher nötig, daß Sie sich erst noch über den richtigen Gebrauch der Wörter ,,und ${ }^*$ sowie ,,oder" informieren.
+(Die richtigen Antworten zu den Aufgaben in Lehrschritt 14 und 27 sind: 1. a, 2. wahr, 3. falsch, 4. c).
+$\qquad$
+-->24
+
+
+\phantomsection
+\label{B1.34}
+\liRa{34}
+
+Diese Antwort ist nicht richtig.
+Zur Begründung wollen wir speziell als rationale Zahlen $a$ bzw. $b$ die Zahlen 4 bzw. 0 wählen. Dann ist $a \cdot b=4 \cdot 0=0$
+Aber in diesem Falle ist die Aussage
+
+$$
+a=0 \text { und } b=0
+$$
+
+nicht wahr, denn es liegt nicht der Sachverhalt vor, daß (bei unserer Wahl von $a, b) a=b=0$ ist.
+-->31
+
+
+\phantomsection
+\label{B1.35}
+\liRa{35}
+
+Falsch!
+Informieren Sie sich im Lehrschritt 103 über die Logarithmusfunktion, und gehen Sie danach zurück zum Lehrschritt 28.
+
+\hspace{-7mm}\begin{tikzpicture}
+	[scale=1]
+	% Linie nach rechts (1 cm)
+	\draw[line width=1pt] (-1.4,0.8) -- (-0.1  ,0.8);
+	
+	\draw[line width=1pt] (0.8,0.8) -- (1 ,0.8);
+	
+	% Zahl 20
+	\node[right] at (0,0.8) {\hyperref[B1.103]{103}};
+	
+	% Bogen nach rechts außen und wieder zurück
+	\draw [line width=1pt](1,0) arc[start angle=270, end angle=450, radius=4mm];
+	
+	% Linie nach links (1 cm)
+	\draw[line width=1pt,-Latex] (1,-0mm) -- (-1.5,-0mm)node[xshift=-3mm]{\hyperref[B1.28]{28}};
+	
+	% Zahl (am Ende der Linie)
+	\node[below] at (0,-4mm) {10};
+\end{tikzpicture}
+
+\phantomsection
+\label{B1.36}
+\liRa{36}
+Leider genügen Ihre Vorkenntnisse nicht, um die Ausführungen über den
+Gebrauch von ,,und ${ }^*$, ,,oder ${ }^*$ zu überspringen.
+-
+Arbeiten Sie deshalb auch diesen Programmteil gründlich durch!
+(Die richtigen Antworten zu den Aufgaben in Lehrschritt 14 und 27 sind: 1. a, 2. wahr, 3. falsch, 4. e).
+$\qquad$
+--> 24
+
+\phantomsection
+\label{B1.37}
+\liRa{37} 
+Sie haben auf die in Lehrschritt 28 gestellte Frage falsch geantwortet. Zwar sind $a=1$ bzw. $b=\pi$ Nullstellen von $\lg x$ bzw. cot $\frac{x}{2}$, aber die Verwendung von ,,entweder . . oder ${ }^6$ ist nicht richtig.
+Wählen Sie nämlich $a=1$ und $b=\pi$, dann gilt
+
+$$
+\lg 1 \cdot \cot \frac{\pi}{2}=0 \cdot 0=0
+$$
+
+
+Aber die Aussage
+
+$$
+\text { entweder } a=1 \text { oder } b=\pi
+$$
+
+ist falsch.
+$\qquad$
+
+--> 40
+
+
+\phantomsection
+\label{B1.38}
+\liRa{38} 
+
+Sie haben richtig geantwortet. Sicher haben Sie sich überlegt, daß
+
+$$
+\lg a \cdot \cot \frac{b}{2}=0
+$$
+
+nur gelten kann, falls
+
+$$
+\lg a=0 \text { oder } \cot \frac{b}{2}=0
+$$
+
+gilt. Innerhalb der für $a$ bzw. $b$ angegebenen Intervalle sind aber $a=1$ die einzige Nullstelle von $\lg a$ und $b=\pi$ die einzige Nullstelle von $\cot \frac{b}{2}$.
+
+--> 40
+
+\phantomsection
+\label{B1.39}
+\liRa{39} 
+
+Ihre Antwort auf die in Lehrschritt 31 gestellte Frage ist nicht richtig.
+Um dies einzusehen, wollen wir speziell als rationale Zahlen $a, b$ jeweils die Zahl 0 wählen. Dann ist $a \cdot b=0 \cdot 0=0$. Aber in diesem Falle ist die Aussage
+entweder $a=0$ oder $b=0$
+nicht wahr. Denn damit diese Aussage wahr ist, muß als Sachverhalt vorliegen, daß $a=0$ und $b \neq 0$ ist bzw. daß $a \neq 0$ und $b=0$ ist.
+
+Versuchen Sie nochmals, die Frage in Lehrschritt 31 richtig zu beantworten.
+$\qquad$
+
+--> 31
+
+\phantomsection
+\label{B1.40}
+\liRa{40} 
+
+Das nächste Beispiel soll Sie an die wichtigen Begriffe der Vereinigungsmenge und der Durchschnittsmenge zweier Mengen erinnern.
+
+Tragen Sie jeweils eine der angegebenen Möglichkeiten in die betreffende Lücke ein, so daß wahre Aussagen entstehen!
+1. Die Vereinigungsmenge zweier Mengen $A, B$ ist dic Menge aller derjenigen Elemente, die zu $A$. $\qquad$ $B$ gehören.
+(und/und nicht/oder/entweder . . . oder)
+2. Die Durchschnittsmenge zweier Mengen $A, B$ ist die Menge aller derjenigen Elemente, die zu $A$ $\qquad$ $B$ gehören.
+(und/und nicht/oder/entweder . . . oder)
+ 
+ 
+ --> 48
+
+\phantomsection
+\label{B1.41}
+\liRa{41} 
+
+Diese Antwort ist nicht richtig. Die Menge der Punkte, die der von Ihnen als zutreffend angesehenen Bedingung genügen, ist die Vereinigungsmenge dreier Mengen - nämlich der Mengen derjenigen Punkte, deren Koordinaten die erste bzw. zweite bzw. dritte Ungleichung erfüllen, die in der von Ihnen gewählten Bedingung genannt werden.
+Jede dieser drei Mengen enthält aber Punkte der Ebene, die nicht im Innern des Dreiecks liegen. Zum Beispiel gehört der Punkt (10,5) zur Menge der Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung $y<2 x+6$ erfüllen. Er ist aber kein innerer Punkt des Dreiecks. Daher enthält die Vereinigungsmenge dieser drei Mengen erst recht solche Punkte.
+
+Gehen Sie zum Lehrschritt 42, und versuchen Sie, die Menge der von den drei Geraden eingeschlossenen Punkte als eine Durchschnittsmenge darzustellen.
+--> 42
+
+\phantomsection
+\label{B1.42}
+\liRa{42} 
+
+Betrachten Sie in einem rechtwinkligen ( $x, y$ )-Koordinatensystem die Geraden $g_1, g_2, g_3$ mit den sie darstellenden Gleichungen
+
+$$
+\begin{array}{ll}
+	g_1: & y=-x+9 \\
+	g_2: & y=2 \\
+	g_3: & y=2 x+6
+\end{array}
+$$
+
+\begin{figure}[ht]
+	\centering
+	\scalebox{.4}{
+	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm]
+		
+		
+		% Koordinatensystem
+		\draw[thick,-{Latex[length=5mm]}] (-5,0) -- (12,0) node[right] {$x$}; % x-Achse
+		\draw[thick,-{Latex[length=5mm]}] (0,-3) -- (0,12) node[above] {$y$}; % y-Achse
+		
+		% Skalierung und Beschriftungen für x-Achse (ohne die 0)
+		\foreach \x in {-4,-2,2,4,6,8,10}
+		\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
+		
+		\foreach \x in {-3,-1,...,9,11}
+		\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1);
+		
+		% Skalierung und Beschriftungen für y-Achse (rechts)
+		\foreach \y in {-2,2,4,6,10}
+		\draw (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[right,xshift=10pt] {\y};
+		
+		\foreach \y in {-1,1,3,5,7,9,11}
+		\draw (0.2,\y) -- (-0.2,\y);
+		
+		% Funktion g1: y = -x-9
+		\draw[line width=1pt,smooth,samples=100,domain=-2:10] plot(\x,{0-(\x)+9}) node [right] {$g_1$};
+		
+		% Funktion g2: y = 2
+		\draw[line width=1pt,smooth,samples=100,domain=-4:10] plot(\x,{2}) node [right] {$g_2$};
+		
+		% Funktion g3: y = 2x+6
+		\draw[line width=1pt,smooth,samples=100,domain=-4:2.5] plot(\x,{2*\x+6}) node [right] {$g_3$};
+		
+	\end{tikzpicture}}
+	
+\end{figure}
+
+Durch diese Geraden wird ein Dreieck bestimmt.
+
+Frage: Wodurch sind die inneren Punkte dieses Drejecks charakterisiert?
+Antwort: Es sind alle Punkte, für deren Koordinaten $(x, y)$ gilt
+a: $y>-x+9$ oder $y<2$ oder $y>2 x+6 \longrightarrow 17$
+$\mathrm{b}: y>-x+9$ und $y<2$ und $y>2 x+6 \longrightarrow 45$
+$\mathrm{c}: y<-x+9$ und $y>2$ und $y<2 x+6 \longrightarrow 13$
+$d: y<-x+9$ oder $y>2$ oder $y<2 x+6 \longrightarrow 11$
+Wenn Sie nicht zurechtkommen, dann $\longrightarrow$ í
+
+\phantomsection
+\label{B1.43}
+\liRa{43} 
+
+Die Aufgabe im Lehrschritt 49 haben Sie richtig gelöst, falls Sie in die auszufüllende Lücke ,,oder" eingetragen haben. Denn die Ungleichung $f(x)<\cos x$ ist für alle diejenigen $x$-Werte falsch, die zwischen $-\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{2}$ liegen, d. h., für die gilt $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$.
+
+Für alle anderen $x$-Werte ist die zu betrachtende Ungleichung dagegen richtig. Für diese anderen $x$-Werte gibt es (vergleichen Sie mit Ihrer Skizze) zwei Möglichkeiten: Es kann $x \leqq-\frac{\pi}{2}$ sein oder $x \geqq \frac{\pi}{2}$.
+Gilt also
+
+$$
+x \leqq-\frac{\pi}{2} \text { oder } \frac{\pi}{2} \leqq x
+$$
+
+so gilt die Ungleichung $f(x)<\cos x$. $\qquad$
+
+--> 42
+
+
+\phantomsection
+\label{B1.44}
+\liRa{44} 
+
+Wir geben Ihnen folgenden Hinweis:
+Einer Ungleichung der Form $y<a x+b$ bzw. $y>a x+b$ genügen jeweils
+44 alle Punkte einer der Halbebenen, in die die Gerade $y=a x+b$ die gesamte Koordinatenebene zerlegt. (Die Punkte auf der Geraden $y=a x+b$ sind jeweils ausgenommen.)
+Im Falle der Geraden $g_1$ mit der Gleichung $y=-x+9$ entspricht $z$. B. der Ungleichung $y<-x+9$ die in 
+Abb. 3 schraffierte Halbebene.
+
+
+\begin{figure}[ht]
+	\centering
+	\scalebox{0.5}{ 
+	\begin{tikzpicture}
+
+
+\draw[->] (-1,0) -- (10,0) node[right] {$x$};
+\draw[->] (0,-1) -- (0,10) node[above] {$y$};
+\draw (9,0.2) -- (9,-0.2);
+\draw (0.2,9) -- (-0.2,9);
+% Die Gerade y = -x + 9
+\draw[thick, blue] (-1,10) -- (10,-1) node[below right] {$y = -x + 9$};
+
+% Schraffur links der Geraden, inklusive unterhalb der x-Achse
+\foreach \x in {-1,-0.9,...,10} {
+	% Schnittpunkt der Linie mit der Geraden berechnen
+	\pgfmathsetmacro{\y}{-1 * \x + 9}
+	% Linie oberhalb der x-Achse zeichnen
+	\ifdim \y pt > 0 pt
+	\draw[red] (\x,\y) -- ++({-0.4*cos(10)},{0.4*sin(-10)});
+	\else
+	% Linie unterhalb der x-Achse zeichnen
+	\pgfmathsetmacro{\ybelow}{max(\y,-1)} % Begrenzung nach unten (falls benötigt)
+	\draw[red] (\x,\ybelow) -- ++({-0.4*cos(10)},{0.4*sin(-10)});
+	\fi
+	% Schnittpunkt mit der y-Achse: (0,9)
+	\fill[white] (-0.4,9) circle (0.2); % Weißer Kreis
+	\node at (-0.4,9) {$g$};           % Text "g"
+	
+	% Schnittpunkt mit der x-Achse: (9,0)
+	\fill[white] (9,-0.4) circle (0.2); % Weißer Kreis
+	\node at (9,-0.4) {$g$};           % Text "g"
+
+}
+	\end{tikzpicture}}
+\end{figure}
+
+Mit Hilfe dreier solcher Halbebenen, die durch die Geraden $g_1, g_2$ bzw. $g_3$ bestimmt werden, müssen Sie nun die Gesamtheit der inneren Punkte des Dreiecks charakterisieren. 
+
+--> 42
+
+
+\phantomsection
+\label{B1.45}
+\liRa{45} 
+Ihre Antwort ist nicht richtig.
+Einen Punkt $P_0$, dessen Koordinaten $x_0, y_0$ der Bedingung
+
+$$
+y_0>-x_0+9 \text { und } y_0<2 \text { und } y_0>2 x_0+6
+$$
+
+genügen, kann es nämlich gar nicht geben.
+Denn für diesen Punkt müßte
+sein, das heißt
+also wegen
+auch
+
+$$
+\begin{aligned}
+	y_0 & <2 \\
+	2 & >y_0 \\
+	y_0 & >-x_0+9 \\
+	2 & >-x_0+9 \\
+	2+x_0 & >9 \\
+	x_0 & >7 \\
+	y_0 & >2 x_0+6 \\
+	y_0 & >14+6=20 \\
+	20 & <y_0 \text { und } y_0<2
+\end{aligned}
+$$
+
+das heißt, es müßte
+sein, also $\quad x_0>7$;
+wegen
+wäre also auch
+Also müßte gelten
+was nicht sein kann.
+Überlegen Sie sich nochmals, welchen Ungleichungen die Koordinaten $x, y$ der inneren Punkte des betrachteten Dreiecks genügen müssen.
+$\longrightarrow 42$
+
+
+
+\phantomsection
+\label{B1.46}
+\liRa{46} 
+
+Sie kennen den Begriff der Funktion einer reellen Variablen und wissen, daß man sich den Verlauf einer Funktion $f(x)$ meist durch eine Kurve in einem $(x, y)$-Koordinatensystem veranschaulichen kann.
+Betrachten Sie die Funktion $f(x)$, für die gilt
+
+$$
+f(x)= \begin{cases}1, & \text { falls }-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \\ -2 & \text { für alle anderen reellen Zahlen } x\end{cases}
+$$
+
+
+Skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktion auf einem Übungsblatt!
+
+$$
+\text { Dann } \longrightarrow 49
+$$
+
+
+\phantomsection
+\label{B1.47}
+\liRa{47} 
+Diese Antwort ist nicht richtig.
+Die Menge der Punkte, die der von Thnen als zutreffend angesehenen Bedingung genügen, ist die Vereinigungsmenge dreier Mengen - nämlich der Mengen derjenigen Punkte, deren Koordinaten die erste bzw. zweite bzw. dritte Ungleichung erfüllen, die in der von Ihnen gewählten Bedingung genannt werden.
+Jede dieser drei Mengen enthält aber Punkte der Ebene, die nicht im Innern des Dreiecks liegen. Zum Beispiel gehört der Punkt ( $-4,0$ ) zur Menge der Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung $y>2 x+6$ erfüllen. Er ist aber kein innerer Punkt des Dreiecks. Daher enthält die Vereinigungsmenge dieser drei Mengen erst recht solche Punkte.
+
+Gehen Sie zum Lehrschritt 42 zurück und versuchen Sie, die Menge der von den drei Geraden eingeschlossenen Punkte als eine Durchschnittsmenge darzustellen.
+--> 42
+
+
+\phantomsection
+\label{B1.48}
+\liRa{48}
+Ihre Antworten im Lehrschritt 40 mußten lauten:
+1. . . . oder . . .
+2. . . . und . . .
+
+Haben Sie richtig geantwortet
+Haben Sie nicht richtig geantwortet
+
+\secnr{49}
+Sie mußten als Skizze erhalten :
+\begin{figure}[ht]
+	\centering
+	\scalebox{0.75}{
+	\begin{tikzpicture}
+	
+	% Achsen zeichnen
+	\draw[arrows = {-Latex[width=1pt 10, length=10pt]}] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
+	\draw[arrows = {-Latex[width=1pt 10, length=10pt]}] (0,-3) -- (0,2.5) node[above] {$f(x)$};
+	
+	
+	% x-Achsenbeschriftung
+	\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3} {
+		\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\scriptsize $\x$};
+	}
+	% Spezielle Markierung für pi/2 und -pi/2
+	\draw (1.57,0.1) -- (1.57,-0.1) node[below] {\scriptsize $\frac{\pi}{2}$};
+	\draw (-1.57,0.1) -- (-1.57,-0.1) node[below] {\scriptsize $-\frac{\pi}{2}$};
+	
+	% y-Achsenbeschriftung
+	\foreach \y in {-2,-1,1,2} {
+		\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\scriptsize $\y$};
+	}
+	
+	
+	
+	
+	% Bereich f(x) = 1 für -pi/2 < x < pi/2
+	\draw[thick,blue] (-1.57,1) -- (1.57,1); % Linie für f(x) = 1
+	\fill[white] (-1.57,1) circle (0.08);    % Offener Kreis links
+	\fill[white] (1.57,1) circle (0.08);     % Offener Kreis rechts
+	\node[below right] at (1.57,1) {\scriptsize $\frac{\pi}{2}$};
+	\node[below left] at (-1.57,1) {\scriptsize $-\frac{\pi}{2}$};
+	
+	
+	
+	% Abschließende Klammern bei der blauen Funktion
+	\draw[thick,blue] (-1.4,1.225) arc[start angle=130,end angle=230,radius=0.3]; % Linke Klammer
+	\draw[thick,blue] (1.4,1.225) arc[start angle=50,end angle=-50,radius=0.3];  % Rechte Klammer
+	
+	% Bereich f(x) = -2 für x < -pi/2
+	\draw[thick,red] (-4,-2) -- (-1.57,-2); % Linie links
+	\fill[white] (-1.57,-2) circle (0.08);  % Offener Kreis bei -pi/2
+	
+	% Bereich f(x) = -2 für x > pi/2
+	\draw[thick,red] (1.57,-2) -- (4,-2);   % Linie rechts
+	\fill[white] (1.57,-2) circle (0.08);   % Offener Kreis bei pi/2
+	
+	% Abschließende senkrechte Striche bei der roten Funktion
+	\draw[thick,red] (-1.65,-2.25) -- ++(0,0.5); % Linker senkrechter Strich
+	\draw[thick,red] (1.65,-2.25) -- ++(0,0.5);  % Rechter senkrechter Strich
+	
+	% Beschriftung
+	\node[right] at (4,-2) {\scriptsize $f(x) = -2$};
+	\node[right] at (1.57,1) {\scriptsize $f(x) = 1$};
+	
+	\end{tikzpicture}
+	
+	}
+\end{figure}
+
+Überprüfen Sie Ihr Ergebnis und korrigieren Sie es nötigenfalls! Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem noch $\cos x$ ein! Sollten Sie wider Erwarten den Verlauf dieser Funktion nicht mehr kennen, so informieren Sie sich in den Lehrschritten 106/107 und kehren Sie danach hierher zurück.
+
+\begin{figure}[ht]
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+	[scale=1]
+	% Linie nach rechts (1 cm)
+	\draw[line width=1pt] (-1.4,0.8) -- (-0.5  ,0.8);
+	
+	\draw[line width=1pt] (0.8,0.8) -- (1  ,0.8);
+	
+	% Zahl 20
+	\node[right] at (-0.55,0.8) {\hyperref[B1.106]{106}/\hyperref[B1.107]{107}};
+	
+	% Bogen nach rechts außen und wieder zurück
+	\draw [line width=1pt](1,0) arc[start angle=270, end angle=450, radius=4mm];
+	
+	% Linie nach links (1 cm)
+	\draw[line width=1pt,-Latex] (1,-0mm) -- (-1.5,-0mm)node[xshift=-3mm]{};
+\end{tikzpicture}
+\end{figure}
+
+Aus Ihrer vervollständigten Skizze ersehen Sie nun, daß die Ungleichung
+
+$$
+f(x)<\cos x
+$$
+
+für alle reellen Zahlen $x$ gilt, für die $x \leqq-\frac{\pi}{2} \ldots \ldots \ldots$. (und/oder) $^{\ldots} \begin{array}{r}\pi \\ 2\end{array}$ ist.
+(und/oder)
+Füllen Sie die Lücke aus!
+
+$$
+\text { Dann } \longrightarrow 43
+$$
+
+\secnr{50}
+Ihre Tabelle muß so aussehen:
+\begin{tabular}{c|c|c|c}
+	\hline$p$ & $q$ & $p$ oder $q$ & $p$ und $q$ \\
+	\hline$W$ & $W$ & $\mathbf{W}$ & $\mathbf{W}$ \\
+	$W$ & $F$ & $W$ & $\mathbf{F}$ \\
+	$F$ & $W$ & $W$ & $\mathbf{F}$ \\
+	$F$ & $F$ & $\mathbf{F}$ & $F$ \\
+	\hline
+\end{tabular}
+
+Sie sehen, daß die Wahrheit bzw. Falschheit der betrachteten Aussagenverbindungen nur von der Wahrheit bzw. Falschheit der Aussagen abhängt, aus denen sie zusammengesetzt sind.
+$\longrightarrow 52$
+
+\secnr{51}
+Diejenigen Aussagen, die wir mit Hilfe der Wörter ,,oder" bzw. ,,und" verknüpfen wollen, unterliegen keinen Einschränkungen. Insbesondere wollen wir nicht fordern, daß etwa nur mathematische oder nur nichtmathematische Aussagen miteinander verknüpft werden sollen.
+Eine zunächst vielleicht paradox erscheinende Konsequenz dieser Auffassung ist, daß wir z. B. die folgenden Zusammensetzungen als Aussagen zulassen:
+
+Es ist $3+3=6$ und der 1. Januar ein Feiertag
+2 ist eine irrationale Zahl, oder gestern war Freitag
+Die Gleichung $x^2=1$ hat mindestens eine ganzzahlige Lösung, und es ist $2^4=16$
+Berlin ist die Hauptstadt der VR Polen, oder es ist $2^2+3^2=4^2$ $E s$ ist $3<1$ oder $\sin \pi+\cos \pi=1$.
+---> 53
+
+
+Prägen Sie sich bitte folgende Bezeichnungen ein:
+
+\secnr{52}
+
+Eine durch Verbindung zweier Aussagen mittels ,,oder" entstehende Aussage nennt man eine Alternative.
+Eine durch Verbindung zweier Aussagen mittels ,,und" entstehende Aussage nennt man eine Konjunktion.
+
+Die Eigenschaft, daß die Wahrheit bzw. Falschheit einer Alternative (Konjunktion) nur von der Wahrheit bzw. Falschheit der Aussagen abhängt, aus denen sie sich zusammensetzt, und nicht von deren Inhalt, nennt man Extensionalität.
+
+---> 54
+
+53
+Nun wollen wir uns überlegen, wann die durch Zusammensetzung zweier Aussagen $p, q$ mittels „oder" bzw. „und" entstehende Aussage wahr ist.
+Gemäß unserer Vereinbarung, das Wort „oder" stets im nichtausschließenden Sinne zu gebrauchen, ist die Aussage
+
+$$
+p \text { oder } q
+$$
+
+in folgenden Fällen wahr:
+(1) falls der durch die Aussage $p$ beschriebene Sachverhalt vorliegt;
+(2) falls der durch die Aussage $q$ beschriebene Sachverhalt vorliegt;
+(3) falls sowohl der durch die Aussage $p$ als auch der durch die Aussage $q$ beschriebene Sachverhalt vorliegt.
+
+Sonst ist die Aussage $p$ oder $q$ falsch.
+
+----> 54
+
+55
+
+Die Überlegungen der beiden letzten Lehrschritte können wir in folgender leicht zu merkender Form zusammenfassen:
+(1) Die durch Verknüpfung zweier Aussagen mittels „oder" entstehende Aussage ist genau in den Fällen wahr, in denen mindestens eine der verknüpften Aussagen wahr ist.
+(2) Die durch Verknüpfung zweier Aussagen mittels „und" entstehende Aussage ist genau in den Fällen wahr, in denen beide verknüpften Aussagen wahr sind.
+
+Prägen Sie sich dieses ein!
+
+$$
+\text { Dann } \longrightarrow 56
+$$
+
+\begin{tabular}{|l|l|}
+\hline & Entscheiden Sie zur Übung für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist! Schreiben Sie ,,wahr" bzw. ,,falsch" hinter jede Aussage! \\
+\hline $p_1$ : & Es ist $3^3=9$ oder $\pi<3,12$ \\
+\hline $p_2$ : & Weihnachten ist im Dezember, oder Ostern ist im Frühling \\
+\hline $p_3$ : & $\left|\sin \frac{3}{2} \pi\right|=0$ und $(-4)^{17}>0$ \\
+\hline $p_4$ xclor
+: & $\sqrt{(-4)^2}=-4$ oder $2^3=3^2$ \\
+\hline $p_5$ : & -7 ist eine rationale Zahl, und Sie sind jetzt beim Lehrschritt 56 dieses Programms \\
+\hline $p_6$ : & $1001=7 \cdot 11 \cdot 13$ oder $1024=2^{10}$ \\
+\hline $p_7$ : & Der 28. Februar 1971 war ein Dienstag, oder die Gleichung $5 x-7=0$ hat keine ganzzahlige Lösung \\
+\hline
+\end{tabular}
+
+56
+
+57
+
+Da Sie nicht mehr als eine Aufgabe falsch haben, dürfen Sie bis hierher alle Lehrschritte überspringen.
+Diejenigen Aussagen, die wir mittels der Wörter „oder" bzw. ,,und" verknüpfen wollen, unterliegen keinen Einschränkungen. Insbesondere wollen wir nicht fordern, daß etwa nur mathematische oder nur nichtmathematische Aussagen miteinander verknüpft werden sollen.
+Eine Konsequenz dieser Auffassung ist es, daß wir z. B. die folgenden Zusammensetzungen als Aussagen zulassen:
+
+Es ist $3+3=6$, und der 1. Januar ein Feiertag
+2 ist eine irrationale Zahl, oder gestern war Freitag
+Die Gleichung $x^2=1$ hat mindestens eine ganzzahlige Lösung, und es ist $2^4=16$
+Berlin ist die Hauptstadt der VR Polen oder es ist $2^2+3^2=4^2$
+Es ist $3<1$ oder $\sin \pi+\cos \pi=1$.
+
+58
+
+58
+
+Es bereitet auch für derartige Aussagen keine Mühe zu entscheiden, ob sie wahr oder ob sie falsch sind, da - wie Sie wissen - gilt:
+(1) Die durch Verknüpfung zweier Aussagen mittels „oder" entstehende Aussage ist genau in den Fällen wahr, in denen mindestens eine der verknüpften Aussagen wahr ist.
+(2) Die durch Verknüpfung zweier Aussagen mittels „und" entstehende Aussage ist genau in den Fällen wahr, in denen beide verknüpften Aussagen wahr sind.
+
+60
+
+Vergleichen Sie Ihre Lösungen mit den richtigen Lösungen! Wenn Sie Fehler gemacht haben, so überlegen Sie sich an Hand
+
+59 der angegebenen Begründungen den Sachverhalt nochmals.
+
+Die richtigen Lösungen lauten :
+
+\begin{tabular}{|l|l|}
+	\hline $p_1$ & falsch (denn es ist $3^3=27 \neq 9$ und auch nicht $\pi<3,12$ ) \\
+	\hline $p_2$ & wahr (denn Weihnachten ist im Dezember) \\
+	\hline $p_3$ & falsch (denn es ist $(-4)^{17}=(-1)^{17} \cdot 4^{17}=-4^{17}<0$; bzw. andere Begründung: denn es ist $\left|\sin \frac{3 \pi}{2}\right|=|-1|=1 \neq 0$ ) \\
+	\hline $p_4$ & falsch (denn es ist $\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$ und es ist $2^3=8 \neq 9=3^2$ ) \\
+	\hline $p_5$ & wahr (denn -7 ist eine rationale Zahl, und Sie waren bei der Lösung dieser Aufgabe beim Lehrschritt 56 dieses Programms) \\
+	\hline $p_6$ & wahr \\
+	\hline $p_7$ & wahr (denn die Gleichung $5 x-7=0$ hat als einzige reelle Lösung $x=\frac{7}{5}$, also keine ganzzahlige Lösung). \\
+	\hline
+\end{tabular}
+
+60
+
+60
+
+Wie schon im Falle der Negation einer Aussage wollen wir nun unsere Ergebnisse über die Wahrheit bzw. Falschheit der durch Verknüpfung zweier Aussagen $p, q$ mittels „oder" bzw. ,,und" entstehenden Aussagen tabellarisch zusammenfassen. $W$ bzw. $F$ sollen die Eigenschaft des Wahrseins bzw. des Falschseins andeuten.
+
+Ergänzen Sie die folgende Tabelle:
+
+\begin{tabular}{c|c|c|c}
+	\hline$p$ & $q$ & $p$ oder $q$ & $p$ und $q$ \\
+	\hline$W$ & $W$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\
+	$W$ & $F$ & $W$ & $\cdots$ \\
+	$F$ & $W$ & $\cdots$ & $\cdots$ \\
+	$F$ & $F$ & $\cdots$ & $F$
+\end{tabular}
+
+$\longrightarrow 50$
+$-35-$
+
+
+\begin{tikzpicture}
+	\begin{axis}[
+		extra x tick style={% ändern des Stils für extraticks
+    	every tick/.append style={black, thick},% andere Farbe 		und Breite
+   	major tick length=0.2cm% andere Länge
+  		},
+  		major tick length=0.2cm,       % Länge der Hauptticks
+		axis lines = middle,
+		axis line style={-Stealth, thick}, % Stealth-Pfeilspitzen
+		xlabel = {$x$},
+		ylabel = {$y$},
+		xmin=-0.3, xmax=4,
+		ymin=-1, ymax=1.2,
+		xtick={1},
+		ytick={1},
+		%grid=both,
+		%width=8cm,
+		%height=8cm,
+		%tick length = 0.3cm,
+		samples=100, 
+		extra x ticks={2,3},
+		extra x tick labels = {},
+		xlabel style={xshift=0.25cm, yshift=-0.5cm},
+		ylabel style={xshift=-0.5cm},	
+		]
+		\addplot [blue, thick, domain=0.1:4] {log10(x)};
+		\node at (axis cs:7,2) {$y=\lg x$};
+		%\filldraw[red] (axis cs:3,{log10(3)}) circle (2pt);
+		\draw (axis cs:0,0) circle (3pt);
+
+	
+		
+	\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+
+
+\begin{tikzpicture}
+\begin{axis}[
+    axis lines=middle,
+    enlargelimits,
+    xmin=0, xmax=10,
+    ymin=-1.2, ymax=1.5,
+    xlabel={$x$},
+    ylabel={$y$},
+    xtick={1},
+    ytick={1},
+	 xtick={1},
+    % Alle Ticks anpassen
+    tick style={line width=0.7pt,thick},
+    % Achsenpfeile
+    axis line style={-Stealth},
+	major tick length=6pt,
+    % Beschriftungen
+    every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)}, anchor=west},
+    every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)}, anchor=south},
+    % Extra Tick bei x=1 und y=1 hervorheben
+    extra x ticks={3,5,7,9},
+	 extra x tick labels = {},
+    extra x tick style={major tick length=6pt, tick style={line width=1pt}},
+    extra y tick style={tick style={line width=1pt}},
+		xlabel style={xshift=-0.25cm, yshift=-0.25cm},
+		ylabel style={xshift=-0.5cm}
+]
+    % Logarithmus zeichnen
+    \addplot[domain=0.01:10, samples=200, thick] {log10(x)};
+    \node at (axis cs:9,1.2) {$y=\lg x$};
+    % Offener Kreis am Ursprung
+    \draw[] (axis cs:0,0) circle (3pt);
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+
+\begin{tikzpicture}
+\begin{axis}[
+    axis lines=middle,
+    axis line style={->},
+    xmin=-2*pi, xmax=2*pi,
+    ymin=-1.5, ymax=1.5,
+    domain=-2*pi:2*pi,
+    samples=200,
+    xtick={-2*pi, -3*pi/2, -pi, -pi/2, -pi/4, pi/4, pi/2, pi, 3*pi/2, 2*pi},
+    xticklabels={$-2\pi$, $-\tfrac{3\pi}{2}$, $-\pi$, $-\tfrac{\pi}{2}$, $-\tfrac{\pi}{4}$,
+                 $\tfrac{\pi}{4}$, $\tfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\tfrac{3\pi}{2}$, $2\pi$},
+    ytick={-1,0,1},
+    yticklabels={$-1$, $0$, $1$},
+    tick style={line width=0.7pt},
+    major tick length=4pt,
+    every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)}, anchor=west},
+    every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)}, anchor=south},
+    xlabel={$x$},
+    ylabel={$y$},
+]
+
+% Sinus-Kurve
+\addplot[thick] {sin(deg(x))};
+\node at (axis cs:3, -0.6) {$y=\sin x$};
+
+% Kosinus-Kurve
+\addplot[thick] {cos(deg(x))};
+\node at (axis cs:3, 0.8) {$y=\cos x$};
+
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+
+\begin{tikzpicture}
+\begin{axis}[
+    axis lines=middle,
+    axis line style={->},
+    xmin=-2*pi, xmax=2*pi,
+    ymin=-5, ymax=5,
+    samples=400,
+    domain=-2*pi:2*pi,
+    restrict y to domain=-5:5, % schneidet extreme Werte ab
+    xtick={-2*pi,-3*pi/2,-pi,-pi/2,0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi},
+    xticklabels={$-2\pi$,$-\tfrac{3\pi}{2}$,$-\pi$,$-\tfrac{\pi}{2}$,
+                 $0$,$\tfrac{\pi}{2}$,$\pi$,$\tfrac{3\pi}{2}$,$2\pi$},
+    ytick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
+    xlabel={$x$},
+    ylabel={$y$},
+]
+    % Kotangens
+    \addplot[thick,blue] {cos(deg(x))/sin(deg(x))};
+    \node at (axis cs:1,3) {$y=\cot(x)$};
+
+	\addplot[thick,red] {tan(deg(x))};
+	\node at (axis cs:3, -0.6) {$y=\tan x$};
+
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+
+
+
+\begin{tikzpicture}
+
+\begin{scope}
+	
+	\clip plot [smooth] coordinates {(-10.18,4.48) (-10.316002936123713,4.957552487532145) (-10.387374280453162,5.371506284642951) (-10.276000027487713,5.809778772543043) (-9.849923772019515,6.092720035939893) (-9.088415813657184,6.185139609998673) (-8.132039799642563,6.099493996803334) (-6.247836309345101,5.956751308144436) (-5.58,5.22) (-5.66,4.42) (-6.433401804601669,4.072547817846974) (-7.247035129957392,4.015450742383415) (-7.732360271397647,3.7156910961997274) (-8.34,2.96) (-9.24,2.94) (-9.86,3.48) (-10.18,4.48)};  
+	
+	
+	\draw[line width=1mm] plot [smooth] coordinates {(-10.18,4.48) (-10.316002936123713,4.957552487532145) (-10.387374280453162,5.371506284642951) (-10.276000027487713,5.809778772543043) (-9.849923772019515,6.092720035939893) (-9.088415813657184,6.185139609998673) (-8.132039799642563,6.099493996803334) (-6.247836309345101,5.956751308144436) (-5.58,5.22) (-5.66,4.42) (-6.433401804601669,4.072547817846974) (-7.247035129957392,4.015450742383415) (-7.732360271397647,3.7156910961997274) (-8.34,2.96) (-9.24,2.94) (-9.86,3.48) (-10.18,4.48)};  
+	
+	\fill[pattern=north east lines] (-10.5,0) rectangle (7,6.6);
+	\draw (0,0) rectangle (4,3);
+	
+\end{scope}  
+
+
+\begin{scope}
+	
+	\clip plot [smooth] coordinates { (-7.270483135965676,5.352927819643642) (-7.089385928695549,6.4757305047184275)
+		(-6.564204027612182,7.055241567982833)
+		(-6.220119333798941,7.254448495979973)
+		(-5.4232916218103835,7.471765144704125)
+		(-4.300488936735598,7.50798458615815) (-3.630429269836129,6.837924919258681)
+		(-3.1595765309337995,5.588354189094806) (-3.0509182065717235,4.375002900384957)
+		(-3,3)  (-3.3768931796579515,2.382933620413563)
+		(-4.065062567284433,2.5278113862296645) (-4.78945139636494,2.9624446836779685)
+		(-5.550059666899472,3.10732244949407)
+		(-6.202009613071928,2.8537863593158925)
+		(-6.763410955609321,2.455372503321614)
+		(-7.270483135965676,3.034883566586019)
+		(-7.379141460327752,4.501770945474046)
+		(-7.270483135965676,5.352927819643642) };
+	
+	
+	\draw[line width=1mm] plot [smooth] 
+	     coordinates { (-7.270483135965676,5.352927819643642) (-7.089385928695549,6.4757305047184275)
+		(-6.564204027612182,7.055241567982833)
+		(-6.220119333798941,7.254448495979973)
+		(-5.4232916218103835,7.471765144704125)
+		(-4.300488936735598,7.50798458615815) (-3.630429269836129,6.837924919258681)
+		(-3.1595765309337995,5.588354189094806) (-3.0509182065717235,4.375002900384957)
+		(-3,3)  (-3.3768931796579515,2.382933620413563)
+		(-4.065062567284433,2.5278113862296645) (-4.78945139636494,2.9624446836779685)
+		(-5.550059666899472,3.10732244949407)
+		(-6.202009613071928,2.8537863593158925)
+		(-6.763410955609321,2.455372503321614)
+		(-7.270483135965676,3.034883566586019)
+		(-7.379141460327752,4.501770945474046)
+		(-7.270483135965676,5.352927819643642)};  
+	
+	
+	
+	\fill[pattern=north west lines] (-8.5,0) rectangle (7,8);
+	\draw (0,0) rectangle (4,7);
+	
+\end{scope}  
+
+\node at (-8.75,4.5) {\Huge $M$};
+\node at (-4.95,5.05) {\Huge $N$};
+\node at (-4.95,5.05) {\Huge $N$};
+	
+\end{tikzpicture}
+
+
+\end{document}
--- a/Band1/Band1.typ
+++ b/Band1/Band1.typ
@@ -0,0 +1,171 @@
+ #import "@preview/biz-report:0.3.1": authorwrap, dropcappara, infobox, report  
+
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+
+
+#set par(
+  leading: 1.5em,     // Zeilenabstand
+  spacing: 2em,       // Abstand zwischen Absätzen
+  justify: true       // Blocksatz (sieht im Report meist besser aus)
+)
+
+//Formelnummerierung
+#set math.equation(numbering: "(1.1)")
+
+
+// 1. Die Bezeichnung auf "Bild" ändern
+#set figure(supplement: [Bild])
+#set figure.caption(separator: [ ])
+//#set par(leading: 1.5em)
+
+
+// 2. Die Nummerierung manuell berechnen
+#show figure.where(kind: image): set figure(numbering: (..nums) => {
+  // Holt die aktuelle Nummerierung der Überschriften
+  let h-nums = counter(heading).at(here())
+  
+  // Wenn wir mindestens in einer Sektion (Ebene 2) sind
+  if h-nums.len() >= 2 {
+    // Gibt Kapitel.Sektion.Bildnummer zurück
+    return str(h-nums.at(0)) + "." + str(h-nums.at(1)) + "." + str(nums.pos().last())
+  } else if h-nums.len() == 1 {
+    // Falls nur ein Kapitel existiert: Kapitel.Bildnummer
+    return str(h-nums.at(0)) + "." + str(nums.pos().last())
+  } else {
+    // Falls gar keine Überschrift existiert
+    return str(nums.pos().last())
+  }
+})
+
+// 3. Optional: Den Bild-Zähler bei jeder neuen Sektion (==) zurücksetzen
+#show heading.where(level: 2): it => {
+  it
+  counter(figure.where(kind: image)).update(0)
+}
+
+
+
+//#set figure(supplement: [Bild])
+
+
+//#dropcappara(firstline: "Welcome to this report.")[#lorem(50)]
+
+
+
+
+/*#set text(
+  font: "TeX Gyre Heros",
+  size: 10pt
+)*/
+#set par(
+  justify: true,
+  leading: 0.52em,
+)
+ 
+
+= Vorwort des Herausgebers
+Mit diesem Heft eröffnen wir die Reihe „Lehrprogrammbücher Hochschulstudium - Mathematik", die die Akademische Verlagsgesellschaft Geest \& Portig K.-G. dankenswerterweise in ihr Verlagsprogramm aufgenommen hat.
+
+
+Programmierte Lehrmaterialien werden zusammen mit anderen Methoden für die Aneignung von Wissen und Können einen gesicherten Platz in der Ausbildung an den Hoch- und Fachschulen einnehmen. Die Programme sind vom Ziel und vom Inhalt so angelegt, daß sie sich als Bausteine in den Ausbildungsprozeß einfügen und dem wissenschaftlich-produktiven Studium als grundlegendem Prinzip bei der Entwicklung sozialistischer Persönlichkeiten dienen.
+
+Das hier vorgelegte erste Heft der Reihe bildet nun insofern eine Ausnahme, als es sich nicht vorrangig an denjenigen wendet, der bereits Mathematik studiert, sondern insbesondere an den, der ein Studium der Mathematik im Haupt- oder Nebenfach aufnehmen will oder der sich für mathematische Denkweisen und Sachverhalte interessiert.
+
+Die in dieser Reihe erscheinenden Lehr- und Übungsprogramme sind unter Anleitung und Betreuung des Forschungszentrums für Theorie und Methodologie der Programmierung von Lehr- und Lernprozessen an der Karl-Marx-Universität entstanden und bilden die Grundlage für weitere Forschungen. Deshalb wird in den einzelnen Heften keine einheitliche Programmierungstechnik angewandt. In jedem Programm wird aber großer Wert darauf gelegt, daß der Lernende durch aktives Mitdenken zum Verstehen der Sachverhalte und Zusammenhänge geführt wird.
+
+Es ist programmierten Materialien zu eigen, daß sie für den Lernenden geschrieben sind und seinen Wünschen und Bedürfnissen weitgehend Rechnung zu tragen haben.
+
+Bitte lassen Sie uns wissen, wie weit es uns gelungen ist, dieser Forderung nachzukommen.
+
+Schreiben Sie, welche der in den einzelnen Bausteinen angewandten Programmierungsmethoden Ihnen am meisten zusagt.
+
+Ich wünsche der Reihe einen guten Start!
+
+Leipzig, im Juni 1971#h(1fr);DER HERAUSGEBER
+
+#pagebreak()
+
+== Das Programm richtet sich vorwiegend an
+
+Absolventen der zehnklassigen polytechnischen Oberschule; Abiturienten; Studenten des ersten Semesters an Hoch-, Fach- und Ingenieurschulen sowie pädagogischen Instituten im Direkt- und Fernstudium; Lehrer.
+
+Voraussetzung zum erfolgreichen Durcharbeiten dieses Programms
+
+Mathematik-Abschluß Klasse 10
+
+\textbf{Ziele}
+
+Nach Durcharbeitung des Programms sollen Sie den Gebrauch der Wörter
+
+\hspace{1cm}\textit{\anf{und}, \anf{oder}, "`nicht"',}\par
+
+der Redeweisen
+
+
+\hspace{1cm}\textit{"`wenn -- so"', "`genau dann, wenn"',}
+
+\hspace{1cm}\textit{"`für alle ..."', "`es gibt mindestens (genau, höchstens) ein..."',}
+
+\hspace{1cm}\textit{"`es gibt mindestens (genau, höchstens) $n \ldots $"' $(n=2,3, \ldots)$}
+
+
+
+sowie den Gebrauch des bestimmten Artikels in der Mathematik verstanden haben.
+
+
+Im besonderen bedeutet dies:
+\begin{itemize}
+	\item Sie haben erfaßt, was unter einer \textit{Aussage} sowie der \textit{Negation} einer Aussage zu verstehen ist.
+	\item Sie kennen die Aussagenverknüpfungen \textit{Konjunktion}, \textit{Alternative} und \textit{Implikation}, insbesondere wissen Sie Bescheid, in welcher Weise das Wahr- bzw. Falschsein dieser Aussagenverknüpfungen vom Wahr- bzw. Falschsein der jeweils miteinander verknüpften Aussagen abhängt.
+	\item Sie sind in der Lage, die Gleichwertigkeit gewisser Formulierungen zu erkennen, in denen Wörter oder Redeweisen der genannten Art vorkommen.
+\end{itemize}
+
+Im Verlaufe der Durcharbeitung des Programms sollen Teile Ihres Schulwissens über die trigonometrischen Funktionen, die Logarithmusfunktionen, die Quadratwurzel sowie über den absoluten Betrag einer Zahl gefestigt werden.
+
+\newpage
+
+\textbf{Hinweise für die Arbeit mit dem Lehrprogramm}
+
+Dieses Lehrprogramm unterscheidet sich in einigen Punkten wesentlich von Lehrbüchern. Rein äußerlich zeigt sich das bereits darin, daß der Stoff außerordentlich stark gegliedert ist. Er wird Ihnen in sogenannten Lehrschritten geboten. Von wenigen Ausnahmen abgesehen, befinden sich auf jeder Seite mehrere solcher Lehrschritte, die durch Striche voneinander getrennt und durchgehend numeriert sind. Dabei ist es nicht so, daß diese Lehrschritte immer der Reihe nach durchzuarbeiten sind. Oft entscheiden Ihre eigenen Lernergebnisse, die in Aufgaben überprüft werden, über die Reihenfolge der von Ihnen zu bearbeitenden Lehrschritte.
+
+
+Am Ende der Lehrschritte wird durch Pfeile angegeben, welcher Lehrschritt als nächster von Ihnen zu bearbeiten ist. Dabei bedeuten im einzelnen:
+
+
+
+\begin{tabular}{ll}
+	\raisebox{-0.4\height}{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{Grafiken/001.png}}
+	& Gehen Sie nach Lehrschritt x ! \\
+	\\
+	\raisebox{-0.4\height}{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{Grafiken/002.png}}& \makecell[l]{Gehen Sie zunächst zum Lehrschritt $x$, dann weiter \\nach $y$!}\\
+	\\
+	\raisebox{-0.4\height}{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{Grafiken/003.png}}& \makecell[l]{Studieren Sie Lehrschritt $x$ und kehren Sie dann \\nach diesem (eben bearbeiteten) Lehrschritt zurück!}\\
+	\\
+		\raisebox{-0.4\height}{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{Grafiken/004.png}}& \makecell[l]{Studieren Sie Lehrschritt $x$ und kehren Sie dann\\nach Lehrschritt $y$ zurück!} \\
+\end{tabular}
+
+
+Das erfolgreiche Durcharbeiten des Programms erfordert sehr genaues und konzentriertes Lesen sowie die aktive Auseinandersetzung mit den Aufgaben und Fragen, mit denen Sie ständig konfrontiert werden. Gehen Sie tatsächlich erst dann weiter, wenn Sie überzeugt sind, die richtige Lösung gefunden bzw. den Text verstanden zu haben. Es empfiehlt sich, an einigen Stellen die Arbeit zu unterbrechen, um so einem zu schnellen und oberflächlichen Vorgehen entgegenzuwirken.
+
+Besonders zu beachtende Stellen des Programms sind durch Farbgestaltung hervorgehoben.
+
+
+Legen Sie sich zur Lösung der Aufgaben einige Blatt Papier bereit.
+
+\vfill
+Und nun: Frisch ans Werk!
+
+%\end{document}
--- a/Band1/Definitionen.tex
+++ b/Band1/Definitionen.tex
@@ -0,0 +1,154 @@
+%!TEX root=Band1.tex
+
+\usepackage{subfiles}
+\usepackage[paperheight=222mm,paperwidth=165mm,textwidth=145mm,left=2cm,right=2cm,top=10mm,bottom=15mm,heightrounded]{geometry}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{babel}
+%\usepackage{makeidx}
+\usepackage{graphicx}
+% \usepackage{fancyhdr}
+\usepackage{makecell}
+\usepackage{tikz}
+%\usepackage{amsmath}
+\usetikzlibrary {arrows.meta,bending,positioning,patterns}
+
+%\reversemarginpar
+\usepackage{pgfplots}
+% ref packages
+%\usepackage{nameref}
+% folowing  must be in this order
+%\usepackage{varioref}
+\usepackage[colorlinks=true,urlcolor=black,linkcolor=black]{hyperref}
+%\usepackage{hyperref}
+%\usepackage{cleveref}
+
+\usepackage[parfill]{parskip}
+%\usepackage[german]{babel}
+%\newcommand{\anf}[1]{"`#1"'}
+
+\newcommand{\anf}[1]{\glqq#1\grqq}
+
+%\usepackage{showframe}
+\usepackage[most]{tcolorbox}
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+
+\usepackage{fancyhdr}
+\pagestyle{fancy}
+\fancyhf{}
+\cfoot{-\thepage -}
+\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
+\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
+
+
+\newcommand{\einrueckung}[1]{\begin{addmargin}[45pt]{0pt}
+#1\end{addmargin}
+}
+
+%%%%Leerseite
+\usepackage{afterpage}
+\newcommand\myemptypage{
+	\null
+	\thispagestyle{empty}
+	\addtocounter{page}{-1}
+	\newpage
+}	
+
+
+\everymath{\displaystyle}
+
+
+%%%%Zahl linker Rand
+
+\newcommand{\liRa}[1]{\marginpar[\raggedleft\Huge{\textbf{#1}}]{\textbf{\Huge{#1}}}}
+
+\newcommand{\secnr}[1]{
+	\phantomsection
+	\label{B1.#1}
+	\liRa{#1}
+}
+
+
+%%%%Farbbox
+\newtcolorbox{mybox}[1][width=0.8\textwidth]{%
+	%enhanced,
+	%boxed title style={colback=red, sharp corners},
+	colframe = orange!50,
+	colback = orange!50,  
+%	overlay = {\node[text=white, fill=red] at (frame.east) 
+%		{$\clubsuit$};},
+	#1}
+
+\newtcolorbox{myboxred}[1][width=0.8\textwidth]{%
+	%enhanced,
+	%boxed title style={colback=red, sharp corners},
+	colframe = red!50,
+	colback = red!50,  
+	%	overlay = {\node[text=white, fill=red] at (frame.east) 
+		%		{$\clubsuit$};},
+	#1}
+
+%\usepackage{enumitem,calc}
+%\SetLabelAlign{myparleft}{\parbox[t]\textwidth{#1\par\mbox{}}}
+
+\usepackage{calc}
+\usepackage{enumitem}
+%\setlist[description]{leftmargin=\parindent,labelindent=\parindent}\usepackage{enumitem}
+%\setlist[description]{leftmargin=\parindent,labelindent=\parindent}
+
+\newlength{\mylength}
+
+\newcommand{\ausrichtung}[1]{ % Befehl zur Berechnung der Wortlänge
+\settowidth{\mylength}{#1} % Breite des Wortes berechnen und in Längenvariable speichern
+\hspace{\mylength}} % wird die Klammer eine Zeile tiefer gesetzt, dann rutscht das nachfolgende um ? nach rechts
+
+%\usepackage[table]{xcolor}
+% table in die documentclass übernommen, da sonst Fehlermeldung
+\usepackage{xcolor}
+
+\title{Zum Sprachgebrauch der Mathematik}
+
+%%%Pfeile
+\pgfdeclarelayer{background}
+\pgfsetlayers{background,main}
+\newcommand{\bglayer}[1]{%
+	\begin{pgfonlayer}{background}
+		\begin{scope}[every picture]
+			#1
+		\end{scope}
+	\end{pgfonlayer}
+}
+%%%Pfeile
+
+\usepackage[figurename=Abb.]{caption}
+\counterwithin{figure}{part}
+
+%\captionsetup[figure]{labelfont=Large,bf,textfont=it}
+
+\newcommand{\verweisrechts}[2]{
+\hspace{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
+	%Vorfüllen sonst verrutscht es
+	\draw [white](0,0) -- (5,0);
+	%	\node (A) at (8.25,0) {Dann};
+	\bglayer{%
+		\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (10,0) -- (12.75,0) node [right] {\hyperref[#1]{#2}};
+	}
+\end{tikzpicture}}
+
+
+\newcommand{\trenner}{\vspace{-4mm}
+	\rule{\textwidth}{4pt}
+	\vspace{-4mm}}
+
+
+\newcommand{\verweisrechtskom}[4]{
+	\hspace{-5mm}\begin{tikzpicture}[]
+		%Vorfüllen sonst verrutscht es
+		\draw [white](0,0) -- (0.1,0);
+		%	\node (A) at (8.25,0) {Dann};
+		\bglayer{%
+			\draw [line width= 0.35mm, -Latex] (10,0) -- (12.75,0) node [right] {\hyperref[#1]{#2}};
+			\node[right, xshift=1mm] at (#3,0) {#4};
+		}
+\end{tikzpicture}}
--- a/Band1/Grafiken/001.png
+++ b/Band1/Grafiken/001.png
--- a/Band1/Grafiken/002.png
+++ b/Band1/Grafiken/002.png
--- a/Band1/Grafiken/003.png
+++ b/Band1/Grafiken/003.png
--- a/Band1/Grafiken/004.png
+++ b/Band1/Grafiken/004.png
--- a/Band1/Grafiken/005.png
+++ b/Band1/Grafiken/005.png
--- a/Band1/Grafiken/006.png
+++ b/Band1/Grafiken/006.png
--- a/Band1/Grafiken/abb2.pgf
+++ b/Band1/Grafiken/abb2.pgf
@@ -0,0 +1,25 @@
+\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
+\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0}
+\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1cm,y=1cm]
+\begin{axis}[
+x=1cm,y=1cm,
+axis lines=middle,
+ymajorgrids=true,
+xmajorgrids=true,
+xmin=-5,
+xmax=12,
+ymin=-3,
+ymax=12,
+xtick={-4,-2,...,11},
+ytick={-2,...,11},]
+\clip(-5.974,-6.134) rectangle (27.73,14.964);
+\draw[line width=2pt,color=qqwuqq,smooth,samples=100,domain=-5.974000000000008:27.729999999999997] plot(\x,{0-(\x)+9});
+\draw [line width=2pt,domain=-5.974:27.73] plot(\x,{(--2-0*\x)/1});
+\draw[line width=2pt,color=qqqqff,smooth,samples=100,domain=-5.974000000000008:27.729999999999997] plot(\x,{2*(\x)+6});
+\begin{scriptsize}
+\draw[color=qqwuqq] (-5.688,14.689) node {$g$};
+\draw[color=black] (-5.71,2.435) node {$f$};
+\draw[color=qqqqff] (-5.688,-5.287) node {$h$};
+\end{scriptsize}
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}