Nur Text ohne Formatierung eingefügt

Band1/Band1.typ

@@ -251,13 +251,95 @@ denn $2$ ist eine gerade Primzahl, und Adam Ries (1492-1559) und Goethe (1749-18
 
 
 
+Sieht man sich in einem mathematischen Text oder auch in irgendeinem anderen wissenschaftlichen Fachtext die einzelnen Sätze an, so wird man feststellen, daß kaum jemals Wünsche, Aufforderungen oder Fragen formuliert werden, sondern fast alle Sätze Aussagesätze sind, also Sätze, in denen irgendwelche Sachverhalte ausgesprochen bzw. beschrieben werden.
 
+Beispiele für solche Sätze finden sich nicht nur im wissenschaftlichen Bereich. Zur Illustration seien einige angeführt:
+a: Die Erde ist ein Planet
+b : Die Gleichung $x^2+1=0$ hat keine reelle Lösung
+c: Das Produkt von 3 und 4 ist 12
+d: Jede Primzahl ist ungerade
+e: Adam Ries war ein Zeitgenosse Goethes
+Betrachten Sie diese Beispiele noch einmal!
+$8$
 
+Beschreibungen von Sachverhalten können zutreffend sein oder unzutreffend. Aussagen können also zutreffende Beschreibungen sein oder nichtzutreffende Beschreibungen.
 
+Ist eine Aussage eine zutreffende Beschreibung eines Sachverhaltes, so nennen wir diese Aussage wahr bzw. eine wahre Aussage.
+Ist eine Aussage eine nicht-zutreffende Beschreibung eines Sachverhaltes, so nennen wir diese Aussage falsch bzw. eine falsche Aussage.
 
+Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch.
+Frage: Welche der fünf Aussagen im Lehrschritt 5 ist eine (sind) falsche Aussage(n)?
 
+Antwort: .................. .
 
+Für Umformungen bzw. Verknüpfungen von Aussagen ist es günstig, Buchstaben stellvertretend für Aussagen verwenden zu können. Man bevorzugt insbesondere $p, q$ usw. Wir vereinbaren daher: Buchstaben $p, q$ usw. sollen Aussagen bedeuten können.
 
+Betrachten wir als Beispiel die Aussage
+Klaus und Dieter haben jeder ein Motorrad.
+Diese Aussage können wir z. B. mit $p$ abkürzen. Wir können uns diese Aussage aber auch in der Form
 
+Klaus hat ein Motorrad, und Dieter hat ein Motorrad aufschreiben und als Abkürzungen vereinbaren:
+$p$ : Klaus hat ein Motorrad
+q: Dieter hat ein Motorrad.
+Unsere vorgegebene Aussage haben wir in diesem zweiten Falle abgekürzt zu
+$p$ und $q$.
+Wir erkennen, daß wir die gegebene Aussage auch als eine Verknüpfung zweier Aussagen auffassen können.
 
-Studieren Sie Lehrschritt x und kehren Sie dann nach Lehrschritt y zurück!
+Aufgabe: Führen Sie in gleicher Weise als ein zweites Beispiel für die Aussage
+Bei Rot und bei Gelb darf man eine Kreuzung nicht überqueren
+Abkürzungen geeignet so ein, daß sich auch diese Aussage als eine Aussagenverknüpfung erweist!
+
+Notieren Sie sich die gewählten Abkürzungen!
+
+Sicher haben Sie erkannt, daß diese Sätze nicht in jedem Falle den objektiv bestehenden Sachverhalt zutreffend beschreiben.
+
+Doch betrachten wir zunächst den Satz
+Das Produkt von 3 und 4 ist 12
+etwas genauer. Sein Inhalt läßt sich auch mit anderen Worten wiedergeben. Beispielsweise drücken die folgenden Sätze dasselbe aus:
+
+Das Ergebnis der Multiplikation der Zahl 3 mit der Zahl 4 ist die Zahl 12
+Wird 3 mit 4 multipliziert, so ergibt sich 12
+3 mal 4 ist 12
+$3 dot 4=12$.
+Da man sich in jeder Wissenschaft in erster Linie für Sachverhalte interessiert, ist die sprachliche Einkleidung der Beschreibungen von Sachverhalten weniger wichtig - jedenfalls so lange, wie verschiedene sprachliche Formulierungen jeweils dasselbe ausdrücken, das heißt, gleichwertig sind. Wichtig sind die durch die Sätze ausgedrückten Vorstellungen über Sachverhalte.
+
+ 9
+
+Jeder Aussagesatz ist mithin nur als sprachliches Gewand für den durch ihn ausgedrückten Inhalt von Interesse. Deshalb führen wir für die durch Aussagesätze ausgedrückten bzw. ausdrückbaren Inhalte - das sind Beschreibungen von Sachverhalten - eine eigene Bezeichnung ein: Wir nennen solche Inhalte Aussagen.
+
+Aussagen sind Beschreibungen von Sachverhalten, die ihren sprachlichen Ausdruck in Form von Aussagesätzen finden.
+
+Verschiedene Aussagesätze, die dieselbe Aussage formulieren, nennen wir gleichwertig.
+
+Auf Schwierigkeiten, die mit der Feststellung der Gleichwertigkeit gegebener Aussagesätze auf Grund dieser Festlegung zusammenhängen, gehen wir nicht näher ein.
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+ 6
+
+ Lösung:
+Wie im ersten Beispiel werden Sie sich zunächst überlegt haben, daß man die Aussage
+
+Bei Rot und bei Gelb darf man eine Kreuzung nicht überqueren auch formulieren kann mittels des Satzes
+
+Bei Rot darf man eine Kreuzung nicht überqueren, und bei Gelb darf man eine Kreuzung nicht überqueren.
+
+Deswegen werden Sie als gesuchte Abkürzungen leicht gefunden haben
+$p$ : Bei Rot darf man eine Kreuzung nicht überqueren
+$q$ : Bei Gelb darf man eine Kreuzung nicht überqueren.
+Damit ist die gesuchte Aussage abgekürzt worden zu
+$p$ und $q$.
+
+⟶ 11
+
+Wir wollen uns nun der Besprechung spezieller Verknüpfungen von Aussagen und dem Übergang von einer Aussage zu ihrem logischen Gegenteil zuwenden.
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+Die Aussage, die das logische Gegenteil einer vorgegebenen Aussage ausdrückt, nennt man die Negation der vorgegebenen Aussage.
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+Hat man eine Aussage $p$ vorliegen, so kann man deren Negation ausdrücken durch die Formulierungen
+
+Es ist nicht so, daßp (gilt)
+Es ist nicht richtig, daß p (gilt)
+bzw. durch irgendeinen damit gleichbedeutenden Satz.
+Jede der möglichen Formulierungen der Negation einer Aussage $p$ wollen wir eine Verneinung von $p$ nennen.
+Die Negation einer Aussage $p$ werden wir mit nicht-p bezeichnen.
+
+12