Band I Init

Beispiele/I_B10.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\begin{beispiel}\label{B0010}
+\begin{itemize}
+	\item Jeder Punkt $P$ in der zweidimensionalen Ebene $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordnetes Paar $(x, y)$ reeller Zahlen.
+	\item Jeder Punkt $P$ im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^{3}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordentes Tripel $(x, y, z)$ reeller Zahlen.
+\end{itemize}
+
+\end{beispiel}

Beispiele/I_B_01.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\begin{beispiel}\label{B0001}
+Gegeben seien die drei Mengen $A$, $B$, $C$ definiert durch:
+
+\[A=\left\{1,3,5,7\right\}, \;\;\left\{B=x\,|\,2x-4=0\right\},\;\;\left\{C=1,2,3,4,5,6,\ldots\right\}\]
+
+Dann gilt zum Beispiel $2\notin A$, $2\in B$, $2\in C$ und $7\in A$, $7\notin B$, $7\in C$.
+\end{beispiel}

Beispiele/I_B_02.tex

@@ -0,0 +1,15 @@
+\begin{beispiel} \label{B0002}
+
+\begin{itemize}	
+\item Die Menge der Wochentage
+
+$W:=\left\{\text{Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Sonnabend, Sonntag}\right\}$ 
+
+ist eine endliche Menge mit $W=7$ Elementen.
+
+\item Die Menge $K$ aller möglichen Kreise mit dem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems ist offensichtlich eine unendliche Menge, weil es unendlich viele Kreise mit verschiedenen Radien um den Punkt $P\left(0\middle|0\right)$ gibt.
+
+\item Die Menge $U$ aller ungeraden Zahlen, die durch die Zahl $2$ ohne Rest teilbar sind, ist eine Menge mit der Mächtigkeit $\# U= 0$, weil sie kein Element enthält.
+
+\end{itemize}
+\end{beispiel}

Beispiele/I_B_03.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\begin{beispiel}\label{B0003}
+
+\begin{itemize}
+\item Gesucht sind alle reellen Zahlen die die Ungleichung $x^{2}<4$ erfüllen.
+
+\textbf{Lösung:} 
+
+Das sind sämtliche reellen Zahlen $x \in \mathbb{R}$, die zwischen den beiden Zahlen $-2$ und 2 liegen. Oder auch kurz $\{x \in \mathbb{R} \mid-2<x<2\}$.
+
+\item Gesucht sind alle reellen Zahlen die gleichzeitig die beiden Ungleichungen $x \leq 1$ und $x^{2}<4$ erfüllen.
+Lösung: Das sind sämtliche reellen Zahlen $x \in \mathbb{R}$, die größer als $-2$ und kleiner oder gleich 1 sind. Oder auch kurz $\{x \in \mathbb{R} \mid-2<x \leq 1\}$.
+
+\item Gesucht sind alle reellen Zahlen die gleichzeitig die beiden Ungleichungen $x \geq-1$ und $x^{2}<4$ erfüllen.
+
+\textbf{Lösung:} 
+
+
+Das sind sämtliche reellen Zahlen $x \in \mathbb{R}$, die \textbf{größer} oder \textbf{gleich} $-1$ und kleiner als 2 sind. Oder auch kurz $\{x \in \mathbb{R} \mid-1 \leq x<2\}$.
+\end{itemize}
+
+\end{beispiel}

Beispiele/I_B_04.tex

@@ -0,0 +1,13 @@
+\begin{beispiel}
+Gegeben seien die beiden Mengen $A:=\{x \in \mathbb{R} \mid \sin (\pi x)=0\}$ und $B:=\mathbb{Z} .$ Zeigen Sie das diese Mengen gleich sind.
+
+
+\textbf{Lösung:}
+
+
+Aus der Schule her sollte bekannt sein, dass die Nullstellen der Sinusfunktion ganzzahlige Vielfache der irrationalen Zahl $\pi$ sind.
+
+Setzt man $z:=\pi x$ ergeben sich die Lösungen der Gleichung $\sin z=0$  zu $z=k \pi$ für alle $k \in \mathbb{Z}$. Dann folgt aus $z=\pi x=k \pi$ sofort $x=k \in \mathbb{Z}$. Also ist jedes Element der Menge $A$ auch in der Menge $B$ enthalten.
+
+Sei nun umgekehrt $x \in B=\mathbb{Z}$. Dann gilt für alle $x \in B$ offensichtlich $\sin (\pi x)=0$. Damit ist jedes Element der Menge $B$ auch Element der Menge $A$, womit $A=B$ gilt.
+\end{beispiel}

Beispiele/I_B_05.tex

@@ -0,0 +1,10 @@
+\begin{beispiel}\label{B0005}
+
+Gegeben seien die Mengen $A:=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2} \leq 9\right\}$ und $B:=[-3,3[.$ Zeigen Sie das diese Mengen nicht gleich sind.
+
+\textbf{Lösung:}
+
+
+Die Menge $A$ ist das abgeschlossene Intervall $A=[-3,3]$. Es ist $3 \in A$ aber $3 \notin B$. Also folgt $A \neq B$.
+
+\end{beispiel}

Beispiele/I_B_06.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\begin{beispiel}\label{B0006}
+
+\begin{itemize}
+\item Es gilt $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
+\item $[-4,2] \not \subset \mathbb{Z}$ und $[-4,2] \not \subset \mathbb{Q}$ aber $[-4,2] \subset \mathbb{R}$. 
+
+($[-4,2]$ ist keine Teilmenge der ganzen Zahlen und $[-4,2]$ ist keine Teilmenge der rationalen Zahlen aber $[-4,2]$ ist eine Teilmenge der reellen Zahlen) 
+
+\item Es gilt $\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_{0}$ aber $\mathbb{N}_{0} \not \subset \mathbb{N}$.
+
+\item  Für $A:=\left\{x \mid x^{2}-x=0\right\}=\{0,1\}$ gilt $A \subset \mathbb{N}_{0}$.
+
+\item Es ist $\{\} \;\subset \mathbb{R}$ aber $0 \notin\{\}$.
+\end{itemize}
+
+\end{beispiel}

Beispiele/I_B_07.tex

@@ -0,0 +1,10 @@
+\begin{beispiel}\label{B0007}
+
+Bestimmen Sie für die Menge $A:=\{a, b, c\}$ alle möglichen Teilmengen.
+
+\textbf{Lösung:}
+
+Zunächst $\operatorname{sind} A$ und \{\} die unechten Teilmengen von $A$.
+Zu den echten Teilmengen zählen die einelementigen Teilmengen $\{a\},\{b\},\{c\}$ und die zweielementigen Teilmengen $\{a, b\},\{a, c\},\{b, c\}$.
+
+\end{beispiel}

Beispiele/I_B_08.tex

@@ -0,0 +1,12 @@
+\begin{beispiel}\label{B0008}
+
+Gegeben seien die Mengen $A:=\{1,3,5\}$ und $B:=\{4,5,6\}$.
+
+\begin{itemize}
+\item Finden sie alle Elemente $x$ die in der Menge $A$ und in der Menge $B$ enthalten sind. Lösung: Das ist nur das Element $x=5$.
+\item Finden sie alle Elemente $x$ die in der Menge $A$ oder in der Menge $B$ enthalten sind. Lösung: Das sind die Elemente $x=1,3,4,5,6$.
+\item Finden sie alle Elemente $x$ der Menge $A$ die nicht zur Menge $B$ gehören.
+\end{itemize}
+
+\textbf{Lösung:} Das sind die Elemente $x=1,3$.
+\end{beispiel}

Beispiele/I_B_09.tex

@@ -0,0 +1,15 @@
+\begin{beispiel}\label{B0009}
+Gegeben seien die beiden Mengen $A:=\{1,2,3\}$ und $B:=\{\alpha, \beta\}$.
+
+\begin{itemize}
+\item Bestimmen Sie alle möglichen geordneten Paare $(a, b)$ mit $a \in A$ und $b \in B$. 
+
+
+\textbf{Lösung:} $(1, \alpha),(1, \beta),(2, \alpha),(2, \beta),(3, \alpha),(3, \beta)$.
+\item Bestimmen Sie alle möglichen geordneten Paare $(a, b)$ mit $a \in B$ und $b \in A$. 
+
+
+\textbf{Lösung:} $(\alpha, 1),(\alpha, 2),(\alpha, 3),(\beta, 1),(\beta, 2),(\beta, 3)$.
+
+\end{itemize}
+\end{beispiel}

Beispiele/I_B_10.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\begin{beispiel}\label{B0010}
+\begin{itemize}
+	\item Jeder Punkt $P$ in der zweidimensionalen Ebene $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordnetes Paar $(x, y)$ reeller Zahlen.
+	\item Jeder Punkt $P$ im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^{3}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordentes Tripel $(x, y, z)$ reeller Zahlen.
+\end{itemize}
+
+\end{beispiel}