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\begin{beispiel}\label{B0010}
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\begin{itemize}
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\item Jeder Punkt $P$ in der zweidimensionalen Ebene $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordnetes Paar $(x, y)$ reeller Zahlen.
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\item Jeder Punkt $P$ im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^{3}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordentes Tripel $(x, y, z)$ reeller Zahlen.
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\end{itemize}
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\end{beispiel}
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\begin{beispiel}\label{B0001}
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Gegeben seien die drei Mengen $A$, $B$, $C$ definiert durch:
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\[A=\left\{1,3,5,7\right\}, \;\;\left\{B=x\,|\,2x-4=0\right\},\;\;\left\{C=1,2,3,4,5,6,\ldots\right\}\]
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Dann gilt zum Beispiel $2\notin A$, $2\in B$, $2\in C$ und $7\in A$, $7\notin B$, $7\in C$.
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\end{beispiel}
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Beispiele/I_B_02.tex
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\begin{beispiel} \label{B0002}
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\begin{itemize}
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\item Die Menge der Wochentage
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$W:=\left\{\text{Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Sonnabend, Sonntag}\right\}$
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ist eine endliche Menge mit $W=7$ Elementen.
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\item Die Menge $K$ aller möglichen Kreise mit dem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems ist offensichtlich eine unendliche Menge, weil es unendlich viele Kreise mit verschiedenen Radien um den Punkt $P\left(0\middle|0\right)$ gibt.
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\item Die Menge $U$ aller ungeraden Zahlen, die durch die Zahl $2$ ohne Rest teilbar sind, ist eine Menge mit der Mächtigkeit $\# U= 0$, weil sie kein Element enthält.
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\end{itemize}
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\end{beispiel}
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Beispiele/I_B_03.tex
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Beispiele/I_B_03.tex
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\begin{beispiel}\label{B0003}
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\begin{itemize}
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\item Gesucht sind alle reellen Zahlen die die Ungleichung $x^{2}<4$ erfüllen.
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\textbf{Lösung:}
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Das sind sämtliche reellen Zahlen $x \in \mathbb{R}$, die zwischen den beiden Zahlen $-2$ und 2 liegen. Oder auch kurz $\{x \in \mathbb{R} \mid-2<x<2\}$.
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\item Gesucht sind alle reellen Zahlen die gleichzeitig die beiden Ungleichungen $x \leq 1$ und $x^{2}<4$ erfüllen.
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Lösung: Das sind sämtliche reellen Zahlen $x \in \mathbb{R}$, die größer als $-2$ und kleiner oder gleich 1 sind. Oder auch kurz $\{x \in \mathbb{R} \mid-2<x \leq 1\}$.
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\item Gesucht sind alle reellen Zahlen die gleichzeitig die beiden Ungleichungen $x \geq-1$ und $x^{2}<4$ erfüllen.
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\textbf{Lösung:}
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Das sind sämtliche reellen Zahlen $x \in \mathbb{R}$, die \textbf{größer} oder \textbf{gleich} $-1$ und kleiner als 2 sind. Oder auch kurz $\{x \in \mathbb{R} \mid-1 \leq x<2\}$.
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\end{itemize}
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\end{beispiel}
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Beispiele/I_B_04.tex
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Beispiele/I_B_04.tex
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\begin{beispiel}
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Gegeben seien die beiden Mengen $A:=\{x \in \mathbb{R} \mid \sin (\pi x)=0\}$ und $B:=\mathbb{Z} .$ Zeigen Sie das diese Mengen gleich sind.
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\textbf{Lösung:}
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Aus der Schule her sollte bekannt sein, dass die Nullstellen der Sinusfunktion ganzzahlige Vielfache der irrationalen Zahl $\pi$ sind.
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Setzt man $z:=\pi x$ ergeben sich die Lösungen der Gleichung $\sin z=0$ zu $z=k \pi$ für alle $k \in \mathbb{Z}$. Dann folgt aus $z=\pi x=k \pi$ sofort $x=k \in \mathbb{Z}$. Also ist jedes Element der Menge $A$ auch in der Menge $B$ enthalten.
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Sei nun umgekehrt $x \in B=\mathbb{Z}$. Dann gilt für alle $x \in B$ offensichtlich $\sin (\pi x)=0$. Damit ist jedes Element der Menge $B$ auch Element der Menge $A$, womit $A=B$ gilt.
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\end{beispiel}
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Beispiele/I_B_05.tex
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\begin{beispiel}\label{B0005}
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Gegeben seien die Mengen $A:=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2} \leq 9\right\}$ und $B:=[-3,3[.$ Zeigen Sie das diese Mengen nicht gleich sind.
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\textbf{Lösung:}
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Die Menge $A$ ist das abgeschlossene Intervall $A=[-3,3]$. Es ist $3 \in A$ aber $3 \notin B$. Also folgt $A \neq B$.
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\end{beispiel}
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Beispiele/I_B_06.tex
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\begin{beispiel}\label{B0006}
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\begin{itemize}
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\item Es gilt $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
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\item $[-4,2] \not \subset \mathbb{Z}$ und $[-4,2] \not \subset \mathbb{Q}$ aber $[-4,2] \subset \mathbb{R}$.
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($[-4,2]$ ist keine Teilmenge der ganzen Zahlen und $[-4,2]$ ist keine Teilmenge der rationalen Zahlen aber $[-4,2]$ ist eine Teilmenge der reellen Zahlen)
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\item Es gilt $\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_{0}$ aber $\mathbb{N}_{0} \not \subset \mathbb{N}$.
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\item Für $A:=\left\{x \mid x^{2}-x=0\right\}=\{0,1\}$ gilt $A \subset \mathbb{N}_{0}$.
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\item Es ist $\{\} \;\subset \mathbb{R}$ aber $0 \notin\{\}$.
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\end{itemize}
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\end{beispiel}
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Beispiele/I_B_07.tex
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\begin{beispiel}\label{B0007}
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Bestimmen Sie für die Menge $A:=\{a, b, c\}$ alle möglichen Teilmengen.
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\textbf{Lösung:}
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Zunächst $\operatorname{sind} A$ und \{\} die unechten Teilmengen von $A$.
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Zu den echten Teilmengen zählen die einelementigen Teilmengen $\{a\},\{b\},\{c\}$ und die zweielementigen Teilmengen $\{a, b\},\{a, c\},\{b, c\}$.
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\end{beispiel}
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Beispiele/I_B_08.tex
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@@ -0,0 +1,12 @@
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\begin{beispiel}\label{B0008}
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Gegeben seien die Mengen $A:=\{1,3,5\}$ und $B:=\{4,5,6\}$.
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\begin{itemize}
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\item Finden sie alle Elemente $x$ die in der Menge $A$ und in der Menge $B$ enthalten sind. Lösung: Das ist nur das Element $x=5$.
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\item Finden sie alle Elemente $x$ die in der Menge $A$ oder in der Menge $B$ enthalten sind. Lösung: Das sind die Elemente $x=1,3,4,5,6$.
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\item Finden sie alle Elemente $x$ der Menge $A$ die nicht zur Menge $B$ gehören.
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\end{itemize}
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\textbf{Lösung:} Das sind die Elemente $x=1,3$.
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\end{beispiel}
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Beispiele/I_B_09.tex
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@@ -0,0 +1,15 @@
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\begin{beispiel}\label{B0009}
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Gegeben seien die beiden Mengen $A:=\{1,2,3\}$ und $B:=\{\alpha, \beta\}$.
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\begin{itemize}
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\item Bestimmen Sie alle möglichen geordneten Paare $(a, b)$ mit $a \in A$ und $b \in B$.
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\textbf{Lösung:} $(1, \alpha),(1, \beta),(2, \alpha),(2, \beta),(3, \alpha),(3, \beta)$.
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\item Bestimmen Sie alle möglichen geordneten Paare $(a, b)$ mit $a \in B$ und $b \in A$.
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\textbf{Lösung:} $(\alpha, 1),(\alpha, 2),(\alpha, 3),(\beta, 1),(\beta, 2),(\beta, 3)$.
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\end{itemize}
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\end{beispiel}
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7
Beispiele/I_B_10.tex
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@@ -0,0 +1,7 @@
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\begin{beispiel}\label{B0010}
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\begin{itemize}
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\item Jeder Punkt $P$ in der zweidimensionalen Ebene $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordnetes Paar $(x, y)$ reeller Zahlen.
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||||
\item Jeder Punkt $P$ im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^{3}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ repräsentiert ein geordentes Tripel $(x, y, z)$ reeller Zahlen.
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\end{itemize}
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\end{beispiel}
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Definitionen/I_D_01.tex
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Definitionen/I_D_01.tex
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\begin{definition}\label{D1_1_01}Eine \textbf{Menge} ist eine Zusammenfassung bestimmter unterscheidbarer Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte heißen die \textbf{Elemente} der Menge.
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\end{definition}
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Definitionen/I_D_02.tex
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Definitionen/I_D_02.tex
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\begin{definition}\label{D1_1_02}Ist $x$ \textbf{ein} Element einer beliebigen Menge $A$ ‚so schreibt man dafür kurz $x\in A$. Ist $x$ dagegen \textbf{kein} Element der Menge $A$, so schreibt man dafür kurz $x\notin A$.
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\end{definition}
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Definitionen/I_D_03.tex
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\begin{definition}\label{D1_1_03}Eine Menge mit endlich vielen Elementen heißt \textbf{endliche Menge}, eine Menge mit unendlich vielen Elementen heißt \textbf{unendliche Menge}.
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Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge $A$ bezeichnet man als \textbf{Kardinalzahl} oder auch \textbf{Mächtigkeit} und schreibt dafür $\# A$.
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\end{definition}
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3
Definitionen/I_D_04.tex
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@@ -0,0 +1,3 @@
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\begin{definition}\label{D1_1_04}
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||||
Eine Menge die kein Element besitzt heißt \textbf{leere Menge} und wird mit $\left\{\ \right\}$ oder auch $\emptyset$ bezeichnet. Die leere Menge zählt verabredungsgemäß zu den endlichen Mengen.
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\end{definition}
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3
Definitionen/I_D_05.tex
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Definitionen/I_D_05.tex
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@@ -0,0 +1,3 @@
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||||
\begin{definition}\label{D1_1_05}
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||||
Die Menge $\mathbb{N}:= \left\{1,2,3,\ldots\right\}$ heißt die Menge der \textbf{natürlichen Zahlen}. Wird der Menge der natürlichen Zahlen die Zahl $0$ hinzugefügt, dann schreibt man $\mathbb{N}_0:=\left\{1,2,3,\ldots\right\}$.
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||||
\end{definition}
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4
Definitionen/I_D_06.tex
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@@ -0,0 +1,4 @@
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||||
\begin{definition}\label{D1_1_06}Die Menge $\mathbb{Z}:=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ heißt die Menge der \textbf{ganzen Zahlen}.
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||||
Mit $\mathbb{Z}^{-}:=\{\ldots,-3,-2,-1\}$ werden gelegentlich alle negativen ganzen Zahlen bezeichnet.
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\end{definition}
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3
Definitionen/I_D_07.tex
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@@ -0,0 +1,3 @@
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\begin{definition}\label{D1_1_07}
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||||
Die Menge $\mathbb{Q}:=\left\{x \mid x=\frac{p}{q}\right.$ mit $p, q \in \mathbb{Z}$ und $\left.q \neq 0\right\}$ heißt die Menge der \textbf{rationalen Zahlen}.
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\end{definition}
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2
Definitionen/I_D_08.tex
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@@ -0,0 +1,2 @@
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||||
\begin{definition}\label{D1_1_08}Die Menge der rationalen Zahlen $Q$ erweitert um die Menge aller irrationalen Zahlen heißt die Menge der \textbf{reellen Zahlen} und wird mit $\mathbb{R}$ bezeichnet.
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\end{definition}
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8
Definitionen/I_D_09.tex
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8
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@@ -0,0 +1,8 @@
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||||
\begin{definition}\label{D1_1_09}Für alle $a, b \in \mathbb{R}$ mit $a \leq b$ heißt
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\begin{itemize}
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\item $]a, b[=(a, b):=\{x \in \mathbb{R} \mid a<x<b\}$ offenes Intervall (ausschließlich der Endpunkte),
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||||
\item $]a, b]=(a, b]:=\{x \in \mathbb{R} \mid a<x \leq b\}$ halboffenes Intervall,
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||||
\item $[a, b[=[a, b):=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x<b\}$ halboffenes Intervall,
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||||
\item $[a, b]:=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ abgeschlossenes beziehungsweise auch kompaktes Intervall (einschließlich der Endpunkte).
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{definition}
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||||
11
Definitionen/I_D_10.tex
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Definitionen/I_D_10.tex
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@@ -0,0 +1,11 @@
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||||
\begin{definition}\label{D1_1_10}\reversemarginpar\marginnote{\footnotesize{siehe auch \ref{Anm:001}}}
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||||
Für alle $a, b \in \mathbb{R}$ mit $a \leq b$ heißt
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||||
\begin{itemize}
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\item $]a, \infty[=(a, \infty):=\{x \in \mathbb{R} \mid a<x\}$ offenes Intervall,
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||||
\item $[a, \infty[=[a, \infty):=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x\}$ halboffenes Intervall,
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||||
\item $\infty ]-\infty, b[=(-\infty, b):=\{x \in \mathbb{R} \mid x<b\}$ offenes Intervall,
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||||
\item $]-\infty, b]=(-\infty, b]:=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\}$ halboffenes Intervall,
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||||
\item $]-\infty, \infty[=(-\infty, \infty):=\mathbb{R}$ Menge der reellen Zahlen.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{definition}
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||||
3
Definitionen/I_D_11.tex
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@@ -0,0 +1,3 @@
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\begin{definition}\label{D1_1_11}
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||||
Zwei beliebige Mengen $A, B$ heißen \textbf{gleich}, wenn sie dieselben Elemente haben. Man schreibt dann $A=B$.
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\end{definition}
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3
Definitionen/I_D_12.tex
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Definitionen/I_D_12.tex
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@@ -0,0 +1,3 @@
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||||
\begin{definition}\label{D1_1_12}
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||||
Seien $A, B$ zwei beliebige Mengen. Die Menge $A$ heißt eine \textbf{Teilmenge} der Menge $B$, wenn für jedes $x \in A$ auch $x \in B$ folgt. Man schreibt dann $A \subset B$ und sagt die Menge $A$ ist in der Menge $B$ enthalten. Ist $A$ keine Teilmenge von $B$ beziehungsweise nicht enthalten in $B$, dann schreibt man $A \not \subset B$.
|
||||
\end{definition}
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3
Definitionen/I_D_13.tex
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Definitionen/I_D_13.tex
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@@ -0,0 +1,3 @@
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||||
\begin{definition}\label{D1_1_13}
|
||||
Jede Teilmenge einer Menge $A$, die weder leer noch gleich $A$ ist, heißt echte Teilmenge von $A$.
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||||
\end{definition}
|
||||
3
Definitionen/I_D_14.tex
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3
Definitionen/I_D_14.tex
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@@ -0,0 +1,3 @@
|
||||
\begin{definition}\label{D1_1_14}
|
||||
Die Gesamtheit aller voneinander verschiedener Teilmengen einer Menge $A$ heißt die \textbf{Potenzmenge} der Menge $A$ und wird bezeichnet mit $\mathcal{P}(A):=\{X \mid X \subset A\}$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
19
Definitionen/I_D_15.tex
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19
Definitionen/I_D_15.tex
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@@ -0,0 +1,19 @@
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||||
\begin{definition}\label{D1_1_15}
|
||||
Seien $A, B$ beliebige Mengen
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Der \textbf{Durchschnitt}\marginnote{\Huge$\cap$\\ \small Durchschnitt} der Mengen $A$ und $B$ ist die Menge derjenigen Elemente, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören. Man schreibt
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||||
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||||
\[A \cap B:=\{x \mid x \in A \text{ und } x \in B\}:=\{x \mid x \in A \wedge x \in B\} .\]
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||||
|
||||
\item Die \textbf{Vereinigung}\marginnote{\Huge$\cup$\\ \small Vereinigung} der Mengen $A$ und $B$ ist die Menge, die entsteht, wenn die Elemente der Mengen $A$ und $B$ zu einer neuen Menge zusammengefasst werden. Man schreibt
|
||||
|
||||
\[A \cup B:=\{x \mid x \in A\text{ oder }x \in B\}:=\{x \mid x \in A \vee x \in B\} .\]
|
||||
|
||||
\item Die \textbf{Differenz} der Mengen $A$ und $B$ ist die Menge derjenigen Elemente, die zu $A$ aber nicht zu $B$ gehören. Man schreibt
|
||||
\[
|
||||
A \setminus B:=\{x \mid x \in A \text { und } x \notin B\}:=\{x \mid x \in A \wedge x \notin B\} .
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
16
Definitionen/I_D_16.tex
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16
Definitionen/I_D_16.tex
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@@ -0,0 +1,16 @@
|
||||
\begin{definition}\label{D1_1_16}
|
||||
|
||||
Seien $k, n \in \mathbb{N}$ und $A_{k}$ beliebige Mengen, dann gilt:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
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||||
\item Die Durchschnittsmenge aller Mengen $A_{k}$ ist definiert als
|
||||
$$
|
||||
\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}:=A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \ldots \cap A_{n} .
|
||||
$$
|
||||
|
||||
\item Die Vereinigungsmenge aller Mengen $A_{k}$ ist definiert als
|
||||
$$
|
||||
\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}:=A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup \ldots \cup A_{n}
|
||||
$$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
12
Definitionen/I_D_17.tex
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Definitionen/I_D_17.tex
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@@ -0,0 +1,12 @@
|
||||
\begin{definition}\label{D1_1_17}
|
||||
Seien $A$ und $B$ zwei beliebige Mengen. Die \textbf{Produktmenge} beziehungsweise das \textbf{kartesische Produkt} der Mengen $A$ und $B$, geschrieben als $A \times B$, ist die Menge aller möglichen geordneten Paare $(a, b)$ mit der Eigenschaft $a \in A$ und $b \in B$.
|
||||
$$
|
||||
A \times B:=\{(a, b) \mid a \in A \wedge b \in B\}
|
||||
$$%\marginnote{a \textbf{und} b}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Das Produkt einer Menge $A$ mit sich selbst, also $A \times A$ wird mit $A^{2}$ bezeichnet.
|
||||
\item Ein Element aus $A \times B$ bezeichnet man auch als \textbf{Dupel}.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{definition}
|
||||
6
Definitionen/I_D_18.tex
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Definitionen/I_D_18.tex
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@@ -0,0 +1,6 @@
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||||
\begin{definition}\label{D1_1_18}
|
||||
Seien $k, n \in \mathbb{N}$ und $A_{k}$ beliebige Mengen. Dann gilt für die Menge der geordneten $\mathrm{n}$ - \textbf{Tupel}:
|
||||
$$
|
||||
A_{1} \times \ldots \times A_{n}:=\left\{\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \mid a_{k} \in A_{k}\right\} .
|
||||
$$
|
||||
\end{definition}
|
||||
54
Grafiken/I_Abb001.tex
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Grafiken/I_Abb001.tex
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@@ -0,0 +1,54 @@
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||||
%!TEX root=MathIng.tex
|
||||
\begin{figure}[htb]
|
||||
|
||||
\begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\def\firstcircle{(0,0) circle (2cm)}
|
||||
\def\secondcircle{(-0.5,0) circle (1cm)}
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||||
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||||
\colorlet{circle edge}{black}
|
||||
\colorlet{circle area}{black!20!white}
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|
||||
\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
|
||||
outline/.style={draw=circle edge,thick}}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\fill[filled] \secondcircle;
|
||||
\draw[outline] \firstcircle node[xshift=-5mm] {$A$};
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[outline] \secondcircle node[xshift=2cm] {$B$};
|
||||
\node[anchor=south,yshift=-8mm] at (current bounding box.south) {$A \subset B$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
%\captionof{figure}{Venn-Diagramme}
|
||||
\end{framed}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{framed}
|
||||
|
||||
|
||||
\def\firstcircle{(2,0) circle (2cm)}
|
||||
\def\secondcircle{(-0.95,1) circle (1cm)}
|
||||
|
||||
\colorlet{circle edge}{black}
|
||||
\colorlet{circle area}{black!20!white}
|
||||
|
||||
\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
|
||||
outline/.style={draw=circle edge,thick}}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\fill[filled] \secondcircle;
|
||||
\draw[outline] \firstcircle node {$A$};
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[outline] \secondcircle node {$B$};
|
||||
\node[anchor=south,yshift=-8mm] at (current bounding box.south) {$A \not\subset B$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\caption{Venn-Diagramme}\label{Abb001}
|
||||
\end{figure}
|
||||
87
Grafiken/I_Abb002.tex
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87
Grafiken/I_Abb002.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,87 @@
|
||||
%!TEX root=MathIng.tex
|
||||
|
||||
\begin{figure}[htb]
|
||||
|
||||
%%%die begin und end der minipage dürfen nicht mit Zeilenumbruch getrennt werden
|
||||
\begin{minipage}[c]{0.33\textwidth}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
|
||||
\def\firstcircle{(2,0) circle (2cm)}
|
||||
\def\secondcircle{(0,1) circle (1cm)} %(45:1)Winkel, Radius
|
||||
\colorlet{circle edge}{black}
|
||||
\colorlet{circle area}{black!20!white}
|
||||
|
||||
\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
|
||||
outline/.style={draw=circle edge,thick}}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\clip \firstcircle;
|
||||
\fill[filled] \secondcircle;
|
||||
\end{scope}
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[outline] \secondcircle node {$A$};
|
||||
\draw[outline] \firstcircle node {$B$};
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[outline] \secondcircle node {$A$};
|
||||
\node[anchor=south,yshift=-2em] at (current bounding box.south) {$A \cap B$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
%\captionof{figure}{Venn-Diagramme}
|
||||
|
||||
\end{framed}
|
||||
\end{minipage}\begin{minipage}[c]{0.33\textwidth}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
|
||||
\def\firstcircle{(2,0) circle (2cm)}
|
||||
\def\secondcircle{(-0.25,1) circle (1cm)}
|
||||
|
||||
\colorlet{circle edge}{black}
|
||||
\colorlet{circle area}{black!20!white}
|
||||
|
||||
\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},outline/.style={draw=circle edge,thick}}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
|
||||
\fill[filled] \secondcircle node {$A$};
|
||||
\fill[filled] \firstcircle node {$B$};
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[outline] \secondcircle node {$A$};
|
||||
\node[anchor=south,yshift=-8mm] at (current bounding box.south) {$A \cup B$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{framed}
|
||||
\end{minipage}\begin{minipage}[c]{0.33\textwidth}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
|
||||
\def\firstcircle{(2,0) circle (2cm)}
|
||||
\def\secondcircle{(-0.25,1) circle (1cm)}
|
||||
|
||||
\colorlet{circle edge}{black}
|
||||
\colorlet{circle area}{black!20!white}
|
||||
|
||||
\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
|
||||
outline/.style={draw=circle edge,thick}}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\clip \secondcircle;
|
||||
\draw[filled, even odd rule] \secondcircle \firstcircle;
|
||||
\end{scope}
|
||||
\draw[outline] \firstcircle node {$B$}
|
||||
\secondcircle node {$A$};
|
||||
\node[anchor=south,yshift=-8mm] at (current bounding box.south) {$A \setminus B$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\caption{Darstellung von Durchschnitts-, Vereinigungs- und Differenzmenge}\label{Abb002}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
31
Grafiken/I_Abb003.tex
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31
Grafiken/I_Abb003.tex
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@@ -0,0 +1,31 @@
|
||||
|
||||
\begin{figure}[htb]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\draw (0,0) -- (2,1) node[anchor=west] {$B_1$};
|
||||
\draw (2.6,1) -- (4.6,1.25) node[anchor=west] {$B_2$};
|
||||
\draw (2.6,1) -- (4.6,0.75) node[anchor=west] {$B_3$};
|
||||
\draw (5.2,1.25) -- (7.2,1.25) node[anchor=west] {$B_3$};
|
||||
\draw (5.2,0.75) -- (7.2,0.75) node[anchor=west] {$B_2$};
|
||||
|
||||
|
||||
\draw (0,0) -- (2,0) node[anchor=west] {$B_2$};
|
||||
\draw (2.6,0) -- (4.6,0.25) node[anchor=west] {$B_1$};
|
||||
\draw (2.6,0) -- (4.6,-0.25) node[anchor=west] {$B_3$};
|
||||
\draw (5.2,0.25) -- (7.2,0.25) node[anchor=west] {$B_3$};
|
||||
\draw (5.2,-0.25) -- (7.2,-0.25) node[anchor=west] {$B_1$};
|
||||
|
||||
\draw (0,0) -- (2,-1) node[anchor=west] {$B_3$};
|
||||
\draw (2.6,-1) -- (4.6,-0.75) node[anchor=west] {$B_1$};
|
||||
\draw (2.6,-1) -- (4.6,-1.25) node[anchor=west] {$B_2$};
|
||||
\draw (5.2,-0.75) -- (7.2,-0.75) node[anchor=west] {$B_2$};
|
||||
\draw (5.2,-1.25) -- (7.2,-1.25) node[anchor=west] {$B_1$};
|
||||
|
||||
\node (P1) at (2.3,-1.85) {1. Platz};
|
||||
\node (P2) at (4.9,-1.85) {2. Platz};
|
||||
\node (P3) at (7.4,-1.85) {3. Platz};
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Platzierungsmöglichkeiten der drei Bücher $B_{1}, B_{2}, B_{3}$}
|
||||
\end{figure}
|
||||
18
Grafiken/I_Abb004.tex
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18
Grafiken/I_Abb004.tex
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@@ -0,0 +1,18 @@
|
||||
\begin{figure}[htb]
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\draw[-latex, thick] (-6,0) -- (6, 0);
|
||||
|
||||
\foreach \c in {-5,0,...,5}{
|
||||
\draw (\c,-.1) -- (\c,.1) node[below=4pt] {$\scriptstyle\c$};
|
||||
}
|
||||
|
||||
\draw[latex-latex](-5,0.5) --(0,0.5) node[above, midway]{$|-5|=5$};
|
||||
\draw[latex-latex](0,0.5) --(5,0.5) node[above, midway]{$|5|=5$};
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Betrag einer reellen Zahl}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
14
Grafiken/I_Abb005.tex
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14
Grafiken/I_Abb005.tex
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@@ -0,0 +1,14 @@
|
||||
\begin{figure}[htb]
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[sloped,scale=1.5]
|
||||
|
||||
\draw[-latex](0,0)--(6,0) node[midway, below]{$\vec{x}+\vec{y}$};
|
||||
\draw[-latex](0,0)--(2,1) node[midway, above]{$\vec{x}$};
|
||||
\draw[-latex](2,1)--(6,0) node[midway, above]{$\vec{y}$};
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\caption{Vektoraddition}
|
||||
\end{figure}
|
||||
34
Grafiken/I_Abb006.tex
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34
Grafiken/I_Abb006.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,34 @@
|
||||
\begin{figure}[htb]
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\draw[-latex] (-0.5,0) -- (7,0) node[below] {$x$};
|
||||
\draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,6) node[left] {$y$};
|
||||
|
||||
\coordinate[] (A) at (4,3);
|
||||
|
||||
\draw[] (A) circle [radius=1.5];
|
||||
|
||||
\draw[] (A) to ["$r$",sloped] ++ (45:1.5) coordinate[] (B) ;
|
||||
\draw[] (B) to [] ++ (270:{sqrt(1.125)}) coordinate[] (C);
|
||||
\draw (C) to (A);
|
||||
\draw[fill=black] (A) circle (0.05);
|
||||
\draw[fill=black] (B) circle (0.05);
|
||||
|
||||
\draw[dashed] (A) -- (4,-0.1) node[yshift=-2mm]{$x_m$};
|
||||
\draw[dashed] (A) -- (-0.1,3) node[xshift=-3mm]{$y_m$};
|
||||
|
||||
\draw[dashed] (C) -- (4+1.06066,-0.1) node[yshift=-2mm]{$x$};
|
||||
\draw[dashed] (B) -- (-0.1, 4.06066) node[xshift=-3mm]{$y$};
|
||||
|
||||
\draw[latex-latex] (4,2.4) -- (5.106066, 2.4) node [midway, below ]{$a$} ;
|
||||
|
||||
\draw[latex-latex] (2,3) -- (2, 4.06066) node[midway, left]{$b$};
|
||||
|
||||
\draw pic["$\cdot$", draw, angle radius=3mm ] {angle=B--C--A};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\caption{Kreis mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und Radius $r$.}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
67
Grafiken/I_Abb007.tex
Normal file
67
Grafiken/I_Abb007.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,67 @@
|
||||
\begin{figure}[htb]
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$x$};
|
||||
\draw[-latex] (0,-1.5) -- (0,2) node[left] {$y$};
|
||||
\draw (0,0) ellipse (2.03cm and 1.17cm);
|
||||
|
||||
\coordinate[] (A) at (-0.75,0) ;
|
||||
\coordinate[] (B) at (0,1.17);
|
||||
\coordinate[] (C) at (0.75,0);
|
||||
|
||||
\coordinate[] (D) at (-0.35,0);
|
||||
\coordinate[] (E) at (0.35,0);
|
||||
\coordinate[] (F) at (0,0.4);
|
||||
|
||||
\draw (A) -- (B) node[midway,xshift=-7] {$a$};
|
||||
\draw (C) -- (B)node[midway,xshift=7] {$a$} ;
|
||||
|
||||
\draw[fill=black] (A) circle (0.05) node[below] {$F_1$};
|
||||
\draw[fill=black] (C) circle (0.05) node[below] {$F_2$};
|
||||
|
||||
\node[yshift=-5] at (D) {$e$};
|
||||
\node[yshift=-5] at (E) {$e$};
|
||||
\node[xshift=4] at (F) {$b$};
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[-latex] (5,0) -- (11,0) node[below] {$x$};
|
||||
\draw[-latex] (8,-1.5) -- (8,2) node[left] {$y$};
|
||||
\draw (8,0) ellipse (2.03cm and 1.17cm);
|
||||
|
||||
\coordinate[] (G) at (7.25,0) ;
|
||||
\coordinate[] (H) at (8.75,0) ;
|
||||
|
||||
\coordinate[] (I) at (9.33,0.88) ;
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[fill=black] (G) circle (0.05) node[below] {$F_1$};
|
||||
\draw[fill=black] (H) circle (0.05) node[below] {$F_2$};
|
||||
|
||||
\draw[fill=black] (I) circle (0.05) node[above] {$P$};
|
||||
|
||||
\coordinate[] (J) at (7.65,0);
|
||||
\coordinate[] (K) at (8.35,0);
|
||||
|
||||
\node[yshift=-5] at (J) {$e$};
|
||||
\node[yshift=-5] at (K) {$e$};
|
||||
|
||||
\coordinate[] (L) at (9.33,0); %x
|
||||
\coordinate[] (M) at (8,0.88); %y
|
||||
|
||||
|
||||
\draw (G) -- (I);
|
||||
\draw (H) -- (I);
|
||||
|
||||
\draw[dashed](L) -- (I);
|
||||
\draw[dashed](M) -- (I);
|
||||
|
||||
\node[xshift=-6] at (M) {$y$};
|
||||
\node[yshift=-6] at (L) {$x$};
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Ellipse mit Mittelpunkt $M(0,0)$}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
51
Grafiken/I_Abb008.tex
Normal file
51
Grafiken/I_Abb008.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,51 @@
|
||||
\begin{figure}[htb]
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[-latex] (-4,-2) -- (3,-2) node[below] {$x$};
|
||||
\draw[-latex] (-4 ,-2) -- (-4,2) node[left] {$y$};
|
||||
\draw (0,0) ellipse (2.42cm and 1cm);
|
||||
|
||||
\coordinate[] (A) at (0,0) ;
|
||||
\coordinate[] (B) at (1.49,0.79) ;
|
||||
|
||||
\draw[fill=black] (A) circle (0.05) node[below] {};
|
||||
\draw[fill=black] (B) circle (0.05) node[below] {};
|
||||
|
||||
\coordinate[] (Y1) at (-4.1, 0.79);
|
||||
\coordinate[] (Y2) at (-4.1, 0);
|
||||
|
||||
\coordinate[] (X1) at (0, -2.1);
|
||||
\coordinate[] (X2) at (1.49, -2.1);
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[thin, dashed] (Y1) node[left] {$y$} -- (B) ;
|
||||
\draw[thin, dashed] (Y2) node[left] {$y_m$} -- (A) node[left] {};
|
||||
|
||||
\draw[-latex](A) -- (B);
|
||||
|
||||
\draw[thin, dashed](X1) node[yshift=-4] {$x_m$} -- (A);
|
||||
\draw[thin, dashed](X2) node[yshift=-4] {$x$} -- (B);
|
||||
|
||||
\coordinate[] (ETA1) at (0,-0.5);
|
||||
\coordinate[] (ETA2) at (1.49,-0.5);
|
||||
|
||||
\draw[-latex, thick] (0,0) -- (3,0) node[below] {$\eta$};
|
||||
|
||||
\draw[latex-latex] (ETA1) -- (ETA2) node[midway,below] {$\eta$};
|
||||
|
||||
\draw[-latex, thick] (0,0) -- (0,1.5) node[above] {$\xi$};
|
||||
|
||||
\coordinate[] (XI1) at (-1,0);
|
||||
\coordinate[] (XI2) at (-1,0.79);
|
||||
|
||||
\draw[latex-latex] (XI1) -- (XI2) node[left,midway] {$\xi$};
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Ellipse mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
52
Grafiken/I_Abb009.tex
Normal file
52
Grafiken/I_Abb009.tex
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@@ -0,0 +1,52 @@
|
||||
%!TEX root=../../MathIng.tex
|
||||
%%%Nur Muster
|
||||
\begin{figure}[htb]
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\tikzstyle{every node}=[font=\scriptsize]
|
||||
\draw[-latex] (-5.5,0) -- (-1,0) node[below] {$x$};
|
||||
\foreach \x in {-4,-3.5,...,-1.5}
|
||||
\draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1);
|
||||
\node[below] at (-3.5, -0.1) {$2$};
|
||||
\node[below] at (-2.5, -0.1) {$4$};
|
||||
\node[below] at (-1.5, -0.1) {$6$};
|
||||
|
||||
\draw[-latex] (-4.5,-2) -- (-4.5,2) node[left] {$y$};
|
||||
|
||||
\foreach \y in {-1,-0.5,...,1}
|
||||
\draw (-4.6,\y) -- (-4.4,\y);
|
||||
\node[left] at (-4.6, -1) {$-2$};
|
||||
\node[left] at (-4.6, -0.5) {$-1$};
|
||||
\node[left] at (-4.6, 0.5) {$1$};
|
||||
\node[left] at (-4.6, 1) {$2$};
|
||||
|
||||
\draw[-latex] (1.5,0) -- (6,0) node[below] {$x$};
|
||||
\foreach \x in {3,3.5,...,5.5}
|
||||
\draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1);
|
||||
\node[below] at (3.5, -0.075) {$2$};
|
||||
\node[below] at (4.5, -0.075) {$4$};
|
||||
\node[below] at (5.5, -0.075) {$6$};
|
||||
|
||||
\draw[-latex] (2.5,-2) -- (2.5,2) node[left] {$y$};
|
||||
\foreach \y in {-1,-0.5,...,1}
|
||||
\draw (2.4,\y) -- (2.6,\y);
|
||||
|
||||
|
||||
\node[left] at (2.4, -1) {$-2$};
|
||||
\node[left] at (2.4, -0.5) {$-1$};
|
||||
\node[left] at (2.4, 0.5) {$1$};
|
||||
\node[left] at (2.4, 1) {$2$};
|
||||
|
||||
\draw[fill=black] (-3,1) circle (0.05) node[above] {$z_1$};
|
||||
\draw[fill=black] (-3,-1) circle (0.05) node[below] {$z_2$};
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[-latex] (2.5,0) -- (4,1)node[midway, above]{$z_1$};
|
||||
\draw[-latex] (2.5,0) -- (4,-1)node[midway, below]{$z_2$};
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Ebene}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
367
I_1.tex
Normal file
367
I_1.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,367 @@
|
||||
%!TEX root=../MathIng.tex
|
||||
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\section{Mengenbegriff, Elemente einer Menge}
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In der Mathematik ist es oft von Vorteil bestimmte Dinge oder Objekte zu einem Ganzen zusammenzufassen. Betrachten Sie dazu die folgenden Beispiele:
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\begin{itemize}
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\item Alle Augenzahlen eines Würfels. Dann sind die Objekte die Zahlen $1,2,3,4,5,6$.
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\item Alle weiblichen Teilnehmer der Mathematikvorlesung Analysis für Ingenieure. Die Objekte sind hier die teilnehmenden Studentinnen.
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\item Alle Lösungen der Gleichung $x^2=4$. Das sind die Zahlen $x_1=-2$ und $x_2=2$.
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Die Objekte sind hier die beiden Lösungen $-2,2$.
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\item Alle Vokale in unserem Alphabet. Die Objekte sind hier die Buchstaben a, e, i, o, u.
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\end{itemize}
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Der Mengenbegriff wurde durch den Mathematiker Georg Cantor (1845 — 1918)\footnote{Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, deutscher Mathematiker, geb. 3. März 1845 in Sankt Petersburg, gest. 6. Januar 1918 in Halle (Saale). Cantor war Professor in Halle und Begründer der Mengenlehre sowie der \Anfz{Wissenschaft des Unendlichen}.} eingeführt, der zu den Mitbegründern der Mengenlehre zählt. Von ihm stammt die folgende
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_01.tex}
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Aus dieser Definition lassen sich zwei wichtige Eigenschaften sofort ablesen.
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\begin{enumerate}
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\item Die Forderung nach unterscheidbaren Objekten besagt, dass jedes Element genau nur \underline{einmal} in der Menge vorkommen darf.
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\item Die Anordnung beziehungsweise Reihenfolge der Elemente ist dabei \underline{beliebig}.
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\end{enumerate}
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Eine Menge ist dann bekannt, wenn ihre Elemente bekannt sind, das heißt, es muss eine Vorschrift existieren, aus der eindeutig hervorgeht, ob ein Element zur Menge gehört oder nicht. Diese Zuordnung kann auf zwei verschiedene Arten erfolgen:
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\begin{enumerate}
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\item Durch die \textbf{aufzählende} Form, wobei alle Elemente der Menge in geschweifte Klammern durch Kommata getrennt aufgelistet werden (sofern das überhaupt möglich ist), wie zum Beispiel $A:=a,b,c$.
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Gelesen als: Die Menge $A$ ist definiert als die Zusammenfassung der drei Elemente $a,b,c$. Dabei steht das Zeichen \glqq :=\grqq für \glqq\textbf{ist definiert als}\grqq.
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\item Durch die \textbf{beschreibende Form}, wobei die einzelnen Elemente nicht aufgezählt werden, sondern ihre Eigenschaft angegeben wird, wie zum Beispiel
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\[A:=\{x\;| \; x\;\text{ist einer der drei ersten Buchstaben unseres Alphabets.} \}\]
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Gelesen als: Die Menge $A$ ist definiert als die Zusammenfassung der Elemente x für die gilt, x ist einer der drei ersten Buchstaben unseres Alphabets. Dabei steht das Zeichen \glqq |\grqq in den geschweiften Klammern für \glqq\textbf{für die gilt}\grqq.
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\end{enumerate}
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Für das Beispiel alle Lösungen der Gleichung $x^2=4$ gibt es also zwei Möglichkeiten diese Menge zu definieren. In aufzählender Form $L:={-2,2}$ oder in beschreibender Form $L = \left\{ {x|{x^2} = 4} \right\}$.
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_02.tex}
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Es lässt sich jetzt eindeutig entscheiden, ob ein Element $x$ zu einer Menge $A$ gehört oder nicht. Betrachten Sie dazu das
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\input{Band_I/Beispiele/I_B_01.tex}
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Eine Menge kann mehr oder weniger viele Elemente besitzen. Die Menge $A$ aus dem
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Beispiel \ref{B0001} hat genau vier Elemente, wogegen die Menge $C$ unendlich viele Elemente
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besitzt. Dazu jetzt die
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_03.tex}
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\input{Band_I/Beispiele/I_B_02.tex}
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Die Menge $U$ aus dem Beispiel \ref{B0002} legt die folgende Definition nahe.
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_04.tex}
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\section{\texorpdfstring{Die Zahlenmengen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$}{Die Zahlenmengen N, Z, Q, R}}
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Ein Schäfer möchte jeden Abend seine Schafe abzählen, die in mehr oder weniger großen Gruppen auf einer Wiese stehen. Dann reichen ihm die Zahlen $1,2,3,\ldots$ völlig aus, um die Gesamtzahl der Schafe durch Abzählen zu ermitteln. Zum Beispiel zählt er in der ersten Gruppe $12$ Schafe, in der zweiten Gruppe $3$4 Schafe und in der dritten Gruppe $51$ Schafe. Dann besitzt der Schäfer genau $12\ +34\ +51\ =\ 97$ Schafe. Das führt auf die
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_05.tex}
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In der Menge $\mathbb{N}$ lässt sich sogar rechnen. Seien $a$ und $b$ zwei beliebige natürliche Zahlen, dann ist die Summe und das Produkt dieser Zahlen jeweils wieder in der Menge der natürlichen Zahlen zu finden. Formal lässt sich das so ausdrücken:
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\[\forall a,b\in \mathbb{N} \text { folgt } a+b\in \mathbb{N} \text{ und } a\cdot b\in\ \mathbb{N}\]
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Das Zeichen \Anfz{$\forall$} steht für die Abkürzung \Anfz{\textbf{für alle}}. Man sagt auch, dass die Menge der natürlichen Zahlen bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist.
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Trotzdem ist die Menge $\mathbb{N}$ noch unvollständig. Betrachten Sie dazu für beliebige $a,b\in \mathbb{N}$ die Gleichung
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\[
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a+x=b
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\]
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Hat diese Gleichung immer eine Lösung $x$ in der Menge der natürlichen Zahlen?
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Die Antwort ist manchmal ja, aber auch manchmal nein. Die Gleichung $3+x=9$ hat die
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Lösung $x=6 \in \mathbb{N}$ und die Gleichung $10+x=2$ hat die Lösung $x=-8 \notin \mathbb{N}$.
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Dieser Tatbestand, dass nicht jede Gleichung der Form $a+x=b$ für beliebige Zahlen $a, b \in \mathbb{N}$ in der Menge $\mathbb{N}$ lösbar ist, erzwingt eine Erweiterung der natürlichen Zahlenmenge um die negativen Zahlen $\{-n \mid n \in \mathbb{N}\}$ und insbesondere der Zahl Null.
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_06.tex}
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Die Menge der ganzen Zahlen ist bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen. Das heißt es gilt:
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$\forall a, b \in \mathbb{Z}$ folgt $a+b \in \mathbb{Z}$ und $a \cdot b \in \mathbb{Z}$.
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Auch jede Gleichung der Form $a+x=b$ für beliebige $a, b \in \mathbb{Z}$ ist in der Menge der ganzen Zahlen lösbar. Sie hat die Lösung $x=b-a \in \mathbb{Z}$. Trotzdem ist auch die Menge $\mathbb{Z}$ noch unvollständig. Betrachten Sie dazu für beliebige $a, b \in \mathbb{Z}$ die Gleichung
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$$
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a \cdot x=b
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$$
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Hat diese Gleichung immer eine Lösung $x$ in der Menge der ganzen Zahlen? Die Antwort ist auch hier manchmal ja, aber auch manchmal nein. Zum Beispiel hat die Gleichung $3 \cdot x=-30$ die Lösung $x=-10 \in \mathbb{Z}$ und die Gleichung $2 \cdot x=3$ die Lösung $x=\frac{3}{2} \notin \mathbb{Z}$.
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Der unbefriedigende Tatbestand, dass nicht jede Gleichung der Form $a \cdot x=b$ mit beliebigen Zahlen $a, b \in \mathbb{Z}$ und $a \neq 0$ in der Menge $\mathbb{Z}$ lösbar ist, erzwingt auch eine Erweiterung dieser Zahlenmenge um die noch fehlenden Brüche.
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_07.tex}
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Offensichtlich stehen in dieser Menge auch alle ganzen Zahlen, denn jede beliebige ganze Zahl $p \in \mathbb{Z}$ lässt sich ja durch den Bruch $x=\frac{p}{1}$ darstellen. Allerdings können verschiedene Brüche wie zum Beispiel $\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6}=\frac{512}{1024}$ dieselbe rationale Zahl darstellen. Eine eindeutige Darstellung einer rationalen Zahl $x$ ist erreichbar durch die zusätzliche Forderung $x=\frac{p}{q}$ mit $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$ und $p, q$ teilerfremd.
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Auf die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ soll im Folgenden noch etwas ausführlicher eingegangen werden.
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\begin{enumerate}
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\item In der Zahlenmenge $\mathbb{Q}$ sind nur die Brüche $x=\frac{p}{q}$ zugelassen für die $q \neq 0$ gilt. Warum ist $q=0$ \textbf{verboten}? Oder anders formuliert: Warum darf man nicht durch die Zahl Null dividieren? Betrachten Sie dazu die folgende Rechnung:
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Seien $a, b \in \mathbb{Q}$ zwei beliebige ganze Zahlen, die die Bedingung $a=b \neq 0$ erfüllen, also zwei gleiche ganze Zahlen. Mit der dritten binomischen Formel $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ folgt dann durch elementare Umformungen
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\begin{align}
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a &=b && | \cdot a \nonumber \\
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a^{2} &=a \cdot b && | -b^{2} \nonumber \\
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a^{2}-b^{2} & = a \cdot b-b^{2} && \nonumber \\
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a^{2}-b^{2} &= b(a-b) && | \text { dritte binomische Formel } \nonumber \\
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(a-b)(a+b) &=b(a-b) && | :(a-b) \nonumber \\
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a+b &=b && | a=b \text { nach Voraussetzung } \nonumber \\
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b+b &=b && \nonumber \\
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2 b & =b && | :b \nonumber\\
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2 & =1 \;\lightning && \nonumber
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\end{align}
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Offensichtlich ist das Ergebnis falsch! Aber wo liegt hier der Fehler? In der fünften Zeile wurde wegen der Voraussetzung $a=b$ durch den Term $a-b=0$ geteilt, was zu einem völlig unsinnigen Ergebnis führt. Deshalb ist die Division durch Null immer verboten!
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\item In welche Menge passt die Dezimalzahl $1,25$? Diese Dezimalzahl lässt sich durch Erweiterung mit dem Bruch $\frac{100}{100}$ schreiben als $1,25=\frac{1,25}{1} \cdot \frac{100}{100}=\frac{125}{100}=\frac{5}{4} \in \mathbb{Q}$. Also ist diese Dezimalzahl eine rationale Zahl.
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Die Dezimalzahl $103,5643051$ lässt sich ebenfalls durch die Erweiterung mit dem Bruch $\frac{10000000}{10000000}$ schreiben als $103,5643051=\frac{103,5643051}{1} \cdot \frac{10000000}{10000000}=\frac{1035643051}{10000000} \in \mathbb{Q}$. Also ist auch diese Dezimalzahl eine rationale Zahl.
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\item Auch periodische Dezimalzahlen wie zum Beispiel $x=11,42232232232 \cdots=11,42 \overline{232}$ sind rationale Zahlen. Denn es gilt
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$$
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\begin{aligned}
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100000 x &=1142232, \overline{232}=1142232+0, \overline{232} \quad \text { und } \\
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100 x &=1142, \overline{232}=1142+0, \overline{232}
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\end{aligned}
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$$
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Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt
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$$
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100000 x-100 x=99900 x=(1142232+0, \overline{232})-(1142+0, \overline{232})=1141090
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$$
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und damit ist $x=\frac{1141090}{99900}=\frac{114109}{9990} \in \mathbb{Q}$.
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Mit diesen Verfahren lässt sich im Prinzip jede Dezimalzahl mit endlich vielen Ziffern oder jede periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Ziffern nach dem Komma in eine rationale Zahl überführen. Dagegen lässt sich jede nichtperiodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Ziffern nach dem Komma, wie zum Beispiel die Zahl $x=5,1201001000100001 \cdots$, nicht als rationale Zahl darstellen .
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\end{enumerate}
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Die Menge der rationalen Zahlen ist bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen. Das heißt es gilt:
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$\forall a, b \in \mathbb{Q}$ folgt $a+b \in \mathbb{Q}$ und $a \cdot b \in \mathbb{Q}$.
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Für alle $a, b \in \mathbb{Z}$ ist auch jede Gleichung der Form $a+x=b$ oder $a \cdot x=b, a \neq 0$ in der Menge der rationalen Zahlen immer lösbar. Sie haben die Lösungen $x=b-a \in \mathbb{Q}$ beziehungsweise $x=\frac{b}{a} \in \mathbb{Q}$.
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Auch die Zahlenmenge der rationalen Zahlen ist noch unvollständig, schon deshalb, weil es nichtperiodische Dezimalzahlen mit unendlich vielen Ziffern nach dem Komma gibt, wie zum Beispiel $2,01001000100001\ldots$, die sich nicht als Bruch schreiben lassen.
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Aber auch Gleichungen wie zum Beispiel $x^{2}=2, x^{2}=3, x^{3}=2$ usw. haben in der Menge $Q$ keine Lösung. Exemplarisch soll das für die Gleichung $x^{2}=2$ durch einen indirekten Beweis (näheres dazu im Abschnitt \textbf{\textcolor{red}{2.2})} gezeigt werden. Das Prinzip des indirekten Beweises besteht darin, dass man annimmt, die Aussage ist falsch und stattdessen das logische Gegenteil richtig.
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\textbf{Behauptung:}
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Die Gleichung $x^{2}=2$ hat keine rationale Zahl als Lösung (Dilemma des Pythagoras).
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\textbf{Beweis:}
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Angenommen die Gleichung $x^{2}=2(*)$ hat eine rationale Zahl als Lösung, dann lässt sich die Lösung $x$ als teilerfremden Bruch in der Form $x=\frac{p}{q}$ mit $p, q \in \mathbb{Q}$ und $q \neq 0$ darstellen. Auflösen nach $p$ und anschließendes Quadrieren ergibt zunächst
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$$
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p^{2}=q^{2} x^{2} \stackrel{(*)}{=} 2 q^{2} \quad(* *)
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$$
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Weil die Zahl $2 q^{2}$ durch zwei teilbar ist, muss auch die Zahl $p^{2}$ durch zwei teilbar sein. Also muss $p^{2}$ eine gerade Zahl sein, was nur möglich ist, wenn die Zahl $p$ selbst eine gerade Zahl ist. Denn nur gerade Zahlen sind quadriert wieder gerade!
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Die Zahl $p$ muss daher von der Form $p=2 k$ mit $k \in \mathbb{Z}$ sein. Eingesetzt in $(* *)$ ergibt $4 k^{2}=2 q^{2}$ und nach Division folgt $2 k^{2}=q^{2}$.
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Weil $2 k^{2}$ gerade ist und damit auch $q^{2}$, muss $q$ selbst wieder eine gerade Zahl sein. Damit wären beide Zahlen $p, q$ gerade Zahlen, was im Widerspruch zur Annahme eines teilerfremden Bruches steht. Also lässt sich die Lösung $x$ der Gleichung $x^{2}=2$ nicht als teilerfremden Bruch darstellen, womit die Zahl $x$ also keine rationale Zahl sein kann.
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\hfill $\blacksquare$
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\vspace{2em}
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Das Symbol $\blacksquare$ wird hier verwendet um das Ende eines Beweises zu kennzeichnen.
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Die Lösungen der Gleichung $x^{2}=2$, also $x_{1,2}=\pm \sqrt{2}$ lassen sich als Wurzel der rationalen Zahl 2 darstellen und sind zwei Vertreter der sogenannten irrationale Zahlen. Aber nicht jede irrationale Zahl lässt sich wiederum durch eine Wurzel darstellen, wie beispielsweise die Zahlen $\pi=3,14159 \cdots$ oder $e=2,71828 \cdots$ usw..
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\textbf{Bemerkung:}
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Die Bedeutung der irrationalen Zahlen ist für den in der Praxis stehenden Ingenieur eher gering, weil man durch Abbrechen des Dezimalbruchs an einer geeigneten Stelle immer eine rationale Annäherung mit beliebiger Genauigkeit erzielen kann.
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_08.tex}
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Wie man jetzt vielleicht denken mag, schließt sich hier der Kreis, denn in der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ sind alle die Ihnen aus der Schule her vertrauten Rechnungen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren und Wurzelziehen möglich. Es zeigt sich aber, dass auch die Menge der reellen Zahlen noch unvollständig ist.
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Betrachten Sie dazu beispielsweise die Gleichung $x^{2}=-1$. Offensichtlich gibt es keine reelle Zahl $x \in \mathbb{R}$ die diese Gleichung zu lösen vermag. Im \ref{Chap4} wird eine weitere Zahlenbereichserweiterung der reellen Zahlen vorgenommen und man gelangt dann zu der komplexen Zahlenmenge $\mathbb{C}$, in der auch diese Gleichung lösbar ist.
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\input{Band_I/Beispiele/I_B_03.tex}
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Wie an diesen Beispielen zu erkennen ist, braucht man zur Lösung einer Aufgabe häufig nicht immer alle reellen Zahlen, sondern häufig nur Teilbereiche der reellen Zahlen, sogenannte Intervalle. Man unterscheidet dabei in endliche und unendliche Intervalle. Für \textbf{endliche} Intervalle gilt:
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_09.tex}
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Unendliche Intervalle sind Intervalle die $-\infty$ oder $+\infty$ als Intervallgrenzen haben. Bedenken Sie, dass $-\infty$ und $+\infty$ keine reellen Zahlen sind sondern nur Zeichen, die andeuten sollen, das beliebig große negative beziehungsweise positive reelle Zahlen zulässig sind. Wäre nämlich $+\infty$ die größte aller möglichen reellen Zahlen, dann ist $+\infty+1$ noch größer als $+\infty$. Also kann $+\infty$ nicht die größte reelle Zahl sein. Daher ist die Schreibweise $\mathbf[-\infty,+\infty]$ \textbf{verboten}, weil das ja bedeuten würde, dass die \glqq Zahlen\grqq $\pm \infty$ dem Intervall angehören obwohl sie gar nicht existieren!
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_10.tex}
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Als sehr vorteilhaft erweisen sich auch noch die beiden Abkürzungen $\mathbb{R}^{+}:=(0, \infty)$ und $\mathbb{R}_{0}^{+}:=\left[0, \infty\right).$
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\section{Mengenverknüpfungen}
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Betrachten Sie die beiden Mengen $M:=\{2,4,8,16\}$ und $N:=\left\{2,2^{2}, 2^{3}, 2^{4}\right\} .$ Man erkennt sofort, dass jedes Element der Menge $M$ auch ein Element der Menge $N$ ist und umgekehrt. Solche Mengen nennt man gleich.
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_11.tex}
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\input{Band_I/Beispiele/I_B_04.tex}
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\input{Band_I/Beispiele/I_B_05.tex}
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Für die Zahlenmengen $\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$ und $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots\}$ stellt man fest, dass jedes Element der Menge $\mathbb{N}$ auch in der Menge $\mathbb{Z}$ zu finden ist. Ebenso ist jedes Element der Menge $\mathbb{Z}$ auch ein Element der Menge $\mathbb{Q}$ und jedes Element der Menge $\mathbb{Q}$ wiederum ein Element der Menge $\mathbb{R}$. Das führt auf die folgende
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_12.tex}
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\input{Band_I/Beispiele/I_B_06.tex}
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Der Mathematiker \textbf{John Venn} (1834-1923)\footnote{John Venn, englischer Mathematiker, geb. 4. August 1834 in Drypool (Hull, Humberside), gest. 4. April 1923 in Cambridge. Venn war in Cambridge mehr als 30 Jahre Professor für Logik und Naturphilosophie.} abstrahierte Mengen als ein Flächenstück in der Ebene. Man legt fest, das alle Elemente die zu einer Menge gehören innerhalb dieser Fläche liegen. Dabei ist allerdings zu bedenken, dass eine solche Darstellung lediglich der Veranschaulichung dienen soll und \textbf{keinesfalls} die exakte Schreibweise für Mengen ersetzen kann. Die Teilmengenbeziehung lässt sich dann geometrisch durch sogenannte Venn - Diagramme darstellen wie etwa in der nachfolgenden Abbildung \ref{Abb001}.
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Nach der Definition\ref{D1_1_12} gilt für jede beliebige Menge $A$ selbstverständlich auch $A \subset A$. Also ist jede Menge eine Teilmenge von sich selbst. Man unterscheidet nun zwischen echten und sogenannten unechten Teilmengen.
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\input{Band_I/Grafiken/I_Abb001.tex}
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_13.tex}
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Mit dieser Definition sind also die leere Menge $\{\}$ und die Menge $A$ selbst unechte Teilmengen von $A$. Hier stellt sich gleich die Frage, wie viele echte und unechte Teilmengen hat eine endliche Menge überhaupt?
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\input{Band_I/Beispiele/I_B_07.tex}
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Alle möglichen Teilmengen einer Menge bilden selbst wieder eine Menge, die sogenannte Potenzmenge.
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_14.tex}
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Die Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ der Menge $A$ aus dem Beispiel\ref{B0007} lautet dann
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\[
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\mathcal{P}(A)=\{\{\},\{a\},\{b\},\{c\},\{a, b\},\{a, c\},\{b, c\},\{a, b, c\}\} .
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\]
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\input{Band_I/Beispiele/I_B_08.tex}
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Das führt auf die
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_15.tex}
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Dabei steht das Zeichen $\wedge$ für \textbf{und} beziehungsweise das Zeichen $\vee$ für \textbf{oder}.
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Die Fragen und Ergebnisse aus dem Beispiel \ref{B0008} lassen sich damit kurz formulieren als
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$$A \cap B=\{5\}, \quad A \cup B=\{1,3,4,5,6\} \quad \text{ und }\quad A \backslash B=\{1,3\}$$.
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Durchschnitt, Vereinigung und Differenz zweier Mengen $A, B$ lassen sich wieder recht anschaulich durch Venn - Diagramme darstellen.
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\input{Band_I/Grafiken/I_Abb002.tex}
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\textbf{Bemerkung:} Ist der Durchschnitt zweier Mengen $A, B$ die leere Menge, also $A \cap B=\{\}$, dann heißen die Mengen \textbf{unvereinbar} oder auch \textbf{disjunkt}.
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Selbstverständlich lässt sich die Durchschnitts- und Vereinigungsmenge auch von endlich vielen Mengen $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ bilden.
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_16.tex}
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Seien $A, B$ zwei beliebige Mengen und $a \in A, b \in B$.
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Ein \textbf{geordnetes Paar} besteht aus zwei Elementen von denen eines, etwa $a$ als erstes gekennzeichnet ist und das andere als zweites. Man schreibt dann $(a, b)$ und ist nicht zu verwechseln mit der Menge $\{a, b\}$ beziehungsweise dem offenen Intervall $(a, b)$. Zwei geordnete Paare $(a, b)$ und $(c, d)$ sind genau dann gleich, wenn $a=c$ und $b=d$ gilt.
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\input{Band_I/Beispiele/I_B_09.tex}
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Beachten Sie, dass die geordneten Paare $(1, \alpha)$ und $(\alpha, 1)$ verschieden sind. Dagegen sind die Mengen $\{1, \alpha\}$ und $\{\alpha, 1\}$ gleich, weil sie die gleichen Elemente besitzen!
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_17.tex}
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Der Begriff der Produktmenge lässt sich auf natürliche Weise auch für mehr als zwei Mengen erweitern.
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\input{Band_I/Definitionen/I_D_18.tex}
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\input{Band_I/Beispiele/I_B_10.tex}
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\section{Übungsaufgaben}
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\begin{aufgabe}\label{A1_1_01}
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Bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge $A \cap B$, die Vereinigungsmenge $A \cup B$ und die beiden Differenzmengen $A \backslash B$ beziehungsweise $B \backslash A$ für:
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\begin{enumerate}[a)]
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\item $A=\{x \in \mathbb{R}|\; \abs{x} <8\}$ und $B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}$,
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\item $A=\{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 4\}$ und $B=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4\}$.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}\label{A1_1_02}
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Die Menge $M:=(\lfloor 0,5[\cap([1,3] \cup[4,7])) \cap] 3,4[$ ist soweit wie möglich zu vereinfachen. Benutzen Sie zur Veranschaulichung den Zahlenstrahl, auf dem Sie die einzelnen Intervalle kenntlich machen.
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}\label{A1_1_03}
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Vereinfachen Sie die nachfolgenden Mengen soweit wie möglich und skizzieren Sie Ihre Lösungen auf dem Zahlenstrahl.
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\begin{enumerate}[a)]
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\item $M_{1}:=X \backslash(C \cap(A \backslash B))$ mit $X=\mathbb{R}, \quad A=[0, \infty[, \quad B=\{1,3\}, \quad C=]-\infty, 3] .$
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\item $M_{2}:=X \backslash(D \cup((B \backslash C) \cap(A \cap E)))$ mit $X=\mathbb{R}, \quad A=[3, \infty[, \quad B=\mathbb{N}, \quad C=\{4,5\}, \quad D=]-\infty, 1], \quad E=[1,8] .$
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\item $M_{3}:=(A \backslash B) \cap(C \cup D)$ und $M_{4}:=((D \backslash A) \cap(B \backslash A)) \cup D$ mit $A=[-3,1], \quad B=\{1,3,5\}, \quad C=15, \infty[, \quad D=]-\infty, 1] .$
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}\label{A1_1_04}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Geben Sie die Potenzmenge $\mathcal{P}(M)$ für die Menge $M:=\left\{\frac{1}{2}, \sqrt{3}\right\}$ an.
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\item Wie viele Elemente (Mächtigkeit) $\# \mathcal{P}(M)$ hat die Potenzmenge einer Menge $M$ mit $n \in \mathbb{N}$ Elementen? Geben Sie dafür einen anschaulichen Beweis an.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}\label{A1_1_05}
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Geben Sie die Menge $M$ konkret an und begründen Sie Ihre Argumentation sorgfältig !
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$$
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M:=\left\{\begin{array}{l|l}
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n \in \mathbb{N} & \left.\frac{n-1}{2^{n}}<\frac{1}{10}\right\}
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\end{array}\right\}
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$$
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}\label{A1_1_06}
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Bestimmen Sie die folgenden Mengen.
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\begin{enumerate}[a)]
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\item $M_{1}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x$ ist durch 2 teilbar $\} \cap\{x \in \mathbb{N} \mid x$ ist durch 3 teilbar $\}$
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\item $M_{2}:=\{n \in \mathbb{N} \mid n$ ist Primzahl $\} \cap\{n \in \mathbb{N} \mid n$ ist gerade $\}$
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}\label{A1_1_07}
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Welche Mengen werden beschrieben durch:
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\begin{enumerate}[a)]
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\item $M:=\bigcup_{k=0}^{\infty} M_{k} \quad$ mit $\left.\quad M_{k}:=\{x \in] k \pi,(k+2) \pi[ \,\mid \sin x=\cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right\}$.
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||||
\item $N:=\bigcap_{k=1}^{\infty} N_{k} \quad$ mit $\quad N_{k}:=\left\{0, \frac{1}{k}, \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k+2}, \ldots\right\}$.
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\item Bildet die Vereinigung $M \cup N$ der Mengen aus a) und b) ein Intervall?
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}\label{A1_1_08}
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Bestimmen Sie die folgenden Mengen.
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\begin{enumerate}[a)]
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\item $M_{1}:=\bigcup_{m \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}}\{x \in \mathbb{R} \mid m \cdot x \in \mathbb{N}\}$
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\item $\left.\left.M_{2}:=\bigcup_{k=1}^{\infty}\;\right] k-1, k+1\right]$
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\item $M_{3}:=\bigcap_{a \in \mathbb{R}}\{x \mid(x-a)(x-1)=0\}$
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\item $M_{4}:=\bigcap_{k=0}^{\infty}\left\{x \in \mathbb{R} \mid \sin (k \cdot x)=0 \wedge k \in \mathbb{N}_{0}\right\}$
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\item $M_{5}:=\bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k} \quad$ mit $\quad B_{k}=\{-k,-k+1, \ldots, k-1, k\} \quad$ und $\quad k \in \mathbb{N}$.
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\item $M_{6}:=\bigcap_{v=1}^{\infty} N_{v} \quad$ mit $\quad N_{v}=\{0,1,2, \ldots, v\} \quad$ und $\quad v \in \mathbb{N}$.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\newpage
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715
I_2.tex
Normal file
715
I_2.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,715 @@
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%!TEX root=../MathIng.tex
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Jede mathematische Aussage bedarf eines Beweises. Dazu bedient man sich im wesentlichen dreier Methoden, die in diesem Kapitel vorgestellt werden sollen.
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\section{Direkter Beweis}
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Das Ziel ist es, aus einer Aussage $A$ (Voraussetzung) eine Aussage $B$ (Behauptung) zu beweisen. Hierzu kann man sich der direkten Beweismethode bedienen, deren Prinzip darin besteht, dass man mit der Aussage $A$ beginnt und diese durch erlaubte mathematische Operationen in die Aussage $B$ überführt $(A \Rightarrow B)$.
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Der direkte Beweis ist die am häufigsten verwendete Methode wohl aber auch die schwierigste. Betrachten Sie dazu die folgenden Beispiele.
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\begin{beispiel}\label{B0011}
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\textbf{Behauptung}: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$ ist ungerade.
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\textbf{Beweis}:
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Sei $n$ eine beliebige ungerade natürliche Zahl. Dann lässt sich diese Zahl darstellen als $n=2 k+1$ mit einem $k \in \mathbb{N}_{0}$. Mithilfe der ersten binomischen Formel erhält man
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\[
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n^{2}=(2 k+1)^{2}=4 k^{2}+4 k+1.
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\]
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Weil die ersten beiden Summanden $4 k^{2}$ und $4 k$ jeweils eine gerade Zahl darstellen, ist die Summe $4 k^{2}+4 k$ ebenfalls eine gerade Zahl. Addiert man nun zu der geraden Zahl $4 k^{2}+4 k$ die Zahl $1$ , dann ergibt sich immer eine ungerade Zahl. Also ist $n^{2}$ ungerade und damit die Behauptung bewiesen.
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\hfill $\blacksquare$
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\end{beispiel}
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\textbf{Bemerkung:}
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Um das Ende eines Beweises zu kennzeichnen, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten.
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\begin{itemize}
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\item w.z.b.w.: \glqq \textbf{w}as \textbf{z}u \textbf{b}eweisen \textbf{w}ar\grqq (und nicht etwa \glqq was zu bezweifeln wäre\grqq).
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\item q.e.d: \glqq \textbf{q}uod \textbf{e}rat \textbf{d}emonstrandum\grqq.
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\item $\blacksquare$
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\end{itemize}
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Im Folgenden wird zur Kennzeichnung für das Ende eines Beweises ausschließlich die dritte Variante $\blacksquare$ gewählt.
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\begin{beispiel}\label{B0012}
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\textbf{Behauptung:} Die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen $S_{n}=1+2+3+\ldots+n$ lässt sich durch die Formel $S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ berechnen.
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\vspace{2mm}
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\textbf{Beweis:} Der Trick (und das macht den direkten Beweis schwierig) auf den man hier erst einmal kommen muss, besteht darin, die Voraussetzung $S_{n}=1+2+3+\ldots+n$ einmal so wie hier und einmal in umgekehrter Reihenfolge aufzuschreiben.
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\renewcommand{\theequation}{\roman{equation}}
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\begin{align}
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S_{n}=1+2+3+\ldots+(n-2)+(n-1)+n\\
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||||
S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\ldots+3+2+1
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\end{align}
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Die gliedweise Addition der Gleichungen $(i)$ und $($ ii $)$ liefert schließlich die Behauptung.
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\begin{align*}
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2 S_{n}&=(n+1)+(n-1+2)+(n-2+3)+\ldots+(3+n-2)+(2+n-1)+(1+n)\\
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&=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)+(n+1)+(n+1)}_{n\; \text{gleiche Summanden}}=n(n+1)\\
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||||
\Rightarrow S_n=\frac{n(n+1)}{2}
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||||
\end{align*}
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\hfill $\blacksquare$
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\end{beispiel}
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Ein Beweis muss immer allgemeingültig sein und \underline{alle} möglichen Fälle abdecken. Für das Widerlegen einer Behauptung genügt daher nur \underline{ein} einziges Gegenbeispiel!
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\begin{beispiel}\label{B0013}
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\textit{Behauptung}: Für alle $n \in \mathbb{N}$ liefert die Formel $p(n):=n^2-n+41$ eine \textbf{Primzahl}. Das heißt eine Zahl, die nur durch $1$ oder sich selbst teilbar ist.
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Diese Aussage ist offensichtlich falsch, weil $p(41)=41^{2}-41+41=41^{2}$ keine Primzahl ist. Denn die Zahl $41^{2}$ lässt sich neben 1 und $41^{2}$ auch durch die Zahl 41 teilen.
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\end{beispiel}
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2.2 Indirekter Beweis
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Der indirekte Beweis oder auch Widerspruchsbeweis ist einer der elegantesten und auch einfachsten Beweise. Wie bei dem direkten Beweis ist es auch hier das Ziel, aus einer Aussage $A$ (Voraussetzung) eine Aussage $B$ (Behauptung) zu beweisen.
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Das Prinzip des indirekten Beweises besteht darin, das man annimmt, die Behauptung $B$ sei falsch und stattdessen das logische Gegenteil $\neg B$ richtig. Durch erlaubte mathematische Operationen führt man unter Benutzung der zusätzlichen Voraussetzung $\neg B$ einen Widerspruch her. Die Folgerung ist, dass $B$ richtig sein muss.
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Beispiel 14
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Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl $n$ eine natürliche Zahl, so ist diese gerade.
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%%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
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-16-
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-17-
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Beweis :
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Nimmt man an, dass $k=\sqrt{n}$ eine ungerade Zahl ist, dann ist wegen der in Beispiel 11 bewiesenen Behauptung auch $k^{2}=n$ ungerade und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass $n$ gerade ist. Also ist die getroffene Annahme falsch und das heißt $\sqrt{n}$ ist eine gerade Zahl.
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Bei diesem Beweisverfahren schleicht sich oft ein häufig gemachter Fehler ein, indem die Behauptung falsch negiert wird. Dazu das folgende
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Beispiel 15
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Behauptung: Die Zahl 1 ist die größte reelle Zahl.
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Beweis:
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Angenommen die Behauptung ist falsch, dass heißt es gibt eine andere größte Zahl $y$, mit $1<y$. Weil die Zahl y positiv ist, kann die Ungleichung $1<y$ mit $y$ multipliziert werden und man erhält $y<y^{2}$. Das ist offenbar ein Widerspruch zur Annahme, dass y die größte Zahl ist, weil $y^{2}$ ja noch größer als $y$ ist. Also folgt die Behauptung und somit ist die Zahl 1 die größte reelle Zahl.
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Wo liegt hier der Fehler ?
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Die Negation der Behauptung ist falsch! Die richtige Negation muss lauten : 1 ist nicht die größte reelle Zahl.
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2.3 Vollständige Induktion
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Zur Vorbereitung dieser wichtigen Beweismethode werden zunächst einige Begriffe definiert, die in den zu beweisenden Behauptungen immer wieder auftauchen.
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Definition 2.1 Wenn $a_{k}$ ein beliebiger Ausdruck in Abhängigkeit von $k \in \mathbb{Z}$ und $m, n \in \mathbb{Z}$ mit $m \leq n$ ist, dann ist das Summenzeichen definiert als
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$$
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\sum_{k=m}^{n} a_{k}:=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots+a_{n-1}+a_{n}
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$$
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||||
Für den Fall $m>n$ setzt man $\sum_{k=m}^{n} a_{k}:=0$.
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Das Summenzeichen dient also dazu, endliche Summen von Ausdrücken oder Termen effizient und platzsparend darzustellen.
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Beispiel 16
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a) $1+2+3+\ldots+n-1+n=\sum_{k=1}^{n} k$
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-17-
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\newpage
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-18-
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b) $2^{3}+2^{2}+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{50}}=\sum_{k=-3}^{50} \frac{1}{2^{k}}$
|
||||
c) $\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(x-x_{2}\right)^{2}+\left(x-x_{3}\right)^{2}+\ldots+\left(x-x_{l}\right)^{2}}=\sqrt{\sum_{k=1}^{l}\left(x-x_{k}\right)^{2}}$
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||||
Für das Rechnen mit dem Summenzeichen gelten die im folgenden Satz zusammengestellten Gesetze.
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\begin{satz}\label{S0001}
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\begin{align}
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\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k} &=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right) \\
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||||
\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k} &=c \sum_{k=m}^{n} a_{k} \\
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||||
\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j} \\
|
||||
\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k} \quad \text { für } m \leq u \leq n \\
|
||||
\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i} &=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i}=\sum_{i=u}^{v} \sum_{k=m}^{n} a_{k} b_{i}
|
||||
\end{align}
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||||
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||||
Für eine beliebige Zahl $l \in \mathbb{Z}$ lässt sich eine \textbf{Indexverschiebung} im Summenzeichen vornehmen. Es gilt:
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\begin{align}
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||||
\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{k=m+l}^{n+1} a_{k-l}
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||||
\end{align}
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||||
\end{satz}
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Beweis:
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Mit der Definition $2.1$ gilt :
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(1) $\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{m}+b_{m+1}+\ldots+b_{n}$
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||||
$$
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||||
=a_{m}+b_{m}+a_{m+1}+b_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{n}=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)
|
||||
$$
|
||||
(2) $\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k}=c \cdot a_{m}+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_{n}$
|
||||
$$
|
||||
=c \cdot\left(a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}\right)=c \sum_{k=m}^{n} a_{k}
|
||||
$$
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||||
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||||
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||||
-18-
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||||
\newpage
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-19-
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(3) $\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}$
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||||
(4) $\sum_{k=m}^{n} a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{u}+a_{u+1}+\ldots+a_{n}=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k}$
|
||||
(5) $\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i}=\sum_{k=m}^{n} a_{k} \cdot\left(b_{u}+b_{u+1}+\ldots+b_{v}\right)$
|
||||
$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
&=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k} b_{u}+a_{k} b_{u+1}+\ldots+a_{k} b_{v}\right)=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i} \\
|
||||
\sum_{i=u}^{v} \sum_{k=m}^{n} a_{k} b_{i} &=\sum_{i=u}^{v}\left(a_{m} b_{i}+a_{m+1} b_{i}+\ldots+a_{n} b_{i}\right) \\
|
||||
& \stackrel{(1)}{=} \sum_{i=u}^{v} a_{m} b_{i}+\sum_{i=u}^{v} a_{m+1} b_{i}+\ldots+\sum_{i=u}^{v} a_{n} b_{i} \\
|
||||
& \stackrel{(2)}{=} a_{m} \sum_{i=u}^{v} b_{i}+a_{m+1} \sum_{i=u}^{v} b_{i}+\ldots+a_{n} \sum_{i=u}^{v} b_{i} \\
|
||||
&=\left(a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}\right) \sum_{i=u}^{v} b_{i}=\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i}
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
|
||||
(6) $\sum_{k=m+l}^{n+l} a_{k-l}=a_{m+l-l}+a_{m+l+1-l}+\ldots+a_{n+l-l}$
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||||
$$
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||||
=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}=\sum_{k=m}^{n} a_{k}
|
||||
$$
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||||
Beispiel 17
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||||
Vereinfachen Sie die Summe $\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4$ soweit wie möglich.
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Lösung:
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Mit Satz $2.1$ gilt
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$$
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||||
\sum_{k=0}^{n} k^{2}+4 \sum_{k=0}^{n} k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(2)}{=} \sum_{k=0}^{n} k^{2}+\sum_{k=0}^{n} 4 k+\sum_{k=0}^{n} 4 \stackrel{(1)}{=} \sum_{k=0}^{n}\left(k^{2}+4 k+4\right)=\sum_{k=0}^{n}(k+2)^{2} .
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||||
$$
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||||
Eine der wichtigsten Summen überhaupt in der Mathematik ist die Summe
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||||
$$
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||||
S_{n}:=\sum_{k=0}^{n} q^{k}=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n},
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||||
$$
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||||
die auch als geometrische Summe bezeichnet wird.
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||||
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-19-
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\newpage
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||||
-20-
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||||
Satz $2.2$ Sei $q \in \mathbb{R}$. Dann gilt für die geometrische Summe die Summenformel
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$$
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||||
S_{n}=\sum_{k=0}^{n} q^{k}=\left\{\begin{array}{lll}
|
||||
n+1 & \text { für } & q=1 \\
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||||
\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text { für } & q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}
|
||||
\end{array}\right.
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||||
$$
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||||
Beweis:
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||||
Der Beweis wird hier direkt geführt. Dazu schreibt man die beiden Summen $S_{n}$ und $q \cdot S_{n}$ untereinander auf.
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$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
S_{n} &=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n-1}+q^{n} \\
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||||
q \cdot S_{n} &=q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\ldots+q^{n}+q^{n+1}
|
||||
\end{aligned}
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||||
$$
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||||
Subtrahiert man jetzt von der Gleichung ( $i$ ) die Gleichung (ii), dann heben sich die Summanden $q, q^{2}, \ldots, q^{n}$ heraus und dann folgt für alle $q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$
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||||
$$
|
||||
S_{n}-q \cdot S_{n}=1-q^{n+1} \Rightarrow(1-q) S_{n}=1-q^{n+1} \quad \Rightarrow \quad S_{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
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||||
$$
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||||
Für $q=1$ erhält man $S_{n}=1+1+1+\ldots+1=(n+1) \cdot 1=n+1$.
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||||
Auch im alltäglichen Leben spielt die geometrische Summe eine wichtige Rolle. Zum Beispiel bei der Verzinsung eines Kapitals über mehrere Jahre hinweg. Betrachten Sie dazu das folgende
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Beispiel 18
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||||
Ein Anleger bringt zu Beginn eines jeden Jahres den festen Betrag $B$ zur Bank, der mit dem festen Zinssatz $p$ am Ende eines jeden Jahres verzinst wird und seinem Konto gutgeschrieben wird. Bestimmen Sie den ersparten Betrag $K_{n}$ nach $n$ Jahren.
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||||
Lösung:
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Der Zinsfaktor ist $q=1+\frac{p}{100}$ mit dem das Kapital am Ende eines jeden Jahres multipliziert werden muss. Dann ergibt sich die folgende Kapitalentwicklung jeweils am Ende des
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1. Jahr $\quad K_{1}=B q$
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||||
2. Jahr $K_{2}=\left(K_{1}+B\right) q=(B q+B) q=B q^{2}+B q$
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||||
3. Jahr $K_{3}=\left(K_{2}+B\right) q=\left(B q^{2}+B q+B\right) q=B q^{3}+B q^{2}+B q$
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||||
$$
|
||||
\text { n. Jahr } \begin{aligned}
|
||||
K_{n} &=B q^{n}+B q^{n-1}+\ldots+B q=q B\left(1+q+q^{2}+\ldots+q^{n-1}\right) \\
|
||||
&=q B \sum_{k=0}^{n-1} q^{k}=q B \frac{1-q^{n}}{1-q}
|
||||
\end{aligned}
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||||
$$
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||||
-20-
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||||
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\newpage
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-21-
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||||
Neben dem Summenzeichen gibt es noch ein weiteres Zeichen, mit dem sich äußerst effizient Produkte schreiben lassen.
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||||
Definition $2.2$ Wenn $a_{k}$ ein beliebiger Ausdruck in Abhängigkeit von $k \in \mathbb{N}_{0}$ und $m, n \in \mathbb{N}_{0}$ mit $m \leq n$ ist, dann ist das Produktzeichen definiert als
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||||
$$
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||||
\prod_{k=m}^{n} a_{k}:=a_{m} \cdot a_{m+1} \cdot a_{m+2} \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_{n} .
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||||
$$
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||||
Für den Fall $m>n$ setzt man $\prod_{k=m}^{n} a_{k}:=1$.
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||||
Das Produktzeichen dient ebenfalls dazu, endliche Produkte von Ausdrücken effizient und platzsparend darzustellen .
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Beispiel 19
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a) $\cos (\pi) \cdot \cos (2 \pi) \cdot \cos (3 \pi) \cdot \ldots \cdot \cos (n \pi)=\prod_{k=1}^{n} \cos (k \pi)$
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b) $\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot \ldots \cdot x_{\mu-1} \cdot x_{\mu}}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{\mu} x_{k}}$
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Von besonderer Bedeutung ist das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen.
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Definition 2.3 Für alle $n \in \mathbb{N}$ heißt das Produkt
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$$
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n !:=\prod_{k=1}^{n} k=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n
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$$
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n - Fakultät. Man definiert weiter $0 !:=1$.
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Aus dieser Definition lässt sich sofort die fundamentale Eigenschaft der Fakultät
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$$
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n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(n-1) \cdot n=(n-1) ! \cdot n
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$$
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ablesen .
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Beispiel 20
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Angenommen Sie sollen die drei verschiedenen Bücher $B_{1}, B_{2}$ und $B_{3}$ nebeneinander in ein Bücherregal stellen. Wie viele Aufstellmöglichkeiten sind dann möglich ?
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Lösung:
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An erster Stelle kann eines der drei Bücher $B_{1}, B_{2}$ oder $B_{3}$ platziert werden. Es gibt dafür also insgesamt drei Möglichkeiten .
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-22-
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An zweiter Stelle können jeweils nur noch zwei der verbleibenden Bücher platziert werden, sodass für die dritte Stelle nur noch ein Buch übrigbleibt. In der folgenden Abbildung sind die Platzierungsmöglichkeiten in einem Diagramm dargestellt.
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\input{Band_I/Grafiken/I_Abb003.tex}
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Man erkennt aus dieser Abbildung, dass es genau $3 !=3 \cdot 2 \cdot 1=6$ Platzierungsmöglichkeiten gibt. Anders formuliert kann man diese Aufgabe auch so interpretieren: Wie viele verschiedene Tripel lassen sich aus der Menge $\left\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\right\}$ bilden, wenn jedes Element nur einmal vorkommen darf? Es sind genau 3 ! solcher Tripel, nämlich
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$$
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\begin{array}{lll}
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\left(B_{1}, B_{2}, B_{3}\right), & \left(B_{1}, B_{3}, B_{2}\right), & \left(B_{2}, B_{1}, B_{3}\right), \\
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||||
\left(B_{2}, B_{3}, B_{1}\right), & \left(B_{3}, B_{1}, B_{2}\right), & \left(B_{3}, B_{2}, B_{1}\right) .
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||||
\end{array}
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$$
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Man spricht hier auch von Permutation ohne Wiederholung $$ \text { Definition } 2.4 \text { Für alle } n, k \in \mathbb{N}_{0} \text { mit } k \leq n \text { heißt } $$
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$$
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\left(\begin{array}{l}
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||||
n \\
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||||
k
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||||
\end{array}\right):=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k}
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||||
$$
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||||
\textbf{Binomialkoeffizient} und wird gelesen als "$n$ über $k$. Für $k=0$ setzt man $\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right):=1$.
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Aus dieser Definition ergibt sich sofort
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$$
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\left(\begin{array}{l}
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0 \\
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||||
0
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||||
\end{array}\right)=1 \quad \text { und } \quad\left(\begin{array}{l}
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||||
n \\
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||||
n
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||||
\end{array}\right)=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n}=\frac{n !}{n !}=1
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||||
$$
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Beispiel 21
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Mit der Definition $2.4$ ergeben sich die Binomialkoeffizienten für alle $0 \leq k \leq n \leq 4$ zu
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- $\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)=1$.
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- $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=1$.
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-22-
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\newpage
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-23-
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- $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)=\frac{2}{1}=2,\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)=1$.
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||||
- $\left(\begin{array}{l}3 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right)=\frac{3}{1}=3,\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)=\frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2}=3,\left(\begin{array}{l}3 \\ 3\end{array}\right)=1$.
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||||
- $\left(\begin{array}{l}4 \\ 0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right)=\frac{4}{1}=4,\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)=\frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 2}=6,\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right)=\frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3}=4,\left(\begin{array}{l}4 \\ 4\end{array}\right)=1$.
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Eine der wichtigsten Anwendungen der Binomialkoeffizienten liegt in der Berechnung der Binompotenzen $(a+b)^{n}$ für alle $n \in \mathbb{N}_{0}$. Es gilt :
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$$
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\begin{aligned}
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&(a+b)^{0}=1 \\
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||||
&(a+b)^{1}=a+b
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\end{aligned}
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$$
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$(a+b)^{1}=a+b$
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$\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)$
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$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$
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$$
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2(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}-(3)-(3)(3)-(3)
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$$
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||||
Für zum Beispiel $(a+b)^{3}$ lässt sich jetzt offensichtlich
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$b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$ $\vdots$ Beispiel $(a+b)^{3}$ lässt sich jetz
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$$
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\begin{gathered}
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||||
\left(\begin{array}{l}
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||||
3 \\
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||||
0
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||||
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l}
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||||
3 \\
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||||
1
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||||
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l}
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||||
3 \\
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||||
2
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||||
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l}
|
||||
3 \\
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||||
3
|
||||
\end{array}\right) \\
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||||
\vdots
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||||
\end{gathered}
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||||
$$
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||||
schreiben, wodurch auch der Name Binomialkoeffizient seine Gerechtfertigke
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schreiben, wodurch auch der Name Binomialkoeffizient seine Gerechtfertigkeit findet .
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*) Blaise Pascal, französischer Mathematiker und Physiker, geb. 19. Juni 1623 in Clermont - Ferrand, gest. 19. August 1662 in Paris. Pascal beschäftigte sich vorwiegend mit Glücksspielen und Wahrscheinlichkeitsrechnung.
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-23-
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\newpage
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-24-
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Zwei fundamentale Eigenschaften der Binomialkoeffizienten sind in dem folgenden Sat zusammengefasst.
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Satz 2.3 Seien $n, k \in \mathbb{N}_{0}$. Dann gilt
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(1) $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !}=\left(\begin{array}{c}n \\ n-k\end{array}\right)$ für alle $k \leq n$,
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||||
(2) $\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right) \quad$ für alle $1 \leq k \leq n$.
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||||
Beweis:
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(1) Mit den Definitionen $2.3$ und $2.4$ ergibt sich für alle $n, k \in \mathbb{N}_{0}$ mit $k \leq n$
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$$
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\begin{aligned}
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\left(\begin{array}{l}
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||||
n \\
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||||
k
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||||
\end{array}\right) &=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k}=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1)}{k !} \cdot \frac{(n-k) !}{(n-k) !} \\
|
||||
&=\frac{n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot(n-k+1) \cdot(n-k) \cdot(n-k-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1}{(n-k) ! \cdot k !} \\
|
||||
&=\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !}=\frac{n !}{k ! \cdot(n-k) !}=\frac{n !}{(n-(n-k)) ! \cdot(n-k) !}=\left(\begin{array}{c}
|
||||
n \\
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||||
n-k
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||||
\end{array}\right)
|
||||
\end{aligned}
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||||
$$
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||||
(2) Mit (1) folgt für alle $n, k \in \mathbb{N}$ und $1 \leq k \leq n$
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$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
\left(\begin{array}{c}
|
||||
n \\
|
||||
k-1
|
||||
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
|
||||
n \\
|
||||
k
|
||||
\end{array}\right) &=\frac{n !}{(n-k+1) ! \cdot(k-1) !}+\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !} \\
|
||||
&=\frac{n !}{(n-k+1) ! \cdot(k-1) !} \cdot \frac{k}{k}+\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k !} \cdot \frac{n-k+1}{n-k+1} \\
|
||||
&=\frac{k \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !}+\frac{(n-k+1) \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !}=\frac{(k+n-k+1) \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !} \\
|
||||
&=\frac{(n+1) \cdot n !}{(n-k+1) ! \cdot k !}=\frac{(n+1) !}{(n+1-k) ! \cdot k !}=\left(\begin{array}{c}
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||||
n+1 \\
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||||
k
|
||||
\end{array}\right)
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||||
\end{aligned}
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$$
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Die Formel ( 2 ) stellt eine Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten dar. Denn wenn man alle $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ für ein beliebiges $n$ schon kennt, so kann man mit ihr sehr einfach alle $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$ berechnen. Schauen Sie sich dazu noch einmal das Pascalsche Dreieck an. Dann ist $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$ gerade die Zahl, die sich in der $n$ - ten Zeile und $k$ - ten Spalte des Dreiecks befindet. Um die $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$ zu berechnen, brauchen Sie einfach nur die beiden Zahlen aus der Zeile davor die links und rechts über der Zahl $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$ angeordnet sind zu addieren.
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Es sei $A(n)$ eine Aussage (sehen Sie dazu auch Abschnitt $6.1$ ), welche von natürlichen Zahlen $n$q abhängt. Zum Beweis einer Behauptung: "Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt $A(n)$ " benutzt man das Prinzip der vollständigen Induktion ( den Beweis hierzu finden Sie im Abschnitt 6.2), das im wesentlichen in den folgenden drei Schritten abläuft .
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-24-
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\newpage
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-25-
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1) Induktionsanfang
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Man zeigt, dass die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ für ein geeignetes $n_{0} \in \mathbb{N}$ wahr ist.
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2) Induktionsannahme
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Es wird angenommen, dass die Aussage $A(n)$ für eine natürliche Zahl $n \geq n_{0}$ wahr ist.
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3) Induktionsschritt
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Mit der Induktionsannahme $A(n)$ zeigt man dann, dass daraus die Richtigkeit der Aussage $A(n+1)$ folgt .
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Es ergibt sich, dass $A(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n \geq n_{0}$ eine wahre Aussage liefert. Denn es ist ja für
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$n=n_{0}: \quad A\left(n_{0}\right)$ wahr nach $(1) .$
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$n=n_{0}+1: \quad A\left(n_{0}+1\right)$ wahr nach $(3)$ wenn $n=n_{0}$ gesetzt wird $.$
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||||
$n=n_{0}+2: \quad A\left(n_{0}+2\right)$ wahr nach $(3)$ wenn $n=n_{0}+1$ gesetzt wird $.$
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||||
$n=n_{0}+3: \quad A\left(n_{0}+3\right)$ wahr nach $(3)$ wenn $n=n_{0}+2$ gesetzt wird $.$
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Beispiel 22
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Beweisen Sie die Behauptung: Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $2^{n}>n$.
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Beweis :
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Die Aussage $A(n)$ ist hier $2^{n}>n$ für alle $n \in \mathbb{N}$.
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- Induktionsanfang
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Setzt man in $A(n)$ die Zahl $n=1$ ein, dann folgt dass $A(1)$ wahr ist. Denn es gilt $2^{1}=2>1 .$
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- Induktionsannahme
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Für ein beliebig gewähltes, aber festes $n \in \mathbb{N}$ mit $n \geq 1$ gilt die Aussage $A(n)$, also $2^{n}>n(*)$.
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- Induktionsschritt
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Zu zeigen ist, dass die Aussage auch für $n+1$ wahr ist ; also $2^{n+1}>n+1$. Mit der Induktionsannahme $(*)$ ergibt sich für alle $n \in \mathbb{N}$
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$$
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||||
2^{n+1}=2 \cdot 2^{n \stackrel{(\star)}{>}} 2 n=n+n \geq n+1
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$$
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||||
sodass aus der Richtigkeit der Aussage $A(n)$ stets die Richtigkeit der Aussage $A(n+1)$ folgt.
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-25-
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\newpage
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-26-
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Satz 2.4 Für alle $n \in \mathbb{N}_{0}$ und $a, b \in \mathbb{R}$ gilt der binomische Satz
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$$
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(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
|
||||
n \\
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||||
k
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||||
\end{array}\right) a^{n-k} b^{k}
|
||||
$$
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||||
Beweis:
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Der Beweis erfolgt mit vollständiger Induktion .
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||||
- Induktionsanfang
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||||
Die Aussage ist wahr für $n=0$, denn es gilt
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$$
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||||
(a+b)^{0}=1=\sum_{k=0}^{0}\left(\begin{array}{l}
|
||||
0 \\
|
||||
k
|
||||
\end{array}\right) a^{0-k} b^{k}=\left(\begin{array}{l}
|
||||
0 \\
|
||||
0
|
||||
\end{array}\right) a^{0-0} b^{0}=1
|
||||
$$
|
||||
- Induktionsannahme
|
||||
Für ein beliebig gewähltes, aber festes $n \in \mathbb{N}_{0}$ mit $n \geq 0$ gilt :
|
||||
$$
|
||||
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
|
||||
n \\
|
||||
k
|
||||
\end{array}\right) a^{n-k} b^{k} \quad(\star)
|
||||
$$
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||||
|
||||
-26-
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\newpage
|
||||
-27-
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||||
|
||||
$(a+b)^{n+1}=\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right) a^{n+1} b^{0}+\left[\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)\right] a^{n} b^{1}+\left[\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)\right] a^{n-1} b^{2}+\ldots$
|
||||
$+\left[\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right)\right] a^{1} b^{n}+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) a^{0} b^{n+1}$
|
||||
$\stackrel{(\star \star)}{=}\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right) a^{n+1} b^{0}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 1\end{array}\right) a^{n} b^{1}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right) a^{n-1} b^{2}+\ldots$
|
||||
$+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n\end{array}\right) a^{1} b^{n}+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right) a^{0} b^{n+1}$
|
||||
$=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 0\end{array}\right) a^{n+1} b^{0}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 1\end{array}\right) a^{n} b^{1}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right) a^{n-1} b^{2}+\ldots$
|
||||
$+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n\end{array}\right) a^{1} b^{n}+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n+1\end{array}\right) a^{0} b^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right) a^{n+1-k} b^{k} .$
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||||
Eine für manche Beweise wichtige Ungleichung ist die Bernoullische Ungleichung, die nach dem Mathematiker und Physiker Jakob I. Bernoulli (1655-1705)\footnote{Jakob I. Bernoulli, schweizer Mathematiker und Physiker, geb. 6. Januar 1655 in Basel, gest. 16. August 1705 in Basel. Bernoulli war Professor für Mathematik in Basel und arbeitete auf den Gebieten der Variationsrechnung und den Differenzialgleichungen.} benannt ist.
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Satz 2.5 Für jede natürliche Zahl $n \in \mathbb{N}$ gilt
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Ber Beweis erfolgt auch hier wieder mit vollständiger Induktion.
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- Induktionsanfang
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Die Aussage ist wahr für $n=1$, denn $(1+x)^{1}=1+x \geq 1+1 \cdot x=1+x$.
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- Induktionsannahme
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Für ein beliebig gewähltes, aber festes $n \in \mathbb{N}$ mit $n \geq 1$ gilt :
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$$
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(1+x)^{n} \geq 1+n x \quad(\star)
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$$
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- Induktionsschritt
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Zu zeigen ist, dass die Aussage auch für $n+1$ wahr ist; also
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$$
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||||
(1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1) x
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$$
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-27-
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\newpage
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-28-
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Mit der Induktionsannahme $(\star)$ ergibt sich für $x \geq-1$
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$$
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\begin{aligned}
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||||
(1+x)^{n+1} &=\underbrace{(1+x)}_{\geq 0}(1+x)^{n} \stackrel{(\star)}{\geq} \underbrace{(1+x)}_{\geq 0}(1+n x)=1+n x+x+\underbrace{n x^{2}}_{\geq 0} \\
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||||
\geq 1+n x+x=1+(n+1) x .
|
||||
\end{aligned}
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$$
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||||
\section{Übungsaufgaben}
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\begin{aufgabe}\label{A0009}
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Schreiben Sie folgende Ausdrücke mithilfe eines Produktzeichens.
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\begin{enumerate}[a)]
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\item $1 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 49 \cdot 81 \cdot 121 \cdot 169$
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||||
\item $\frac{1}{4-2} \cdot \frac{1}{9-3} \cdot \frac{1}{16-4} \cdot \frac{1}{25-5} \cdot \frac{1}{36-6}$
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{aufgabe}
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||||
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||||
\begin{aufgabe}\label{A0010}
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||||
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mithilfe eines Summenzeichens.
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||||
\begin{enumerate}[a)]
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||||
\item $1+\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{28}+\frac{1}{45}+\frac{1}{66}$
|
||||
\item $\frac{18}{27}+\frac{32}{64}+\frac{50}{125}+\frac{72}{216}+\frac{98}{343}+\frac{128}{512}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
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Aufgabe 10
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a)
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b)
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||||
c) $\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\ldots+\frac{1}{2^{10}}$
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d) $1+2 a+3 a^{2}+4 a^{3}+\ldots+n a^{n-1}$
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||||
e) $-1+1+3+5+\ldots+15$
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||||
f) $1-4+7-10+13-16+19-22$
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||||
g) $\frac{4}{5}-\frac{5}{6}+\frac{6}{7}-\frac{7}{8}+\frac{8}{9}-\frac{9}{10}$
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||||
h) $-\frac{2}{3}+\frac{3}{6}-\frac{4}{9}+\frac{5}{12}-\frac{6}{15}+\frac{7}{18}-\frac{8}{21}+\frac{9}{24}$
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||||
Aufgabe 11
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||||
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mithilfe eines Summenzeichens.
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a) $\frac{1}{3}-\frac{1}{8}+\frac{1}{15}-\frac{1}{24}+\frac{1}{35} \mp \ldots+\frac{1}{2703}$
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||||
b) $\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{12}-\frac{1}{20}+\frac{1}{30} \mp \ldots+\frac{1}{6642}$
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||||
Aufgabe 12 Bestimmen Sie die Lösungen $x \in \mathbb{Z}$ der Gleichung $\sum_{k=0}^{2} k x^{k}=0$.
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||||
Aufgabe 13
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||||
Berechnen Sie den Wert der folgenden Summen .
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a) $\sum_{j=0}^{4} \frac{1}{2^{j}}$
|
||||
b) $\sum_{k=0}^{4} \frac{k}{2^{k}}$
|
||||
c) $\sum_{n=2}^{100} \frac{n+1}{n-1}-\sum_{k=2}^{100} \frac{k+2}{k}$
|
||||
d) $\sum_{k=0}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{2 k}$
|
||||
e) $\sum_{k=0}^{4} \frac{(-1)^{k}}{k !} \quad$ f) $\sum_{k=0}^{99}(k+1)^{3}-\sum_{k=2}^{101}(k-1)^{3}$
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g) $\sum_{m=-3}^{0} \frac{m+2}{m+4}$
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h) $\sum_{n=-2}^{1} \frac{(-1)^{n}}{n+3}$
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i) $\sum_{k=1}^{100}(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$
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-28-
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\newpage
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-29-
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j) $\sum_{j=-4}^{0} \frac{|j|}{j+5}$
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k) $\sum_{m=-2}^{4} \frac{m}{|m|+2}$
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l) $\sum_{k=1}^{171}\left[k^{2}-(k-1)^{2}\right]$
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Aufgabe 14
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Berechnen Sie den Wert der folgenden Produkte.
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a) $\prod_{k=-3}^{3} 2^{k}$
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b) $\prod_{k=-4}^{4}(k-1) k$
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c) $\prod_{k=2}^{247} \frac{2 k^{2}}{2 k^{2}-4 k+2}$
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d) $\prod_{k=0}^{7} \cos \left(\frac{k \pi}{4}\right)$
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e) $\left.\prod_{k=1}^{171}(-1)^{k} \sin \left(\frac{k \pi}{2}\right) \quad f\right) \prod_{j=0}^{10} \frac{1}{2^{2 j+1}} \prod_{j=2}^{11} 4^{j}$
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g) $\prod_{k=2}^{15} \frac{k-1}{k+1}$
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h) $\prod_{n=1}^{300}\left(1+\frac{1}{n}\right)$
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i) $\prod_{j=0}^{11}\left(\frac{1}{4}\right)^{j} \prod_{j=0}^{11} 2^{2 j}$
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j) $\prod_{k=3}^{150} \frac{2 k}{k-2}$
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k) $\prod_{k=1}^{100} \frac{k}{k+1}$
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l) $\prod_{k=1}^{4} \sin \frac{(2 k+1) \pi}{4}$
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Aufgabe 15
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Berechnen Sie den Wert folgender Summen beziehungsweise Produkte.
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a) $\sum_{k=0}^{4}\left(\prod_{j=0}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{j}\right)$
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b) $\prod_{k=0}^{171}(-1)^{k} \cos \left(\frac{k \pi}{2}\right)$
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c) $\prod_{k=1}^{4}\left(\sum_{j=0}^{k} j\right)$
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d) $\sum_{k=12}^{21}\left(k^{2}-22 k+121\right)$
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e) $\prod_{j=1}^{6} \frac{1}{j+1}\left(j+\sum_{k=1}^{j}(k-1)\right)$
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Aufgabe 16
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Zeigen Sie Gleichheit oder Ungleichheit der folgenden Summen bzw. Produkte.
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a) $\sum_{j=0}^{9}(3 j+1)=\sum_{j=1}^{10}(3 j-2)$
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b) $\prod_{k=1}^{10} k^{2}=\prod_{k=1}^{9}(11-k)^{2}$
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c) $\sum_{l=1}^{4}(6 l-5)-\sum_{l=1}^{4}(5 l-2)=\sum_{m=1}^{4}(m-3)$
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d) $\sum_{l=1}^{5} l=\sum_{m=1}^{5}(6-m)$
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e) $\left.\sum_{u=1}^{4}\left(u^{2}-1\right)-\sum_{v=1}^{4}(2 v-2)=\sum_{w=1}^{4}(w-1)^{2} \quad f\right) \prod_{l=1}^{5} \sum_{m=1}^{5} m l=\sum_{l=1}^{5} \prod_{m=1}^{5} m l$
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g) $\sum_{j=1}^{4} \sum_{i=j}^{4}(i+j-1)=\sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{i}(i+j-1)$
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Aufgabe 17
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Vervollständigen Sie die folgenden Gleichungen:
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a) $\left.\sum_{l=0}^{n} 2^{l}=1+\sum_{k=0}=\left(\sum_{m=0}\right)+2^{n} \quad b\right) \sum_{k=2}^{n}(-1)^{k} a_{k-1}=\sum_{m=}(-1) a_{n-m}$
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Aufgabe 18
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Zeigen Sie durch Indexverschiebung, dass beide Summen identisch sind.
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a) $\sum_{l=2}^{10} \frac{l}{l^{2}+1}=\sum_{k=-2}^{6} \frac{k+4}{k^{2}+8 k+17}$
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b) $\sum_{l=3}^{10} \frac{l^{2}}{l-1}=\sum_{k=0}^{7} \frac{k^{2}+6 k+9}{k+2}$
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c) $\sum_{n=10}^{29} \frac{1}{n^{2}-18 n}=\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k^{2}-81}$
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d) $\sum_{k=4}^{25} \frac{1}{k^{2}-9}=\sum_{n=7}^{28} \frac{1}{n^{2}-6 n}$
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Aufgabe 19
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Geben Sie die folgende Menge $M$ konkret an. Benutzen Sie für Ihre Behauptung die vollständige Induktion.
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$$
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M=\left\{n \in \mathbb{N} \mid \frac{2 n+1}{2^{n}}<\frac{1}{3}\right\}
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$$
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Aufgabe 20
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Zeigen Sie, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:
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$\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=2^{n} \quad$ Hinweis: Wenden Sie den binomischen Satz an!
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Aufgabe 21
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Sei $q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion die Gültigkeit der Gleichung
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$$
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\sum_{k=0}^{n-1} q^{k}=\frac{q^{n}-1}{q-1} \quad \forall n \in \mathbb{N}
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$$
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Aufgabe 22
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Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion.
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$$
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(b+1)^{n}>1+\frac{n^{2} b^{2}}{4} \quad \text { für } n \geq 2, b>0 .
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$$
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Aufgabe 23
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Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass
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$\forall n \in \mathbb{N} \wedge a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} \quad$ gilt : $\quad\left|\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right| \leq \sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|$
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Aufgabe 24
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Zeigen Sie mittels des Beweisprinzips der vollständigen Induktion:
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Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $\quad\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right)^{2} \leq 2 n$.
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Aufgabe 25
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Für welche natürlichen Zahlen $n$ gilt die Bernoullische Ungleichung
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$$
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(1+h)^{n} \geq 1+n h \quad \text { mit } \quad h \geq-1
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$$
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Beweisen Sie Ihre Vermutung mithilfe der vollständigen Induktion.
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Aufgabe 26
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Zeigen Sie mit der Methode der vollständigen Induktion: Die Anzahl $D(n)$ der Diagonalen in einem konvexen $n$ - Eck kann für $n \geq 3$ nach der Formel
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$D(n)=\frac{n}{2}(n-3)$ berechnet werden $.$
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Aufgabe 27
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Zeigen Sie mit der Methode der vollständigen Induktion: Wenn $n$ Personen auf einer Party miteinander anstoßen, dann klingelt es $K(n)=\frac{n(n-1)}{2}$ mal.
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Aufgabe 28
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Zeigen Sie mit der Methode der vollständigen Induktion: Für alle $m \in \mathbb{N}_{0}, n \in \mathbb{N}$ und $n>m$ gilt
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$$
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\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}
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n \\
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k
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\end{array}\right)=(-1)^{m}\left(\begin{array}{c}
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n-1 \\
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||||
m
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\end{array}\right)
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$$
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Aufgabe 29
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Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt :
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$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=0 \quad$ Hinweis: $\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)$
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Aufgabe 30
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Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
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$\sum_{k=m}^{n}\left(\begin{array}{c}k \\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ m+1\end{array}\right) \quad$ für alle $\quad n, m \in \mathbb{N}, \quad m \leq n$
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Aufgabe 31
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Zeigen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass
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$\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(\begin{array}{l}j-1 \\ k-1\end{array}\right) \quad$ für alle $n \geq 1 \quad$ und alle $k \in \mathbb{N}$ mit $1 \leq k \leq n$ gilt
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Hinweis: Es ist $\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n-1 \\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n-1 \\ k-1\end{array}\right)$.
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Aufgabe 32
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Beweisen Sie folgende Ausdrücke per vollständiger Induktion für $n \in \mathbb{N}_{0}$. Finden Sie jeweils die kleinste natürliche Zahl $n_{0} \in \mathbb{N}_{0}$, für die der Ausdruck wahr ist.
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a) $(1+x)^{n} \leq 1+n x+n(n-1) \frac{x^{2}}{2}$, falls $x \leq 0$. b ) $2^{n}>n^{2}+6 n-4$
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c) $\prod_{k=0}^{n}\left(2^{2^{k}}+1\right)=2^{2^{n+1}}-1$
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d) $\frac{1}{n !}+\frac{5}{(n+2) !} \geq \frac{5}{(n+1) !}$
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Aufgabe 33
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Beweisen Sie mit der vollständigen Induktion für welche $n \in \mathbb{N}$ die folgenden Aussagen gelten.
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a) $2^{n}<n$ !
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b) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{n}$
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c) $2^{n}<3 n(n+1)$
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e) $2^{n}>n^{3}$ f) $e^{n}>n+1$
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d) $\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n}$
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h) $2^{n}>n^{2}$
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i) $2 n+1<2^{n}$
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g) $\sum_{k=2}^{n} \frac{k}{2^{k-1}}$ $n \in \mathbb{N}$ gilt:
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a) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}$
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b) $\prod_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right) \geq 1+\sum_{k=1}^{n} x_{k}$
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c) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right)^{2}$
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d) $\sum_{k=0}^{n} \frac{4 k}{3^{k+1}}=1-\frac{2 n+3}{3^{n+1}}$
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e) $p^{n}>n$ für $p \geq 2$.
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f) $\sum_{k=0}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$
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Aufgabe 34
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Seien $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \geq 0$. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt :
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a) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}$
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b) $\prod_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right) \geq 1+\sum_{k=1}^{n} x_{k}$
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c) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right)^{2}$
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d) $\sum_{k=0}^{n} \frac{4 k}{3^{k+1}}=1-\frac{2 n+3}{3^{n+1}}$
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e) $p^{n}>n$ für $p \geq 2$.
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f) $\sum_{k=0}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$
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Aufgabe 35
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Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt :
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a) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
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b) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$
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c) $\sum_{k=1}^{n}\left(3 k^{2}-3 k+1\right)=n^{3}$
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d) $\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)=n+1$
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e) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)^{2}=\frac{n\left(4 n^{2}-1\right)}{3}$
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f) $\sum_{k=1}^{n} k=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 2\end{array}\right)=\frac{n(n+1)}{2}$
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g) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{n+2}{2^{n}}$
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h) $\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} k^{2}=(-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2}$
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i) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq n$
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j) $\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(3 k-2)(3 k+1)}=1-\frac{1}{3 n+1}$
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k) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)=\frac{1}{3} n(n+1)(n+2)$
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l) $\sum_{k=0}^{n} \frac{9 k}{4^{k+1}}=1-\frac{3 n+4}{4^{n+1}}$
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Aufgabe 36
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Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:
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a) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{2^{k}}=6-\frac{n^{2}+4 n+6}{2^{n}}$
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b) $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2}$
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c) $2 n \leq 1+\frac{n(n+1)}{2}$
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d) $\sum_{k=1}^{n}\left(3 k^{2}-k\right)=n^{2}(n+1)$
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e) $\sum_{j=1}^{n} j \cdot j !=(n+1) !-1$
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f) $\frac{n\left(n^{2}+5\right)}{3} \in \mathbb{N}$
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g) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{3^{k-1}}=\frac{1}{4}\left(9-\frac{2 n+3}{3^{n-1}}\right)$
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h) $\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)^{3} \leq 2 n^{4}$
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\section{Äquivalente Umformungen}
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Umformungen von Gleichungen und Ungleichungen gehören in der gesamten Mathematik zum wichtigsten "Werkzeug ", um ein mathematisches Problem zu lösen. Eine Umformung überführt dabei eine Gleichung $G_{1}$ beziehungsweise Ungleichung $U_{1}$ in eine neue Gleichung $G_{2}$ beziehungsweise Ungleichung $U_{2}$.
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Beispiel 23
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- Gegeben sei die Gleichung $G_{1}: x=5$. Wird diese Gleichung quadriert, dann ergibt sich die neue Gleichung $G_{2}: x^{2}=25$. Dabei hat die Gleichung $G_{1}$ die Lösungsmenge $L_{1}=\{5\}$ und die Gleichung $G_{2}$ die Lösungsmenge $L_{2}=\{-5,5\}$. Durch die Umformung wurde die zusätzliche Lösung $x=-5$ erzeugt, die die Gleichung $G_{1}$ nicht erfüllt. Es ist also $L_{1} \neq L_{2}$.
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- Gegeben sei die Gleichung $G_{1}: 2 \sqrt{x}=6$. Dividiert man diese Gleichung durch die Zahl 2 und quadriert anschließend, dann ergibt sich die neue Gleichung $G_{2}: x=9$. Dabei hat die Gleichung $G_{1}$ die Lösungsmenge $L_{1}=\{9\}$ und die Gleichung $G_{2}$ die Lösungsmenge $L_{2}=\{9\}$. Es ist also $L_{1}=L_{2}$.
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Wie aus diesen Beispielen ersichtlich wird, gibt es Umformungen, die zu ungleichen beziehungsweise gleichen Lösungsmengen führen.
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Definition 3.1 Gegeben seien zwei Gleichungen $G_{1}$ mit der Lösungsmenge $L_{1}$ und $G_{2}$ mit der Lösungsmenge $L_{2}$ in $n \in \mathbb{N}$ Variablen $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$.
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4. Eine äquivalente Umformung der Gleichung $G_{1}$ in die Gleichung $G_{2}$ liegt genau dann vor, wenn sie die gleichen Lösungsmengen $L_{1}=L_{2}$ haben. Man schreibt dann $G_{1} \Leftrightarrow G_{2}$.
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4 Eine nichtäquivalente Umformung der Gleichung $G_{1}$ in die Gleichung $G_{2}$ liegt vor, wenn sie nicht die gleichen Lösungsmengen $L_{1} \neq L_{2}$ haben. Man schreibt in diesem Fall $G_{1} \Rightarrow G_{2}$.
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Beispiel 24
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Gegeben sei die Gleichung $x^{2}+y^{2}=2 x y$ für $x, y \in \mathbb{R}$. Dann gilt:
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$\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &=2 x y & \mid-2 x y \\ x^{2}+y^{2}-2 x y &=0 & & \mid \text { binomische Formel } \end{aligned}$
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$\begin{array}{lrl}\Leftrightarrow & x^{2}+y^{2}-2 x y=0 \\ \Leftrightarrow & & (x-y)^{2}=0\end{array}$
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$\Leftrightarrow \quad x=y$
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Beispiel 25
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Gegeben sei die Gleichung $\sqrt{x}=x-2$ für $x \in \mathbb{R}_{0}^{+}$. Dann gilt :
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$x-2=\sqrt{x} \quad(\quad)^{2}$
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$\Rightarrow \quad x^{2}-4 x+4=x \quad \mid-x$
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$\Rightarrow \quad x^{2}-5 x+4=0$
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$\Rightarrow \quad(x-4)(x-1)=0$
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Das Produkt ist genau dann null, wenn $x=4$ oder $x=1$ ist. Beachten Sie dabei, dass nur $x=4$ eine Lösung der Gleichung $\sqrt{x}=x-2$ ist, während $x=1$ keine Lösung dieser Gleichung darstellt. Das Potenzieren in der ersten Zeile ist in diesem Fall also eine nichtäquivalente Umformung!
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In dem Beispiel 25 ist die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung $L_{1}=\{4\}$, während nach der nichtäquivalenten Umformung die Lösungsmenge $L_{2}=\{1,4\}$ entstanden ist. Es wurde also wegen $L_{1} \subset L_{2}$ eine zusätzliche Lösung erzeugt, die aber keine Lösung der Ausgangsgleichung ist. Umgekehrt kann bei nichtäquivalenten Umformungen auch eine Lösung verloren gehen, wie das folgende Beispiel zeigt.
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Beispiel 26
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Gegeben sei die Gleichung $G_{1}: x^{2}=x$ mit der Lösungsmenge $L_{1}=\{0,1\}$. Nach Division durch $x$ folgt die Gleichung $G_{2}: x=1$ mit der Lösungsmenge $L_{2}=\{1\} \subset L_{1}$. Also wurde wegen $L_{1} \neq L_{2}$ auch hier eine nichtäquivalente Umformung vorgenommen.
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Bemerkung:
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Äquivalente Umformungen von Gleichungen sind:
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- Addition beziehungsweise Subtraktion des gleichen Terms zu beiden Seiten.
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- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem Term, der niemals den Wert Null annimmt.
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- Wurzelziehen aus beiden Seiten nur wenn beide Seiten positiv sind und auf beiden Seiten die positive Wurzel gezogen wird. Bei höheren Wurzeln ist die gleiche Einschränkung bei allen geraden Wurzelexponenten zu beachten.
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Nichtäquivalente Umformungen von Gleichungen sind :
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- Potenzieren beider Seiten einer Gleichung .
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- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem Term, der den Wert Null annehmen kann.
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Beispiel 27
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Ein häufig vorkommendes Beispiel für eine äquivalente Umformung ist die quadratische Gleichung $a x^{2}+b x+c=0$ für alle $a, b, c \in \mathbb{R}$ mit $a \neq 0$. Durch die Substitution $p:=\frac{b}{a}$ und $q:=\frac{c}{a}$ lässt sich diese Gleichung in die äquivalente Form $x^{2}+p x+q=0$ überführen. Dann folgt mithilfe der binomischen Ergänzung die bekannte Lösungformel:
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$\begin{aligned} x^{2}+p x+q &=0 \quad \mid \text { binomische Ergänzung } \\ x^{2}+p x+\frac{p^{2}}{4}-\frac{p^{2}}{4}+q &=0 \\\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)^{2} &=0 \quad \mid \text { binomische Formel } \\-q)\left(x+\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right) &=0 \\ x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \end{aligned}$
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$\Leftrightarrow$
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$$
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\begin{aligned}
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&\Leftrightarrow \quad x^{2}+p x+\frac{p^{2}}{4}-\frac{p^{2}}{4}+q=0 \\
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&\Leftrightarrow \quad\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)^{2}=0 \quad \mid \text { binomische Formel } \\
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||||
&\Leftrightarrow \quad\left(x+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)\left(x+\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}\right)=0 \\
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||||
&\Leftrightarrow \quad x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}
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||||
\end{aligned}
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$$
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Die Zahl $\Delta:=\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q$ heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung .
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Mit Ungleichungen kann im Prinzip genauso gerechnet werden wie mit Gleichungen, wobei allerdings einiges zu beachten ist. Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, dann dreht sich das Ungleichheitszeichen um! Betrachten Sie beispielsweise die Ungleichung $4<12$. Dann gilt einerseits :
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und andererseits :
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Definition $3.2$ Gegeben seien zwei Ungleichungen $U_{1}$ mit der Lösungsmenge $L_{1}$ und $U_{2}$ mit der Lösungsmenge $L_{2}$ in $n \in \mathbb{N}$ Variablen $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$.. Eine äquivalente Umformung der Ungleichung $U_{1}$ in die Gleichung $U_{2}$ liegt genau dann vor, wenn sie die gleichen Lösungsmengen $L_{1}=L_{2}$ haben. Man schreibt dann $U_{1} \Leftrightarrow U_{2}$.
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- Eine nichtäquivalente Umformung der Ungleichung $U_{1}$ in die Ungleichung $U_{2}$ liegt vor, wenn sie nicht die gleichen Lösungsmengen $L_{1} \neq L_{2}$ haben. Man schreibt in diesem Fall $U_{1} \Rightarrow U_{2}$.
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Seien $x, y \in \mathbb{R}$ zwei beliebige reelle Zahlen. Für $x<y$ oder $x=y$ schreibt man auch kurz $x \leq y \Leftrightarrow y \geq x$.
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Bemerkung:
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Äquivalente Umformungen von Ungleichungen sind:
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- Addition beziehungsweise Subtraktion des gleichen Terms zu beiden Seiten.
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- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem echt positiven Term.
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- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem Term der echt negativ ist bei gleichzeitiger Umkehrung des Ungleichheitszeichens .
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Nichtäquivalente Umformungen von Ungleichungen sind:
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- Potenzieren beider Seiten einer Ungleichung .
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- Multiplikation beziehungsweise Division beider Seiten mit einem Term, der den Wert Null annehmen kann.
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Beispiel 28
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Welche Lösungsmenge hat die Ungleichung $2(x+4)-3(x+2) \geq x$, wenn $x \in \mathbb{R}$ angenommen wird?
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Lösung :
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$$
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\begin{aligned}
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2(x+4)-3(x+2) & \geq x & \\
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-x+2 & \geq x & \mid-x-2 \\
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-2 x & \geq-2 & \mid:(-2) \\
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x \leq 1 & &
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\end{aligned}
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$$
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Also ist die Lösungsmenge der Ungleichung das halboffene Intervall $L=(-\infty, 1]$.
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3.2 Absolutbetrag reeller Zahlen
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Definition 3.3 Der Absolutbetrag einer reellen Zahl $x \in \mathbb{R}$ wird definiert durch
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$$
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|x|:=\left\{\begin{array}{ll}
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x & \text { für } x>0, \\
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0 & \text { für } x=0, \\
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-x & \text { für } x<0 .
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\end{array} \Leftrightarrow \quad|x|= \begin{cases}x & \text { für } x \geq 0, \\
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-x & \text { für } x<0 .\end{cases}\right.
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$$
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Unter dem Absolutbetrag oder kurz einfach nur Betrag einer reellen Zahl versteht man geometrisch gesehen die Entfernung dieser Zahl auf dem Zahlenstrahl zum Nullpunkt. Die beiden Zahlen $-5$ und 5 beispielsweise haben zum Nullpunkt (Abbildung 3.1) die selbe Entfernung nämlich $|-5|=|5|=5$.
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\input{Band_I/Grafiken/I_Abb004.tex}
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Für den Betrag gelten Rechengesetze, die in dem folgenden Satz zusammengefasst sind.
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Satz 3.1 Für alle $x, y \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}^{+}$gelten folgende Aussagen:
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(1) $|x| \geq 0$
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(2) $|x|=0 \Leftrightarrow x=0$
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(3) $|x|=|-x|$
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(4) $-|x| \leq x \leq|x|$
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(5) $|x|=\sqrt{x^{2}}$
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(6) $|x \cdot y|=|x| \cdot|y|$
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(7) $|x|<a \Leftrightarrow-a<x<a$
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(8) $|x|=x \cdot \operatorname{sign}(x)$
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Beweis
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(1) Für alle $x \geq 0$ gilt $|x|=x \geq 0$ und für alle $x<0$ gilt $|x|=-x>0$. Also ist insgesamt $|x| \geq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
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(2) Aus $|x|=0$ folgt mit Definition $3.3 x=0$. Umgekehrt folgt aus $x=0$ ebenfalls mit Definition $3.3|0|=0$. Also gilt $|x|=0 \Leftrightarrow x=0$.
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(3) Für alle $x \geq 0$ gilt $|x|=x$ und $|-x|=-(-x)=x$. Also ist $|x|=|-x|$. Für alle $x<0$ gilt $|x|=-x$ und $|-x|=-x$. Also ist $|x|=|-x|$. Daraus folgt insgesamt $|x|=|-x|$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
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(4) Für alle $x \geq 0$ gilt $-|x| \leq x \leq|x| \Leftrightarrow-x \leq x \leq x$. Für alle $x<0$ gilt $-|x| \leq x \leq|x| \Leftrightarrow-(-x) \leq x \leq-x \Leftrightarrow x \leq x \leq-x$. Daraus folgt insgesamt für alle $x \in \mathbb{R}$ die Behauptung $-|x| \leq x \leq|x|$.
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(5) Für $x=0$ ist die Gleichung $|0|=\sqrt{0}$ offensichtlich erfüllt. Für alle $x>0$ gilt einerseits $|x|=x$ und $\sqrt{x^{2}}=x$ und andererseits wegen (3) auch $|-x|=x$ und $\sqrt{(-x)^{2}}=\sqrt{x^{2}}=x$. Daraus folgt insgesamt $|x|=\sqrt{x^{2}}$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
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(6) Seien $x, y \geq 0$ oder $x, y<0$. Dann gilt $x \cdot y \geq 0$ und damit ist $|x \cdot y|=x \cdot y$. In diesem Fall gilt $|x|=\pm x$ und $|y|=\pm y$, womit $|x \cdot y|=|x| \cdot|y|$ folgt. Sei eine der beiden Variablen negativ. Angenommen es ist $x<0$, sonst vertausche man einfach $x$ mit $y$, dann gilt $x \cdot y \leq 0$ und damit ist $|x \cdot y|=-x \cdot y$. In diesem Fall gilt $|x|=-x$ und $|y|=y$, womit $|x| \cdot|y|=-x \cdot y$ gilt. Daraus erhält man schließlich $|x \cdot y|=|x| \cdot|y|$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
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(7) Für $x \geq 0$ gilt $|x|<a \Leftrightarrow x<a$. Für $x<0$ gilt $|x|<a \Leftrightarrow-x<a \Leftrightarrow x>-a$. Daraus folgt $|x|<a \Leftrightarrow-a<x<a$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
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\text { (8) Mit der erst im Abschnitt } 5.4 \text { eingeführten Signumfunktion (Definition } 5.9 \text { ) gilt für }
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$$
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\begin{array}{ll}
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x=0: & 0 \cdot \operatorname{sign}(0)=0 \cdot 0=0=|0| \\
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x>0: & x \cdot \operatorname{sign}(x)=x \cdot 1=x=|x| \\
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x<0: & x \cdot \operatorname{sign}(x)=x \cdot(-1)=-x=|x|
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\end{array}
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$$
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Daraus folgt $|x|=x \cdot \operatorname{sign}(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
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Beispiel 29
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Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung ||$x|-1|>2$ für $x \in \mathbb{R}$.
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Lösung:
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1. Fall Für $x<0$ ist $|x|=-x$ und damit gilt ||$x|-1|=|-x-1|>2 \quad(*)$.
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(i) Für $x \leq-1$ ist $|-x-1|=-x-1$ und die Ungleichung $(*)$ wird zu $-x-1>2 \Leftrightarrow x<-3$. Dann lautet die erste Lösungsmenge
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$$
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L_{1}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x<0 \wedge x \leq-1 \wedge x<-3\}=(-\infty,-3)
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$$
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(ii) Für $x>-1$ ist $|-x-1|=-(-x-1)=x+1$ und die Ungleichung (*) wird zu $x+1>2 \Leftrightarrow x>1$. Dann lautet die zweite Lösungsmenge
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$$
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L_{2}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x<0 \wedge x>-1 \wedge x>1\}=\{\}
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$$
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2. Fall Für $x \geq 0$ ist $|x|=x$ und damit gilt ||$x|-1|=|x-1|>2 \quad(* *)$.
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(i) Für $x<1$ ist $|x-1|=-(x-1)=-x+1$ und die Ungleichung (**) wird zu $-x+1>2 \Leftrightarrow x<-1$. Dann lautet die dritte Lösungsmenge
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$L_{3}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \wedge x<1 \wedge x<-1\}=\{\} .$
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(ii) Für $x \geq 1$ ist $|x-1|=x-1$ und die Ungleichung (**) wird zu $x-1>2 \Leftrightarrow x>3$ Dann lautet schließlich die vierte Lösungsmenge
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$$
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L_{4}:=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0 \wedge x \geq 1 \wedge x>3\}=(3, \infty)
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$$
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Insgesamt erhält man die Lösungsmenge $L$ der Ungleichung aus der Vereinigung der vier Lösungsmengen $L_{1}, \ldots, L_{4}$. Es ist
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$$
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L=\bigcup_{i=1}^{4} L_{i}=(-\infty,-3) \cup\{\} \cup\{\} \cup(3, \infty)=\mathbb{R} \backslash[-3,3]
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$$
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Eine nicht nur in der Analysis sehr wichtige Ungleichung ist die sogenannte Dreiecksungleichung, die in vielen Beweisen Verwendung findet um Terme abschätzen zu können.
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Satz 3.2 Für alle $x, y \in \mathbb{R}$ gilt die Dreiecksungleichung
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$$
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|x+y| \leq|x|+|y|
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$$
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Beweis
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Für den Fall $x+y \geq 0$ folgt mit Satz $3.1$ wegen $x \leq|x|$ und $y \leq|y|$
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$$
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|x+y|=x+y \leq|x|+|y| .
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$$
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Für den Fall $x+y<0$, folgt mit Satz $3.1$ wegen $-x \leq|-x|=|x|$ und $-y \leq|-y|=|y|$
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$$
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|x+y|=-(x+y)=(-x)+(-y) \leq|x|+|y| \text {. }
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$$
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Der Name Dreiecksungleichung leitet sich von der geometrischen Addition zweier Vektoren ab. Addiert man zwei beliebige Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$, dann bildet der Summenvektor $\vec{x}+\vec{y}$ zusammen mit den Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$ ein Dreieck.
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\input{Band_I/Grafiken/I_Abb005.tex}
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Aus der Abbildung $3.2$ lässt sich entnehmen, dass die Summe der Längen der Vektorpfeile $\vec{x}$ und $\vec{y}$ größer oder höchstens gleich der Länge des Summenvektors $\vec{x}+\vec{y}$ ist. Das heißt es gilt stets $|\vec{x}+\vec{y}| \leq|\vec{x}|+|\vec{y}|$.
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Beispiel $\mathbf{3 0}$
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Beweisen Sie, dass für alle reellen Zahlen die Ungleichung ||$x|-| y|| \leq|x-y|$ gilt .
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Beweis:
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Mithilfe der Dreiecksungleichung aus Satz 3.2 folgt
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$|x|=|x-y+y| \leq|x-y|+|y| \Leftrightarrow|x|-|y| \leq|x-y| \quad$ und
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$|y|=|y-x+x| \leq|y-x|+|x|=|x-y|+|x| \Leftrightarrow-|x|+|y| \leq|x-y|$.
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Insgesamt erhält man also $\| x|-| y|| \leq|x-y|$.
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3.3 Kreis- und Ellipsengleichung
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Definition 3.4 Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt $M$ (Mittelpunkt) gleichen Abstand $r>0$ (Radius des Kreises) haben.
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\input{Band_I/Grafiken/I_Abb006.tex}
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Die Abbildung $3.3$ zeigt einen verschobenen Kreis mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und Radius $r$. Nach dem Satz von Pythagoras ( etwa $570-510$ v. Chr.) ${ }^{*}$ gilt im rechtwinkligen Dreieck die Gleichung $a^{2}+b^{2}=r^{2}$. Mit $a=x-x_{m}$ und $b=y-y_{m}$ lässt sich der Kreis beschreiben durch die Menge aller geordneten Paare
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$$
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K:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}=r^{2}\right\}
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$$
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Abbildung 3.3 Kreis mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und Radius $r$.
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Beispiel 31
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Bestimmen Sie für den Kreis $2 x^{2}+2 y^{2}+8 x-12 y=6$ den Mittelpunkt und den Radius.
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Lösung :
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$\begin{array}{lrl} & \Leftrightarrow \quad x^{2}+4 x+y^{2}-6 y=3 & \mid \text { binomische Ergänzung } \\ & \Leftrightarrow \quad x^{2}+4 x+4-4+y^{2}-6 y+9-9=3 & \mid+13\end{array}$
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$\Leftrightarrow \quad(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
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Durch Vergleich mit $K$ ergibt sich $-x_{m}=2 \Leftrightarrow x_{m}=-2$ und $-y_{m}=-3 \Leftrightarrow y_{m}=3$ sowie $r^{2}=16 \Rightarrow r=4$. Also ist der Mittelpunkt $M(-2,3)$ und der Radius $r=4$.
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Bemerkung:
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Sei $K$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und Radius $r>0$. Ein beliebiger Punkt $P(x, y)$ der Ebene kann entweder innerhalb, auf oder auch außerhalb des Kreises liegen. Wie aus der Abbildung $3.3$ sofort ersichtlich wird, gelten die folgenden Regeln:
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*) Pythagoras von Samos war ein griechischer Philosoph und Gründer einer einflussreichen religiös - philosophischen Bewegung. Trotz intensiver Bemühungen der Forschung gehört er noch heute zu den rätselhaftesten Persönlichkeiten der Antike. Manche Historiker zählen ihn zu den Pionieren der beginnenden griechischen Philosophie, Mathematik und Naturwissenschaften, andere meinen, er sei vorwiegend oder ausschließlich ein Vorkünder religiöser Lehren gewesen.
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$\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}<r^{2} \Leftrightarrow P$ liegt innerhalb von $K$,
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$\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}=r^{2} \Leftrightarrow P$ liegt auf $K$,
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$\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}>r^{2} \Leftrightarrow P$ liegt außerhalb von $K$.
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Beispiel 32
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Beschreiben Sie die Menge $A:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}+2(x-y) \geq-1\right\}$.
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Lösung :
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$x^{2}+y^{2}+2(x-y) \geq-1$
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$x^{2}+2 x+y^{2}-2 y \geq-1 \quad \mid$ binomische Ergänzung
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$\begin{array}{lrl}\Leftrightarrow & x^{2}+2 x+y^{2}-2 y \geq-1 & \mid \text { bino } \\ \Leftrightarrow & x^{2}+2 x+1-1+y^{2}-2 y+1-1 \geq-1 & \mid+2\end{array}$
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$(x+1)^{2}+(y-1)^{2} \geq 1$
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Also beschreibt die Menge $A$ alle Punkte $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, die entweder außerhalb oder auf dem Kreis mit Mittelpunkt $M(-1,1)$ und Radius $r=1$ liegen.
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Definition 3.5 Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte einer Ebene, deren Entfernungen von zwei festen Punkten $F_{1}, F_{2}$ (Brennpunkte) eine konstante Summe haben, die größer als der Abstand dieser Punkte ist.
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Zur Herleitung der Ellipsengleichung sei aus rechnerisch praktischen Gründen der Abstand der Brennpunkte $d\left(F_{1}, F_{2}\right)=2 e$ und die Summe der Entfernungen von einem beliebigen Punkt $P$ auf der Ellipse zu den Brennpunkten $d\left(P, F_{1}\right)+d\left(P, F_{2}\right)=2 a$. Betrachten Sie jetzt die folgenden zwei Abbildungen .
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\input{Band_I/Grafiken/I_Abb007.tex}
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Aus dem linken Bild ergibt sich mit dem Satz von Pythagoras $e^{2}=a^{2}-b^{2}(*)$. Aus dem rechten Bild ergibt sich ebenfalls mit dem Satz von Pythagoras
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$$
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\begin{aligned}
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\sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} &=2 a \\
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\Leftrightarrow \quad \sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}} &=2 a-\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} .
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\end{aligned}
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$$
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Quadrieren dieser Gleichung liefert:
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$$
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\begin{aligned}
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&(x+e)^{2}+y^{2}=4 a^{2}+(x-e)^{2}+y^{2}-4 a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} \\
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\Leftrightarrow \quad & x^{2}+2 e x+e^{2}+y^{2}=4 a^{2}+x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}-4 a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} \\
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||||
\Leftrightarrow \quad 4 a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}}=4 a^{2}-4 e x \\
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\Leftrightarrow & a \sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}}=a^{2}-e x
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\end{aligned}
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$$
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Nochmaliges Quadrieren ergibt unter der Voraussetzung $a b>0$ mit der Gleichung $(*)$ schließlich die Gleichung der Ellipse mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung .
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$\begin{aligned} a^{2}\left[(x-e)^{2}+y^{2}\right] &=\left(a^{2}-e x\right)^{2} \\ \text { ex } a^{2}+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{4}-2 e x a^{2}+e^{2} x^{2} \end{aligned}$
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$\begin{array}{lr}\Leftrightarrow & a^{2} x^{2}-2 e x a^{2}+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2}=a^{4}-2 e x a^{2} \\ \Leftrightarrow & a^{2} x^{2}+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2}=a^{4}+e^{2} x^{2}\end{array}$
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||||
$\Leftrightarrow \quad a^{2} x^{2}+a^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)+a^{2} y^{2}=a^{4}+\left(a^{2}-b^{2}\right) x^{2}$
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$\Leftrightarrow \quad b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$
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$\Leftrightarrow \quad \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
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Die Parameter $a$ und $b$ werden als Halbachsen der Ellipse bezeichnet. Sie geben die Schnittstellen der Ellipse mit der $x$ - beziehungsweise $y$ - Achse an. Für den Spezialfall $a=b$ folgt aus Gleichung $(*)$ sofort $e=0$. In diesem Fall liegen die beiden Brennpunkte nämlich im Ursprung des Koordinatensystems und die Ellipse entartet zum Kreis mit dem Radius $r=a$.
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Um die Gleichung der verschobenen Ellipse mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und den Halbachsen $a, b$ zu finden, betrachten Sie die Abbildung $3.5$
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\input{Band_I/Grafiken/I_Abb008.tex}
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-44-
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\newpage
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Im $\eta, \xi$ - Koordinatensystem gilt die Gleichung der unverschobenen Ellipse
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$$
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\frac{\eta^{2}}{a^{2}}+\frac{\xi^{2}}{b^{2}}=1
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$$
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Mit $\eta=x-x_{m}$ und $\xi=y-y_{m}$ wird die verschobene Ellipse beschrieben durch die Menge der geordneten Paare
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$$
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E:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}=1\right\}
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$$
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Bemerkung:
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Sei $E$ eine Ellipse mit Mittelpunkt $M\left(x_{m}, y_{m}\right)$ und den Halbachsen $a, b>0$. Ein beliebiger Punkt $P(x, y)$ kann entweder innerhalb, auf oder auch außerhalb der Ellipse liegen. Wie aus der Abbildung $3.5$ sofort ersichtlich wird, gelten die folgenden Regeln.
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$\frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}<1 \Leftrightarrow P$ liegt innerhalb von $E$,
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$\Leftrightarrow \frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}=1 \Leftrightarrow P$ liegt auf $E$,
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$\Leftrightarrow \frac{\left(x-x_{m}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{m}\right)^{2}}{b^{2}}>1 \Leftrightarrow P$ liegt außerhalb von $E$.
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Beispiel 33
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Beschreiben Sie die Menge $B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 y^{2}<-3 x^{2}+12 x\right\}$.
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Lösung:
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$$
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\begin{array}{lcl}
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& 4 y^{2}<-3 x^{2}+12 x & \mid+3 x^{2}-12 x \\
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\Leftrightarrow & \mid \text { binomische Ergänzung } \\
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\Leftrightarrow & 3\left(x^{2}-4 x+4-4\right)+4 y^{2}<0 & +12 \\
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\Leftrightarrow & 3(x-2)^{2}+4 y^{2}<12 & : 12 \\
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\Leftrightarrow & \frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}<1 &
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\end{array}
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$$
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Also beschreibt die Menge $B$ alle Punkte $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, die innerhalb der Ellipse mit Mittelpunkt M(2,0) und den Halbachsen $a=2, b=\sqrt{3}$ liegen.
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$3.4$ Übungsaufgaben
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Aufgabe 37
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Sie sind im Wohnzimmer von Prof. Ungleich. Der Kronleuchter ist mehr wert als der Ohrensessel und der Couchtisch zusammen. Zudem sind die Couch und der Couchtisch gemeinsam mehr wert als der Ohrensessel und der Kronleuchter. Der Ohrensessel und die Couch jedoch haben zusammen denselben Wert wie der Kronleuchter und der Couchtisch.
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\newpage
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a) Ordnen Sie jedem Gegenstand das richtige Symbol zu, so dass folgende Unglei. chungen erfüllt sind. Machen Sie sich selbst klar, dass der Text diese Ungleichungen beschreibt.
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$$
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Z>X+W \quad Y+X>W+Z \quad Z+X=W+Y
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$$
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b) Wie lassen sich diese vier Gegenstände gemäß ihrer Wertverhältnisse ordnen?
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Aufgabe 38 wenn sie für alle $a, b, c \in \mathbb{R}$ gilt. Geben Sie für eine falsche Aussage ein Gegenbeispiel an!
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a) $a<b \wedge c \geq 0 \Rightarrow a \cdot c<b \cdot c$
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d) $a^{2}<b^{2} \wedge b>0 \Rightarrow a<b$
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$b) \quad a<b \Rightarrow|a|<|b|$
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c) $\left.a<b<0 \Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{1}{a}<0 \quad f\right) \quad|a| \geq a-1$
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Aufgabe 39
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Für welche ganzen Zahlen $n \in \mathbb{Z}$ gelten folgende Ungleichungen?
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a) $\frac{2}{n}+n \leq 2$
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b) $\left|\frac{n-1}{n+3}\right|<1$
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c) $|n|+n \geq 3$
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d) $|n-3| \leq-2 n+5$
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e) $|n-7|<n+7$
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f) $|n-3|<n+1$
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Aufgabe 40
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Zeigen Sie, dass für alle $a, b \in \mathbb{R}$ mit $0 \leq a \leq b$ gilt :
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$$
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a \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq b
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$$
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und dass genau dann Gleichheit gilt, wenn $a=b$ ist.
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Aufgabe 41
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Seien $a$ und $b$ zwei beliebige positive reelle Zahlen. Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichung.
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$$
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\sqrt{|a|+|b|}<\sqrt{a}+\sqrt{b}
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$$
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Aufgabe 42
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Seien $a, b \in \mathbb{R}$ und $0<a<b$. Zeigen Sie, dass
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$\left|1-\frac{a}{b}\right|<\left|1-\frac{b}{a}\right| \quad$ d.h.,$\quad \frac{a}{b}$ liegt näher an 1 als $\frac{b}{a}$.
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Aufgabe 43
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Für zwei beliebige positive reelle Zahlen $a$ und $b$ wird definiert:
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Das harmonische Mittel als : $\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ und das arithmetische Mittel als $: \frac{1}{2}(a+b)$. Ist das harmonische Mittel größer, kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel ?
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Aufgabe 44
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Sei $a \in \mathbb{R}$. Ermitteln Sie alle $x \in \mathbb{R}$, die die folgende Ungleichung erfüllen.
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a) $1+x>a|1-x|, a>1$
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b) $\frac{1}{x}<\frac{1}{x+a}$
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c) $\frac{1}{|x|}<\frac{1}{|x+a|}, a>0$
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Aufgabe 45
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Welche Zahl $c \in \mathbb{R}$ ergibt für die Ungleichung $x^{2}-6 x+c \leq 0$
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a) genau eine Zahl als Lösung,
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b) eine leere Lösungsmenge.
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Aufgabe 46
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Bestimmen Sie $N \cap M$ sowie $N \cup M$ für
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$N=\left\{x \in \mathbb{R}|| x-\frac{1}{3} \mid<\frac{3}{2}\right\} \quad$ und $\quad M=\left\{x \in \mathbb{R}|| x+1 \mid<\frac{1}{2}\right\} .$
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Aufgabe 47
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Für welche reellen Zahlen ist sowohl die Ungleichung
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$x^{2}+5>\frac{5-3 x^{2}}{2 x+1}, \quad$ als auch $\quad x^{2} \geq 6 x-5$ erfüllt?
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Geben Sie die Lösungsmenge auch zeichnerisch wieder .
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Aufgabe 48
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Bestimmen Sie die reelle Lösungsmenge der Ungleichung in Intervallschreibweise.
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a) $2-x>|2 x+1|$
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b) $\frac{2 x-1}{\left|2 x^{2}+1\right|}<1$
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c) Bilden Sie $M \cup N$ und $M \cap N$, wobei $M$ für die Lösungsmenge von a) und $N$ für die Lösungsmenge von b) steht.
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Aufgabe 49
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Ermitteln Sie sämtliche reellen Lösungen $x$ der nachfolgenden Gleichungen beziehungsweise Ungleichungen.
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a) $\sqrt{2 x-4}-\sqrt{x-1}=1$
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b) $3-x<4-2 x$
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c) $x^{3}-x^{2}<2 x-2$
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d) ||$x|-|-5||<1$
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e) $1 \leq|x|<3$
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f) $\{x|| x-3|=| x+1 \mid\} \cap[0,3]$
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g) $|x+1|-|x-1|=1$ h) $\frac{1}{x}<\frac{1}{x+1}$
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i) $6 x^{2}-13 x+6<0$
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3 Gleichungen und Ungleichungen
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j) $2=\sqrt{\sqrt{\sqrt{x \sqrt{2 x}}}}$
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k) $\left(2^{x}-5\right)^{2}=100$
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l) $\sqrt{x+5}=x-1$
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m) $-(x+3)^{2} \geq-6 x$
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n) $|x+2|>5$
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o) $x^{2}+4 x+2<2$
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Aufgabe 50
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Bestimmen Sie den Definitionsbereich folgender Ungleichungen für reelle Zahlen $x$. Be. schreiben Sie ihre Lösungsmenge in Intervallschreibweise und skizzieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl.
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a) $\frac{x}{|x+3|}<\frac{1}{|x-1|}$
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b) $\frac{|x-2|}{x+2} \leq 4$
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c) $\frac{1}{|2 x-3|}>4$
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d) $|x+4|<|x-1|+|x-2|$
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e) $\left|\frac{1}{x-6}\right|<2 \quad$ f) $\frac{|x-4|}{3-x}>x$
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g) $(x-3)(x-1)>(x-1)(x+5) \quad h) \frac{1}{x-\frac{2}{3}} \geq 3 x$
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i) $\frac{|x-2|}{x+6} \leq 1$
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j) $|x-1|(x+4) \leq 0$
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k) $\frac{|x|}{|x-3|}>10$
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l) $\frac{x-5}{2 x} \leq 11$
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m) $|x-4| \geq 2|x+1|$
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n) $\frac{1}{|x-1|}<2$
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o) $\frac{|x|}{|x|-1}<x$
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p) $\frac{4}{|2-x|}<\frac{2}{|x+4|}$
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q) ||$x|-3|>1$
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r) $|3 x-1| \geq|x+1|$
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s) $|3 x-2|-2 \leq|1-2 x|$
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t) $\left|x+\frac{1}{x}\right| \geq 4$
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u) $x(x+1)<6$
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v) $|-2| \cdot|x+1| \geq|x-1|+1$
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w) $|x-1|>3$
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x) $\frac{|x-2|}{x-2} \geq x|x|$
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y) $\left(x^{2}+x-2\right)(x-4)(-x-3) \geq 0$
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z) $\frac{5-|x-5|}{x+2}<3$
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Aufgabe 51
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Bestimmen Sie jeweils die Menge der Paare $(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, die die folgenden Ungleichungen erfüllen und skizzieren Sie sie in einem kartesischen Koordinatensystem.
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a) $|x|<|y|$
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b) $y \geq(x-1)^{2} \wedge y^{2}+(x-1)^{2} \leq 1$
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c) $|x|+|y| \leq 4$
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d) $|x-y|^{2}-|x+y|^{2} \leq 1$
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e) $x^{2}-2|y|>1$
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f) $|x-1|+|y+1| \leq 1$
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g) $|x| \leq 5 \wedge|y| \leq 5$
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h) $|x| \leq 5 \quad \vee \quad|y| \leq 5$
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i) $|x y| \geq 1$
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j) $\frac{x}{y} \leq \frac{y}{x}$
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k) $|x-1| y \geq 1$
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l) $(x+1)^{2}+(y-1)^{2} \leq 4$
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Aufgabe 52
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Beschreiben Sie die folgenden durch Ungleichungen definierten Mengen und skizzieren Sie sie in einem kartesischen Koordinatensystem.
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a) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x-1)^{2}(y+5)>1\right\}$
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b) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \leq \sqrt{1-x^{2}} \wedge x y>0\right\}$
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c) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{|x|}{|y-2|} \leq 3 \vee y=2\right\}$
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d) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \geq 1-x \wedge 2 y<5 x+1\right\}$
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e) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \geq 2-x^{2} \wedge x^{2}+(y-2)^{2} \geq 4\right\}$
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f) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y-2 x+1<0 \wedge y+x^{2}<0\right\}$
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g) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x-3)^{2} \leq 2-y \wedge 3 \geq x-y \wedge 2 y \geq 4-x\right\}$
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h) $M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y>(x-1)^{2}-2 \wedge x>0 \wedge y<\frac{3 x}{2}\right\}$
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\section{Bild und Urbild}
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Definition $5.1$ Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen.
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Eine Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $x \in A$ genau ein Element $y=f(x) \in B$ zuordnet. Man nennt $A$ den Definitionsbereich und $B$ den Wertebereich der Abbildung $f$. Für Abbildungen sind folgende Schreibweisen üblich:
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$f: A \rightarrow B$ gelesen als "die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ".
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$f: A \rightarrow B, x \mapsto f(x)$ gelesen als ", die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$, wobei jedem $x \in A$ der Wert $f(x) \in B$ zugeordnet wird".
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\& $f: x \mapsto f(x)$, wenn der Definitionsbereich und Wertebereich klar sind.
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Beispiel 56
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An der Vorlesung Analysis für Ingenieure nimmt eine Gruppe von drei befreundeten Studenten teil, die der Einfachheit halber mit $s_{1}, s_{2}$ und $s_{3}$ bezeichnet werden sollen. Es werden zur Vorlesung drei verschiedene Tutorien $t_{1}, t_{2}$ und $t_{3}$ angeboten, wobei jedem Studenten freigestellt bleibt, welches Tutorium er besucht. Sei $S:=\left\{s_{1}, s_{2}, s_{3}\right\}$ die Menge der drei befreundeten Studenten und $T:=\left\{t_{1}, t_{2}, t_{3}\right\}$ die Menge der angebotenen Tutorien. Betrachten Sie jetzt die folgenden drei verschiedenen Zuordnungen aus der Menge $S$ in die Menge $T$ und entscheiden Sie, bei welcher Zuordnung es sich um eine Abbildung handelt .
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(a)
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$(b)$
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Abbildung 5.1 Geometrische Veranschaulichung einer Abbildung .
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- Bei der Zuordnung ( $a$ ) handelt es sich nicht um eine Abbildung, weil dem Element $s_{2} \in S$ kein Element aus der Menge $T$ zugeordnet ist.
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- Bei der Zuordnung ( $b$ ) handelt es sich nicht um eine Abbildung, weil dem Element $s_{3} \in S$ zwei Elemente $t_{1}, t_{3} \in T$ zugeordnet sind.
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- Bei der Zuordnung ( $c$ ) handelt es sich um eine Abbildung, weil jedem Element der Menge $S$ genau ein Element der Menge $T$ zugeordnet ist.
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Bemerkung:
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Eine Abbildung heißt auch Funktion, wenn es sich bei dem Definitions- und Wertebereich um Zahlenmengen handelt .
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Beispiel 57
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Betrachten Sie die folgenden Graphen in $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und entscheiden Sie, bei welchen Graphen es sich um eine Funktion $f: \mathbb{R} \supset A \rightarrow B \subset \mathbb{R}$ handelt .
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Geometrisch gesehen stellt der Graph genau dann eine Funktion dar, wenn jede zur y - Achse gezogene parallele Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet. Denn dann gibt es zu jedem $x \in A$ genau ein $y \in B$.
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- Bei dem Graphen ( a) handelt es sich nicht um eine Funktion, weil es parallele Geraden zur y - Achse gibt, die den Graphen in zwei Punkten schneiden .
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- Bei dem Graphen ( $b$ ) handelt es sich um eine Funktion, weil es keine parallele Gerade zur y - Achse gibt, die den Graphen in mehr als einem Punkt schneidet.
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||||
- Bei dem Graphen ( $c$ ) handelt es sich nicht um eine Funktion, weil es eine parallele Gerade zur $y$ - Achse gibt, die den Graphen in zwei Punkten schneiden.
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Beispiel 58
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- Bei der Abbildung $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 2 x$ handelt es sich um eine Funktion, weil jedem $x \in \mathbb{R}$ genau ein Wert $y:=f(x)=2 x \in \mathbb{R}$ zugeordnet wird.
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- Bei der Abbildung $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, n \mapsto \frac{n}{n^{2}+n+1}$ handelt es sich um eine Funktion, weil jedem $n \in \mathbb{N}$ genau ein Wert $a_{n}:=a(n)=\frac{n}{n^{2}+n+1} \in \mathbb{R}$ zugeordnet wird.
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||||
- Bei $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \pm x$ handelt es sich nicht um eine Funktion, weil zu jedem $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ zwei Werte $y:=g(x)=\pm x \in \mathbb{R}$ zugeordnet sind.
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||||
- Bei der Abbildung $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1$ handelt es sich um eine Funktion, weil zu jedem $x \in \mathbb{R}$ genau ein Wert $y:=h(x)=1 \in \mathbb{R}$ zugeordnet wird.
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- Bei $k:\{1\} \rightarrow \mathbb{R}$ handelt es sich nicht um eine Funktion, weil für $x=1$ unendlich viele Werte $y:=k(1) \in \mathbb{R}$ zugeordnet sind.
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Betrachten Sei jetzt die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sin x$. Der Wertebereich dieser Funktion ist die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$, obwohl diese Funktion tatsächlich nur Werte aus dem Intervall $y \in[-1,1] \subset \mathbb{R}$ annehmen kann. Für diesen Sachverhalt schreibt man kurz $f(\mathbb{R})=[-1,1]$ und nennt dieses das Bild der Funktion $f$. Das Bild einer Funktion muss also nicht notwendiger Weise der gesamte Wertebereich sein!
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Definition $5.2$ Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen und $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. Dann heißt $f(A):=\{f(x) \mid x \in A\} \subseteq B$ der tatsächlich angenommenen Werte das Bild von $f$.
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Beispiel 59
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- Die Funktion $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{x^{2}}$ hat das Bild $f(\mathbb{R} \backslash\{0\})=\mathbb{R}^{+} \subset \mathbb{R}$.
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- Die Funktion $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \cos x+2$ hat das Bild $g(\mathbb{R})=[1,3] \subset \mathbb{R}$.
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- Die Funktion $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 3$ hat das Bild $h(\mathbb{R})=\{3\} \subset \mathbb{R}$.
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Definition $5.3$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine beliebige Abbildung und $Y \subset B$. Dann heißt die Menge
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$$
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f^{-1}(Y):=\{x \in A \mid f(x) \in Y\}
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$$
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Urbildmenge beziehungsweise das Urbild von $Y$.
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Beispiel 60
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Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}, x \mapsto \frac{1}{8} x^{2}$. Bestimmen Sie das Urbild von $f$ für die Teilmenge $Y=\left[\frac{1}{2}, 2\right] \subset \mathbb{R}_{0}^{+}$des Wertebereichs.
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Lösung:
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Aus der grafischen Darstellung der Parabel lässt sich wegen $f(\pm 2)=\frac{1}{2}$ und $f(\pm 4)=2$ die Urbildmenge sofort ablesen. Sie lautet
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$$
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f^{-1}(Y):=\left\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]\right\}=[-4,-2] \cup[2,4] .
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$$
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$5.2$ Inverse Abbildung
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Betrachten Sie jetzt die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}$. Dann ist offensichtlich $f([-2,2])=[0,4]$ das Bild von $f .$ Zu dem jedem $y \in] 0,4]$ existieren zwei Werte $x=\pm \sqrt{y}$ aus dem Definitionsbereich $[-2,2]$.
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||||
Dagegen hat die Funktion $g:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{3}$ das Bild $g([-2,2])=[-8,8]$ und zu jedem $y \in[-8,8]$ existiert genau ein Wert $x=\sqrt[3]{y}$ aus dem Definitionsbereich $[-2,2]$. Das legt die folgende Definition nahe.
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||||
Definition $5.4$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. Die Abbildung heißt injektiv, wenn für alle $x_{1}, x_{2} \in A$ mit $x_{1} \neq x_{2}$ auch $f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)$ gilt.
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\ Verschiedene Argumente liefern also verschiedene Funktionswerte.
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$\infty_{\text {Aus }} f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ folgt immer $x_{1}=x_{2}$.
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Beispiel 61
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- Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}$ ist nicht injektiv, weil zum Beispiel für die beiden Werte $x_{1}=-1, x_{2}=1$ aus dem Definitionsbereich $f(-1)=f(1)=1$ gilt .
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- Die Funktion $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \cos x$ ist nicht injektiv, weil zum Beispiel für alle Werte $x_{k}=2 k \pi, k \in \mathbb{Z}$ aus dem Definitionsbereich $f\left(x_{k}\right)=\cos (2 k \pi)=1$ gilt .
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- Die Funktion $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x$ ist injektiv, weil aus $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ immer $x_{1}=x_{2}$ für alle Werte $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$ folgt .
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Beispiel 62
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Betrachten Sie die folgenden Graphen der Funktionen in $G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und entscheiden Sie, bei welcher Funktion es sich um eine injektive Funktion $f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow B \subset \mathbb{R}$ handelt.
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Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn jede zur $x$ - Achse gezogene parallele Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet .
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- Bei dem Graphen ( $a$ ) handelt es sich um eine injektive Funktion, weil jede parallele Gerade zur $x$ - Achse den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet.
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- Bei dem Graphen ( $b$ ) handelt es sich nicht um eine injektive Funktion, weil es parallele Geraden zur $x$ - Achse gibt, die den Graphen in mehr als einem Punkt schneiden.
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- Bei dem Graphen ( $c$ ) handelt es sich um eine injektive Funktion, weil jede parallele Gerade zur $x$ - Achse den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet.
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Häufig kommen Abbildungen $f: A \rightarrow B$ vor, bei denen das Bild $f(A)$ oft nur eine echte Teilmenge des Wertebereichs $B$ ist. Die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}$ beispielsweise hat das Bild $f([-2,2])=[0,4] \subset \mathbb{R}$. Das hießt, nicht zu jedem $y \in \mathbb{R}$ gibt es ein $x \in[-2,2]$ ! Sie werden zum Beispiel zu $y=10$ kein $x \in[-2,2]$ finden.
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Definition $5.5$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn $f(A)=B$ gilt.
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4. Das Bild der Abbildung $f$ ist also der gesamte Wertebereich. Das heißt: Zu jedem $y \in B$ gibt es mindestens ein $x \in A$.
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Beispiel 63
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- Die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow[0,4], x \mapsto x^{2}$ ist surjektiv, weil zu jedem $y \in[0,4]$ mindestens ein $x \in[-2,2]$ existiert.
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- Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sin x$ ist nicht surjektiv, weil zum Beispiel zu $y=2$ kein $x \in \mathbb{R}$ existiert.
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- Die Funktion $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow[0, \infty), x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ ist nicht surjektiv, weil zu $y=0$ kein $x \in \mathbb{R}^{+}$existiert.
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Von besonderer Bedeutung sind Abbildungen, die sowohl injektiv als auch surjektiv sind. Daher auch die folgende
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Definition $5.6$ Eine Abbildung $f: A \rightarrow B$ die injektiv und surjektiv ist, heißt bijektive Abbildung.
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Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion $f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{x}$. Aus $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ folgt sofort $x_{1}=x_{2}$, womit $f$ injektiv ist. Die Funktion $f$ ist aber nicht surjektiv, weil zu $y=0$ kein $x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$ existiert. Also ist $f$ auch nicht bijektiv.
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Es stellt sich jetzt die entscheidende Frage, wann eine Abbildung $f: A \rightarrow B$ umkehrbar ist. Oder anders formuliert: Wann gibt es eine Umkehrabbildung $f^{-1}: B \rightarrow A$ derart, dass $f^{-1}(y)=x$ gilt ?
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Beispiel 64
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Gegeben sei die Funktion $f:[-2,2] \rightarrow[0,4], x \mapsto x^{2}$. Dann wird $x=2$ auf $y=4$ abgebildet. Umgekehrt existiert zu $y=4$ kein eindeutiger Wert $x \in[-2,2]$. Das heißt: $f^{-1}:[0,4] \rightarrow[-2,2]$ ist nach der Definition $5.1$ keine Abbildung mehr, weil jedem $y \in] 0,4]$ zwei Werte aus $[-2,2]$ zugeordnet werden.
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Definition $5.7$ Sei $f: A \rightarrow B$ eine injektive Abbildung. Dann gibt es $z u$ jedem $y \in f(A) \subseteq B$ genau ein $x \in A$ mit $y=f(x)$ und man kann auf dem Bild $f(A)$ eine Umkehrabbildung oder auch Inverse $f^{-1}: B \supseteq f(A) \rightarrow A$ definieren, die durch
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$$
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f^{-1}(y)=x \text { oder äquivalent dazu } f(x)=y
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$$
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charakterisiert ist.
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Beispiel 65
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Gegeben sei die Funktion $f:[0,2] \rightarrow[0,4], x \mapsto x^{2}$. Diese Funktion ist injektiv und wegen $f([0,2])=[0,4]$ sogar surjektiv . Daher existiert zu dieser Abbildung die Inverse beziehungsweise Umkehrabbildung $f^{-1}:[0,4] \rightarrow[0,2], y \mapsto \sqrt{y}$.
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Bemerkung:
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Rechnerisch erhält man die Inverse, unter der Voraussetzung dass diese existiert, indem man einfach die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ auflöst.
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Beispiel 66
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Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 2 x+5$. Diese Funktion ist bijektiv und daher existiert die inverse Funktion $f^{-1}$. Auflösen der Gleichung $y=f(x)=2 x+5$ nach der Variable $x$ ergibt $x=\frac{y-5}{2}$ und daher ist die Inverse $f^{-1}(y): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, y \mapsto \frac{y-5}{2}$.
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5.3 Komposition von Abbildungen
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In diesem Abschnitt geht es um die Hintereinanderschaltung von mehreren Abbildungen Seien $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ zwei beliebige Abbildungen. Man kann dann zuerst die Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ und danach die Abbildung $g$ von $B$ nach $C$ ausführen.
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Abbildung $5.2$ Hintereinanderschaltung von zwei Abbildungen.
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Definition $5.8$ Seien $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ zwei beliebige Abbildungen Dann heißt die Abbildung $g \circ f: A \rightarrow C, x \mapsto g(f(x))$ die Komposition oder auch Hintereinanderschaltung von $f$ und $g$. Gelesen wird das als "g Kringel $f "$.
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Beispiel 67
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Es seien die Abbildungen $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ durch das folgende Diagramm definiert.
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Berechnen Sie mithilfe der Definition die Komposition $g \circ f: A \rightarrow C$.
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Lösung:
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Mit Definition $5.8$ erhält man die Bilder
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$$
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\begin{aligned}
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&(g \circ f)(a)=g(f(a))=g(y)=3, \quad(g \circ f)(b)=g(f(b))=g(z)=1 \text { und } \\
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&(g \circ f)(c)=g(f(c))=g(y)=3 .
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\end{aligned}
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$$
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Beispiel 68
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Gegeben seien die Funktionen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto e^{x}$ und $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \cos x$. Berechnen Sie die beiden Kompositionen $(g \circ f)(x)$ und $(f \circ g)(x)$.
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Lösung:
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Nach Definition $5.8$ gilt
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$$
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\begin{aligned}
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&(g \circ f)(x)=g(f(x))=g\left(e^{x}\right)=\cos \left(e^{x}\right) \quad \text { und } \\
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&(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(\cos x)=e^{\cos x}
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\end{aligned}
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$$
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5.4 Betrags - und Signumfunktion
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Definition $5.9$ Die Funktionen
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$$
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|\cdot|: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto|x|:= \begin{cases}x & \text { für } x>0 \\ 0 & \text { für } x=0 \\ -x & \text { für } x<0 .\end{cases}
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$$
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||||
$\operatorname{sign}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \operatorname{sign}(x):= \begin{cases}1 & \text { für } x>0, \\ 0 & \text { für } x=0, \\ -1 & \text { für } x<0 .\end{cases}$
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heißen Betragsfunktion beziehungsweise Signumfunktion und werden gelesen als "Betrag von $x$ " beziehungsweise "Signum von $x$ ".
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Die Signumfunktion wird oft auch als Vorzeichenfunktion bezeichnet. In der folgenden Abbildung sind die Graphen der Betrags- und Signumfunktion dargestellt.
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Abbildung 5.3 Betrags- und Signumfunktion.
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5.5 Übungsaufgaben
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Aufgabe 116
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Skizzieren Sie für den jeweils größtmöglichen Definitionsbereich die Bilder der Funktionen $f(x),[f(x)]^{2}, f\left(x^{2}\right), \frac{1}{f(x)}$ und $f\left(\frac{1}{x}\right)$ für:
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a) $f(x)=\frac{1}{x}$
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b) $f(x)=\sin x$
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Aufgabe 117
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Durch welche der folgenden Zuordnungsvorschriften sind Funktionen $y=f(x)$ mit $f$ : $D \rightarrow \mathbb{R}$ definiert? Fertigen Sie jeweils eine Skizze an!
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a) $y^{2}=x, D=\mathbb{R}^{+}$.
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b) $\arctan y=e^{-|x|}, D=\mathbb{R}$.
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c) $y=\left\{\begin{array}{ll}2 & \text { für } x \neq 0 \\ x & \text { für } x^{2}=x\end{array} \quad, D=\mathbb{R}\right.$.
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||||
d) $y=\left\{\begin{array}{ll}e^{-\frac{1}{x^{2}}} & \text { für } \quad x>0 \\ 0 & \text { für } \quad x \leq 0\end{array} \quad, D=\mathbb{R}\right.$.
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||||
g) $|y|=\frac{\ln x}{x^{2}+1}, D=[1, \infty[$.
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Aufgabe 118
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Es seien $a, b \in \mathbb{R}$ und $b>0$. Geben Sie für die Funktion
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$$
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f: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{1}{\sqrt{b-|a-2 x|}}
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$$
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den größtmöglichen Definitionsbereich $D$ in Intervallschreibweise an.
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Aufgabe 119
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Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ der folgenden Funktionen, und untersuchen Sie sie auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
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$$
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f: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^{2} . \quad g: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{1}{\sqrt{4-x}}-7 .
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$$
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Aufgabe 120
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Untersuchen Sie für die jeweils angegebene Wahl des Definitionsbereichs $D$ und Wertebereichs $W$ der Funktion
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$$
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f: D \rightarrow W \quad \text { mit } \quad f(x)=x^{2}-2 x+1
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$$
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auf Injektivität und Surjektivität und kreuzen Sie die jeweils richtige Antwort an .
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\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|c|}
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\hline$D$ & $W$ & \multicolumn{2}{|c||}{ injektiv } & \multicolumn{2}{c|}{ surjektiv } \\
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||||
& & ja & nein & ja & nein \\
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\hline \hline $\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
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\hline$\{x \in \mathbb{R} \mid x<0\}$ & $\{y \in \mathbb{R} \mid y>0\}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
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||||
\hline$[-1,1]$ & {$[0,4]$} & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
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||||
\hline$\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}$ & $\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0\}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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Aufgabe 121
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Entscheiden Sie über Injektivität, Surjektivität beziehungsweise Bijektivität der Funktion
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$$
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g: A \rightarrow B \quad \text { mit } \quad x \mapsto \exp \left(-x^{2}\right),
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$$
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wenn folgende Mengen $A$ und $B$ vorgegeben sind. Kreuzen Sie die jeweils richtige Antwort in der Tabelle an. Bestimmen Sie weiterhin die Umkehrfunktion für die bijektive Abbildung $g: A \rightarrow B$.
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
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\hline$A$ & $B$ & injektiv & surjektiv & bijektiv \\
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\hline$[1, \infty[$ & $\mathbb{R}$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
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||||
\hline$\left.]-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$ & ] $\left.0, \frac{1}{\sqrt{e}}\right]$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
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||||
\hline$]-\infty, \frac{1}{2}[$ & ] $0,1]$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ & $\bigcirc$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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Aufgabe 122
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Ist die Abbildung $f$ injektiv und/oder surjektiv?
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$$
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f: \mathbb{Z} \rightarrow\{q \in \mathbb{Q} \mid 0 \leq q \leq 1\} \quad \text { mit } \quad f(a)=\frac{|a|}{2 a^{2}+2} .
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$$
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-95-
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-96-
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Aufgabe 123
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a) Betrachten Sie die Funktion $f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow B \subset \mathbb{R}$ mit $f(x):=\sin (x)$. Wie kann man die Mengen $A$ und $B$ wählen, so dass die Funktion $f(x)$
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||||
i) injektiv, ii) surjektiv, oder iii) bijektiv ist?
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||||
b) Beweisen Sie, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x):=x+2$ bijektiv ist.
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Aufgabe 124
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||||
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ der folgenden Funktion und untersuchen Sie sie auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
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$$
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f: D \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{\pi}{2} \sin (x)
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$$
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||||
b) Welche Teilmenge $A \subset \mathbb{R}$ kann man maximal als Definitions- und Wertebereich wählen, damit $f: A \rightarrow A, \quad x \mapsto \frac{\pi}{2} \sin (x)$ eine bijektive Funktion ist?
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Aufgabe 125
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||||
Sind die folgenden Zuordnungen injektive, surjektive oder gar keine Funktionen? Begründen Sie Ihre Antworten anhand einer Skizze!
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a) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, \quad f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x+1 & \text { für } & x \geq 1, \\ 2 & \text { für } & x<1 .\end{array}\right.$ b) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=-x^{5}$.
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||||
d) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\arctan (x) .$
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||||
Aufgabe 126
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a) Gegeben seien die Funktionen
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||||
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+x^{2} \quad$ und $\quad h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+(\sin x \cdot \cos x)^{2} .$
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||||
Gibt es eine Funktion $g$ mit $h=f \circ g$ ? Falls ja, geben Sie eine solche an.
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||||
b) Gegeben seien die Funktionen
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||||
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+x^{2} \quad$ und $\quad h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1+x^{3} .$
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||||
Gibt es eine Funktion $g$ mit $h=g \circ f$ ? Falls ja, geben Sie eine solche an.
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||||
Aufgabe 127
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||||
Welche der folgenden Zuordnungsvorschriften definieren eine Funktion $y=f(x)$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ? Welche Funktionen sind injektiv ? Berechnen Sie falls möglich die Inverse.
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a) $y=\left\{\begin{array}{lll}-1 & \text { für } & x \leq-\frac{\pi}{2}, \\ \sin x & \text { für } & x>-\frac{\pi}{2} .\end{array}\right.$
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||||
b) $y=\left\{\begin{array}{lll}-x^{2} & \text { für } & x \geq 0, \\ x & \text { für } & x>0 .\end{array}\right.$
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||||
C) $\cos y=x$
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-96-
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Aufgabe 128
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Sei $H$ die Menge aller lebenden Menschen, sowie $W$ die Menge aller lebenden Menschen weiblichen Geschlechts und $M:=H \backslash W$ die Menge aller lebenden Menschen männlichen Geschlechts. Betrachten Sie die folgenden Abbildungen :
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$m: H \rightarrow W$ mit $m(x)$ ist die leibliche Mutter von $x$.
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||||
$f: H \rightarrow M$ mit $f(x)$ ist der leiblicher Vater von $x .$
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||||
a) Beschreiben Sie in Worten die zusammengesetzten Abbildungen (Kompositionen ) $m^{2}:=m \circ m, \quad g:=f \circ m, \quad h:=m \circ f, \quad$ gilt $g=h ?$
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||||
b) Welche der Abbildungen $m, f, m^{2}, g, h$ sind injektiv, surjektiv oder bijektiv?
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||||
c) Welche Menge wird durch $m^{-1}(W)$ beschrieben ?
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Aufgabe 129
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||||
Es seien $X, Y$ Mengen $f: X \rightarrow Y$ eine Funktion und $A \subseteq X$. Begründen Sie:
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a) Ist $f$ injektiv, so ist $f^{-1}(f(A))=A$.
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||||
b) Im Allgemeinen gilt $f^{-1}(f(A))=A$ nicht.
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Aufgabe 130
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||||
a) Gegeben sei die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3+4 x$. Berechnen Sie, falls möglich, die Umkehrabbildung $f^{-1}$ mit passendem Definitions- und Wertebereich und das Urbild $f^{-1}([-5,5])$.
|
||||
b) Gegeben sei die Funktion $f:\left[0, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x^{2}-3\right.\right.$. Berechnen Sie, falls möglich, die Umkehrabbildung $f^{-1}$ mit passendem Definitions- und Wertebereich und das Urbild $f^{-1}([1,5])$.
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||||
Aufgabe 131
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a) Für welche $y \in \mathbb{R}$ ist die Gleichung $x^{2}+2 x=y$ lösbar? Für welche $y$ ist sie eindeutig lösbar?
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||||
b) Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}+2 x$. Bestimmen Sie $f(\mathbb{R})$. Ist $f$ injektiv ?
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||||
c) Hat $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=7 x+5$ eine Umkehrfunktion? Falls ja, welche?
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||||
d) Welche der Funktionen sind injektiv ? Bestimmen Sie, falls möglich, die Umkehrfunktion inklusive ihres maximalen Definitionsbereichs.
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$$
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||||
\begin{array}{rlrl}
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||||
g:[-1,5[ & \rightarrow \mathbb{R} & h:[3,8] & \rightarrow \mathbb{R} \\
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||||
x & \mapsto x^{2} & & \mapsto(x-3)^{2}
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\end{array}
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$$
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Aufgabe 132
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Sei $f: D \rightarrow W$ gegeben durch:
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a) $x \mapsto \sqrt{x}$
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b) $x \mapsto \sqrt{5-x^{2}}$
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||||
c) $x \mapsto \frac{x^{2}+1}{(x-1)(x-5)(x+2)}$
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||||
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D \subset \mathbb{R}$ und minimalen Wertebereich $W \subset \mathbb{R}$ der jeweiligen Abbildung. Welche der Abbildungen sind injektiv? Geben Sie falls möglich die Umkehrabbildung an .
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||||
Aufgabe 133
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||||
Sind die folgenden Funktionen injektiv? Falls ja, bestimmen Sie die Umkehrfunktion einschließlich ihres maximalen Definitionsbereichs !
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a) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
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||||
b) $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
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||||
c) $h:[2, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$
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||||
$x \mapsto x^{3}+5$
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||||
$x \mapsto-5 x^{2}-9$
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||||
$x \mapsto x^{2}+6 x+19$
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||||
d) $k:] 1, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$
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||||
$$
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||||
x \mapsto \frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}
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$$
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||||
Aufgabe 134
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||||
Beschreiben Sie die folgenden Mengen als Vereinigung von Intervallen. Skizzieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl .
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||||
a) $f^{-1}(] 0,1[)$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}-4$.
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||||
b) $f\left(\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]\right) \cap\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-\frac{1}{4} \geq 0\right\}$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \cos x$.
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||||
c) $f^{-1}(] 1,2[) \cap f([1,2])$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto 3 x-3$.
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||||
Aufgabe 135
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||||
Bestimmen Sie folgende Urbilder der Funktion $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. Beachten Sie dabei, dass $f^{-1}$ im Allgemeinen keine Funktion ist.
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a) $f^{-1}([-9,0])$ mit $f(x)=3 x^{2}-12$ und $D=\mathbb{R}$.
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||||
b) $f^{-1}([0,1])$ mit $f(x)=\tan x$, einmal mit $\left.D=\right]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ und dann mit $D=]-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\left[\backslash\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\right.$.
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||||
c) $f^{-1}([2,5])$ mit $f(x)=x^{2}+1$ und $D=\mathbb{R}$.
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||||
d) $f^{-1}(\{1\})$ mit $f(x)=\sin x$ und $D=\mathbb{R}$.
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Aufgabe 136
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Ordnen Sie jeder der fünf Mengen
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$\left.\left.\mathbb{R}, \mathbb{N}_{0},\right]-1,0\right],\{\}$,$\quad und \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}=\{x \in \mathbb{R} \mid x$ ist keine ganze Zahl $\}$ genau eine der Variablen $A, B, C, D$ und $E$ zu, so dass gilt:
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||||
$A \backslash\left(B \cup f^{-1}(C \cap D)\right)=E \quad$ mit $\quad f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \sin (\pi x) .$
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-98-
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\newpage
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-99-
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Aufgabe 137
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Beschreiben Sie die folgenden Mengen als Vereinigung und/oder Durchschnitt von Intervallen. Skizzieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl.
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a) $\left.\left.f^{-1}([-1,1] \backslash\{0\}) \cap\right] 0,2 \pi\right]$ mit $f(x):=\sin x$.
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||||
b) $f^{-1}(] 2,5[)$ mit $f(x):=|x|$.
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c) $f([-2,2]) \cup] 0,10]$ mit $f(x):=x^{2}$.
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||||
d) $f^{-1}(] 0, \infty[)$ mit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=x^{2}-x$.
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6.1 Etwas Aussagenlogik
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||||
In der Mathematik versteht man unter einer Aussage ein sprachliches Gebilde, für das es sinnvoll ist zu fragen, ob sie wahr (W) oder falsch ( $F$ ) ist. Dabei bezeichnet $W$ beziehungsweise $F$ den Wahrheitswert der Aussage. Betrachten Sie die Beispiele:
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\begin{tabular}{c|c|c}
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Aussage & Wahrheitswert & Verwendete Sprache \\
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\hline Das Jahr 2020 ist ein Schaltjahr . & wahr & Umgangssprache \\
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\hline $2^{4}=16$ & wahr & Mathematische Formelsprache \\
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\hline Die Zahl 2 teilt die Zahl $9 .$ & falsch & Kombination beider \\
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||||
\hline $2 \mathrm{H}_{2}+\mathrm{O}_{2} \longrightarrow 2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ & wahr & Chemische Formelsprache \\
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||||
\hline Jede gerade Zahl größer 2 ist & & \\
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||||
die Summe zweier Primzahlen. & unbekannt &
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\end{tabular}
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||||
Keine Aussagen dagegen sind beispielsweise die sprachlichen Gebilde:
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"Heute haben wir schönes Wetter . "
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"Lesen Sie dieses Buch durch!"
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Sind $A$ und $B$ zwei beliebige Aussagen, dann lassen sich daraus durch Aussagenverbinder den sogenannten Junktoren neue Aussagen zusammensetzen. Die wichtigsten Junktoren und deren Bedeutung sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.
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Die Wahrheitswerte der so zusammengesetzten Aussagen sind festgelegt und der folgenden Wahrheitstafel zu entnehmen .
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\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
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||||
$A$ & $B$ & $\neg A$ & $A \wedge B$ & $A \vee B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \Leftrightarrow B$ \\
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\hline$W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
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||||
\hline$W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ \\
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||||
\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ \\
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||||
\hline$F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$
|
||||
\end{tabular}
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-100-
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\newpage
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-101-
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Es wird hier noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, dass diese Tabelle eine Festlegung (Definition) der Bedeutung für die einzelnen Junktoren ist. Für diese Festlegung spricht einzig, dass sie sich als praktisch herausgestellt hat.
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Bemerkung:
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1) Das Wort oder wird im allgemeinen auf zwei Arten benutzt. Manchmal beinhaltet es $A$ oder $B$ oder auch beide, das heißt mindestens eine der beiden Alternativen tritt ein. Manchmal beinhaltet es $A$ oder $B$ aber nicht beide, das heißt oder im ausschließenden Sinn. Hier wird oder nur im nicht ausschließenden Sinn benutzt.
|
||||
2) Die Wahrheitstafel der materialen Implikation ist vielleicht auf den ersten Blick nicht einzusehen. Wie ist etwa zu verstehen, dass aus etwas Falschem etwas Falsches folgt wahr sein soll (vierte Zeile in $A \Rightarrow B$ )?
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||||
Um die Wahrheitstafel der materialen Implikation einzusehen, betrachten Sie die beiden Aussagen:
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A : Ich werfe einen Euro in den Getränkeautomaten.
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$B$ : Ich erhalte ein Getränk.
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||||
Vereinbart man nun der Aussage $A \Rightarrow B$ den Wahrheitswert $W$ zuzuordnen falls man zufrieden ist und den Wahrheitswert $F$ zuzuordnen falls man unzufrieden ist, dann erhält man die obige Festlegung .
|
||||
|
||||
Im Weiteren soll nur noch auf die materiale Implikation $\Rightarrow$ und materiale Äquivalenz $\Leftrightarrow$ näher eingegangen werden, weil sie für die Beweisführung (Kapitel 2 ) eine wichtige Rolle spielen. Für die materiale Implikation kurz auch nur Implikation genannt, sind die folgenden Sprechweisen üblich:
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(1) Wenn $A$, dann $B$.
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(2) Aus $A$ folgt $B$.
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(3) $A$ ist hinreichend für $B$.
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(4) $B$ ist notwendig für $A$.
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||||
Ebenso sind für die materiale Äquivalenz kurz auch nur Äquivalenz genannt, die folgenden Sprechweisen üblich:
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(1) $A$ genau dann, wenn $B$.
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(2) $A$ ist äquivalent $\mathrm{zu} B$.
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||||
(3) $A$ gilt genau dann, wenn $B$ gilt.
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||||
(4) $A$ ist hinreichend und notwendig für $B$.
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||||
Definition 6.1 Eine Aussageform heißt allgemeingültig oder Tautologie, wenn sie bei jeder Belegung zu einer Aussage mit dem Wahrheitswert W wird.
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-101-
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\newpage
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-102-
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Beispiel 69
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Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ eine Tautologie ist .
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Lösung:
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Mittels der Wahrheitstafel gilt :
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||||
\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
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||||
$A$ & $B$ & $\neg A$ & $\neg B$ & $A \Rightarrow B$ & $\neg B \Rightarrow \neg A$ & $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ \\
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||||
\hline$W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
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||||
\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
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||||
\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
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||||
\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
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||||
\end{tabular}
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||||
Die Anwendung findet die Tautologie $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ in allen Sätzen, die Aussagen der Form, aus $A$ folgt $B$ " enthalten. Beispielsweise gilt ( vgl. Satz $2.5$ Band 2)
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||||
$$
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||||
\left(\sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { konvergent } \Rightarrow \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k}=0\right) \Leftrightarrow\left(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \neq 0 \Rightarrow \sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { divergent }\right) .
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||||
$$
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Beispiel 70
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Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow((A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A))(*)$ eine Tautologie ist.
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Lösung:
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Mittels der Wahrheitstafel gilt :
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\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
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$A$ & $B$ & $A \Rightarrow B$ & $B \Rightarrow A$ & $(A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A)$ & $A \Leftrightarrow B$ & $(*)$ \\
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\hline$W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
|
||||
\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
|
||||
\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
|
||||
\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
Um die Äquivalenz $A \Leftrightarrow B$ zu beweisen, muss aus der Aussage $A$ die Aussage $B$ folgen und umgekehrt aus der Aussage $B$ wieder die Aussage $A$. Diese Tautologie wird in Beweisen des öfteren benutzt werden.
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-102-
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-103-
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Beispiel 69
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Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ eine Tautologie ist .
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Lösung:
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Mittels der Wahrheitstafel gilt :
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\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
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$A$ & $B$ & $\neg A$ & $\neg B$ & $A \Rightarrow B$ & $\neg B \Rightarrow \neg A$ & $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ \\
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||||
\hline$W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
|
||||
\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
|
||||
\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
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||||
\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
|
||||
\end{tabular}
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||||
Die Anwendung findet die Tautologie $(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow(\neg B \Rightarrow \neg A)$ in allen Sätzen, die Aussagen der Form, aus $A$ folgt $B$ " enthalten. Beispielsweise gilt ( vgl. Satz $2.5$ Band 2)
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||||
$$
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||||
\left(\sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { konvergent } \Rightarrow \lim _{k \rightarrow \infty} a_{k}=0\right) \Leftrightarrow\left(\lim _{k \rightarrow \infty} a_{k} \neq 0 \Rightarrow \sum_{k=c}^{\infty} a_{k} \text { divergent }\right) .
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||||
$$
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||||
Beispiel 70
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||||
Zeigen Sie, dass die Aussageform $(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow((A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A))(*)$ eine Tautologie ist.
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Lösung:
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||||
Mittels der Wahrheitstafel gilt :
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||||
\begin{tabular}{c|c||c|c|c|c|c}
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$A$ & $B$ & $A \Rightarrow B$ & $B \Rightarrow A$ & $(A \Rightarrow B) \wedge(B \Rightarrow A)$ & $A \Leftrightarrow B$ & $(*)$ \\
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||||
\hline$W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
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||||
\hline$W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
|
||||
\hline$F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
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||||
\hline$F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
Um die Äquivalenz $A \Leftrightarrow B$ zu beweisen, muss aus der Aussage $A$ die Aussage $B$ folgen und umgekehrt aus der Aussage $B$ wieder die Aussage $A$. Diese Tautologie wird in Beweisen des öfteren benutzt werden.
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-103-
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\newpage
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-104-
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6.2 Beweis der vollständigen Induktion
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In Abschnitt $2.3$ wurde die Beweismethode der vollständigen Induktion vorgestellt, ohne aber den Wahrheitsgehalt dieser Beweismethode zu beweisen. Es hieß dort:
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Es sei $A(n)$ eine Aussage, welche von natürlichen Zahlen $n$ abhängt. Zum Beweis einer Behauptung: "Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt $A(n)$ " ..
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Satz 6.1 A( $n$ ) sei eine Aussageform, die durch Belegung mit beliebigen Elementen aus dem Zahlenabschnitt $\mathbb{Z}_{c}$ jeweils zu einer Aussage wird. Dann gilt:
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$$
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||||
\left(A(c) \wedge \bigwedge_{n \in \mathbb{Z}_{c}}[A(n) \Rightarrow A(n+1)]\right) \Rightarrow \bigwedge_{n \in \mathbb{Z}_{c}} A(n)
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||||
$$
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||||
Bemerkung:
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Das Zeichen $\bigwedge_{n \in \mathbb{Z}_{c}}$ bedeutet dabei ", für alle $n \in \mathbb{Z}_{c}$ " und korrespondiert mit $\forall n \in \mathbb{Z}_{c}$.
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Beweis :
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||||
Es wird angenommen, es gibt Zahlen $n \in \mathbb{Z}_{c}$, für die die Aussage $A(n)$ nicht gilt. Sei also $K:=\left\{n \mid n \in \mathbb{Z}_{c}, \neg A(n)\right\}$ die Menge aller Zahlen $n \in \mathbb{Z}_{c}$ für die die Aussage $A(n)$ nicht gilt. Dann ist zu zeigen, dass $K=\{\}$ ist und somit $A(n)$ für alle $n \in \mathbb{Z}_{c}$ gilt.
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||||
Der Beweis von $K=\{\}$ erfolgt hier indirekt .
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||||
- Wegen $K \subset \mathbb{Z}_{c}$ gibt es eine kleinste Zahl $n_{0} \in K$, für die die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ nicht gilt. Nach Voraussetzung gilt die Aussage $A(c)$ und damit ist sicher, dass $c \notin K$ ist. Dann muss $n_{0}>c$ sein, woraus $n_{0}-1 \geq c$ folgt.
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||||
- Wegen $n_{0}-1 \notin K$ gilt also die Aussage $A\left(n_{0}-1\right)$. Dann folgt aus der Voraussetzung $A\left(n_{0}-1\right) \Rightarrow A\left(n_{0}\right)$, dass auch die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ gilt und damit der Widerspruch $n_{0} \notin K$. Also existiert keine kleinste Zahl $n_{0} \in K$, für die die Aussage $A\left(n_{0}\right)$ nicht gilt, womit $K=\{\}$ bewiesen ist.
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-104-
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-105-
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6.3 Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad 3 oder 4
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In Abschnitt 4.7 über Polynome im Komplexen, wurden bereits die Lösungsverfahren für spezielle Typen von Gleichungen dritten und vierten Grades besprochen. Liegt allerdings keiner dieser speziellen Typen vor, dann können die in diesem Abschnitt hergeleiteten Lösungsformeln, die jedoch mit einem relativ hohen Rechenaufwand verbunden sind, benutzt werden.
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1) Allgemeine Gleichung 3 - ten Grades
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Gesucht sind die Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der allgemeinen Gleichung dritten Grades $z^{3}+a z^{2}+b z+c=0 \quad$ für beliebige $a, b, c \in \mathbb{C}$.
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(1)
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Im ersten Schritt wird mithilfe der Substitution $z:=w+\lambda$ die Gleichung so reduziert, dass das quadratische Glied in der Gleichung verschwindet.
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$$
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\begin{aligned}
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||||
0 &=(w+\lambda)^{3}+a(w+\lambda)^{2}+b(w+\lambda)+c \\
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||||
&=\left[w^{3}+3 \lambda w^{2}+3 \lambda^{2} w+\lambda^{3}\right]+\left[a w^{2}+2 a \lambda w+a \lambda^{2}\right]+[b w+b \lambda]+c \\
|
||||
&=w^{3}+(3 \lambda+a) w^{2}+\underbrace{\left(3 \lambda^{2}+2 a \lambda+b\right)}_{=: p} w+\underbrace{\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda+c}_{=: q}
|
||||
\end{aligned}
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||||
$$
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||||
Der quadratische Term $(3 \lambda+a) w^{2}$ entfällt für $\lambda=-\frac{a}{3}$. Eingesetzt in $p$ und $q$ ergibt
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$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
&p=3\left(-\frac{a}{3}\right)^{2}+2 a\left(-\frac{a}{3}\right)+b=\frac{a^{2}}{3}-\frac{2 a^{2}}{3}+b=-\frac{a^{2}}{3}+b \quad \text { und } \\
|
||||
&q=\left(-\frac{a}{3}\right)^{3}+a\left(-\frac{a}{3}\right)^{2}+b\left(-\frac{a}{3}\right)+c=-\frac{a^{3}}{27}+\frac{a^{3}}{9}-\frac{a b}{3}+c=\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c .
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
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||||
Die Lösungen der Gleichung ( 1 ) sind also gegeben durch $z=w-\frac{a}{3}$, wobei $w$ aus der Lösung der reduzierten Gleichung
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$$
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||||
w^{3}+\left(-\frac{a^{2}}{3}+b\right) w+\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c=w^{3}+p w+q=0
|
||||
$$
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||||
folgt. Für den speziellen Fall $p=0$ ergeben sich die Lösungen für $w$ aus den dritten Wurzeln von $-q$ (vgl. Abschnitt $4.6)$. Sei also im weiteren $p \neq 0$ angenommen. Durch eine zweite Substitution $w:=u+v$ folgt aus der Gleichung (2)
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||||
$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
0 &=(u+v)^{3}+p(u+v)+q=u^{3}+3 u^{2} v+3 u v^{2}+v^{3}+p(u+v)+q \\
|
||||
&=u^{3}+3 u v(u+v)+v^{3}+p(u+v)+q \\
|
||||
&=u^{3}+v^{3}+q+(3 u v+p)(u+v) .
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
|
||||
Weil über die Variablen $u$ und $v$ frei verfügt werden kann, können sie so gewählt werden, dass der Term $u+v$ verschwindet. Wählt man also
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$p=-3 u v \Leftrightarrow u v=-\frac{p}{3} \quad(3)$, so folgt $\quad u^{3}+v^{3}+q=0 \Leftrightarrow u^{3}+v^{3}=-q$ (4).
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-105-
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\newpage
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-106-
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||||
Aus den beiden Gleichungen (3) und (4) folgt:
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||||
$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3} &=\left(u^{3}+v^{3}\right)^{2}-4(u v)^{3}=u^{6}+2 u^{3} v^{3}+v^{6}-4 u^{3} v^{3} \\
|
||||
&=u^{6}-2 u^{3} v^{3}+v^{6}=\left(u^{3}-v^{3}\right)^{2} \\
|
||||
& \Rightarrow u^{3}-v^{3}=\pm \sqrt{q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
|
||||
Durch Addition beziehungsweise Subtraktion der Gleichungen (4) und (5) erhält man
|
||||
$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
&2 u^{3}=-q \pm \sqrt{q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \Leftrightarrow u^{3}=-\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \text { und } \\
|
||||
&2 v^{3}=-q \mp \sqrt{q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \Leftrightarrow v^{3}=-\frac{q}{2} \mp \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} .
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
|
||||
Wegen Gleichung (4) muss $u^{3}+v^{3}=-q$ gelten, was nur möglich ist für die beiden Kombinationen
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||||
$$
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||||
\begin{aligned}
|
||||
&u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}, \quad v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \\
|
||||
&u^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}, \quad v^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$ oder
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||||
Die zweite Kombination ist äquivalent zur ersten Kombination, weil $u$ und $v$ in $w=u+v$ ausgetauscht werden können. Zieht man jetzt noch die dritten Wurzeln, so erhält man für $u$ und $v$ jeweils drei verschiedene Lösungen $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ beziehungsweise $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ (vgl. Abschnitt $4.6$ ) die so kombiniert werden müssen, dass die Bedingung $3 u v=-p$ erfüllt wird. Aus jedem solchen Paar erhält man mit $z=w-\frac{a}{3}$ eine Lösung der Gleichung (1).
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||||
Beispiel 71
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||||
Bestimmen Sie sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der Gleichung $z^{3}+9 z^{2}+24 z-9=0$.
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Lösung :
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Aus den Koeffizienten $a=9, b=24, c=-9$ ergibt sich mit
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||||
$$
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||||
z=w-\frac{a}{3}=w-3, \quad p=-\frac{a^{2}}{3}+b=-3, \quad q=\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c=-27
|
||||
$$
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||||
die reduzierte Gleichung $w^{3}+p w+q=w^{3}-3 w-27=0$, deren Lösungen aus
|
||||
$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
&u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}=\frac{27}{2}+\sqrt{\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}+(-1)^{3}}=\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29}) \text { und } \\
|
||||
&v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}=\frac{27}{2}-\sqrt{\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}+(-1)^{3}}=\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
-106-
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\newpage
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||||
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||||
-107-
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||||
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||||
folgen. Mit der dritten Einheitswurzel $\omega=-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3})$ (vgl. Abschnitt 4.6) ergeben sich damit für $u$ und $v$ jeweils die drei Lösungen
|
||||
$$
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||||
\begin{array}{lll}
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||||
u_{1}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}, & u_{2}=\omega \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}, & u_{3}=\bar{\omega} \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})} \\
|
||||
v_{1}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}, & v_{2}=\omega \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}, & v_{3}=\bar{\omega} \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})} .
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
Wegen $w=u+v$ können für $w$ eigentlich neun verschiedene Werte gebildet werden. Weil die Größen $u$ und $v$ aber noch die Gleichung $u v=-\frac{p}{3}=1$ erfüllen müssen, beschränkt sich die Anzahl der möglichen Kombinationen von $u$ und $v$ auf die drei Lösungen
|
||||
$$
|
||||
w_{1}=u_{1}+v_{1}, \quad w_{2}=u_{2}+v_{3} \quad \text { und } w_{3}=u_{3}+v_{2} .
|
||||
$$
|
||||
Mit $z=w-3$ lauten die drei Lösungen der betrachteten Gleichung endlich
|
||||
$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
z_{1}=w_{1}-3=& \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})-3}, \\
|
||||
z_{2}=w_{2}-3=&-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}-\frac{1}{2}(1-i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})-3} \\
|
||||
=&-3-\frac{1}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}\right] \\
|
||||
&+i \frac{\sqrt{3}}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}\right] \\
|
||||
z_{3}=w_{3}-3=&\left.-\frac{1}{2}(1-i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5} \sqrt{29}\right)-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3}) \sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})-3} \\
|
||||
=&-3-\frac{1}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}\right] \\
|
||||
&+i \frac{\sqrt{3}}{2}\left[\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}\right]
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
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||||
Bemerkung:
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||||
1) Wie an den Lösungen aus diesem Beispiel zu erkennen ist, wäre es nahezu unmöglich, ja wenn nicht sogar unmöglich, eine dieser Lösungen zu erraten und dann mit dem Verfahren der Polynomdivision fortzufahren.
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||||
2) Die reelle Wurzel der Gleichung $w^{3}+p w+q=0$, das heißt die Wurzel
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||||
$$
|
||||
w=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}
|
||||
$$
|
||||
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||||
-107-
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\newpage
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-108-
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ist unter dem Namen Cardanische Formel bekannt. Sie wurde benannt nach dem Mathematiker Gerolamo Cardano $(1501-1576)^{*}$, dem fälschlicherweise die Entdeckung dieser Lösungsformel zugeschrieben wurde. In Wahrheit stammt die Formel von dem Bologneser Mathematikprofessor Scipione del Ferro $(1465-1526)^{* *}$, dem das Auffinden dieses genialen Lösungsweges vorbehalten blieb.
|
||||
2) Allgemeine Gleichung 4 - ten Grades
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||||
Gesucht sind die Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der allgemeinen Gleichung vierten Grades $z^{4}+a z^{3}+b z^{2}+c z+d=0 \quad$ für beliebige $a, b, c, d \in \mathbb{C} .$
|
||||
Auch hier wird im ersten Schritt mithilfe der Substitution $z:=w+\lambda$ die Gleichung so reduziert, dass der kubische Term in der Gleichung verschwindet.
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||||
$$
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||||
\begin{aligned}
|
||||
0=&(w+\lambda)^{4}+a(w+\lambda)^{3}+b(w+\lambda)^{2}+c(w+\lambda)+d \\
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||||
=& {\left[w^{4}+4 w^{3} \lambda+6 w^{2} \lambda^{2}+4 w \lambda^{3}+\lambda^{4}\right]+\left[a w^{3}+3 a w^{2} \lambda+3 a w \lambda^{2}+a \lambda^{3}\right] } \\
|
||||
&+\left[b w^{2}+2 b w \lambda+b \lambda^{2}\right]+[c w+c \lambda]+d \\
|
||||
=& w^{4}+(4 \lambda+a) w^{3}+\underbrace{\left(6 \lambda^{2}+3 a \lambda+b\right)}_{=: p} w^{2}+\underbrace{\left(4 \lambda^{3}+3 a \lambda^{2}+2 b \lambda+c\right)}_{=: q} w \\
|
||||
&+\underbrace{\lambda^{4}+a \lambda^{3}+b \lambda^{2}+c \lambda+d}_{=: r}
|
||||
\end{aligned}
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||||
$$
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||||
Der kubische Term $(4 \lambda+a) w^{3}$ entfällt für $\lambda=-\frac{a}{4}$. Eingesetzt ergibt für $p, q$ und $r$
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||||
$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
&p=6\left(-\frac{a}{4}\right)^{2}+3 a\left(-\frac{a}{4}\right)+b=\frac{3 a^{2}}{8}-\frac{3 a^{2}}{4}+b=-\frac{3 a^{2}}{8}+b, \\
|
||||
&q=4\left(-\frac{a}{4}\right)^{3}+3 a\left(-\frac{a}{4}\right)^{2}+2 b\left(-\frac{a}{4}\right)+c=-\frac{a^{3}}{16}+\frac{3 a^{3}}{16}-\frac{a b}{2}+c=\frac{a^{3}}{8}-\frac{a b}{2}+c, \\
|
||||
&r=\left(-\frac{a}{4}\right)^{4}+a\left(-\frac{a}{4}\right)^{3}+b\left(-\frac{a}{4}\right)^{2}+c\left(-\frac{a}{4}\right)+d=-\frac{3 a^{4}}{256}+\frac{a^{2} b}{16}-\frac{a c}{4}+d .
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
|
||||
Die Lösungen der Gleichung ( 6 ) sind also gegeben durch $z=w-\frac{a}{4}$, wobei $w$ aus der Lösung der reduzierten Gleichung
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$$
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||||
f(w):=w^{4}+p w^{2}+q w+r=0
|
||||
$$
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||||
folgt. Falls $q=0$ oder $r=0$ ist, ergeben sich Sonderfälle der Gleichung (6) die bereits in Abschnitt $4.7$ besprochen wurden. Seien also im Weiteren $q \neq 0$ und $r \neq 0$ angenommen.
|
||||
*) Gerolamo Cardano, italienischer Mathematiker, Arzt und Philosoph, geb. 24. September 1501 in Pavia, gest. 21. September 1576 in Rom .
|
||||
**) Scipione del Ferro, geb. 6. Februar 1465 in Bologna, gest. 5. November 1526 in Bologna. Um 1500 entdeckte er die Methode zur Auflösung der Gleichung dritten Grades, veröffentlichte sie jedoch nicht.
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||||
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-108-
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\newpage
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-109-
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Der Mathematiker Lodovico Ferrari $(1522-1565)$ * hatte die geniale Idee, die Gleichung
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(7) in die Form
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||||
$$
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||||
f(w)=\left(w^{2}+\frac{u}{2}\right)^{2}-(v w+t)^{2}=w^{4}+\left(u-v^{2}\right) w^{2}-2 t v w+\frac{u^{2}}{4}-t^{2}
|
||||
$$
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||||
zu bringen. Der Koeffizientenvergleich mit ( 7 ) liefert dann das Gleichungssystem:
|
||||
$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
&p=u-v^{2} \quad \Leftrightarrow \quad v^{2}=u-p \\
|
||||
&q=-2 t v \\
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||||
&r=\frac{u^{2}}{4}-t^{2} \quad \Leftrightarrow \quad t^{2}=\frac{u^{2}}{4}-r
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
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||||
Aus (9) folgt mit (8) und (10) die Gleichung:
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||||
$$
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||||
\begin{gathered}
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||||
q^{2}=4 t^{2} v^{2}=4\left(\frac{u^{2}}{4}-r\right)(u-p)=\left(u^{2}-4 r\right)(u-p)=u^{3}-p u^{2}-4 r u+4 r p \\
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\Leftrightarrow u^{3}-p u^{2}-4 r u+4 r p-q^{2}=0
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\end{gathered}
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$$
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Das ist eine Gleichung dritten Grades, deren Lösung oben behandelt worden ist. Von (11) reicht nur eine Lösung $u$ aus, um die vier Lösungen $w$ aus der Gleichung ( 7 ) zu gewinnen. Aus (8) folgt zunächst $v=\pm \sqrt{u-p}$. Setzt man $v=\sqrt{u-p}$, dann folgt wegen der Voraussetzung $q \neq 0$ aus $(9)$ sofort $t=-\frac{q}{2 v}(v \neq 0$ wegen $-2 t v=q \neq 0)$. Dann gelten die obigen Gleichungen für $p, q$ und $r$. Die Lösungen der Gleichung (7) ergeben sich also aus
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$$
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\begin{aligned}
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f(w)=w^{4}+p w^{2}+q w+r=\left(w^{2}+\frac{u}{2}\right)^{2}-(v w+t)^{2}=0 \\
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& \Leftrightarrow\left(w^{2}+\frac{u}{2}\right)^{2}=(v w+t)^{2} \Leftrightarrow w^{2}+\frac{u}{2}=\pm(v w+t) \\
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& \Leftrightarrow w^{2}-v w+\frac{u}{2}-t=0 \quad \text { oder } w^{2}+v w+\frac{u}{2}+t=0 .
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\end{aligned}
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$$
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Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen sowie den beiden Beziehungen $v=\sqrt{u-p}$ und $t=-\frac{q}{2 v}=-\frac{q}{2 \sqrt{u-p}}$ liefert mit $\epsilon, \delta \in\{-1,1\}$ die vier Lösungen
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$$
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\begin{aligned}
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w_{1,2,3,4} &=\epsilon \frac{v}{2}+\delta \sqrt{\frac{v^{2}}{4}-\frac{u}{2}+\epsilon t}=\frac{1}{2}\left(\epsilon v+\delta \sqrt{v^{2}-2 u+4 \epsilon t}\right) \\
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&=\frac{1}{2}\left(\epsilon \sqrt{u-p}+\delta \sqrt{-p-u-\epsilon \frac{2 q}{\sqrt{u-p}}}\right) .
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\end{aligned}
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$$
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*) Lodovico Ferrari, italienischer Mathematiker, geb. 2. Februar 1522 in Bologna, gest. 5. Oktober 1565 in Bologna. Er fand mithilfe von Cardano die Auflösung der Gleichung vierten Grades.
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\newpage
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Die Lösungen von $(6)$ sind dann $z_{k}=w_{k}-\frac{a}{4}$ für alle $k \in\{1,2,3,4\}$.
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Beispiel 72
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Bestimmen Sie sämtliche Lösungen $z \in \mathbb{C}$ der Gleichung $z^{4}-4 z^{3}-3 z^{2}+29 z-29=0$.
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Lösung :
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Aus den Koeffizienten $a=-4, b=-3, c=29$ und $d=-29$ ergibt sich mit
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$$
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\begin{array}{ll}
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z=w-\frac{a}{4}=w+1, & p=-\frac{3 a^{2}}{8}+b=-9, \\
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q=\frac{a^{3}}{8}-\frac{a b}{2}+c=15, & r=-\frac{3 a^{4}}{256}+\frac{a^{2} b}{16}-\frac{a c}{4}+d=-6
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\end{array}
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$$
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die reduzierte Gleichung $w^{4}-9 w^{2}+15 w-6=0$ und die zugehörige zu lösende Gleichung dritten Grades
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$$
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u^{3}-p u^{2}-4 r u+4 r p-q^{2}=u^{3}+9 u^{2}+24 u-9=0 .
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$$
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Die Lösungen der letzten Gleichung wurden schon im Beispiel 71 berechnet. Weil nur eine Lösung $u$ benötigt wird, kann die reelle Lösung
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$$
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u=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(27-5 \sqrt{29})}-3
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$$
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benutzt werden, um die $w_{k}$ und damit schließlich die $z_{k}$ für alle $k \in\{1,2,3,4\}$ zu bestimmen. Für $p=-9, q=1$ und $\epsilon, \delta \in\{-1,1\}$ ergeben sich die Lösungen damitzu
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$$
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z_{k}=w_{k}+1=\frac{1}{2}\left(\epsilon \sqrt{u+9}+\delta \sqrt{9-u-\epsilon \frac{30}{\sqrt{u+9}}}\right)+1
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$$
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Bemerkung:
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1) Für Gleichungen vom Grad $n=1,2,3,4$ kann eine allgemeine Lösungsformel angegeben werden. Im Fall $n=3$ beispielsweise besteht sie aus einer Verschachtelung von Wurzeln ( sogenannte Radikale ) der Form $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$. Offensichtlich gibt es eine unerschöpfliche Mannigfaltigkeit von Radikalen, sodass man annehmen könnte, dass sich durch irgendeine Kombination dieser Radikale auch die allgemeine Gleichung fünften Grades lösen lässt. Es ist im Gegenteil bewiesen worden (u.a. von Carl Friedrich Gauß ), dass sich die Lösungen von Gleichungen höher als vierten Grades $\mathrm{im}$ Allgemeinen nicht durch Radikale darstellen lassen. Die Wurzeln der Gleichung vierten Grades sind ihrer algebraischen Struktur nach schon recht kompliziert. Die Lösungen von Gleichungen höherer Grade als vier sind im Allgemeinen wesentlich komplizierter . Man sagt auch, sie gehören einer weitaus verwickelterer Kategorie von Zahlen an.
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2) Der Einblick in die Lösungsverhältnisse von Gleichungen höherer Grade ist darum schwierig zu gewinnen, weil sich spezielle Gleichungen sehr wohl durch Radikale lösen lassen. Der genaue und vollständige Überblick über alle durch Radikale lösbaren Gleichungen sämtlicher Grade wird durch die Galoissche Theorie [2] beschrieben.
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$6.4$ Computer - Algebra - Systeme
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Mit modernen Computer - Algebra - Systemen (CAS), wie zum Beispiel das in diesem Buch verwendete Mathematica, lassen sich interessante mathematische Experimente betreiben und können für die Ingenieurmathematik ein äußerst nützliches Werkzug sein. Vor allem können diese Systeme Sie von der fehleranfälligen stupiden Routine - Rechenarbeit entlasten und Sie können sich dann auf die wesentlichen Konzepte konzentrieren. Jedoch lassen sich mit einem so mächtigen Werkzeug im Allgemeinen keine Beweise führen, womit Sie dann doch noch Ihren Kopf anstrengen müssen um so manche Aufgabe bewältigen zu können.
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In diesem Abschnitt soll keine Einführung in die Programmiersprache Mathematica gegeben werden, sondern vielmehr an einem Beispiel gezeigt werden, wie wirkungsvoll der Einsatz eines CAS ist. Für die Vielzahl der zur Verfügung stehenden Befehle und Optionen sei auf das ausgezeichnete Buch [3] verwiesen. Die Syntax der in dem folgenden Beispiel verwendeten Befehle ist allerdings so einfach, dass man sie auch verstehen kann, wenn man zuvor noch kein CAS benutzt hat .
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Beispiel 73
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Betrachtet werde die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(z):=z^{3}+9 z^{2}+24 z-9$. Zeichnen Sie den Graphen von $f$ im Intervall $[-7,2]$.
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Mathematica erledigt diese Aufgabe einfach durch Eingabe des Befehls:
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$$
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\text { In }[1]:=\text { Plot }\left[z^{3}+9 z^{2}+24 z-9,\{z,-7,2\}, \text { PlotRange } \rightarrow\{-40,40\}\right]
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$$
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Out $[1]=$ - Graphics -
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Jetzt interessieren uns die Nullstellen der Funktion $f$, also für die $f(z)=0$ gilt. Mit Mathematica ergeben sie sich durch Eingabe des Befehls
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In $[2]:=$ Solve $\left[z^{3}+9 z^{2}+24 z-9=0, z\right]$;
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Tableform [\%]
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Out [3] $/ /$ TableForm $=$
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$$
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\begin{aligned}
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&z \rightarrow-3+\frac{1}{3}\left(\frac{729}{2}-\frac{135 \sqrt{29}}{2}\right)^{1 / 3}+\left(\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})\right)^{1 / 3} \\
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&z \rightarrow-3-\frac{1}{6}(1+i \sqrt{3})\left(\frac{729}{2}-\frac{135 \sqrt{29}}{2}\right)^{1 / 3}-\frac{1}{2}(1-i i \sqrt{3})\left(\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})\right)^{1 / 3} \\
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||||
&z \rightarrow-3-\frac{1}{6}(1-i \sqrt{3})\left(\frac{729}{2}-\frac{135 \sqrt{29}}{2}\right)^{1 / 3}-\frac{1}{2}(1+i \sqrt{3})\left(\frac{1}{2}(27+5 \sqrt{29})\right)^{1 / 3}
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\end{aligned}
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$$
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Vergleichen Sie diese Lösungen mit denen aus dem Beispiel 71 !
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-112-
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I_Loesungen.tex
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94
I_Loesungen.tex
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%!TEX root=../MathIng.tex
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\section{Grundzüge der Mengenlehre}
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\subsection*{Aufgabe 1 a}
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Bestimmen Sie die Schnittmenge $A \cap B$, die Vereinigungsmenge $A \cup B$ und die beiden Differenzmengen $A \backslash B$ beziehungsweise $B \backslash A$ für
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$$
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A=\{x \in \mathbb{R}|\;\abs{x}<8\} \text { und } B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\} .
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$$
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˝extbf{Lösung:}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw[-latex] (0,0) -- (9,0);
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%\foreach\x/\y/\z in {4/2/A,5/3/B,6/4/C,2/.5/D,1/2/E,6/3/F,3/1.5/G,1/4/H}
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||||
% \draw [fill = black] (\x,\y)circle (1 mm) node[left] {\z};
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\foreach\x/\y in {1/-8,3/2,5/8,8/\infty}
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\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[yshift=-1em] {$\y$};
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\foreach\x/\y in {1/(,3/[,5/),8/]}
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\node at (\x,1.5em) {$\y$};
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\draw[blue, thick] (1,0.1) -- (5,0.1);
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\draw[red, thick] (3,0.15) -- (8,0.15);
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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Die Mengen $A$ und $B$ lauten in Intervallschreibweise
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$$
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\begin{aligned}
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&A=\{x \in \mathbb{R}|\;| x \mid<8\}=\{x \in \mathbb{R} \mid-8<x<8\}=]-8,8[ \\
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||||
&B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}=[2, \infty[
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\end{aligned}
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$$\footnote{Im Original heißt es auf Seite 113: $B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}=[2, \infty] $, was falsch ist da $\infty$ nicht dazugehören kann}
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Damit ergeben sich die gesuchten Verknüpfungen
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$$
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\begin{aligned}
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&A \cap B=\{x \mid x \in A \wedge x \in B\}=[2,8[, \quad A \cup B=\{x \mid x \in A \vee x \in B\}=]-8, \infty[, \\
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||||
&A \backslash B=\{x \mid x \in A \wedge x \notin B\}=]-8,2[, \quad B \backslash A=\{x \mid x \notin A \wedge x \in B\}=[8, \infty[.
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\end{aligned}
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$$
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\subsection*{Lösungen in Mathematica}
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\lstset{
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basicstyle=\footnotesize,
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language=Mathematica,
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}
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\begin{lstlisting}
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In[1]:= Union[Interval[{-8, 8}], Interval[{2, \[Infinity]}]]
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Out[1]= Interval[{-8, \[Infinity]}]
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In[2]:= IntervalIntersection[Interval[{-8, 8}], Interval[{2, \[Infinity]}]]
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Out[2]= Interval[{2, 8}]
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\end{lstlisting}
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$\cup $ $\text{IntervalUnion}[\text{Interval}[\{-8,8\}],\text{Interval}[\{2,\infty \}]]$
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$\text{Interval}[\{-8,\infty \}]$
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$\cap$ $\text{IntervalIntersection}[\text{Interval}[\{-8,8\}],\text{Interval}[\{2,\infty \}]]$
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$\text{Interval}[\{2,8\}]$
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\subsection*{Aufgabe 1 b}
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Bestimmen Sie die Schnittmenge $A \cap B$, die Vereinigungsmenge $A \cup B$ und die beiden Differenzmengen $A \backslash B$ beziehungsweise $B \backslash A$ für
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$$
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A=\{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 4\} \quad \text { und } \quad B=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4\} .
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$$
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Lösung:
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In Intervallschreibweise ergeben sich die Mengen $A$ und $B$ zu $A=\{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 4\}=\{1,2,3,4\} \quad$ und $\quad B=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4\}=[0,4] .$
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Die gesuchten Mengenverknüpfungen lauten dann
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$$
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\begin{aligned}
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&A \cap B=\{x \mid x \in A \wedge x \in B\}=\{1,2,3,4\}=A \\
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&A \cup B=\{x \mid x \in A \vee x \in B\}=[0,4]=B \\
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||||
&A \backslash B=\{x \mid x \in A \wedge x \notin B\}=\{\}, \\
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||||
&B \backslash A=\{x \mid x \notin A \wedge x \in B\}=[0,4] \backslash\{1,2,3,4\} .
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\end{aligned}
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$$
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Aufgabe 2
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Die Menge $M:=(] 0,5[\cap([1,3] \cup[4,7])) \cap] 3,4[$ ist soweit wie möglich zu vereinlachen. Benutzen Sie zur Veranschaulichung den Zahlenstrahl, auf dem Sie die einzelnen Intervalle kenntlich machen.
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-113-
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I_Vorwort.tex
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18
I_Vorwort.tex
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Die Reihe angewandte Mathematik für Ingenieure richtet sich in erster Linie an Studierende der ingenieurwissenschaftlichen Fakultäten an Universitäten, aber auch an diejenigender Fachhochschulen, die sich im Grundstudium ihrer Ausbildung befinden. Der direkte Wechsel von der Schulmathematik in die Hochschulmathematik bereitet vielen Studierenden erhebliche Schwierigkeiten, weil sie zum einen mit dem Tempo des in der Vorlesung behandelten Stoffes und zum anderen mit der enorm gestiegenen Abstraktionsfähigkeit überfordert sind. Von den Studierenden wurde vielfach der Wunsch geäußert, ein Buch zu schreiben, das die für den Ingenieur wichtigen mathematischen Teilgebiete in möglichst anschaulicher Weise darstellt und eine große Anzahl an Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen bereitstellt. Aus diesem Anliegen sind schließlich 13 Bände geworden, die den Inhalt der Lehrveranstaltungen Analysis, lineare Algebra und Differenzialgleichungen im Grundstudium zum größten Teil abdecken.
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Für den Ingenieur werden die zum Teil sehr abstrakten Beweise der Sätze oft nur als lästiger Ballast empfunden und werden daher allzu gerne überflogen oder sogar vollständig ignoriert, obwohl sie für das Verständnis der mathematischen Zusammenhänge unverzichtbar sind. Daher wurde hier besonders Wert auf eine anschauliche Beweisführung gelegt, die auch für Nichtmathematiker verständlich und nachvollziehbar ist. Das Hauptanliegen dieser Reihe besteht aber vor allem darin, das mathematische \glqq Handwerkszeug\grqq‚ das zum Lösen einer Aufgabe unabdingbar ist, zu vermitteln. Dazu finden Sie im Text neben den zahlreich eingefügten Beispielen nach jedem Kapitel eine Vielzahl von Übungsaufgaben, an denen Sie den vermittelten Stoff festigen können. Im Unterschied zu den meisten anderen Lehrbüchern der Mathematik sind hier die ausführlichen Lösungen aller Übungsaufgaben im letzten Kapitel angegeben und nehmen auch den größten Umfang dieses Bandes ein. Damit sich die Lösung einer Übungsaufgabe schnell finden lässt, ist im Kapitel Lösungen der Übungsaufgaben zur Orientierung die Aufgabennummer links beziehungsweise rechts oben auf jeder Seite auf schwarzem Hintergrund dargestellt.
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Bevor Sie eine Übungsaufgabe bearbeiten, sollten Sie sich zuerst mit den Grundlagen, die für die Lösung dieser Aufgabe nötig sind, genaustens vertraut machen. Dazu dienen neben diesem Buch in erster Linie die Vorlesungsskripte und die Ihnen angebotenen Tutorien, aber auch andere geeignete Mathematikbücher können dabei hilfreich sein. Machen Sie auf keinen Fall den Fehler, sich sofort die Lösung einer Übungsaufgabe anzuschauen, sondern versuchen Sie selbst erst einmal einen Lösungsansatz zu finden. Das kann unter Umständen schon einmal bis zu mehreren Stunden dauern. Oft gibt es auch mehrere Lösungswege, die zum Ziel führen, die vielleicht auch kürzer sind als die Lösung, die in diesem Buch angeboten wird. Eine gewisse Routine bei der Lösung eines mathematischen Problems stellt sich erfahrungsgemäß aber erst dann ein, wenn Sie eine größere Anzahl von Übungsaufgaben selbstständig bearbeitet haben.
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Dieser erste Band angewandte Mathematik für Ingenieure ist als Einstieg in die sogenannte höhere Mathematik zu verstehen. Vermittelt werden hier zunächst einige Grundlagen aus der Mengenlehre und die drei wichtigsten Beweismethoden (direkter Beweis, indirekter Beweis, vollständige Induktion), ohne die die höhere Mathematik nicht zu betreiben wäre. Neben Gleichungen spielen in der Mathematik Ungleichungen eine außerordentlich wichtige Rolle, da sich viele Aussagen erst mithilfe von Ungleichungen beweisen lassen. Daher ist diesem Themenkomplex ein eigenes Kapitel gewidmet worden. Für manche Anwendungen, zum Beispiel aus der Elektrotechnik oder aus der Mechanik, ist es von Vorteil, die Menge der reellen Zahlen auf die Menge der komplexen Zahlen zu erweitern, da sich dadurch erhebliche Rechenvorteile ergeben. Aus diesem Grund nehmen die komplexen Zahlen einen relativ großen Raum in diesem Buch ein. Vorausgesetzt werden hier gewisse mathematische Grundkenntnisse, wie sie etwa in Grundkursen der gymnasialen Oberstufe oder der Fachoberschulen vermittelt werden. Das sind insbesondere die Potenz- und Wurzelrechnung, binomischen Formeln, binomische Ergänzung, Polynomdivision, das Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen sowie die Grundlagen der Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion und den trigonometrischen Funktionen. Falls Ihnen diese Grundlagen nicht oder nur lückenhaft vertraut sein sollten, empfehlen sich zur Aufarbeitung die ausgezeichneten und leicht verständlichen Lehrbücher von Lothar Kusch.
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\vspace{5mm}
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Berlin im Winter 2016
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\vspace{2em}
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Dietmar Haase
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Reference in New Issue
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