Kapitel 2 fortgesetzt

I_1.typ

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 // $  p^(2)= q^(2) x^(2) limits(=)^((*)) 2 q^(2) quad(* *)  $
 
 //  Weil die Zahl $2 q^(2)$ durch zwei teilbar ist, muss auch die Zahl $p^(2)$ durch zwei teilbar sein. Also muss $p^(2)$ eine gerade Zahl sein, was nur möglich ist, wenn die Zahl $p $ selbst eine gerade Zahl ist. Denn nur gerade Zahlen sind quadriert wieder gerade! Die Zahl $p $ muss daher von der Form $p = 2 k $ mit $k in ZZ $ sein. Eingesetzt in $(* *)$ ergibt $4 k^(2)= 2 q^(2)$ und nach Division folgt $2 k^(2)= q^(2)$. Weil $2 k^(2)$ gerade ist und damit auch $q^(2)$, muss $q $ selbst wieder eine gerade Zahl sein. Damit wären beide Zahlen $p, q $ gerade Zahlen, was im Widerspruch zur Annahme eines teilerfremden Bruches steht. Also lässt sich die Lösung $x $ der Gleichung $x^(2)= 2 $ nicht als teilerfremden Bruch darstellen, womit die Zahl $x $ also keine rationale Zahl sein kann. $square.filled $
-
+  
 //  #v(2em)
 
 //  Das Symbol $square.filled $ wird hier verwendet um das Ende eines Beweises zu kennzeichnen. Die Lösungen der Gleichung $x^(2)= 2 $, also $x_(1,2)= plus.minus sqrt(2)$ lassen sich als Wurzel der rationalen Zahl 2 darstellen und sind zwei Vertreter der sogenannten irrationale Zahlen. Aber nicht jede irrationale Zahl lässt sich wiederum durch eine Wurzel darstellen, wie beispielsweise die Zahlen $pi = 3,1 4 1 5 9 ...$ oder $e = 2,7 1 8 2 8 ...$ usw..