Kapitel 2 fortgesetzt

.gitignore

@@ -0,0 +1,5 @@
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I_1.typ

@@ -100,7 +100,7 @@
 // $  p^(2)= q^(2) x^(2) limits(=)^((*)) 2 q^(2) quad(* *)  $
 
 //  Weil die Zahl $2 q^(2)$ durch zwei teilbar ist, muss auch die Zahl $p^(2)$ durch zwei teilbar sein. Also muss $p^(2)$ eine gerade Zahl sein, was nur möglich ist, wenn die Zahl $p $ selbst eine gerade Zahl ist. Denn nur gerade Zahlen sind quadriert wieder gerade! Die Zahl $p $ muss daher von der Form $p = 2 k $ mit $k in ZZ $ sein. Eingesetzt in $(* *)$ ergibt $4 k^(2)= 2 q^(2)$ und nach Division folgt $2 k^(2)= q^(2)$. Weil $2 k^(2)$ gerade ist und damit auch $q^(2)$, muss $q $ selbst wieder eine gerade Zahl sein. Damit wären beide Zahlen $p, q $ gerade Zahlen, was im Widerspruch zur Annahme eines teilerfremden Bruches steht. Also lässt sich die Lösung $x $ der Gleichung $x^(2)= 2 $ nicht als teilerfremden Bruch darstellen, womit die Zahl $x $ also keine rationale Zahl sein kann. $square.filled $
-
+  
 //  #v(2em)
 
 //  Das Symbol $square.filled $ wird hier verwendet um das Ende eines Beweises zu kennzeichnen. Die Lösungen der Gleichung $x^(2)= 2 $, also $x_(1,2)= plus.minus sqrt(2)$ lassen sich als Wurzel der rationalen Zahl 2 darstellen und sind zwei Vertreter der sogenannten irrationale Zahlen. Aber nicht jede irrationale Zahl lässt sich wiederum durch eine Wurzel darstellen, wie beispielsweise die Zahlen $pi = 3,1 4 1 5 9 ...$ oder $e = 2,7 1 8 2 8 ...$ usw..

I_2.tex

@@ -112,63 +112,61 @@ Zur Vorbereitung dieser wichtigen Beweismethode werden zunächst einige Begriffe
 
 
 \input{Definitionen/I_D_21.tex}
-%%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
-
--16-
-\newpage
--17-
-
-
-
-
-Beispiel 15
-
-
-
-2.3 
 
 Das Summenzeichen dient also dazu, endliche Summen von Ausdrücken oder Termen effizient und platzsparend darzustellen.
-Beispiel 16
-a) $1+2+3+\ldots+n-1+n=\sum_{k=1}^{n} k$
-
--17-
 
+\begin{beispiel}\label{B0016}
+\begin{enumerate}[a)]
+	\item $1+2+3+\ldots+n-1+n=\sum_{k=1}^{n} k$
+	\item $2^{3}+2^{2}+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{50}}=\sum_{k=-3}^{50} \frac{1}{2^{k}}$
+	\item $\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(x-x_{2}\right)^{2}+\left(x-x_{3}\right)^{2}+\ldots+\left(x-x_{l}\right)^{2}}=\sqrt{\sum_{k=1}^{l}\left(x-x_{k}\right)^{2}}$
+\end{enumerate}
+\end{beispiel}
 
 \newpage
--18-
-
-b) $2^{3}+2^{2}+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{50}}=\sum_{k=-3}^{50} \frac{1}{2^{k}}$
-c) $\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(x-x_{2}\right)^{2}+\left(x-x_{3}\right)^{2}+\ldots+\left(x-x_{l}\right)^{2}}=\sqrt{\sum_{k=1}^{l}\left(x-x_{k}\right)^{2}}$
 Für das Rechnen mit dem Summenzeichen gelten die im folgenden Satz zusammengestellten Gesetze.
 
 \begin{satz}\label{S0001}
+	\begin{align}
+		\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k} &=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right) \\
+		\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k} &=c \sum_{k=m}^{n} a_{k} \\
+		\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j} \\
+		\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k} \quad \text { für } m \leq u \leq n \\
+		\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i} &=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i}=\sum_{i=u}^{v} \sum_{k=m}^{n} a_{k} b_{i}
+	\end{align}
+	
+	Für eine beliebige Zahl $l \in \mathbb{Z}$ lässt sich eine \textbf{Indexverschiebung} im Summenzeichen vornehmen. Es gilt:
 \begin{align}
-\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k} &=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right) \\
-\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k} &=c \sum_{k=m}^{n} a_{k} \\
-\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{i=m}^{n} a_{i}=\sum_{j=m}^{n} a_{j} \\
-\sum_{k=m}^{n} a_{k} &=\sum_{k=m}^{u} a_{k}+\sum_{k=u+1}^{n} a_{k} \quad \text { für } m \leq u \leq n \\
-\sum_{k=m}^{n} a_{k} \sum_{i=u}^{v} b_{i} &=\sum_{k=m}^{n} \sum_{i=u}^{v} a_{k} b_{i}=\sum_{i=u}^{v} \sum_{k=m}^{n} a_{k} b_{i}
-\end{align}
-
-Für eine beliebige Zahl $l \in \mathbb{Z}$ lässt sich eine \textbf{Indexverschiebung} im Summenzeichen vornehmen. Es gilt:
-
-\begin{align}
-\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{k=m+l}^{n+1} a_{k-l}
+	\sum_{k=m}^{n} a_{k}=\sum_{k=m+l}^{n+1} a_{k-l}
 \end{align}
 \end{satz}
 
 
-Beweis:
-Mit der Definition $2.1$ gilt :
-(1) $\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{m}+b_{m+1}+\ldots+b_{n}$
+%%%%%%%%BIN HIER %%%%%%%%%%%%%%%%
+\newpage
+
+
+
+\newpage
+
+
+
+
+\textbf{Beweis}:
+
+Mit der Definition \ref{D1_1_21} gilt :
+
+
+\begin{enumerate}[(1)]
+\item $\sum_{k=m}^{n} a_{k}+\sum_{k=m}^{n} b_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{m}+b_{m+1}+\ldots+b_{n}$
 $$
 =a_{m}+b_{m}+a_{m+1}+b_{m+1}+\ldots+a_{n}+b_{n}=\sum_{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)
 $$
-(2) $\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k}=c \cdot a_{m}+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_{n}$
+\item $\sum_{k=m}^{n} c \cdot a_{k}=c \cdot a_{m}+c \cdot a_{m+1}+\ldots+c \cdot a_{n}$
 $$
 =c \cdot\left(a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{n}\right)=c \sum_{k=m}^{n} a_{k}
 $$
-
+\end{enumerate}
 
 -18-
 \newpage

MathIng.typ

@@ -25,13 +25,13 @@
   #text(2em, weight: "bold")[Band I - Mengen]
 ]
 #v(2em)
-#include("Definitionen.typ")
+//#include("Definitionen.typ")
 = Vorwort
 
 #include("I_Vorwort.typ")
 
 = Grundzüge der Mengenlehre
- //#include("I_1.typ")
+ #include("I_1.typ")
  /* \input */
 /*= Mathematische Beweismethoden
  /* \input */I_(2).tex