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TeX
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\section*{Aufgabe 2}
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Welche der folgenden Intervalle sind im Bereich der Funktion $\frac{x-3}{x^2-4} \ln x$ enthalten? Wählen Sie alle zutreffenden Antworten aus...
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\begin{itemize}
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\item $(2,+\infty)$
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\item $(-\infty,-2)$
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\item $(-2,0)$
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\item $(0,2)$
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\end{itemize}
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Untersuchung des Nenners (wann gibt es eine Division durch Null):
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\begin{align*}
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x^2-4=0 & \qquad \vert{} +4 \\
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x^2=4 & \qquad \vert{} \sqrt{\quad} \\
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x_1=-2 \\
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x_2=2
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\end{align*}
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Somit sind die Bereiche $(2,+\infty)$ und $(-\infty,-2)$
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\textcolor{red}{\textbf{Dies stellt mich aber noch nicht zufrieden, das kann einfach nicht alles sein}}
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\textcolor{blue}{\textbf{Hier hatte ich im ersten Versuch den Fehler gemacht, das ich das $\ln x$ übersah}}
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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domain=0.1:4.9, % Bereich, in dem die Funktion definiert ist (z.B. nahe bei 0 und 2 ausgespart)
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samples=100, % Anzahl der Abtastpunkte
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xlabel={$x$},
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ylabel={$f(x)$},
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axis lines=middle,
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xtick={0, 1, 2, 3, 4},
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ytick={-2, -1, 0, 1, 2},
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ymin=-2.5, ymax=2.5,
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xmin=0, xmax=5,
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legend pos=outer north east,
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grid=both,
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major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
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minor grid style={line width=.1pt,draw=gray!50},
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restrict y to domain=-2.5:2.5, % Begrenze y-Werte für bessere Darstellung
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]
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\addplot [
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domain=0.1:1.9999,
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samples=500,
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thick,
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blue
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] {(x-3)/(x^2-4) * ln(x)};
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\addlegendentry{$\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln(x)$}
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\addplot [
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domain=2.00001:5,
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samples=500,
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thick,
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blue
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] {(x-3)/(x^2-4) * ln(x)};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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% \includegraphics[width=0.75\linewidth]{Grafiken/Q1_2.png}
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%\caption{Enter Caption}
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\label{fig:enter-label}
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\end{figure}
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Um die Intervalle zu bestimmen, in denen die Funktion $h(x)=\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln (x)$ definiert ist, muss man die Punkte betrachten, an denen die Funktion nicht definiert ist. Diese Punkte sind:
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\begin{enumerate}
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\item Nullstellen des Nenners $x^2-4$
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\item Punkte, an denen der Logarithmus $\ln (x)$ nicht definiert ist (insbesondere $x \leq 0$ )
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\end{enumerate}
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\subsection{Nullstellen des Nenners}
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\begin{flalign*}
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x^2-4&=0 \\
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x^2&=4 \\
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x&= \pm 2
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\end{flalign*}
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Die Funktion hat also Pole (nicht definierte Punkte) bei $x=2$ und $x=-2$.
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2. Definitionsbereich des Logarithmus:
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$\ln (x)$ ist nur für $x>0$ definiert.
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Zusammenführung der Bedingungen:
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- Der Nenner darf nicht null sein: $x \neq 2$ und $x \neq-2$.
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- Der Logarithmus ist nur für $x>0$ definiert.
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Schlussfolgerung:
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Die Funktion $h(x)=\left(\frac{x-3}{x^2-4}\right) \ln (x)$ ist definiert für $x>0$, ausgenommen $x=2$. Somit sind die Intervalle, in denen die Funktion definiert ist:
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$$
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(0,2) \cup(2, \infty)
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$$
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Diese Intervalle umfassen alle Werte, für die der Ausdruck sowohl im Nenner als auch im Logarithmus definiert und nicht null ist.
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