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TeX
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\begin{itemize}
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\item Was ist der Bereich der Funktion $\arcsin \frac{x-2}{3}$ ?
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\begin{itemize}
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\item $[-2,3]$
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\item \textcolor{red}{$[-1,5]$}
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\item $[2-3 \pi, 2+3 \pi]$
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\item $[-2,2]$
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\item $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$
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\item $\left[\frac{2}{3}, \frac{5}{3}\right]$
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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%\begin{figure}[h]
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% \centering
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% \includegraphics[width=0.5\linewidth]%{Grafiken/A10.png}
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%\caption{Enter Caption}
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%\label{fig:enter-label}
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%\end{figure}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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domain=-1:5,
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samples=500,
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axis lines*=middle,
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xtick={-1,1,2,3,4,5}, ytick={-1.57,1.57},
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yticklabels={$-\pi$/2,$\pi$/2}]
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\addplot[color = red] {asin((x-2)/3)/180*pi};
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\addlegendentry{$\arcsin\left(\frac{x-2}{3}\right)$}
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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Um den Wertebereich der Funktion $h(x)=\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ zu bestimmen, müssen wir sicherstellen, dass der Ausdruck $\frac{x-2}{3}$ im Definitionsbereich der Arkussinusfunktion liegt. Die Arkussinusfunktion, $\arcsin (y)$, ist nur für $-1 \leq y \leq 1$ definiert und ihr Wertebereich ist $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
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1. Bedingung für den Argumentbereich von arcsin:
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$$
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-1 \leq \frac{x-2}{3} \leq 1
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$$
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2. Lösen der Ungleichung:
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Multiplizieren wir alle Teile der Ungleichung mit 3:
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$$
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-3 \leq x-2 \leq 3
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$$
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Addieren wir 2 zu allen Teilen der Ungleichung:
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$$
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-1 \leq x \leq 5
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$$
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Das bedeutet, dass $x$ im Intervall $[-1,5]$ liegen muss, damit der Ausdruck $\frac{x-2}{3}$ im Bereich $[-1,1]$ liegt und arcsin definiert ist.
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3. Bestimmung des Wertebereichs:
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Nun betrachten wir die Extremwerte des Ausdrucks $\frac{x-2}{3}$ :
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- Für $x=-1$ :
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$$
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\frac{-1-2}{3}=\frac{-3}{3}=-1
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$$
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- Für $x=5$ :
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$$
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\frac{5-2}{3}=\frac{3}{3}=1
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$$
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Die Funktion $\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ nimmt also ihre Extremwerte bei $\arcsin (-1)$ und $\arcsin (1)$ an:
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- $\arcsin (-1)=-\frac{\pi}{2}$
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- $\arcsin (1)=\frac{\pi}{2}$
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Da die Arkussinusfunktion stetig und streng monoton ist, nimmt sie alle Werte zwischen diesen Extremwerten an.
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Der Wertebereich der Funktion $h(x)=\arcsin \left(\frac{x-2}{3}\right)$ ist daher:
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$$
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\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
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$$ |