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 \section{Aussagenverbindungen}\label{s:Aussageverbindungen}
 \subsection{Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen}\label{ss:Aussageverbindungen}
 Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage zuordnen kann.
 Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage\index{zweiwertige Aussage}\index{Aussage!zweiwertige} zuordnen kann.
 \begin{beispiel}
 	\label{B.3.4}
 	\einrueckungm{30}{
 		Betrachten wir als Beispiele die beiden Aussagen
 		\begin{itemize}
 			\item[] $p= $ "`$3 \text { ist eine Primzahl}$"'
 			\item[] $q= $ "`$10 \text { ist durch } 3 \text { teilbar}$"'
 		\end{itemize}
 		Dann können wir die folgenden neuen Sätze bilden:
 		\begin{enumerate}[label={(}\arabic*{)},start=1]
 			\item  $p_1=$ "`$3$  ist keine Primzahl“'
 			\item $p_2=$  "`$3$ ist eine Primzahl und $10$ ist durch $3$ teilbar"'
 			\item $p_3=$ "`$3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"'
 			\item $p_4=$ "`Wenn $10$ durch $3$ teilbar ist, so ist $3$ eine Primzahl"'
 			\item $p_5=$ "`$3$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $10$ durch $3$ teilbar ist"'
 			\item $p_6=$ "`Entweder $3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"'
 			\item $p_7=$ "`$3$ ist eine Primzahl, weil $10$ durch $3$ teilbar ist"'	
 		\end{enumerate}
 	}
 \end{beispiel}
 Zunächst einmal steht fest, daß die Sätze $p_1$ bis $p_7$ zweiwertige Aussagen darstellen. Ihr Wahrheitswert läßt sich in der von der Umgangssprache bekannten Weise einfach bestimmen. So gilt:
 $$
 \begin{aligned}
 	& w(p)=W, w(q)=F, \\
 	& w\left(p_1\right)=F, w\left(p_2\right)=F, w\left(p_3\right)=W, w\left(p_4\right)=W, w\left(p_5\right)=F, \\
 	& w\left(p_6\right)=W, w\left(p_7\right)=F .
 \end{aligned}
 $$
 Wir wollen nun die Überlegungen aus Beispiel \ref{B.3.4} verallgemeinern. Die Größen $p$ und $q$ bezeichnen zwei beliebige Aussagen, $p \in A_2, q \in A_2$. Dann gibt die folgende Tabelle die den Beispielen entsprechenden Aussagenverbindungen, deren Namen und Kurzschreibweisen an. Wir bemerken noch einmal, daß eine solche Aussagenverbindung je zwei Elementen von $A_2$ in eindeutiger Weise ein Element von $A_2$ zuordnet. Im Beispiel (1) wird einer Aussage aus $A_2$ eine andere Aussage, ebenfalls aus $A_2$, eindeutig zugeordnet. Aus diesem Grunde können wir auch das Wort Aussagenfunktion anstelle Aussagenverbindung benutzen.
 \begin{table}[!h]
 	\caption{\label{tab.3.1}Aussagenverbindungen}
 	\begin{center}
 		\begin{tabular}{l|l|l|l} 
 			Nr. & Aussagenverbindung & Kurzzeichen & Name \\
 			\hline 1 & nicht $p$ & $\bar{p}$ & Negation \\
 			2 & $p$ und $q$ & $p \wedge q$ & Konjunktion \\
 			3 & $p$ oder $q$ & $p \vee q$ & Alternative \\
 			4 & wenn $p$, so $q$ & $p \rightarrow q$ & Implikation \\
 			5 & $p$ genau dann, wenn $q$ & $p \leftrightarrow q$ & Äquivalenz\index{Ae@""Aquivalenz} \\
 			6 & entweder $p$ oder $q$ & - & Disjunktion\index{Disjunktion} \\
 			7 & $p$ weil $q$ & - & -
 		\end{tabular}	
 	\end{center}
 \end{table}
 Die Aussagenverbindungen (2) bis (7) in der Tabelle 3.1 sind zweistellige Aussagenverbindungen\index{zweistellige Aussagenverbindungen}\index{Aussagenverbindungen!zweistellige}, da sie je zwei Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ eindeutig zuordnen. Die Negation kann als einstellige Aussagenverbindung\index{einstellige Aussagenverbindung}\index{Aussagenverbindung!einstellige} aufgefaßt werden. Die Begriffe Alternative und Disjunktion\index{Disjunktion} werden in der Literatur unterschiedlich verwendet.
 Mit diesen ein- und zweistelligen Aussagenverbindungen ist aber die Menge der Verknüpfungen von Aussagen noch keineswegs erschöpft. Oft ist es zur Beschreibung mathematischer Sachverhalte notwendig, Aussagenverbindungen zu betrachten, die aus mehr als zwei Teilaussagen zusammengesetzt werden.
 \begin{beispiel}\label{B.3.5}
 	(Wir benutzen die Kurzschreibweise, um die Struktur der Aussagenverbindung deutlicher hervorzuheben):
 	\begin{flalign}
 		&(p  \wedge q) \rightarrow(r \vee s)  &&\\
 		&((p \vee q \vee r) \wedge(p \rightarrow s) \wedge(q \rightarrow s) \wedge(r \rightarrow s)) \rightarrow s
 	\end{flalign}
 	Mit Worten bedeutet (3.1): Wenn $p$ und $q$ gelten, so gilt auch $r$ oder $s$. Dabei kann man sich für $p, q, r, s$ beliebige Aussagen aus $A_2$ eingesetzt denken.	
 \end{beispiel}
 Allgemein gesprochen, können wir also mit Hilfe von Bindewörtern $n$ Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ zuordnen, die wir dann \textit{$n$-stellige Aussagenverbindung} nennen. Die konkrete Art der Verbindung nennen wir die \textit{logische Struktur} der Aussage. Zu dieser logischen Struktur gehören insbesondere auch die Klammern.
 Nun können wir die folgende entscheidende Fragestellung der Logik formulieren. auf der dann alle anderen Untersuchungen aufbauen: Wie beeinflußt die logische Struktur den Wahrheitswert der Aussagenverbindung? Dabei fordert man: Der Wahrheitswert der Aussagenverbindung soll nur abhängen
 \begin{enumerate}
 	\item von den Wahrheitswerten der eingehenden Teilaussagen
 	und
 \end{enumerate}
 und
 \begin{enumerate}
 	\setcounter{enumi}{1}
 	\item von der logischen Struktur der Aussagenverbindung.
 \end{enumerate}
 Er soll aber nicht vom konkreten Sinn der in der Aussagenverbindung verknüpften Teilaussagen abhängen. Aussagenverbindungen, die diese Forderung erfüllen, heißen \textit{extensional} (Extension - Ausdehnung); alle anderen heißen \textit{intensionale} Aussagenverbindungen (Intension - Sinn).
 Die Aussagenverbindungen 1 bis 6 unserer Tabelle \ref{tab.3.1} werden als extensional aufgefaßt. Dagegen beschreibt zum Beispiel "`weil"' eine intensionale Aussagenverbindung, was man sich anhand eines Beispiels überlegen kann [14].
 \subsection{Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen}\label{ss:Wahrheitstabellen}
 Im folgenden beschäftigen wir uns nur noch mit extensionalen Aussagenverbindungen und wollen zunächst für die Aussagenverbindungen 1) bis 6) aus Tabelle \ref{tab.3.1} den Wahrheitswert bestimmen. Da diese extensional sind, genügt es, für jede Kombination von Wahrheitswerten (aus $\{W, F\}$ ) der eingehenden Teilaussagen den Wahrheitswert der Aussagenverbindung anzugeben.
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.2}Wahrheitstabelle der Negation}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cc} 
 			$p$ & $F$ & $W$\\
 			\hline 
 			$\bar{p}$ & $W$ & $F$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 In der ersten Zeile dieser Tabelle steht links das Symbol $p$ für die Aussage, recht daneben die beiden möglichen Wahrheitswerte für $p: F, W$. Die zweite Zeile enthäl links das Symbol $\bar{p}$ für die Negation, daneben die Wahrheitswerte für $\bar{p}$, d. h., gil $w(p)=F$, so ist $w(\bar{p})=W$, und für $w(p)=W$ wird $w(\bar{p})=F$. Diese Tabelle, die wir Wahrheitstabelle nennen, gibt also die Zuordnung spaltenweise an.
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.3}Wahrheitstabelle der Konjunktion}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cccc} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
 			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
 			\hline$\wedge$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 Da wir es hier mit einer zweistelligen Aussagenverbindung zu tun haben, gibt es $2^2=4$ Kombinationen (Paare) von Wahrheitswerten \textcolor{red}{(s. Abschnitt 6.)}. Jedem solchen Paar entspricht wieder eine Spalte der Tabelle, wobei in der letzten Zeile der zugehörige Wahrheitswert von $p \wedge q$ aufgeschrieben ist. Wir sehen, daß die Konjunktion genau dann wahr ist, wenn beide durch \textit{und} verbundenen Teilaussagen wahr sind.
 Entsprechend definieren wir die Wahrheitstabellen der anderen Aussagenverbindungen.
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.4}Wahrheitstabelle der Alternative}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cccc} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
 			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
 			\hline$\vee$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.5}Wahrheitstabelle der Implikation}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cccc} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
 			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
 			\hline$\rightarrow$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.6}Wahrheitstabelle der Äquivalenz}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cccc} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
 			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
 			\hline$\leftrightarrow$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 \newpage
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.7}Wahrheitstabelle der Disjunktion}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cccc} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
 			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
 			\hline entweder $p$ oder $q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 \begin{aufgabe}\label{aufg:3.1}
 	\einrueckungm{20}{Man gebe die Wahrheitstabellen der Aussagenverbindungen $\overline{p \wedge q}$ (Sheffersche Funktion) bzw. $\overline{p \vee q}$ (Nicodsche Funktion) an!}
 \end{aufgabe}
 $\mathrm{Zu}$ diesen Tabellen sollen noch einige Bemerkungen gemacht werden. Der \textit{Implikation} wird nur dann der Wahrheitswert $F$ zugeordnet, wenn die erste Teilaussage $p$ (Voraussetzung) wahr, aber die zweite Teilaussage $q$ (Behauptung) falsch ist.
 \begin{beispiel}\label{B.3.6}
 	Die Aussage "`Wenn $3$ eine Primzahl ist, so ist $10$ durch $3$ teilbar"' ist offenbar falsch. Die Aussage "`Wenn $4$ eine Primzahl ist, so ist $10$ durch $3$ teilbar"' wird dagegen als wahr angesehen.
 \end{beispiel}
 Bemerkenswert ist auch der Unterschied zwischen \textit{Alternative} und \textit{Disjunktion}. Die Alternative stellt ein einschließendes, die Disjunktion ein ausschließendes oder dar.
 \einrueckungm{10}{
 	Betrachten wir noch die folgenden zwei Aussagen
 	\einrueckungm{20}{	
 		$p=$ "`$2 \cdot 2=4$"' oder "`Berlin ist die Hauptstadt der UdSSR"'
 		$q=$ Wenn "`$2 \cdot 2=5$"' ist, so "`ist die Erde ein Planet"'
 }}
 Aussagenverbindungen dieser Art sind häufig insbesondere philosophischer Kritik ausgesetzt. Im Sinne der Logik handelt es sich jedoch bei $p$ und $q$ um wahre Aussagen, obwohl diese Aussagenverbindungen rein inhaltlich gesehen völlig sinnlos sind. Im Sinne einer völligen Allgemeinheit der zur Aussagenverbindung zugelassenen Aussagen aus $A_2$ ist es aber legitim, auch Verbindungen der obigen Art zu bilden.
 Es ist zweckmäßig, die Tabellen \ref{tab.3.1} bis \ref{tab.3.7} gut im Gedächtnis zu behalten, da sie Bausteine für nachfolgende Überlegungen sind.
 \subsection{Wahrheitstabellen $n$-stelliger $(n>2)$ Aussagenverbindungen}
 Die Wahrheitstabellen ordnen jeder Kombination (bisher jedem Paar) von Wahrheitswerten eindeutig einen Wahrheitswert zu. Diese Zuordnung ist spaltenweise in den Tabellen rechts vom vertikalen Strich dargestellt. Die Tabellen repräsentieren also Funktionen (siehe auch Abschnitt 8.), die man auch Wahrheitsfunktionen nennt. Am Beispiel der $4$-stelligen Aussagenverbindung
 \begin{flalign}
 	&(p \wedge q) \rightarrow (r \vee s)& \label{gl.3.3}
 \end{flalign}
 wollen wir jetzt noch zeigen, wie man mit Hilfe der in \ref{ss:Wahrheitstabellen} angegebenen Wahrheitstabellen die Wahrheitstabelle einer mehr als zweistelligen Aussagenverbindung bestimmt.
 Zunächst kann man sich überlegen, daß es $2^4=16$ verschiedene Kombinationen von Wahrheitswerten gibt. Diese werden in zweckmäßiger Reihenfolge im Kopf der Tabelle aufgeschrieben. Betrachten wir die Struktur von (\ref{gl.3.3}), so sehen wir, daß wir es mit einer Aussagenverbindung $t \rightarrow u$ mit $t=p \wedge q, u=r \vee s$ zu tun haben. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Wahrheitstabelle schrittweise, wie nachfolgend dargestellt, aus den schon bekannten Bausteinen aufzubauen.
 %%%%
 \begin{table}[!h]
 	\begin{center}
 		\caption{\label{tab.3.8}Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $(p \wedge q) \rightarrow(r \vee s)$}
 		\begin{tabular}{p{1.5cm}|p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$\\
 			q & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$\\ 
 			r & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
 			$s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline
 			$t=p \wedge q$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
 			$u=r \vee s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline
 			$t \rightarrow u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$\\
 		\end{tabular}
 	\end{center}
 \end{table}
 Wir sehen also, daß $t \rightarrow u$ nur bei genau einer der $16$ möglichen Wahrheitswertkombinationen falsch wird. Insbesondere ist also auch eine Aussage wie
 \einrueckungm{20}{"`Wenn $2 \cdot 2=3$ und $4$ eine Primzahl ist, so ist auch $5$ eine Primzahl oder $8^2=60$"'}
 eine wahre Aussage.
 Mit Hilfe der Ergebnisse aus Abschnitt \textcolor{red}{6.3.2}. kann man sich leicht überlegen, daß bei einer $n$-stelligen Aussagenverbindung die Wahrheitstabelle $2^n$ Spalten enthält. Um diese aufzuschreiben ist es zweckmäßig, folgendermaßen vorzugehen (siehe auch Tabelle \ref{tab.3.8}, $n=4$ ):
 Man schreibe in die erste Zeile die Zweiergruppen $F W \ldots$, in die zweite die Vierergruppen $F F W W \ldots$, in die dritte die Achtergruppen $F F F F W W W W \ldots$ usw. Auf diese Weise erhält man, wie man sich leicht überlegen kann, alle $2^n$ Spalten, und man ist damit in der Lage, die gewünschte Wahrheitstabelle anzugeben.
 \begin{aufgabe}
 	\einrueckungm{20}{
 		Folgt aus dem Satz "`Wenn Peter Mathematik studiert, so studiert er auch Operationsforschung oder Kybernetik"' und "`Peter studiert nicht Operationsforschung"' und "`Peter studiert Mathematik oder Operationsforschung oder Kybernetik"' der Satz: "`Peter studiert Kybernetik"'?}
 \end{aufgabe}
 \subsection{Verbindungen von Aussageformen}
 Auch Aussageformen lassen sich durch Bindewörter neuen Aussageformen zuordnen. Dabei ist nur zu sichern, daß bei Einsetzung eines beliebigen konkreten Wertes $x_1$ der Variablen $x$ mit dem Bereich $X$ die "`Aussageformverbindung"' in eine Aussage aus $A_2$ übergeht.
 \begin{beispiel}\label{B.3.7}
 	$X=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5,1 ; 5,2 ; 6\}$
 	\begin{enumerate}
 		\item $p(x)=$ "`$x$ ist eine ganze Zahl, und $x$ ist größer als $4$"'.
 		Es gilt: $w(p(5))=w(p(6))=W, w\left(p\left(x_1\right)\right)=F$ für $x_1 \in X, x_1 \neq 5 ; 6$.
 		\item $p(x)=$ "`Wenn $x$ eine ganze Zahl ist, so ist $x$ größer als $4$"'.
 		Es gilt: $w(p(1))=w(p(2))=w(p(3))=w(p(4))=F$,
 		$w(p(5))=w(p(5,1))=w(p(5,2))=w(p(6))=W$.
 	\end{enumerate}
 	Allgemein können wir folgendes feststellen:
 	Man kann zum Beispiel durch
 	$$
 	\begin{aligned}
 		& \overline{p(x)}, p(x) \wedge q(x), p(x) \vee q(x), p(x) \rightarrow q(x), \\
 		& p(x) \leftrightarrow q(x), \quad \text { \textit{entweder} } p(x) \text { \textit{oder} } q(x)
 	\end{aligned}
 	$$
 	Aussageformverbindungen bilden, die für jedes $x=x_1 \in X$ in Aussagenverbindungen übergehen. Es können darüberhinaus auch $n$-stellige Aussageformverbindungen gebildet werden.
 \end{beispiel}
 \begin{aufgabe}
 	\einrueckungm{20}{Man gebe die Aussageformverbindung
 		"`Falls $n$ eine Primzahl ist, so teilt 3 eine der Zahlen $n-1$ oder $n+1$"' mittels logischer Zeichen an und stelle für ein beliebiges festes $n$ die Wahrheitstabelle auf!}
 \end{aufgabe}
--- a/Band1.aux
+++ b/Band1.aux
@@ -0,0 +1,79 @@
 \relax 
 \providecommand*\new@tpo@label[2]{}
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 %1. Beispiel
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 %\end{document}
 %2. Beispiel
 %\newtheoremstyle{side}{}{}{\advance\leftskip3cm\relax\itshape}{}
 %{\bfseries}{}{0pt}{%
 	%	\makebox[0pt][r]{%
 		%		\smash{\parbox[t]{2.5cm}{\raggedright\thmname{#1}%
 				%				\thmnumber{\space #2}\thmnote{\newline (#3)}}}%
 		%		\hspace{.5cm}}}
 %
 %\theoremstyle{side}
 %\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
 %
 %\theoremstyle{definition}
 %\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
 %
 %\begin{document}
 %	
 %	\lipsum[1]
 %	
 %	\begin{theorem}
 	%		\lipsum[1]
 	%	\end{theorem}
 %	
 %	\begin{theorem}[Euclid]
 	%		\lipsum[2]
 	%	\end{theorem}
 %	
 %	\begin{theorem}[Very long name]
 	%		\lipsum[3]
 	%	\end{theorem}
 %	
 %	\begin{definition}
 	%		\lipsum[1]
 	%	\end{definition}
 %	
 %\end{document}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \newtheorem{thb}{Theorem}[chapter]
 \newtheorem{bsp}[thb]{Beispiel}
 %https://tex.stackexchange.com/questions/338209/remove-dot-after-theorem-with-amsthm-and-hyperref
 \usepackage{xpatch}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{\xpatchcmd{\@thm}{\thm@headpunct{.}}{\thm@headpunct{}}{}{}}
 \makeatother
 \numberwithin{equation}{chapter} %Numerierung der Formeln mit Kapitelnummer 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Tabellenbreite
 %\usepackage{tabulary}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%Neues Enviroment für Defintion
 %% https://tex.stackexchange.com/questions/43495/defining-a-custom-environment-with-per-section-numbering
 \newcounter{mydefcount}
 \newcounter{mybspcount}
 \newcounter{myaufgcount}
 \newenvironment{definition}{%      define a custom environment
 	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
 	\refstepcounter{mydefcount}% increment the environment's counter
 	\textbf{Definition \themydefcount}% or \textbf, \textit, ...
 }{\par\bigskip}  %          create a vertical offset to following material
 \numberwithin{mydefcount}{chapter}
 %%%%%%Neues Enviroment für Definition Ende
 \newenvironment{beispiel}{%      define a custom environment
 	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
 	\refstepcounter{mybspcount}% increment the environment's counter
 	\textbf{Beispiel \themybspcount}\mbox{}
 	\vspace*{-\baselineskip}
 	\newline
 }{\par\bigskip}  %          create a vertical offset to following material
 \numberwithin{mybspcount}{chapter}
 \newenvironment{aufgabe}{%      define a custom environment
 	\bigskip\noindent%         create a vertical offset to previous material
 	\refstepcounter{myaufgcount}% increment the environment's counter
 	\textbf{* Aufgabe \themyaufgcount}\mbox{}
 	\vspace*{-\baselineskip}
 	\newline
 }{\par\bigskip}  %          create a vertical offset to following material
 \numberwithin{myaufgcount}{chapter}
 \title{Grundlagen der Mathematik, Abbildungen, Funktionen, Folgen}
 %%%Pfeile
 \pgfdeclarelayer{background}
 \pgfsetlayers{background,main}
 \newcommand{\bglayer}[1]{%
 	\begin{pgfonlayer}{background}
 		\begin{scope}[every picture]
 			#1
 		\end{scope}
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 }
 %%%Pfeile
 \everymath{\displaystyle}
 %\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
 %%%Caption in tabelle auch links
 \usepackage[singlelinecheck=false % <-- important
 ]{caption}
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 \usepackage{floatrow} % um die caption nach rechts zu setzen
 %Abbildung nach Bild umbenennen
 \renewcaptionname{german}{\figurename}{Bild}
 %%%%Besipiele
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 %\renewcaptionname{ngerman}{\tablename}{Tab.}
 %%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Test Caption
 %\makeatletter
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 	%}
 % If \captionof is required:
 % Usage: \captionaboveof[<short caption>]{table}{<caption>}
 %\newcommand{\captionaboveof}[3][]{%
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 	%	\def\@captype{#2}%
 	%	\ifx\@nnil#1\@nnil
 	%	\caption{#3}%
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 	%	\caption[#1]{#3}%
 	%	\fi
 	%	\vskip+\abovecaptionskip
 	%	\vskip-\belowcaptionskip
 	%}
 %\makeatother
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Test Caption
--- a/Die_Entwicklung_der_Mathematik_und_ihre_Beziehung_zur_Praxis.tex
+++ b/Die_Entwicklung_der_Mathematik_und_ihre_Beziehung_zur_Praxis.tex
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 \chapter{Die Entwicklung der Mathematik und ihre Beziehung zur Praxis}
 \section{Aus der Entwicklungsgeschichte der Mathematik}
 Die Geschichte der Mathematik ist eng mit der der menschlichen Gesellschaft verknüpft. Ferner bestimmen einige bedeutende Mathematiker durch ihre richtungweisenden Ideen und Entdeckungen die Entwicklung der Mathematik entscheidend. Die Mathematik gehört - neben Philosophie, Medizin und Astronomie - zu den ältesten Wissenschaften. Sie erreichte schon im 2. Jahrtausend v. u. Z. in Ägypten und Mesopotamien, aber auch im alten China und Indien einen beachtlichen Reifegrad. Die verwendeten Zahlensysteme standen im engen Zusammenhang mit kommerziellen und militärischen Interessen sowie mit Verwaltungsproblemen. Man kannte Verfahren zur Lösung von Gleichungen, sogar höheren Grades. Die Geometrie diente dem Errichten von Bauwerken, der Feldvermessung und der Orientierung am Himmel. Doch handelte es sich um eine rezeptartige, noch nicht auf Beweisen von explizit angeführten Sätzen aufbauende Mathematik.
 Erst mit der Herausbildung der antiken Sklavenhaltergesellschaft im alten Griechenland wurde die Mathematik im 6.-5. Jh. v. u. Z. zu einer selbständigen Wissenschaft mit eigenen Methoden und Beweisverfahren; auf dieser Grundlage schuf Euklid (365?-300? v. u. Z.) mit seinen ,„Elementen“ (um 325 v. u. Z.) eine bewunderungswürdige Darstellung des damaligen mathematischen Kenntnisstandes. Mit Archimedes\index{Archimedes} (287?-212 v. u. Z.), dem in Geometrie und Mechanik große Entdeckungen gelangen, erreichte die Mathematik der Antike während der hellenistischen Periode ihren Höhepunkt.
 Zur Zeit der Herrschaft der Römer und in der feudalistischen Gesellschaft gab es in Europa keine nennenswerten mathematischen Entwicklungen, während die Mathematik vor allem in Indien und in den Ländern des Islam zu einer hohen Blüte gelangte ; viele Teilergebnisse - darunter die indisch-arabischen Ziffern - gelangten seit dem 12./13. Jh. in die Länder des europäischen Feudalismus, in denen bis dahin nur ein sehr bescheidenes wissenschaftliches, darunter auch mathematisches Niveau geherrscht hatte.
 Erst mit der Entwicklung von Elementen des Frühkapitalismus in Europa bildeten sich, insbesondere seit dem 16. Jh., günstige Bedingungen für die Übernahme des antiken mathematischen Erbes und für dessen selbständige Weiterentwicklung durch die Europäer heraus. Die Trigonometrie entwickelte sich zu einer selbständigen mathematischen Disziplin. Die Durchbildung der Rechenmethoden machte große Fortschritte; von den sog. Rechenmeistern wurde in Deutschland A. Ries (1492-1559) am bekanntesten, der im Erzgebirge wirkte. Reichlich ein Jahrhundert später wurden die ersten Maschinen für die Grundrechenarten entwickelt (Schickard (1592-1635), Pascal (1623-1662), Leibniz (1646-1716)).
 Das Gedankengut der rationalistischen philosophischen Systeme und der Aufklärung sowie die bürgerliche Revolution brachten im 16. und 17. Jahrhundert mit der Überwindung der feudalistischen Gesellschaftsordnung und der diese Ordnung rechtfertigenden Ideologien auch den Naturwissenschaften und der Mathematik wieder Geltung und Bedeutung. Descartes (1596-1650) begründete den modernen Rationalismus auf der mathematischen Grundlage der von Galilei (1564-1642) geformten Naturwissenschaften. Er gilt auch als Begründer der analytischen Geometrie.
 Die Herausbildung der infinitesimalen Methoden erfolgte in engem Zusammenhang mit der geistigen Bewältigung des Bewegungsproblems in Physik (G. Galilei) und Himmelsmechanik (J. Kepler). Im Anschluß an die Ergebnisse von Archimedes\index{Archimedes} und durch sehr mühsame Gedankenarbeit im 16. und zu Anfang des 17. Jahrhunderts vermochten es I. Newton (1643-1727) und G. W. Leibniz im letzten Drittel des 17. Jahrhunderts, unabhängig voneinander die Methoden der Differential- und Integralrechnung durchzubilden. Während Newton, der als einer der bedeutendsten Forscher auf den Gebieten der Mathematik, Mechanik und Astronomie gilt, mit Hilfe dieses neu entwickelten mathematischen Werkzeuges den Aufbau der klassischen Mechanik und seine "`Mathematischen Prinzipien der Naturwissenschaften"' (1687) vollenden konnte, setzten sich die geschickteren Bezeichnungen von Leibniz rasch durch. Die "`Infinitesimalmathematik"' wurde im 18. Jh. in den Händen der Gebrüder Johann (1667-1748) und Jakob Bernoulli (1645-1705) und L. Eulers (1707-1783), der in Berlin und Petersburg wirkte, zu einem weitreichenden Mittel zur Bewältigung schwieriger Probleme der Mechanik, der Himmelsmechanik, der Optik, des Artilleriewesens, der Seeschiffahrt und vieler anderer praktischer Anwendungen.
 Die neue Geltung und Anerkennung der Mathematik und der Naturwissenschaften kam u. a. auch bei J. L. d'Alembert\index{d'Alembert} (1717-1783) und in der großen französischen Encyclopédie zum Ausdruck.
 Nach der französischen bürgerlichen Revolution (1789) setzte insbesondere in den von der industriellen Revolution erfaßten Ländern Europas ein bedeutender Aufschwung in der Mathematik ein. Bei der Grundlegung der Analysis, in Algebra, in darstellender, analytischer und projektiver Geometrie sowie bei der Nutzbarmachung der Mathematik für Anwendungen in Technik und Naturwissenschaften wurden bedeutende Fortschritte erzielt. J. Lagrange (1736-1813), P. S. Laplace (1749-1827), A. Legendre (1752-1833), G. Monge (1746-1818), J. Fourier (1768-1830), A. Cauchy (1789-1857), J. V. Poncelet (1788-1867) u. a. leisteten hier und auf anderen mathematischen Gebieten Hervorragendes; viele Mathematiker nahmen aktiv am gesellschaftlichen Leben ihrer bewegten Zeit teil. Sie haben zudem große Verdienste bei der Neugestaltung der mathematischen Ausbildung.
 Der deutsche Mathematiker C. F. Gauß (1777-1855) lieferte am Ende des 18. und zu Beginn des 19. Jahrhunderts hervorragende Beiträge zur Entwicklung der Mathematik. Er bereicherte sie um zahlreiche neue Verfahren und Theorien und überwand viele ungelöste Probleme. Seine Forschungen waren dabei an Anwendungen in der Geodäsie, der Astronomie und der mathematischen Physik orientiert.
 Von der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts bis zum Ausbruch des ersten Weltkrieges traten insbesondere die Mathematiker aus den Ländern hervor, in denen sich Kapitalismus und Industrialisierung am weitesten entwickelt hatten. Genannt seien: G. Boole (1815-1869), A. Cayley (1821-1895) und R. Hamilton (1805-1865) in Großbritannien, C. Jordan (1838-1922) und H. Poincaré (1854-1912) aus Frankreich, K. Weierstraß (1815-1897), B. Riemann (1826-1866), R. Dedekind (1831 bis 1916) und F. Klein (1849-1925) aus Deutschland, S. Lie (1842-1899) aus Norwegen, E. Beltrami (1835-1900) und G. Peano (1858-1932) aus Italien, Ch. S. Peirce (1839-1914) aus den USA sowie N. I. Lobatschewski (1792-1856) und P. L. Tschebyscheff (1821-1894) aus Rußland. Für die Begründung wichtiger Gebiete und Auffassungen in der modernen Mathematik sind die grundlegenden Ideen von G. Cantor (1845-1918) und D. Hilbert (1862-1943) aus Deutschland sowie die des polnischen Mathematikers St. Banach (1892-1945) zu großer Bedeutung gelangt.
 Nach der Großen Sozialistischen Oktoberrevolution (1917) nahmen die mathematischen Forschungen in der Sowjetunion einen ungeheuren Aufschwung. Die gesellschaftliche und wirtschaftliche Entwicklung in diesem Lande ermöglichte es, daß heute die sowjetischen Mathematiker zu den führenden in der ganzen Welt zählen und ihre Ergebnisse und Leistungen Entwicklungsrichtungen der modernen Mathematik bestimmen. Auch in der DDR wurde die Bedeutung der Mathematik durch die Partei- und Staatsführung erkannt, was sich in einer großzügigen Förderung der mathematischen Forschung und Ausbildung äußert.
 Dieser kurze Abriß zeigt, daß vorwiegend in den fortschrittlichen Gesellschaftsordnungen einer Epoche die Mathematik durch bedeutende Entdeckungen erweitert und bereichert wird.
--- a/Die_wesentlichen_logischen_Zeichen_und_ihre_technische_Realisierung.tex
+++ b/Die_wesentlichen_logischen_Zeichen_und_ihre_technische_Realisierung.tex
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 \section{Die wesentlichen logischen Zeichen und ihre technische Realisierung}
 \subsection{Logische Zeichen}
 Wir haben bereits in \ref{ss:Aussageverbindungen} einige wesentliche Kurzzeichen, die in der Logik zur Beschreibung von Aussagenverbindungen benutzt werden, angegeben.
 Wir wiederholen:
 {\setlength\arrayrulewidth{3pt}
 	\begin{tabular}{l|l} 
 		& \parbox{0.2\linewidth}{$\begin{array}{lcl}\bar{p} & -& \text {nicht } p \\ p \wedge q & -&p \text { und } q \\ p \vee q & -& p \text { oder } q \\ p \rightarrow q & -& \text {wenn } p, \text { so } q \\ p \leftrightarrow q & -& p \text { genau dann, wenn } q\end{array}$ \\ }
 \end{tabular}}
 Die Zeichen - $, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ sind die Kurzzeichen (\textit{Funktoren}) der Aussagenlogik. Darüber hinaus gibt es jedoch einige Zeichen, die insbesondere für mathematische Aussagen von Bedeutung sind. Dazu betrachten wir noch einmal eine Aussageform $p(x)$ mit dem Bereich $X$ der Variablen $x$.
 Es gibt außer der schon behandelten Möglichkeit, von der Aussageform $p(x)$ zu Aussagen überzugehen (einsetzen konkreter $x=x_1 \in X$ ), noch eine andere Möglichkeit, Aussagen mit Hilfe von $p(x)$ zu bilden. Diese Möglichkeit ergibt sich aus der Tatsache, daß beim Einsetzen spezieller $x=x_1 \in X$ in die Aussageform die drei folgenden Fälle eintreten können:
 \begin{enumerate}
 	\item Alle entstehenden Aussagen sind wahr,
 	\item mindestens eine der entstehenden Aussagen ist wahr und mindestens eine ist falsch,
 	\item alle entstehenden Aussagen sind falsch.
 \end{enumerate}
 Entsprechend definieren wir:
 \begin{definition}\label{D.3.3}
 	\begin{description} 
 		\item{(a)} $q=(\forall x) p(x)$, gelesen: ,Für jedes $x$ gilt $p(x)^{\text {“, }}$, ist eine \marginpar[\textbf{D.3.3}]{\textbf{D.3.3}}zweiwertige Aussage, die genau dann den Wert $W$ besitzt, wenn $p(x)$ für jedes konkrete $x=x_1 \in X$ eine wahre Aussage darstellt. Das Symbol $\forall$ heißt \textbf{Allquantor}.
 		\item{(b)} $r=(\exists x) p(x)$, gelesen: "`Es existiert ein $x$ so, da $\beta p(x)$ gilt "', ist eine zweiwertige Aussage, die genau dann den Wert F besitzt, wenn $p(x)$ für jedes konkrete $x=x_1 \in X$ eine falsche Aussage darstellt. Das Symbol $\exists$ heißt \textbf{Existenzquantor}.
 		\item{(c)} $s=(\mathrm{N} x) p(x)=(\forall x) \overline{p(x)}$, gelesen: "`Für kein $x$ gilt $p(x)$"'. $\mathrm{N}$ heißt \textbf{Nullquantor} und kann leicht auf den \textbf{Allquantor} zurückgeführt werden.
 	\end{description}
 \end{definition}
 \begin{beispiel}\label{B.3.8}
 	\einrueckungm{25}{
 		\begin{description}
 			\item[] $p(x)=$ "`$x$ ist eine gerade Zahl“',
 			\item[] $q(x)=$"`Das Quadrat von $x$ ist nicht negativ"',
 			\item[] $X=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,3,4, \ldots\}=G \quad$ (Menge der ganzen Zahlen).
 		\end{description}
 	}
 	Dann gilt:
 	\einrueckungm{25}{
 		\begin{description}
 			\item[] $w((\forall x) p(x))=F$, denn z. B. $x=1$ ist eine ungerade Zahl;
 			\item[] $w((\exists x) p(x))=W$, denn z. B. $x=2$ ist eine gerade Zahl;
 			\item[] $w((\forall x) q(x))=W$, denn das Quadrat einer ganzen Zahl ist nicht negativ;
 			\item[] $w((\exists x) q(x))=W$ ist eine Folgerung von $w((\forall x) q(x))=W$.
 		\end{description}
 	}
 \end{beispiel}
 Die oben genannten Zeichen -- $\vee, \wedge, \rightarrow, \leftrightarrow$ bilden gemeinsam mit den beiden Quantoren $\forall, \exists$ eine Zeichenmenge, mit der man (unter Zuhilfenahme von Klammern) die Aussagen, die in der Mathematik, aber auch in anderen Wissenschaften vorkommen, formalisiert darstellen und auf ihren Wahrheitsgehalt untersuchen kann.
 \begin{aufgabe}
 	\einrueckungm{20}{- Es werden folgende Aussageformen betrachtet:
 		$$
 		\begin{array}{ll}
 			q(x)=,, x \text { ist eine Primzahl"; } & r(x)=,, x \text { ist durch } 2 \text { teilbar"; } \\
 			s(x)=,, x \text { ist durch } 3 \text { teilbar"; } & t(x)=,, x \text { ist durch } 6 \text { teilbar". }
 		\end{array}
 		$$
 		Dabei ist $x$ eine natürliche Zahl, $x \geqq 1$.
 		Man formuliere die folgenden Aussagen verbal und untersuche, ob sie wahr sind:
 		\begin{enumerate}
 			\item $(\forall x) r(x) \rightarrow \bar{q}(x)$;
 			\item $(\forall x) \bar{r}(x) \wedge \bar{s}(x) \rightarrow q(x)$;
 			\item $(\forall x) q(x) \rightarrow \bar{r}(x) \wedge \bar{s}(x)$;
 			\item $(\forall x) r(x) \wedge s(x) \leftrightarrow t(x)$;
 			\item $(\exists x) \bar{r}(x) \wedge \bar{s}(x)\rightarrow q(x)$.
 		\end{enumerate}
 	}
 \end{aufgabe}
 \begin{aufgabe}
 	\einrueckungm{20}{
 		Man stelle die folgenden Aussagen mittels logischer Symbole dar:
 		\begin{description}
 			\item[a)] Zu einer beliebigen natürlichen Zahl läßt sich immer eine größere Zahl finden, die Primzahl ist.
 			\item[b)] Das Quadrat jeder beliebigen reellen Zahl ist größer als null.
 		\end{description}
 		Man bilde die Verneinung der durch b) formulierten Aussage!
 	}
 \end{aufgabe}
 \subsection{Technische Realisierung der logischen Zeichen}
 Eine wichtige technische Anwendung der Logik ist die Beschreibung von \textit{Schaltkreisen}. So machte Ehrenfest bereits 1910 darauf aufmerksam, daß man die mathematische Logik auf \textit{Relaiskontaktschaltungen} anwenden könne. Die Anwendung begann jedoch erst in den dreißiger Jahren mit den Arbeiten von Shannon. Es entstand die \textit{Schaltalgebra} als mathematische Grundlage für die logischen Schaltungen und speziell für die digitalen Rechenautomaten.
 Betrachten wir einen Stromkreis, der durch Schalter geöffnet werden kann. Dann läßt sich leicht die folgende zweiwertige Aussage definieren
 \einrueckungm{30}{
 	$p=$ "`Der Stromkreis ist geschlossen"' $=$ "`Es fließt Strom"'}
 Dabei ist $w(p) \in\{W, F\}$, wobei $W$ dem geschlossenen, $F$ dem geöffneten Stromkreis entspricht.
 Wir wollen jetzt die Wahrheitstabellen (Wahrheitswertfunktionen) der grundlegenden Verknüpfungen (Aussagenverbindungen) durch Schaltungen technisch realisieren.
 In Bild \ref{bild:b01} und Bild \ref{bild:b02} haben wir jeweils zwei Schalter, wobei
 \einrueckungm{30}{
 	$p_1=$"`Der Schalter $1$ ist geschlossen"',
 	$p_2=$"`Der Schalter $2$ ist geschlossen"'
 }
 wie oben zweiwertige Aussagen sind. Eine Glühlampe $G$ zeigt an, ob der Stromkreis geschlossen oder offen ist. Für die Schaltung aus Bild \ref{bild:b01} gilt
 $$
 w(p)=\left\{\begin{array}{l}
 	W \text { genau dann, wenn } w\left(p_1\right)=W \text { oder } w\left(p_2\right)=W \\
 	F \text { genau dann, wenn } w\left(p_1\right)=F \text { und } w\left(p_2\right)=F .
 \end{array}\right.
 $$
 Damit ist $p$ also eine Aussagenverbindung von $p_1, p_2$, deren Wahrheitsverhalten mit dem der "`\textit{oder}"'-\textit{Verbindung} (\textit{Alternative}) übereinstimmt. Die \textit{Parallelschaltung} aus Bild \ref{bild:b01} realisiert die Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $p=p_1 \vee p_2$.
 \begin{figure}[ht]
 	\floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={right,center},capbesidewidth=6cm}}]{figure}[\FBwidth]
 	{\caption{$p=p_1 \vee p_2$ (Alternative)}\label{bild:b01}}
 	{\input{Grafiken/Band1G01.tikz}}
 \end{figure}
 \begin{figure}[ht]
 	\floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={right,center},capbesidewidth=6cm}}]{figure}[\FBwidth]
 	{\caption{$p=p_1 \wedge p_2($ Konjunktion $)$}\label{bild:b02}}
 	{\input{Grafiken/Band1G02.tikz}}
 \end{figure}
 Für die Reihenschaltung der Schalter $1$ und $2$ aus Bild \ref{bild:b02} können wir uns leicht überlegen, daß der Wahrheitswert der Aussage $p=$"`Der Stromkreis ist geschlossen"'
 $$
 w(p)=\left\{\begin{array}{l}
 	W \text { genau dann, wenn } w\left(p_1\right)=W \text { und } w\left(p_2\right)=W \\
 	F \text { sonst }
 \end{array}\right.
 $$
 ist. Wir sehen also Übereinstimmung mit der Wahrheitstabelle der Konjunktion, und deshalb realisiert die Reihenschaltung aus Bild \ref{bild:b02} die Wahrheitstabelle einer Konjunktion,
 \einrueckungm{30}
 {$p=p_1 \wedge p_2.$
 }
 Das Wahrheitsverhalten der \textit{Negation}, also einer einstelligen Aussagenverbindung, läßt sich schaltungstechnisch durch einen \textit{Ruhekontakt} (Bild \ref{bild:b03}) realisieren.
 \begin{figure}[ht]
 	\floatbox[{\capbeside\thisfloatsetup{capbesideposition={right,center},capbesidewidth=6cm}}]{figure}[\FBwidth]
 	{\caption{$p=\bar{q}$ (Negation)}\label{bild:b03}}
 	{\input{Grafiken/Band1G03.tikz}}
 \end{figure}
 Durch Betrachtung von Bild \ref{bild:b03} sehen wir, der Stromkreis mit der Glühlampe $G$ ist geschlossen, falls der Schalter 1 geöffnet ist und umgekehrt. Es ist also
 $$
 w(p)= \begin{cases}W, & \text { falls } w(q)=F \\ F, & \text { falls } w(q)=W .\end{cases}
 $$
 Deshalb gilt: $p=\bar{q}$.
 Für die Konstruktion von komplizierten elektronischen Schaltungen ist es notwendig, die Wahrheitstabellen $n$-stelliger Aussagenverbindungen schaltungstechnisch zu realisieren, insbesondere auch die der anderen Aussagenverbindungen Implikation, Äquivalénz, Entweder-oder-Verbindung, Sheffersche und Nicodsche Funktion. Ohne auf die Theorie hier näher einzugehen, wollen wir ein grundlegendes und für die Technik äußerst wichtiges Ergebnis formulieren, welches sich im Rahmen der mathematischen Logik beweisen läßt.
 Jede beliebige $n$-stellige Wahrheitswertfunktion (Wahrheitstabelle) läßt sich aus den Wahrheitswertfunktionen der Negation, Konjunktion und Alternative (Tabellen \ref{tab.3.2}, \ref{tab.3.3}, \ref{tab.3.4}) durch gewisse Operationen gewinnen. Es ist darüber hinaus sogar möglich, allein mit Hilfe der Wahrheitswertfunktion der Shefferschen bzw. der Nicodschen Funktion (Aufgabe \ref{aufg:3.1}) jede beliebige andere $n$-stellige Wahrheitswertfunktion darzustellen.
 Da sich die Operationen, die für die Darstellungen notwendig sind, schaltungstechnisch gut realisieren lassen, bedeutet dies, daß wir allein mit den drei angegebenen Grundschaltungen (Bilder \ref{bild:b01}, \ref{bild:b02}, \ref{bild:b03}) als Bausteine jede beliebige $n$-stellige Wahrheitswertfunktion technisch realisieren können.
 Bisher haben wir nur die technischen Realisierungen der grundlegenden Verknüpfungen angegeben.
 Im allgemeinen steht aber die Frage, komplizierte Aussagenverbindungen auf der Basis dieser Grundverknüpfungen schaltungstechnisch zu realisieren und dabei möglichst geringen Aufwand zu treiben. Wir wollen das an zwei Beispielen illustrieren. Die Aussagenverbindungen
--- a/Grafiken/3.1.png
+++ b/Grafiken/3.1.png
@@ -0,0 +1 @@
 Not Found
--- a/Grafiken/3.2.png
+++ b/Grafiken/3.2.png
@@ -0,0 +1 @@
 Not Found
--- a/Grafiken/3.3.png
+++ b/Grafiken/3.3.png
@@ -0,0 +1 @@
 Not Found
--- a/Grafiken/3.4.png
+++ b/Grafiken/3.4.png
@@ -0,0 +1 @@
 Not Found
--- a/Grafiken/3.5.png
+++ b/Grafiken/3.5.png
@@ -0,0 +1 @@
 Not Found
--- a/Grafiken/4.1.ggb
+++ b/Grafiken/4.1.ggb
@@ -0,0 +1 @@
 Not Found
--- a/Grafiken/4.1.png
+++ b/Grafiken/4.1.png
@@ -0,0 +1 @@
 Not Found
--- a/Grafiken/4.1.tikz
+++ b/Grafiken/4.1.tikz
@@ -0,0 +1,26 @@
 \definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0}
 \definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1}
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 \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,scale=0.5,every node/.style={transform shape}] %every node/.style={scale=0.6}]
 \draw [shift={(-2.7242408994434544,3.0104836026458477)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-99.38083625827915:0.6338613605662275) arc (-99.38083625827915:-38.66936949066439:0.6338613605662275) -- cycle;
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 \draw [line width=0.4pt] (-3.5477563161670616,-1.974316368036472)-- (3.534394591307023,-1.998137851335504);
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 \draw [line width=0.4pt] (-2.7242408994434544,3.0104836026458477)-- (3.534394591307023,-1.998137851335504);
 \draw [line width=0.4pt] (-3.5477563161670616,-1.974316368036472)-- (2.72,3.01);
 \draw [line width=0.4pt] (2.72,3.01)-- (3.534394591307023,-1.998137851335504);
 \draw (-0.1651296409379702,4.902044906250167) node[anchor=north west] {$K$};
 \begin{scriptsize}
 \draw [fill=xdxdff] (-3.5477563161670616,-1.974316368036472) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-4.179584924524078,-2.2288954001198484) node {$P_1$};
 \draw [fill=xdxdff] (3.534394591307023,-1.998137851335504) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (4.1,-2.1866379760821) node {$P_2$};
 \draw [fill=xdxdff] (-2.7242408994434544,3.0104836026458477) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-3.080891899542617,3.5181142690139127) node {$P_3$};
 \draw [fill=ududff] (2.72,3.01) circle (2.5pt);
 \draw[color=ududff] (3.0675632979497904,3.581500405070535) node {$P_4$};
 \draw[color=qqwuqq] (-2.4,2.) node {$\alpha$};
 \draw[color=qqwuqq] (2.3,2) node {$\beta$};
 \end{scriptsize}
 \end{tikzpicture}
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 \begin{document}
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 \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
 \clip(-23.214764908184208,-10.253395813186337) rectangle (8.7097046071515,15.648098489019173);
 \draw [shift={(-8.246248844808852,6.01667363049191)},line width=2pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-96.25844997787505:0.810265723739485) arc (-96.25844997787505:-39.07103262709506:0.810265723739485) -- cycle;
 \draw [shift={(-2.3610081982594364,7.748692699038387)},line width=2pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-136.89662759360516:0.810265723739485) arc (-136.89662759360516:-95.83127105980758:0.810265723739485) -- cycle;
 \draw [line width=2pt] (-5.818234449125059,3.6211878893314746) circle (3.410807212633205cm);
 \draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458);
 \draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-8.246248844808852,6.01667363049191);
 \draw [line width=2pt] (-8.246248844808852,6.01667363049191)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458);
 \draw (-5.929096135075196,8.355706975363816) node[anchor=north west] {$K$};
 \draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-2.3610081982594364,7.748692699038387);
 \draw [line width=2pt] (-2.3610081982594364,7.748692699038387)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458);
 \begin{scriptsize}
 \draw [fill=xdxdff] (-8.707707908908976,1.808855423431506) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-9.170159030033137,1.6440058970550886) node {$P_1$};
 \draw [fill=xdxdff] (-2.974945793144921,1.7372251878627458) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-2.607006667743308,1.2388730351853465) node {$P_2$};
 \draw [fill=xdxdff] (-8.246248844808852,6.01667363049191) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-8.683999595789444,6.85671538644577) node {$P_3$};
 \draw[color=qqwuqq] (-7.387574437806268,5.047121936760922) node {$\alpha$};
 \draw [fill=ududff] (-2.3610081982594364,7.748692699038387) circle (2.5pt);
 \draw[color=ududff] (-2.066829518583651,8.423229119008774) node {$P_4$};
 \draw[color=qqwuqq] (-2.552988952827342,6.613635669323925) node {$\beta$};
 \end{scriptsize}
 \end{tikzpicture}
 \end{document}
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 \begin{document}
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 \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
 \clip(-23.214764908184208,-10.253395813186337) rectangle (8.7097046071515,15.648098489019173);
 \draw [shift={(-8.246248844808852,6.01667363049191)},line width=2pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-96.25844997787505:0.810265723739485) arc (-96.25844997787505:-39.07103262709506:0.810265723739485) -- cycle;
 \draw [shift={(-3.5793255362306895,4.4664315014142915)},line width=2pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-152.60638354825537:0.810265723739485) arc (-152.60638354825537:-77.51342206975316:0.810265723739485) -- cycle;
 \draw [line width=2pt] (-5.818234449125059,3.6211878893314746) circle (3.410807212633205cm);
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 \draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-8.246248844808852,6.01667363049191);
 \draw [line width=2pt] (-8.246248844808852,6.01667363049191)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458);
 \draw (-5.929096135075196,8.355706975363816) node[anchor=north west] {$K$};
 \draw [line width=2pt] (-8.707707908908976,1.808855423431506)-- (-3.5793255362306895,4.4664315014142915);
 \draw [line width=2pt] (-3.5793255362306895,4.4664315014142915)-- (-2.974945793144921,1.7372251878627458);
 \begin{scriptsize}
 \draw [fill=xdxdff] (-8.707707908908976,1.808855423431506) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-9.170159030033137,1.6440058970550886) node {$P_1$};
 \draw [fill=xdxdff] (-2.974945793144921,1.7372251878627458) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-2.607006667743308,1.2388730351853465) node {$P_2$};
 \draw [fill=xdxdff] (-8.246248844808852,6.01667363049191) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-8.683999595789444,6.85671538644577) node {$P_3$};
 \draw[color=qqwuqq] (-7.387574437806268,5.047121936760922) node {$\alpha$};
 \draw [fill=ududff] (-3.5793255362306895,4.4664315014142915) circle (2.5pt);
 \draw[color=ududff] (-3.2822281041928787,5.128148509134871) node {$P_4$};
 \draw[color=qqwuqq] (-3.7683875384365693,3.3455639169080054) node {$\beta$};
 \end{scriptsize}
 \end{tikzpicture}
 \end{document}
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 \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,scale=0.5, every node/.style={transform shape}]%every node/.style={scale=0.6}]
 \draw [shift={(-8.64170354100338,3.003714766992732)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-99.5776023668378:0.6) arc (-99.5776023668378:-39.19820242146985:0.6) -- cycle;
 \draw [shift={(-1.64,5.53)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-136.27126791299253:0.6) arc (-136.27126791299253:-96.72770528824176:0.6) -- cycle;
 \draw [shift={(3.2757591005565456,3.0104836026458477)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-99.38083625827915:0.6) arc (-99.38083625827915:-38.66936949066439:0.6) -- cycle;
 \draw [shift={(8.64,1.29)},line width=0pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-152.18636174151817:0.6) arc (-152.18636174151817:-74.7833310178937:0.6) -- cycle;
 \draw [line width=0.4pt] (-6,0) circle (4.000112498418013cm);
 \draw [line width=0.4pt] (6,0) circle (4.060110835925542cm);
 \draw [line width=0.4pt] (-9.48104441126044,-1.9705912328112247)-- (-2.5263226318686436,-1.983548724415917);
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 \draw [line width=0.4pt] (-9.48104441126044,-1.9705912328112247)-- (-8.64170354100338,3.003714766992732);
 \draw [line width=0.4pt] (2.4522436838329384,-1.974316368036472)-- (3.2757591005565456,3.0104836026458477);
 \draw [line width=0.4pt] (-9.48104441126044,-1.9705912328112247)-- (-1.64,5.53);
 \draw [line width=0.4pt] (-8.64170354100338,3.003714766992732)-- (-2.5263226318686436,-1.983548724415917);
 \draw [line width=0.4pt] (3.2757591005565456,3.0104836026458477)-- (9.534394591307024,-1.998137851335504);
 \draw [line width=0.4pt] (2.4522436838329384,-1.974316368036472)-- (8.64,1.29);
 \draw [line width=0.4pt] (8.64,1.29)-- (9.534394591307024,-1.998137851335504);
 \draw [line width=0.4pt] (-1.64,5.53)-- (-2.5263226318686436,-1.983548724415917);
 \draw (-6.24,5.15) node[anchor=north west] {$K$};
 \draw (5.78,5.23) node[anchor=north west] {$K$};
 \begin{scriptsize}
 \draw [fill=xdxdff] (-9.48104441126044,-1.9705912328112247) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-9.78,-2.34) node {$P_1$};
 \draw [fill=xdxdff] (-2.5263226318686436,-1.983548724415917) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-2.16,-2.26) node {$P_2$};
 \draw [fill=xdxdff] (2.4522436838329384,-1.974316368036472) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (1.86,-2.22) node {$P_1$};
 \draw [fill=xdxdff] (9.534394591307024,-1.998137851335504) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (9.82,-2.16) node {$P_2$};
 \draw [fill=xdxdff] (-8.64170354100338,3.003714766992732) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (-8.96,3.44) node {$P_3$};
 \draw [fill=xdxdff] (3.2757591005565456,3.0104836026458477) circle (2.5pt);
 \draw[color=xdxdff] (2.94,3.5) node {$P_3$};
 \draw [fill=ududff] (-1.64,5.53) circle (2.5pt);
 \draw[color=ududff] (-1.24,5.88) node {$P_4$};
 \draw [fill=ududff] (8.64,1.29) circle (2.5pt);
 \draw[color=ududff] (8.96,1.84) node {$P_4$};
 \draw[color=qqwuqq] (-8.3,2.1) node {$\alpha$};
 \draw[color=qqwuqq] (-2,4.7) node {$\beta$};
 \draw[color=qqwuqq] (3.6,2.1) node {$\alpha$};
 \draw[color=qqwuqq] (8.4,0.4) node {$\beta$};
 \end{scriptsize}
 \end{tikzpicture}
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 %https://www.overleaf.com/learn/latex/LaTeX_Graphics_using_TikZ%3A_A_Tutorial_for_Beginners_(Part_4)%E2%80%94Circuit_Diagrams_Using_Circuitikz
 \begin{circuitikz}[scale=1.2]
 %\ctikzset{misc/lampshape/height=0.75, misc/lampshape/width=0.75}
 \draw (0,0) node[] (UL) {}  to[short, o-*] (1,0) to
 (1,1) to (1.5,1 )to [normal open switch,l=\scriptsize{$p_1$}, o-, n=s1](2.0,1) 
 to (2.5,1) to[short, -*] (2.5,0)
 to [lamp,l_=\scriptsize{$G$},n=lm](4.5,0) to [short,-o](4.5,0);
 \draw (1,0) to (1,-1) to (1.5,-1) to [normal open switch, l=\scriptsize{$p_2$}, o-,n=s2] (2.0,-1) to (2.5,-1) to (2.5,0)
 (s1.s) node[below,yshift=1.5mm, xshift=-2mm]{\scriptsize $1$}
 (s2.s) node[below,yshift=1.5mm, xshift=-2mm]{\scriptsize $2$}
 (lm.ne) node[below,yshift=2.5mm, xshift=7mm]{\scriptsize $p=p_1 \vee p_2$}
 ;
 \end{circuitikz}
--- a/Grafiken/Band1G02.tikz
+++ b/Grafiken/Band1G02.tikz
@@ -0,0 +1,14 @@
 %https://www.overleaf.com/learn/latex/LaTeX_Graphics_using_TikZ%3A_A_Tutorial_for_Beginners_(Part_4)%E2%80%94Circuit_Diagrams_Using_Circuitikz
 \begin{circuitikz}[scale=1.2]
 %\ctikzset{misc/lampshape/height=0.75, misc/lampshape/width=0.75}
 \draw (0,0) node[] (UL) {}  to[short, o-*] (1,0) to
 [normal open switch,l=\scriptsize{$p_1$}, o-, n=SW1](1.5,0) 
 to (2,0) 
 to [normal open switch, l=\scriptsize{$p_2$}, o-,n=SW2](2.5,0) 
 to  [lamp,l_=\scriptsize{$G$},n=lm](4,0) to [short,-o](4.5,0)
 (SW1.s) node[below,xshift=-3mm,yshift=1mm]{\scriptsize $1$}
 (SW2.s) node[below,xshift=-3mm,yshift=1mm]{\scriptsize $2$}
 (lm.ne) node[below,xshift=8mm,yshift=2mm]{\scriptsize $p=p_1 \wedge p_2$};
 \end{circuitikz}
--- a/Grafiken/Band1G03.tikz
+++ b/Grafiken/Band1G03.tikz
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 \begin{circuitikz}[circuit ee IEC relay]
 \draw (0,-0.25) node[] (UL) {}  to[short, o-*] (1,-0.25) 
 to [normal open switch,l=\scriptsize{$q$}, o-, n=SW1](1.5,-0.25) 
 to (2,-0.25)  to (2.5,-0.25) node [relay coil, rotate = 90,transform shape,yshift=-5mm](t2){}(3.5,-0.25) to [short,-o] (3.5,1.)
 (SW1.s) node[below,xshift=-2mm,yshift=1mm]{\scriptsize $1$};
 \draw  (0,-1.5) node[] (UA) {}  to[short, o-] (2.6,-1.5) to (2.6,-1.25)to (3.4,-1.35);
 \draw (3.2,-1.31) to (3.2,-1.5) to [lamp,l=\scriptsize{$G$},n=lm,-o](6,-1.5);
 %[break contact,rotate =-45,transform shape] (-1,1.5);
 \draw (2.5,-0.5)to(2.7,0) to (2.9,-0.5) to (3.1,0)to(3.3,-0.5)to (3.5,0);
 %\draw (0,0) to [relay coil={info=$K_1$,term=A1,term'=A2},rotate = 0] (0,3);
 \draw[] (2.75,-1.26) arc
    [
        start angle=-10,
        end angle=270,
        x radius=0.15cm,
        y radius =0.15cm
    ] node[above, yshift=1mm,xshift=-3mm] {\scriptsize$p$};
 \node[]  at (2.7,-1.6) {\scriptsize$2$};
 \node[]  at (5.5,-1.2) {\scriptsize$p=\bar{q}$};
 \draw[dashed](2.6,-1.25) to(3.4,-1.15);
 \end{circuitikz}
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 \chapter{Logik}
 Die nachfolgenden ausgewählten Bemerkungen zur Logik dienen in erster Linie dazu, den Leser zu befähigen, vorgelegte Sätze in besonderer Weise mit dem Ziel einer Formalisierung zu analysieren.
 Wir stellen zunächst mit den sogenannten Wahrheitstabellen ein einfaches Instrumentarium bereit, um festzustellen, ob der vorgelegte Sachverhalt eine wahre oder falsche Aussage darstellt. Dies sind die notwendigen Grundlagen zum Verständnis der logischen Schlüsse, die in der Mathematik, aber auch in anderen Wissenschaften, immer wieder benötigt werden.
 Darüber hinaus findet die Logik in neuerer Zeit immer mehr auch Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik (digitale Rechentechnik, Neuronennetze, Technologie, Netzplantechnik, Steuerungsprobleme).
 \section{Aussagen}
 Gegenstand der Logik sind \textit{Aussagen}. Diese werden im sprachlichen Umgang in Aussagesätzen formuliert. Eine Aussage drückt einen Tatbestand aus. Demzufolge sind alle aus der Umgangssprache bekannten Fragesätze, Aufforderungssätze, Befehlssätze, Wunschsätze, Zweifelssätze usw. keine Aussagesätze. Speziell sind
 \einrueckungm{35}{
 	\begin{itemize}
 		\item[-] Ist $10^{10}+1$ eine Primzahl?
 		\item[-] Löse die Gleichung $x^2+4 x+10=0$ !
 		\item[-] Rechts abbiegen!
 		\item[-] Hoffentlich scheint morgen die Sonne.
 		\item[-] Ich glaube nicht, daß morgen die Sonne scheint.
 	\end{itemize}
 }
 keine Aussagesätze.
 Betrachten wir zunächst als Beispiel die Aussage "`$2 \cdot 2=4$"'. Diese Aussage kürzen wir mit $p$ ab und schreiben:
 \einrueckungm{50}{
 	$p=$ "`$2 \cdot 2=4$"'}
 Ebenso wird in den folgenden Beispielen verfahren.
 \begin{beispiel}
 	\label{B.3.1}
 	\begin{itemize}
 		\item[] $q=$ "`$10$ ist eine Primzahl"'
 		\item[] $r=$ "`Die Sonne scheint"'
 		\item[] $s=$ "`Am 10.10.1995 wird in Leipzig die Sonne scheinen"' 
 		\item[] $t=$ "`Kolumbus hat 1492 Amerika entdeckt"'
 	\end{itemize}
 \end{beispiel}
 Diese Beispiele zeigen, daß es sinnvoll ist, nach dem Wahrheitsgehalt der entsprechenden Aussagen zu fragen.
 Die mit $p$ und $t$ abgekürzten Sätze stellen offenbar wahre Aussagen dar, dagegen ist $y$ falsch. Die Frage nach dem Wahrheitsgehalt der durch $r$ beschriebenen Aussage ist erst nach Kenntnis von Ort und Zeit mit "`wahr"' bzw. "`falsch"' entscheidbar. Für die durch $s$ beschriebene Aussage ist es sinnvoll, den Wahrheitsgehalt zu dem Zeitpunkt, an dem sie gemacht wird, durch eine Wahrscheinlichkeit zu präzisieren.
 Diese Überlegungen veranlassen uns zunächst zur folgenden Erklärung:
 \textit{$p$ heißt eine Aussage, wenn $p$ einen Tatbestand ausdrückt.}
 Die Gesamtheit aller so definierten Aussagen $p$ fassen wir zu einer Menge $A_1$ zusammen: $A_1=\{p \mid p$ ist eine Aussage$\}$.
 Wir benutzen bereits hier den Begriff der Menge, welcher in Abschnitt 7. ausführlicher behandelt wird.
 Unter einer \textit{Menge} verstehen wir nach Cantor eine Gesamtheit (Zusammenfassung) bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von einem Objekt eindeutig feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht.
 Können wir die Objekte, die zur Menge gehören und \textit{Elemente} der Menge heißen, aufschreiben, so führen wir sie in geschweiften Klammern auf. So wird die Menge $M_1$ der natürlichen Zahlen, die größer als $2$ und kleiner als $10$ sind, wie folgt geschrieben: $M_1=\{3,4,5,6,7,8,9\}$. Die Tatsache, daß z.B. $5$ Element der Menge $M_1$ ist, beschreiben wir mit der Symbolik $5 \in M_1$, während $1 \notin M_1$ bedeutet, daß $1$ kein Element von $M_1$ ist. Wir werden auch generell für Mengen große lateinische Buchstaben zur Bezeichnung benutzen. Eine andere Schreibweise für eine Menge $M$ ist
 \einrueckungm{35}{$M=\{x \mid E\}.$}
 Wir lesen dieses Symbol folgendermaßen: "`M ist die Menge aller Elemente $x$, die Eigenschaft $E$ besitzen"'. Die oben erklärte Menge $A_1$ ist in dieser Schreibweise formuliert $A_1=\{p \mid p \text{ ist eine Aussage }\}$. Die Menge $M_1$ kann mit Hilfe dieser Symbol als
 \einrueckungm{35}{$
 	M_1=\{x \mid x, \text { natürliche Zahl und } 2<x<10\}$}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 geschrieben werden.
 Schließlich sei bereits an dieser Stelle der Begriff der Teilmenge erklärt.
 Die Menge $A$ heißt Teilmenge der Menge $B$, wenn jedes Element der Menge $A$ auch Element der Menge $B$ ist. Wir schreiben in diesem Fall: $A \subseteq B$.
 Zum Beispiel
 \einrueckungm{35}{$
 	\{3,4,5\} \subseteqq M_1=\{3,4, \ldots, 9\},$}
 aber
 \einrueckungm{35}{
 	$\{2,9\}$ ist keine Teilmenge von $M_1$.}
 Dieser Vorgriff auf Grundbegriffe der Mengenlehre gestattet es uns, nachfolgend gewisse Sachverhalte besser zu formulieren.
 Bei unseren weiteren Betrachtungen wollen wir uns auf eine wichtige Teilmenge von $A_1$ beschränken.
 \begin{definition}\label{D.3.1}Die Aussage $p$ heißt \marginpar[\textbf{D.3.1}]{\textbf{D.3.1}}\textbf{zweiwertige Aussage}, wenn $p$ entweder wahr oder falsch ist.\end{definition}
 Entsprechend $A_1$ bilden wir die Menge der zweiwertigen Aussagen $A_2$: 
 \einrueckungm{35}{$A_2=\{p \mid p \text{ist eine zweiwertige Aussage}\}$}
 Durch diese Definition scheiden wir Aussagen wie $s$ aus den weiteren Betrachtungen aus. Auch Aussagen über die Bewertungen einer Klausur, die man ja üblicherweise mit den Zensuren (Wahrheitswerten) $1$ bis $5$ vornimmt, sind in $A_2$ nicht enthalten.
 Im Zusammenhang mit $A_2$ führen wir die \textit{Wahrheitswerte}
 \einrueckungm{35}{
 	\begin{itemize}
 		\item[] "`wahr"', bezeichnet durch $W$, und
 		\item[] "`falsch"', bezeichnet durch $F$,
 	\end{itemize}
 }
 ein. Der Aussage $p, p \in A_2$, ist gemäß Definition \ref{D.3.1} eindeutig ein Wahrheitswert aus $\{W, F\}$ zugeordnet. Wir bezeichnen diese eindeutige Zuordnung mit $w(p)$, $w(p) \in\{W, F\}$ ; $w(p)-$ Wahrheitswert der Aussage $p$.
 Wir wollen noch auf einen wichtigen Tatbestand aufmerksam machen. Das Wissen, daß $p \in A_2$ gilt, heißt noch nicht, daß man auch $w(p)$ kennt. Dazu zwei Beispiele:
 \begin{beispiel}
 	\label{B.3.2}	
 	\begin{itemize}
 		\item[]$p=\;$"`$10^{10}+1$ ist eine Primzahl"';
 		\item[]$q=\;$"`Ist $n$ eine natürliche Zahl, die größer oder gleich drei ist, so gibt es keine ganzen, positiven Zahlen $x, y, z$ so, daß $x^n+y^n=z^n$ gilt"'.
 	\end{itemize}
 \end{beispiel}
 Es ist sofort klar, daß $p \in A_2$ und $q \in A_2$ ist, $w(p)$ ist nicht ohne weiteres angebbar. Es gibt aber einen Algorithmus zur Ermittlung dieses Wahrheitswertes. Dagegen ist der Wahrheitswert von $q$ (großer Fermatscher Satz) bis heute unbekannt.
 Die Ermittlung von Wahrheitswerten mathematischer Aussagen ist eine Aufgabe der Mathematik und keine spezielle Aufgabe der Logik.
 \section{Variable und Aussageformen}
 Wir betrachten eine Menge $X$ von beliebigen Elementen. Wir wollen $x$ eine Variable\index{Variable} nennen, wenn $x$ die Elemente von $X$ durchläuft. $X$ heißt dann Bereich\index{Bereich} der Variablen $x$. Die Sätze
 \einrueckungm{35}{
 	"`$x \text { ist eine Primzahl}$"', \qquad  "`$y \text{ ist eine Großstadt}$"' 
 }
 die wir mit $p(x)$ bzw. $q(y)$ abkürzen wollen, stellen zunächst keine Aussagen dar. Für jedes konkrete $x=x_1 \in X$ und $y=y_1 \in Y$ gehen $p(x)$ und $q(y)$ jedoch in Aussagen aus $A_2$ über.
 \begin{beispiel}
 	\label{B.3.3}
 	\einrueckungm{30}{
 		$X=\left\lbrace 1,2, \ldots, 10\right\rbrace$, $Y=\left\lbrace \text{Moskau, Leipzig, Weimar} \right\rbrace $. 
 		Die Aussagen $p(2)$, $p(3)$, $p(5)$, $p(7)$ sind wahre Aussagen, dagegen sind $p(1)$, $p(4)$, $p(6)$, $p(8)$, $p(9)$ und $p(10)$ falsche Aussagen. 
 		Setzen wir im Satz $q(y)$ für die Variable $y$ die Elemente ihres Bereiches ein, so entstehen die wahren Aussagen "`Moskau ist eine Großstadt"',
 		"`Leipzig ist eine Großstadt"' und die falsche Aussage "`Weimar ist eine Großstadt"'.}
 \end{beispiel}
 Für solche Sätze, die eine Variable enthalten, wollen wir einen Namen einführen. Wir definieren:
 \pagebreak
 \begin{definition}\label{D.3.2}Eine Formulierung $p(x)$ mit der Variablen $x \in X$ heißt \marginpar[\textbf{D.3.2}]{\textbf{D.3.2}} eine \textbf{Aussageform}\index{Aussageform}, wenn $p(x)$ bei Einsetzen jedes konkreten Wertes $x=x_1 \in X$ in eine zweiwertige Aussage\index{zweiwertige Aussage}\index{Aussage!zweiwertige} übergeht. Die Menge der so entstehenden Aussagen heißt Bereich der Aussageform.	\end{definition}
 Eine Aussageform ist weder wahr noch falsch. Sie ist selbst keine Aussage, sondern stellt eine Vorschrift zur Gewinnung von Aussagen dar.
 Die Sätze der Mathematik und anderer Wissenschaften sind Aussagen bzw. Aussageformen, die eventuell auch von mehr als einer Variablen abhängen. Diese Aussagen bzw. Aussageformen treten nun aber häufig verknüpft durch Bindewörter, verneint oder auf andere Weise modifiziert auf. Mit solchen \textit{Aussagenverbindungen} wollen wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen.
 \section{Aussagenverbindungen}\label{s:Aussageverbindungen}
 \subsection{Elementare Aussagenverbindungen, $n$-stellige Aussagenverbindungen}\label{ss:Aussageverbindungen}
 Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage zuordnen kann.
 Aus der Umgangssprache sind uns eine Reihe von Bindewörtern bekannt, mit deren Hilfe man mehreren Aussagen eine neue zweiwertige Aussage\index{zweiwertige Aussage}\index{Aussage!zweiwertige} zuordnen kann.
 \begin{beispiel}
 	\label{B.3.4}
 	\einrueckungm{30}{
 		Betrachten wir als Beispiele die beiden Aussagen
 		\begin{itemize}
 			\item[] $p= $ "`$3 \text { ist eine Primzahl}$"'
 			\item[] $q= $ "`$10 \text { ist durch } 3 \text { teilbar}$"'
 		\end{itemize}
 		Dann können wir die folgenden neuen Sätze bilden:
 		\begin{enumerate}[label={(}\arabic*{)},start=1]
 			\item  $p_1=$ "`$3$  ist keine Primzahl“'
 			\item $p_2=$  "`$3$ ist eine Primzahl und $10$ ist durch $3$ teilbar"'
 			\item $p_3=$ "`$3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"'
 			\item $p_4=$ "`Wenn $10$ durch $3$ teilbar ist, so ist $3$ eine Primzahl"'
 			\item $p_5=$ "`$3$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $10$ durch $3$ teilbar ist"'
 			\item $p_6=$ "`Entweder $3$ ist eine Primzahl oder $10$ ist durch $3$ teilbar"'
 			\item $p_7=$ "`$3$ ist eine Primzahl, weil $10$ durch $3$ teilbar ist"'	
 		\end{enumerate}
 	}
 \end{beispiel}
 Zunächst einmal steht fest, daß die Sätze $p_1$ bis $p_7$ zweiwertige Aussagen darstellen. Ihr Wahrheitswert läßt sich in der von der Umgangssprache bekannten Weise einfach bestimmen. So gilt:
 $$
 \begin{aligned}
 	& w(p)=W, w(q)=F, \\
 	& w\left(p_1\right)=F, w\left(p_2\right)=F, w\left(p_3\right)=W, w\left(p_4\right)=W, w\left(p_5\right)=F, \\
 	& w\left(p_6\right)=W, w\left(p_7\right)=F .
 \end{aligned}
 $$
 Wir wollen nun die Überlegungen aus Beispiel \ref{B.3.4} verallgemeinern. Die Größen $p$ und $q$ bezeichnen zwei beliebige Aussagen, $p \in A_2, q \in A_2$. Dann gibt die folgende Tabelle die den Beispielen entsprechenden Aussagenverbindungen, deren Namen und Kurzschreibweisen an. Wir bemerken noch einmal, daß eine solche Aussagenverbindung je zwei Elementen von $A_2$ in eindeutiger Weise ein Element von $A_2$ zuordnet. Im Beispiel (1) wird einer Aussage aus $A_2$ eine andere Aussage, ebenfalls aus $A_2$, eindeutig zugeordnet. Aus diesem Grunde können wir auch das Wort Aussagenfunktion anstelle Aussagenverbindung benutzen.
 \captionsetup[table]{position=top}
 \begin{table}[ht]
 	\centering
 	\caption{\label{tab.3.1}Aussagenverbindungen}
 		\begin{tabular}{l|l|l|l} 
 			Nr. & Aussagenverbindung & Kurzzeichen & Name \\
 			\hline 1 & nicht $p$ & $\bar{p}$ & Negation \\
 			2 & $p$ und $q$ & $p \wedge q$ & Konjunktion \\
 			3 & $p$ oder $q$ & $p \vee q$ & Alternative \\
 			4 & wenn $p$, so $q$ & $p \rightarrow q$ & Implikation \\
 			5 & $p$ genau dann, wenn $q$ & $p \leftrightarrow q$ & Äquivalenz\index{Ae@""Aquivalenz} \\
 			6 & entweder $p$ oder $q$ & - & Disjunktion\index{Disjunktion} \\
 			7 & $p$ weil $q$ & - & -
 		\end{tabular}	
 \end{table}
 Die Aussagenverbindungen (2) bis (7) in der Tabelle 3.1 sind zweistellige Aussagenverbindungen\index{zweistellige Aussagenverbindungen}\index{Aussagenverbindungen!zweistellige}, da sie je zwei Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ eindeutig zuordnen. Die Negation kann als einstellige Aussagenverbindung\index{einstellige Aussagenverbindung}\index{Aussagenverbindung!einstellige} aufgefaßt werden. Die Begriffe Alternative und Disjunktion\index{Disjunktion} werden in der Literatur unterschiedlich verwendet.
 Mit diesen ein- und zweistelligen Aussagenverbindungen ist aber die Menge der Verknüpfungen von Aussagen noch keineswegs erschöpft. Oft ist es zur Beschreibung mathematischer Sachverhalte notwendig, Aussagenverbindungen zu betrachten, die aus mehr als zwei Teilaussagen zusammengesetzt werden.
 \begin{beispiel}\label{B.3.5}
 	(Wir benutzen die Kurzschreibweise, um die Struktur der Aussagenverbindung deutlicher hervorzuheben):
 	\begin{flalign}
 		&(p  \wedge q) \rightarrow(r \vee s)  &&\\
 		&((p \vee q \vee r) \wedge(p \rightarrow s) \wedge(q \rightarrow s) \wedge(r \rightarrow s)) \rightarrow s
 	\end{flalign}
 	Mit Worten bedeutet (3.1): Wenn $p$ und $q$ gelten, so gilt auch $r$ oder $s$. Dabei kann man sich für $p, q, r, s$ beliebige Aussagen aus $A_2$ eingesetzt denken.	
 \end{beispiel}
 Allgemein gesprochen, können wir also mit Hilfe von Bindewörtern $n$ Aussagen aus $A_2$ eine neue Aussage aus $A_2$ zuordnen, die wir dann \textit{$n$-stellige Aussagenverbindung} nennen. Die konkrete Art der Verbindung nennen wir die \textit{logische Struktur} der Aussage. Zu dieser logischen Struktur gehören insbesondere auch die Klammern.
 Nun können wir die folgende entscheidende Fragestellung der Logik formulieren. auf der dann alle anderen Untersuchungen aufbauen: Wie beeinflußt die logische Struktur den Wahrheitswert der Aussagenverbindung? Dabei fordert man: Der Wahrheitswert der Aussagenverbindung soll nur abhängen
 \begin{enumerate}
 	\item von den Wahrheitswerten der eingehenden Teilaussagen
 	und
 \end{enumerate}
 und
 \begin{enumerate}
 	\setcounter{enumi}{1}
 	\item von der logischen Struktur der Aussagenverbindung.
 \end{enumerate}
 Er soll aber nicht vom konkreten Sinn der in der Aussagenverbindung verknüpften Teilaussagen abhängen. Aussagenverbindungen, die diese Forderung erfüllen, heißen \textit{extensional} (Extension - Ausdehnung); alle anderen heißen \textit{intensionale} Aussagenverbindungen (Intension - Sinn).
 Die Aussagenverbindungen 1 bis 6 unserer Tabelle \ref{tab.3.1} werden als extensional aufgefaßt. Dagegen beschreibt zum Beispiel "`weil"' eine intensionale Aussagenverbindung, was man sich anhand eines Beispiels überlegen kann [14].
 \subsection{Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen}\label{ss:Wahrheitstabellen}
 Im folgenden beschäftigen wir uns nur noch mit extensionalen Aussagenverbindungen und wollen zunächst für die Aussagenverbindungen 1) bis 6) aus Tabelle \ref{tab.3.1} den Wahrheitswert bestimmen. Da diese extensional sind, genügt es, für jede Kombination von Wahrheitswerten (aus $\{W, F\}$ ) der eingehenden Teilaussagen den Wahrheitswert der Aussagenverbindung anzugeben.
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.2}Wahrheitstabelle der Negation}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cc} 
 			$p$ & $F$ & $W$\\
 			\hline 
 			$\bar{p}$ & $W$ & $F$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 In der ersten Zeile dieser Tabelle steht links das Symbol $p$ für die Aussage, recht daneben die beiden möglichen Wahrheitswerte für $p: F, W$. Die zweite Zeile enthäl links das Symbol $\bar{p}$ für die Negation, daneben die Wahrheitswerte für $\bar{p}$, d. h., gil $w(p)=F$, so ist $w(\bar{p})=W$, und für $w(p)=W$ wird $w(\bar{p})=F$. Diese Tabelle, die wir Wahrheitstabelle nennen, gibt also die Zuordnung spaltenweise an.
 \begin{table}[!ht]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.3}Wahrheitstabelle der Konjunktion}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cccc} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
 			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
 			\hline$\wedge$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 Da wir es hier mit einer zweistelligen Aussagenverbindung zu tun haben, gibt es $2^2=4$ Kombinationen (Paare) von Wahrheitswerten \textcolor{red}{(s. Abschnitt 6.)}. Jedem solchen Paar entspricht wieder eine Spalte der Tabelle, wobei in der letzten Zeile der zugehörige Wahrheitswert von $p \wedge q$ aufgeschrieben ist. Wir sehen, daß die Konjunktion genau dann wahr ist, wenn beide durch \textit{und} verbundenen Teilaussagen wahr sind.
 Entsprechend definieren wir die Wahrheitstabellen der anderen Aussagenverbindungen.
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.4}Wahrheitstabelle der Alternative}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cccc} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
 			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
 			\hline$\vee$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.5}Wahrheitstabelle der Implikation}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cccc} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
 			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
 			\hline$\rightarrow$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.6}Wahrheitstabelle der Äquivalenz}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cccc} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
 			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
 			\hline$\leftrightarrow$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 \newpage
 \begin{table}[!h]
 	\begin{flushleft}
 		\caption{\label{tab.3.7}Wahrheitstabelle der Disjunktion}\vspace*{1mm}
 		\begin{tabular}{l|cccc} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ \\
 			$q$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ \\
 			\hline entweder $p$ oder $q$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$
 		\end{tabular}			
 	\end{flushleft}
 \end{table}
 \begin{aufgabe}\label{aufg:3.1}
 	\einrueckungm{20}{Man gebe die Wahrheitstabellen der Aussagenverbindungen $\overline{p \wedge q}$ (Sheffersche Funktion) bzw. $\overline{p \vee q}$ (Nicodsche Funktion) an!}
 \end{aufgabe}
 $\mathrm{Zu}$ diesen Tabellen sollen noch einige Bemerkungen gemacht werden. Der \textit{Implikation} wird nur dann der Wahrheitswert $F$ zugeordnet, wenn die erste Teilaussage $p$ (Voraussetzung) wahr, aber die zweite Teilaussage $q$ (Behauptung) falsch ist.
 \begin{beispiel}\label{B.3.6}
 	Die Aussage "`Wenn $3$ eine Primzahl ist, so ist $10$ durch $3$ teilbar"' ist offenbar falsch. Die Aussage "`Wenn $4$ eine Primzahl ist, so ist $10$ durch $3$ teilbar"' wird dagegen als wahr angesehen.
 \end{beispiel}
 Bemerkenswert ist auch der Unterschied zwischen \textit{Alternative} und \textit{Disjunktion}. Die Alternative stellt ein einschließendes, die Disjunktion ein ausschließendes oder dar.
 \einrueckungm{10}{
 	Betrachten wir noch die folgenden zwei Aussagen
 	\einrueckungm{20}{	
 		$p=$ "`$2 \cdot 2=4$"' oder "`Berlin ist die Hauptstadt der UdSSR"'
 		$q=$ Wenn "`$2 \cdot 2=5$"' ist, so "`ist die Erde ein Planet"'
 }}
 Aussagenverbindungen dieser Art sind häufig insbesondere philosophischer Kritik ausgesetzt. Im Sinne der Logik handelt es sich jedoch bei $p$ und $q$ um wahre Aussagen, obwohl diese Aussagenverbindungen rein inhaltlich gesehen völlig sinnlos sind. Im Sinne einer völligen Allgemeinheit der zur Aussagenverbindung zugelassenen Aussagen aus $A_2$ ist es aber legitim, auch Verbindungen der obigen Art zu bilden.
 Es ist zweckmäßig, die Tabellen \ref{tab.3.1} bis \ref{tab.3.7} gut im Gedächtnis zu behalten, da sie Bausteine für nachfolgende Überlegungen sind.
 \subsection{Wahrheitstabellen $n$-stelliger $(n>2)$ Aussagenverbindungen}
 Die Wahrheitstabellen ordnen jeder Kombination (bisher jedem Paar) von Wahrheitswerten eindeutig einen Wahrheitswert zu. Diese Zuordnung ist spaltenweise in den Tabellen rechts vom vertikalen Strich dargestellt. Die Tabellen repräsentieren also Funktionen \textcolor{red}{(siehe auch Abschnitt 8.)}, die man auch Wahrheitsfunktionen nennt. Am Beispiel der $4$-stelligen Aussagenverbindung
 \begin{flalign}
 	&(p \wedge q) \rightarrow (r \vee s)& \label{gl.3.3}
 \end{flalign}
 wollen wir jetzt noch zeigen, wie man mit Hilfe der in \ref{ss:Wahrheitstabellen} angegebenen Wahrheitstabellen die Wahrheitstabelle einer mehr als zweistelligen Aussagenverbindung bestimmt.
 Zunächst kann man sich überlegen, daß es $2^4=16$ verschiedene Kombinationen von Wahrheitswerten gibt. Diese werden in zweckmäßiger Reihenfolge im Kopf der Tabelle aufgeschrieben. Betrachten wir die Struktur von (\ref{gl.3.3}), so sehen wir, daß wir es mit einer Aussagenverbindung $t \rightarrow u$ mit $t=p \wedge q, u=r \vee s$ zu tun haben. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Wahrheitstabelle schrittweise, wie nachfolgend dargestellt, aus den schon bekannten Bausteinen aufzubauen.
 %%%%
 \begin{table}[!h]
 	\begin{center}
 		\caption{\label{tab.3.8}Wahrheitstabelle der Aussagenverbindung $(p \wedge q) \rightarrow(r \vee s)$}
 		\begin{tabular}{p{1.5cm}|p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}p{2.5mm}} 
 			$p$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$ & $F$ & $W$\\
 			q & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$\\ 
 			r & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\
 			$s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline
 			$t=p \wedge q$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ \\
 			$u=r \vee s$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ \\\hline
 			$t \rightarrow u$ & $W$ & $W$ & $W$ & $F$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$ & $W$\\
 		\end{tabular}
 	\end{center}
 \end{table}
 Wir sehen also, daß $t \rightarrow u$ nur bei genau einer der $16$ möglichen Wahrheitswertkombinationen falsch wird. Insbesondere ist also auch eine Aussage wie
 \einrueckungm{20}{"`Wenn $2 \cdot 2=3$ und $4$ eine Primzahl ist, so ist auch $5$ eine Primzahl oder $8^2=60$"'}
 eine wahre Aussage.
 Mit Hilfe der Ergebnisse aus Abschnitt \textcolor{red}{6.3.2}. kann man sich leicht überlegen, daß bei einer $n$-stelligen Aussagenverbindung die Wahrheitstabelle $2^n$ Spalten enthält. Um diese aufzuschreiben ist es zweckmäßig, folgendermaßen vorzugehen (siehe auch Tabelle \ref{tab.3.8}, $n=4$ ):
 Man schreibe in die erste Zeile die Zweiergruppen $F W \ldots$, in die zweite die Vierergruppen $F F W W \ldots$, in die dritte die Achtergruppen $F F F F W W W W \ldots$ usw. Auf diese Weise erhält man, wie man sich leicht überlegen kann, alle $2^n$ Spalten, und man ist damit in der Lage, die gewünschte Wahrheitstabelle anzugeben.
 \begin{aufgabe}
 	\einrueckungm{20}{
 		Folgt aus dem Satz "`Wenn Peter Mathematik studiert, so studiert er auch Operationsforschung oder Kybernetik"' und "`Peter studiert nicht Operationsforschung"' und "`Peter studiert Mathematik oder Operationsforschung oder Kybernetik"' der Satz: "`Peter studiert Kybernetik"'?}
 \end{aufgabe}
 \subsection{Verbindungen von Aussageformen}
 Auch Aussageformen lassen sich durch Bindewörter neuen Aussageformen zuordnen. Dabei ist nur zu sichern, daß bei Einsetzung eines beliebigen konkreten Wertes $x_1$ der Variablen $x$ mit dem Bereich $X$ die "`Aussageformverbindung"' in eine Aussage aus $A_2$ übergeht.
 \begin{beispiel}\label{B.3.7}
 	$X=\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5,1 ; 5,2 ; 6\}$
 	\begin{enumerate}
 		\item $p(x)=$ "`$x$ ist eine ganze Zahl, und $x$ ist größer als $4$"'.
 		Es gilt: $w(p(5))=w(p(6))=W, w\left(p\left(x_1\right)\right)=F$ für $x_1 \in X, x_1 \neq 5 ; 6$.
 		\item $p(x)=$ "`Wenn $x$ eine ganze Zahl ist, so ist $x$ größer als $4$"'.
 		Es gilt: $w(p(1))=w(p(2))=w(p(3))=w(p(4))=F$,
 		$w(p(5))=w(p(5,1))=w(p(5,2))=w(p(6))=W$.
 	\end{enumerate}
 	Allgemein können wir folgendes feststellen:
 	Man kann zum Beispiel durch
 	$$
 	\begin{aligned}
 		& \overline{p(x)}, p(x) \wedge q(x), p(x) \vee q(x), p(x) \rightarrow q(x), \\
 		& p(x) \leftrightarrow q(x), \quad \text { \textit{entweder} } p(x) \text { \textit{oder} } q(x)
 	\end{aligned}
 	$$
 	Aussageformverbindungen bilden, die für jedes $x=x_1 \in X$ in Aussagenverbindungen übergehen. Es können darüberhinaus auch $n$-stellige Aussageformverbindungen gebildet werden.
 \end{beispiel}
 \begin{aufgabe}
 	\einrueckungm{20}{Man gebe die Aussageformverbindung
 		"`Falls $n$ eine Primzahl ist, so teilt 3 eine der Zahlen $n-1$ oder $n+1$"' mittels logischer Zeichen an und stelle für ein beliebiges festes $n$ die Wahrheitstabelle auf!}
 \end{aufgabe}
 Bisher haben wir nur die technischen Realisierungen der grundlegenden Verknüpfungen angegeben.
 Im allgemeinen steht aber die Frage, komplizierte Aussagenverbindungen auf der Basis dieser Grundverknüpfungen schaltungstechnisch zu realisieren und dabei möglichst geringen Aufwand zu treiben. Wir wollen das an zwei Beispielen illustrieren. Die Aussagenverbindungen
 bzw.
 $$
 p \wedge(p \vee q) \text { und } p
 $$
 $$
 p \vee(q \wedge r) \text { und }(p \vee q) \wedge(p \vee r)
 $$
 besitzen die gleichen Wahrheitstabellen, realisieren also logisch gleichwertige Aussagenverbindungen. Das hat zur Folge, daß die Wahrheitswerttabellen der Aussagenverbindungen
--- a/Muster.tikz
+++ b/Muster.tikz
@@ -0,0 +1,55 @@
 \begin{circuitikz}
 %Normal sintaxis
 \draw[color=blue] (0,0) 
    to [lamp, l=Sup-Lg,i_=i] ++(1.5,0)
    to [lamp, l=Sup-Rg,i=i] ++(1.5,0)
    to [lamp, l_=Inf-Rg,i=i] ++(1.5,0)
    to [lamp, l_=Inf-Lg,i=i] ++(1.5,0)
    to [short] ++(0,2)
    to [lamp, l=Sup-Lg,i=i] ++(-1.5,0)
    to [lamp, l=Sup-Rg,i=i] ++(-1.5,0)
    to [lamp, l_=Inf-Rg,i=i,invert] ++(-1.5,0) %invert command change symbol direction, has no effect in lamp
    to [lamp, l_=Inf-Lg,i=i] ++(-1.5,0);
 %Bad sintaxis, that not define a circuit
 \draw[color=blue] (1.5,-2)
    to [lamp, l=Sup-Rg,i=i] ++(1.5,0)
    to [lamp, l_=Inf-Lg,i=i] ++(1.5,0);
 \draw[color=red] (6,-2)
    to [lamp, l=Sup-Rg,i=i] ++(-1.5,0);
 \draw[color=green] (1.5,-2)
    to [lamp, l_=Inf-Lg,i=i] ++(-1.5,0);
 %Revision draws
 \draw[|-|,orange,thick] (1.2,0) -- ++(0,0.55) node[midway,right=-2pt]{\scriptsize 0.55};
 \draw[|-|,orange,thick] (3.8,0) -- ++(0,-0.6) node[midway,right=4pt]{\scriptsize 0.6};
 \draw[|-|,orange,thick] (1.2,2) -- ++(0,0.6) node[midway,right=-2pt]{\scriptsize 0.6};
 \draw[|-|,orange,thick] (5.5,2) -- ++(0,-0.55) node[midway,right=4pt]{\scriptsize 0.55};
 \draw[|-|,orange,thick] (1.2,-2) -- ++(0,0.6) node[midway,right=-2pt]{\scriptsize 0.6};
 \draw[|-|,blue,thick] (5.5,-2) -- ++(0,-0.55) node[midway,right=4pt]{\scriptsize 0.55};
 \draw[->,orange,thick] (.5,-.5) -- ++(2,0) node[midway,below=-2pt]{\scriptsize normal};
 \draw[->,orange,thick] (3.5,.5) -- ++(2,0) node[midway,above=-2pt]{\scriptsize normal};
 \draw[->,orange,thick] (2.5,-2) -- ++(1,0) node[midway,above=-2pt]{\scriptsize normal};
 \draw[<-,orange,thick] (5,-1.5) -- ++(1,0) node[midway,above=-2pt]{\scriptsize reverse};
 \draw[<-,orange,thick] (0.5,-2.5) -- ++(1,0) node[midway,below=-2pt]{\scriptsize reverse};
 \draw[<-,orange,thick] (0.5,1.5) -- ++(2,0) node[midway,below=-2pt]{\scriptsize reverse};
 \draw[<-,orange,thick] (3.5,2.5) -- ++(2,0) node[midway,above=-2pt]{\scriptsize reverse};
 %finally with diodes:
 \draw[color=blue](0,-4)
    to [D*,l=Sup-Lg,i=i] ++(1.5,0)
    to [D*,l=Sup-Rg,i=i,invert] ++(1.5,0) % invert has effect, but not in current.
    to [D*,l_=Inf-Lg,i<=i,invert] ++(1.5,0) % i<, is used to change the current.
    to [D*,l_=Inf-Lg,i=i] ++(1.5,0);
 \draw[color=blue](1.5,-6)
    to [D*,l=Sup-Lg,i=i] ++(1.5,0)
    to [D*,l_=Inf-Rg,i=i] ++(1.5,0);
 \draw[color=green](1.5,-6)
    to [D*,l_=Inf-Lg,i=i] ++(-1.5,0);
 \draw[color=red](6,-6)
    to [D*,l=Sup-Lg,i=i] ++(-1.5,0);
 \end{circuitikz}
--- a/Vorlage/.DS_Store
+++ b/Vorlage/.DS_Store
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
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--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
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--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
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--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
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+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
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--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Vorlage/Band
+++ b/Vorlage/Band
--- a/Show More
+++ b/Show More